3.2.1 双曲线及其标准方程（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习以双曲线及其标准方程为核心，采用A/B/C组+高考拓展的分层设计，覆盖10个知识点，从概念理解到综合应用，适配新授课分层教学，培养数学抽象、推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|定义、a/b/c关系、方程求解与参数范围|基础题型结合阶段检测真题，强化概念辨析与运算能力| |B组能力进阶|焦点三角形、距离最值问题|综合应用题型，需定义转化与几何性质结合，发展逻辑推理| |C组思维拔高|轨迹方程综合求法|开放题与跨知识融合题，培养创新意识与数学抽象| |拓展链接高考|高考真题与模拟题|对接高考考点，如焦点三角形面积、离心率应用，提升应试能力|

分层作业 3.2.1双曲线及其标准方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 双曲线的定义 知识点02 由a,b,c的关系求双曲线方程 知识点03 根据定义求双曲线方程 知识点04 待定系数法求双曲线方程 知识点05 由双曲线的方程求a,b,c 知识点06 根据方程表示双曲线求参数的范围 知识点07 双曲线的焦点三角形 知识点08 双曲线上的点到焦点和定点的距离和、差的最值问题 知识点09 定义法求点的轨迹方程（双曲线） 知识点10 直接法求点的轨迹方程（双曲线） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 双曲线的定义知识点01 知识点速记： 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫双曲线．其数学表达式：集合，，其中，为常数且，． （1）若，则集合为双曲线； （2）若，则集合为两条射线； （3）若，则集合为空集． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 4．（25-26高二上·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 由a,b,c的关系求双曲线的标准方程知识点02 知识点速记： 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 a，b，c的关系 【注】求双曲线方程时注意确定双曲线的焦点位置。 题型巩固练： 5．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为__________. 根据定义求双曲线的标准方程知识点03 知识点速记： 由双曲线的定义求双曲线的方程，关键是利用双曲线的定义求出，结合已知及求出，写出双曲线的标准方程。 题型巩固练： 9．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 待定系数法求双曲线的标准方程知识点04 知识点速记： 待定系数法求双曲线方程的设法： ①焦点在轴上，可设标准方程为； ②焦点在轴上，可设标准方程为； 若无法判断焦点在那个轴上，可设为：（）； 题型巩固练： 12．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·河北·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 14．（24-25高二上·新疆·阶段检测）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线方程. 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 由双曲线的方程求a,b,c知识点05 知识点速记： 由双曲线的方程求a,b,c，首先需要将方程化为标准形式，然后根据系数直接读取数值，并利用关系式求c。 题型巩固练： 16．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 17．（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 18．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为______． 根据方程表示双曲线求参数的范围知识点06 知识点速记： 方程表示双曲线的条件为； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为。 题型巩固练： 19．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 20．（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 22．（多选）（25-26高二上·广东·期中）已知曲线：，则（   ） A．可能是椭圆 B．不可能是双曲线 C．不可能是圆 D．可能是两条直线 双曲线的焦点三角形知识点07 知识点速记： 焦点三角形的有关结论： 1.面积公式：面积，其中；当时，； 2.边长差时定值：由双曲线定义知； 【注】解决焦点三角形问题时往往需要用到余弦定理。 题型巩固练： 23．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 A．14 B．12 C．10 D．8 25．（2025·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 26．（25-26高二上·北京西城·期中）双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 27．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是_______． 双曲线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 知识点速记： 解题思路: 1. 利用双曲线定义转化：若题目设计一个焦点和另一个定点，常利用定义将转化为（为另一焦点），从而将问题转化为求的最值。 2. 利用三点共线求最值。 题型巩固练： 28．（2023·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 29．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 30．（24-25高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 定义法求点的轨迹方程（双曲线）知识点09 知识点速记： 利用定义法求点的轨迹方程方程（双曲线）首先分析题目中的几何关系，确认动点到两个定点的距离之差是否为常数，且满足这个常数的绝对值小于两个定点间的距离，再利用条件确定，写出方程。 题型巩固练： 31．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为__________. 35．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 直接法求点的轨迹方程（双曲线）知识点10 知识点速记： 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条件对或的限制）； 题型巩固练： 36．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 39．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为______. 1．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2025·贵州安顺·二模）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江金华·阶段检测）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期末）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 8．（多选）（25-26高二上·浙江·期中）已知定圆和定点，点为圆上动点，的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 9．（多选）（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 10．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为__________. 11．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 12．已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 13．（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 14．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 15．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 16．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 1．【转化思想】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线为（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 2．【逻辑推理】（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．【直观想象】（2026·山东泰安·模拟预测）已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（   ） A． B． C． D．-2 4．【知识融合】（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 5．【开放题】（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的的值___________． 6．【数学运算】（25-26高二下·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    7．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为________. 8．【数学运算】（25-26高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 4．（2003·江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2005·北京·高考真题）已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2001·全国·高考真题）双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为________． 7．（2003·上海·高考真题）给出问题：分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离.某学生的解答如下： 由，即，得或. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确答案填在横线上. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.1双曲线及其标准方程 参考答案 双曲线的定义知识点01 1．A； 2．B； 3．D； 4．B； 由a,b,c的关系求双曲线的标准方程知识点02 5．D； 6．C； 7. B； 8.； 根据定义求双曲线的标准方程知识点03 9．C； 10．B； 11. D； 待定系数法求双曲线的标准方程知识点04 12． A； 13．； 14.； 15．【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 由双曲线的方程求a,b,c知识点05 16.D； 17．C； 18．-1； 根据方程表示双曲线求参数的范围知识点06 19.D； 20．C； 21.； 22.AD； 双曲线的焦点三角形知识点07 23.D； 24．B； 25.C； 26.2； 27．； 双曲线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 28．C； 29.D； 30.D； 定义法求点的轨迹方程（双曲线）知识点09 31.D； 32．B； 33.A； 34.； 35．； 直接法求点的轨迹方程（双曲线）知识点10 36.B； 37．D； 38.； 1．D； 2．C； 3．D； 4．B； 5．C； 6．D ； 7.CD ； 8.ABC； 9． BD； 10．4； 11.； 12.1； 13．【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得：，解得，因，不合题意，舍去； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得，解得，符合题意， 此时椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为. （2）依题意，设所求双曲线为（，）. 因两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立，解得. 故所求的双曲线方程为. 14．【答案】(1)；(2). 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 15．【答案】(1)（或）；(2)（i）；（ii）3 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    16.【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 1． B； 2．A； 3. C ； 4.B； 5.2（答案不唯一）； 6．； 7.3； 8. 1． A； 2．A； 3.B； 4.D； 5.D； 6.； 7.【答案】学生的解答不正确，. 【详解】学生的解答不正确，. 理由如下： 由双曲线的定义知，，即. 正负号的取舍取决于点的位置是在双曲线的左支上还是右支上. 因为点到左焦点的距离为，所以点只能在双曲线的左支上. 所以. 故答案为：学生的解答不正确，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2.1双曲线及其标准方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 双曲线的定义 知识点02 由a,b,c的关系求双曲线方程 知识点03 根据定义求双曲线方程 知识点04 待定系数法求双曲线方程 知识点05 由双曲线的方程求a,b,c 知识点06 根据方程表示双曲线求参数的范围 知识点07 双曲线的焦点三角形 知识点08 双曲线上的点到焦点和定点的距离和、差的最值问题 知识点09 定义法求点的轨迹方程（双曲线） 知识点10 直接法求点的轨迹方程（双曲线） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 双曲线的定义知识点01 知识点速记： 双曲线的定义 平面内与两个定点，的距离差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫双曲线．其数学表达式：集合，，其中，为常数且，． （1）若，则集合为双曲线； （2）若，则集合为两条射线； （3）若，则集合为空集． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（25-26高二上·江西萍乡·期中）方程的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，点， 则，， ∴， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹为双曲线，焦点为，， ∴，，，则， ∴动点的轨迹为双曲线方程为：. 故选：B. 3．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 【答案】D 【详解】设点，点， 而方程的几何意义是点到两定点M，N的距离之差为， 即， ∴动点的轨迹是双曲线的一支． 故选：D. 4．（25-26高二上·河北·期中）双曲线的左、右焦点分别是，焦距为10，点是双曲线上一点，且，则（   ） A．1 B．13 C．1或13 D．1或15 【答案】B 【详解】由双曲线的性质知：，从而， 所以双曲线方程为， 故，所以或， 而，不合题意；所以. 故选：B． 由a,b,c的关系求双曲线的标准方程知识点02 知识点速记： 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 a，b，c的关系 【注】求双曲线方程时注意确定双曲线的焦点位置。 题型巩固练： 5．（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）中心在原点，顶点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的中心在原点，顶点在轴上，所以双曲线的焦点在轴上， 又因为双曲线的一个焦点在直线上，令，得， 所以，又，所以等轴双曲线的方程为. 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知双曲线的焦距为6，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【详解】由题意可知，所以. 故选：C 7．已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆，可化为标准方程，可得， 因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以， 又因为双曲线过点，可得，则， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B. 8．已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为__________. 【答案】 【详解】根据题意，椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线中，解得， 所以双曲线的方程为. 根据定义求双曲线的标准方程知识点03 知识点速记： 由双曲线的定义求双曲线的方程，关键是利用双曲线的定义求出，结合已知及求出，写出双曲线的标准方程。 题型巩固练： 9．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 10．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，设点，由双曲线定义知 ，所以， 又，所以， 由题意有，焦点在y轴上， 所以所以双曲线方程为 故选：D. 另解：由题意有，焦点在y轴上， 设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 待定系数法求双曲线的标准方程知识点04 知识点速记： 待定系数法求双曲线方程的设法： ①焦点在轴上，可设标准方程为； ②焦点在轴上，可设标准方程为； 若无法判断焦点在那个轴上，可设为：（）； 题型巩固练： 12．（25-26高二上·天津·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 13．（25-26高二上·河北·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 14．（24-25高二上·新疆·阶段检测）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线方程. 【答案】 【详解】依题意，设所求双曲线为. 又两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立得.故所求双曲线方程为. 15．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 由双曲线的方程求a,b,c知识点05 知识点速记： 由双曲线的方程求a,b,c，首先需要将方程化为标准形式，然后根据系数直接读取数值，并利用关系式求c。 题型巩固练： 16．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知双曲线的一个焦点坐标为，则（   ） A．3 B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 17．（25-26高二上·江苏南通·期末）双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】将双曲线化为标准方程得： 所以双曲线的焦点在轴上，且， 因为双曲线的一个焦点坐标为， 所以，即，解得 故选：C 18．双曲线的一个焦点坐标为，则实数的值为______． 【答案】 【详解】由已知，为双曲线的一个焦点，即焦点在轴上，所以， 由，得，所以， 由，得，解得． 根据方程表示双曲线求参数的范围知识点06 知识点速记： 方程表示双曲线的条件为； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为； 方程表示焦点在轴上的椭圆的条件为。 题型巩固练： 19．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 20．（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C 21．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】 【详解】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 22．（多选）（25-26高二上·广东·期中）已知曲线：，则（   ） A．可能是椭圆 B．不可能是双曲线 C．不可能是圆 D．可能是两条直线 【答案】AD 【详解】当，时，为椭圆，故A正确； 当，时，为双曲线，故B错误； 当时，为圆，故C错误； 当，时，为两条直线，故D正确. 故选：AD. 双曲线的焦点三角形知识点07 知识点速记： 焦点三角形的有关结论： 1.面积公式：面积，其中；当时，； 2.边长差时定值：由双曲线定义知； 【注】解决焦点三角形问题时往往需要用到余弦定理。 题型巩固练： 23．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 24．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    25．（2025·青海海南·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【详解】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C 26．（25-26高二上·北京西城·期中）双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则____________. 【答案】2 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2    27．（24-25高二上·福建福州·期末）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是_______． 【答案】 【详解】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 双曲线上的点到焦点和定点的距离的和、差的最值问题知识点08 知识点速记： 解题思路: 1. 利用双曲线定义转化：若题目设计一个焦点和另一个定点，常利用定义将转化为（为另一焦点），从而将问题转化为求的最值。 2. 利用三点共线求最值。 题型巩固练： 28．（2023·江西赣州·一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线得到,,，左焦点， 设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可. ===. 故选：C. 29．已知，双曲线的左焦点为是双曲线的右支上的动点，则的最大值是（    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，则， 因为， 而，所以， 当三点共线且在之间时等号成立，故的最大值是1． 故选：D． 30．（24-25高二上·江西·阶段检测）已知双曲线:的右焦点为，点P在C的右支上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题知，，，所以， 设双曲线的左焦点为，则，，因为点P在C的右支上， 由双曲线的定义知， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：D. 定义法求点的轨迹方程（双曲线）知识点09 知识点速记： 利用定义法求点的轨迹方程方程（双曲线）首先分析题目中的几何关系，确认动点到两个定点的距离之差是否为常数，且满足这个常数的绝对值小于两个定点间的距离，再利用条件确定，写出方程。 题型巩固练： 31．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 32．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 33．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 圆的圆心为，半径为，由中垂线的性质可得, 所以, 所以点的轨迹方程是双曲线，且，，，， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 34．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知圆，圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】对圆，圆心为；对圆，圆心为. 设动圆的半径为，则，所以点的运动轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 易知，解得； 又，解得； ，所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为： 35．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 直接法求点的轨迹方程（双曲线）知识点10 知识点速记： 直接法：设动点坐标为，根据已知条件列方程，并化简方程得到动点的轨迹方程（注意条件对或的限制）； 题型巩固练： 36．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 39．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 38．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为______. 【答案】 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 1．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点P是它们的一个公共点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为椭圆和双曲线有相同的焦点， 且点P是它们的一个公共点，不妨设点在第一象限， 根据椭圆和双曲线的定义，可得 ， 平方作差，可得，所以. 故选：D. 2．（2025·贵州安顺·二模）已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且， 因为，故在右支上且， 而，故， 由余弦定理可得：， 故选：C. 3．（23-24高二上·浙江金华·阶段检测）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在双曲线中，，， ，， 设双曲线的右焦点为，则， 在双曲线的右支上， ，即， 由题知，圆心，半径，在圆上， ， 则， 当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为， 此时， 的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 5．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 6．（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 7．（多选）（23-24高二上·吉林长春·期末）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 8．（多选）（25-26高二上·浙江·期中）已知定圆和定点，点为圆上动点，的中垂线交直线于点，则点的轨迹可能为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【详解】    ①若与重合，如图1，则点为中点，所以点的轨迹为以为圆心，长度为半径的圆； ②若在圆内时，由中垂线可知，则，即动点到定点与定点距离之和为定值，满足椭圆定义，则点的轨迹为椭圆， ③若在圆上，则的中垂线过点，即点与点重合； ④在圆外，由中垂线可知，则，即动点到定点与定点距离之差的绝对值为定值，满足双曲线的定义，即动点的轨迹为双曲线； 故选：ABC． 9．（多选）（25-26高二上·重庆大足·期中）已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为__________. 【答案】4 【详解】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 故答案为：4 11．（25-26高二上·北京·期末）已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】 【详解】因为双曲线焦点在轴上， 将双曲线方程化为标准方程得， 又因为双曲线焦距为4， 则，解得. 12．已知双曲线：的左、右焦点分别是、，P是右支上的点．若，则的值为______． 【答案】1 【详解】由题可知,所以，， 所以由余弦定理 . 所以. 13．（25-26高二上·江西南昌·期中）（1）求经过和两点的椭圆标准方程； （2）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线标准方程. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得：，解得，因，不合题意，舍去； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为（）， 将两点坐标代入方程可得，解得，符合题意， 此时椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为. （2）依题意，设所求双曲线为（，）. 因两曲线有相同的焦点，所以①. 又点在双曲线上，所以②. 由①②联立，解得. 故所求的双曲线方程为. 14．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为． (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 15．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)（或）；(2)（i）；（ii）3 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    16．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点（不在轴上）． (1)若，求的面积； (2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设，，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理，得， 可得，则的面积． （可用二级结论验证：若为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，则双曲线焦点三角形的面积，其中，此题中，则）． （2）如图所示，，， 设内切圆与轴的切点为与内切圆的切点分别为． 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即． 设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，故，可得． 由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点， 可得，， 解得，， 可得内切圆圆心的横坐标为． 1．【转化思想】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线为（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 【答案】B 【详解】方程即为方程表示： 动点到定点的距离与到定直线的距离的比为5且大于1， 所以其轨迹为双曲线. 故选：B 2．【逻辑推理】（25-26高二上·山西太原·期末）已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示：    当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点， 因为，，故为线段的中点， 所以为等腰三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 此时； 当点在轴左侧时，同理可得， 所以， 故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线， 由题意可得，则，，所以， 因此点的轨迹方程为. 故选：A. 3．【直观想象】（2026·山东泰安·模拟预测）已知双曲线有以下光学性质，如图所示从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线镜面的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的斜率大小为（   ） A． B． C． D．-2 【答案】C 【详解】因为双曲线的离心率为，可得双曲线为等轴双曲线，即有，， 设双曲线的方程为，，则①， 又因为，则，， 由，可得②， ①②联立可得，则， 所以． 4．【知识融合】（25-26高二下·河南洛阳·阶段检测）已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（      ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 5．【开放题】（25-26高二上·云南昆明·阶段检测）方程表示双曲线，写出一个可以满足题意的的值___________． 【答案】2（答案不唯一） 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，即， 所以的取值范围是． 故答案为：（答案不唯一）. 6．【数学运算】（25-26高二下·上海青浦·期末）双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系， 设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 7．（24-25高二上·江苏常州·期末）如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为________. 【答案】3 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因为， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 8．【数学运算】（25-26高二上·浙江杭州·期末）设双曲线的左右焦点分别为，，离心率为2，，是右支上两点，且满足，记，的内切圆半径分别为，，则__________． 【答案】 【详解】双曲线离心率，故，得，， 右焦点，，双曲线方程可化为， 设，则，，， 由​得即， 设直线，代入双曲线方程， 整理得，由韦达定理 ​，​， 因为直线与双曲线交于右支，所以即， 结合​，代入得： ​联立解得​， 不妨令，则，， 所以， 所以，，， 则， ， . 1．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 2．（2020·全国III卷·高考真题）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 3．（2020·全国I卷·高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 4．（2003·江苏·高考真题）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 5．（2005·北京·高考真题）已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点，且，，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由已知得，，又，，又，，双曲线的标准方程为. 故选：D 6．（2001·全国·高考真题）双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为________． 【答案】 【详解】由双曲线的定义得， 平方得， 又因为， 所以由勾股定理得， 代入解得， 因为,所以， 所以点到轴的距离为， 7．（2003·上海·高考真题）给出问题：分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，若点到焦点的距离等于9，求点到焦点的距离.某学生的解答如下： 由，即，得或. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确答案填在横线上. 【答案】学生的解答不正确，. 【详解】学生的解答不正确，. 理由如下： 由双曲线的定义知，，即. 正负号的取舍取决于点的位置是在双曲线的左支上还是右支上. 因为点到左焦点的距离为，所以点只能在双曲线的左支上. 所以. 故答案为：学生的解答不正确，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $