2.7 有理数的混合运算（分层作业18题）-《典例全解·题型通关》 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算，通过工具操作、游戏化运算、新定义迁移及实际建模，构建从基础到综合的知识逻辑，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算应用|选择1、9|科学计算器操作、按键纠错|结合符号意识，巩固运算顺序| |游戏与规律探究|选择2、3、填空12|24点游戏、冰雹猜想、类比推理|通过情境化问题发展推理意识| |新定义与转换|填空7、10|自定义运算、数值转换机|抽象数学符号，提升模型意识| |实际情境应用|解答18|粮食节约测算|联系生活实际，强化应用意识|

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.7 有理数的混合运算（分层作业18题） 一、选择题 1．使用科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为（     ） A． B． C． D． 2．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 3．在数学中，有一个著名的“冰雹猜想”（又称Collatz猜想），它定义了一种运算：对于正整数n，如果n是偶数，则将它变为；如果n是奇数，则将它变为；如此重复运算，最终都会得到1．定义从正整数n开始到第一次得到1的运算次数叫做n的“冰雹步数”．例如：从5开始，运算过程为：5→16→8→4→2→1共进行了5次运算，则5的“冰雹步数”为5．那么，以下四个数中，冰雹步数最大的是（   ） A．3 B．6 C．13 D．20 4．下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 5．有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 6．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 8．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 9．小明使用计算器时，按顺序按了“4”“”“3”“”四个按键，但他的计算器显示屏坏了，小明运算的结果应该为_____． 10．如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 11．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 12．求的值， 解法：令，则， 因此，所以． 仿照以上推理，计算的结果为______． 三、解答题 13．计算： （1）； （2） 14．利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 15．按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 16．在一次数学课上，小明学习了有理数的混合运算，回家后，他拿出笔记本复习，发现这样一道计算题：，“”处的数字被钢笔水污染了，小明查看计算用的草稿，发现他在计算时误把除以，抄成了乘以，得到的结果是35． （1）请计算出“”处的数字． （2）请计算出这道题的正确结果． 17．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 （1）若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； （2）若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 18．“一粥一饭当思来处不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克． （1）一粒大米重约多少克？ （2）按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，则一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ （3）若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少元（用科学记数法表示）？ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.7 有理数的混合运算（分层作业18题） 一、选择题 1．使用科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算器计算含有乘方的有理数的混合运算，掌握计算器的计算方法，含有乘方的有理数的混合运算法则是关键． 根据图示得到，根据乘方的混合运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， 故选：B． 2．小新玩“24 点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是 24 或－24．小新已经抽到前3 张卡片上的数字分别是，若再从下列 4 张中抽出 1 张，则其中不能与前 3 张算出“24 点”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用运算符号将四个数字连接，使其结果为24或-24，即可得出答案. 【详解】A：（5-2）×8×（-1）=-24，故A错误； B：（8-3）×5+（-1）=24，故B错误； C：（8-4）×[5-（-1）]=24，故C错误； D：无法组成24点，故D正确； 故答案选择：D. 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，需要熟练掌握有理数的运算法则. 3．在数学中，有一个著名的“冰雹猜想”（又称Collatz猜想），它定义了一种运算：对于正整数n，如果n是偶数，则将它变为；如果n是奇数，则将它变为；如此重复运算，最终都会得到1．定义从正整数n开始到第一次得到1的运算次数叫做n的“冰雹步数”．例如：从5开始，运算过程为：5→16→8→4→2→1共进行了5次运算，则5的“冰雹步数”为5．那么，以下四个数中，冰雹步数最大的是（   ） A．3 B．6 C．13 D．20 【答案】C 【分析】本题考查流程图与有理数的计算，计算每个选项的冰雹步数（即从n开始按规则运算到1的次数），并比较大小即可． 【详解】解：从开始，运算过程为：共进行了7次运算，则3的“冰雹步数”为7． 从开始，运算过程为：共进行了8次运算，则6的“冰雹步数”为8． 从开始，运算过程为：共进行了9次运算，则13的“冰雹步数”为9． 从开始，运算过程为：共进行了7次运算，则20的“冰雹步数”为7． ∴冰雹步数最大的是13， 故选：C． 4．下列四个算式中，值与的值最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．根据有理数混合运算的运算法则计算判断即可． 【详解】解： ， 接近， 非常接近， 的值最接近的是， 故选：C 5．有一列数，任意相邻的三个数中，第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差．例如三个数依次为m、n、p，则．若这列数为，a，，b，…，则第6个数为（　　） A．114 B．128 C．56 D．42 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． 根据题目给出的数列规则，先通过已知的前三个数求出a的值，再依次求出第四、第五、第六个数，利用相邻三个数的关系逐步推导即可． 【详解】解：∵数列中任意相邻三个数满足第三个数等于第一个数的平方与第二个数的差， 且前三个数为，a， ∴， 即 解得 由a、、b的关系得： ∴第五个数为 则第六个数为， ∴第6个数为． 故选：B． 6．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 二、填空题 7．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 8．我们常用的数是十进制数，如十进制中的数，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，而在电子计算机中用的二进制的数只用两个数码：0和1，如果二进制中的等于十进制的11，二进制中的数等于十进制的13，那么二进制中的数转换为十进制的数是_____． 【答案】5 【分析】根据题目给出的二进制转十进制的规则，将二进制数按位展开后计算乘方与加法，即可得到结果． 【详解】解：根据二进制转十进制的规则展开， 得， 即二进制中的数转换为十进制的数是． 9．小明使用计算器时，按顺序按了“4”“”“3”“”四个按键，但他的计算器显示屏坏了，小明运算的结果应该为_____． 【答案】64 【分析】本题考查计算器，有理数的乘方，根据题意计算即可解答． 【详解】解：由题意得，运算结果应该为． 故答案为：64 10．如图，这是一个数值转换机，图中“■”遮去的是“”“”“”“”四个运算符号中的一个．若输入x的值为3，则输出的结果是4；若输入x的值为15，则输出的结果是________． 【答案】220 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据数值转换机求得图中“■”遮去的符号，然后列式计算即可． 【详解】解：若输入的值为3， 则， 而输出的结果是4， 那么， 即图中“■”遮去的符号是“”， 若输入的值为15， 那么． 故答案为：220 ． 11．如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 12．求的值， 解法：令，则， 因此，所以． 仿照以上推理，计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． 仿照给定解法，设和为S，乘以7后相减，利用错位相减法求解即可． 【详解】解：设， 则， 两式相减得， 即， ∴． 故答案为：． 三、解答题 13．计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．利用计算器进行如下计算： 任意写出一个正整数（例如3708），求出它的各位数字的平方和（）：再对这个平方和求出各位数字的平方和……，如此继续下去．你能发现什么规律？ 【答案】任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 【分析】先计算出前15次的各项数字的平方和，找出规律求解． 【详解】解：对正整数1，可知各位数字的平方和恒为1； 对正整数205， 第1次求出它的各位数字的平方和： ， 第2次求出它的各位数字的平方和：， 第3次求出它的各位数字的平方和：， 第4次求出它的各位数字的平方和：， 第5次求出它的各位数字的平方和：， 第6次求出它的各位数字的平方和：， 第7次求出它的各位数字的平方和：， 第8次求出它的各位数字的平方和： = 16， 第9次求出它的各位数字的平方和：， 第10次求出它的各位数字的平方和：， 第11次求出它的各位数字的平方和：， …； ∴从第三次操作开始，序列进入循环：， 对正整数3708， 第1次求出它的各位数字的平方和：； 第2次求出它的各位数字的平方和：； 第3次求出它的各位数字的平方和：81； 第4次求出它的各位数字的平方和：； 第5次求出它的各位数字的平方和：； 第6次求出它的各位数字的平方和：； 第7次求出它的各位数字的平方和：； 第8次求出它的各位数字的平方和：； 第9次求出它的各位数字的平方和：； 第10次求出它的各位数字的平方和：； 第11次求出它的各位数字的平方和：； 第12次求出它的各位数字的平方和：4； 第13次求出它的各位数字的平方和：16； 第14次求出它的各位数字的平方和：； 第15次求出它的各位数字的平方和：； …； 从第6次开始，结果为37、58、89、145、42、20、4、16不断地重复循环出现； 综上所述，任意正整数反复计算各位数字的平方和，最终只会出现两种结果： （1）最终得到1，之后不断以1循环； （2）最终进入循环，无其他情况． 15．按下列程序进行计算：第一次输入的数是20，如果结果不大于100，就把结果作为输入的数再进行第二次计算，直到符合要求为止．请把每次计算的结果填在下面的表中． 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 … 【答案】-40；80；-160；320 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 根据题中给出的运算程序分别计算即可． 【详解】解：第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 计算次序 1 2 3 4 … 计算结果 80 320 … 16．在一次数学课上，小明学习了有理数的混合运算，回家后，他拿出笔记本复习，发现这样一道计算题：，“”处的数字被钢笔水污染了，小明查看计算用的草稿，发现他在计算时误把除以，抄成了乘以，得到的结果是35． （1）请计算出“”处的数字． （2）请计算出这道题的正确结果． 【答案】（1）28 （2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 17．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请按要求完成下列问题： 1 2 （1）若从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，则运算结果的最小值是______； （2）若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式，使四个数字的计算结果为24或． 【答案】（1） （2）和（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及24点，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简卡片上的数，再选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可． （2）从化简后的数中选取4张，通过四则运算（含括号）组合，构造结果为24或的运算式． 【详解】（1）解：，，，，， 因为上面5个数都是整数， 所以要从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字进行四则运算，运算结果的最小，则应当选择异号两数相乘，且绝对值较大的两数即可，与， 运算结果的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， 故算式可以为：和（答案不唯一）． 18．“一粥一饭当思来处不易”，勤俭节约是中华民族的传统美德，一粒大米虽然微不足道，但聚少成多，数量大了也是非常可观的．为了让同学们体会到节约爱护每一粒粮食的重要性，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米重约10克． （1）一粒大米重约多少克？ （2）按14亿人口，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，则一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ （3）若把（2）中节约的大米卖成钱，按5元/千克计算，则大约可卖得多少元（用科学记数法表示）？ 【答案】（1）0.02克 （2）千克 （3）元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意列出算式进行计算． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）用大米的质量乘以单价求出结果即可． 【详解】（1）解： （克）． 答：一粒大米重约0.02克； （2）解：（千克）． 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）． 答：大约可卖得元． 学科网（北京）股份有限公司 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