3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 题型一：求共焦点的双曲线方程 1．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 3．已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 5．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 题型二：求双曲线的中点弦方程 1．已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 2．已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 3．已知双曲线．若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 4．设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 5．已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 题型三：直接法求轨迹方程 1．已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 4．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，点的轨迹方程； 5．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 题型一：求弦长 1．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 2．已知双曲线C：（，）的实轴长为，一个焦点的坐标为． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为2的直线l交双曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程 3．已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于两点，求弦长. 4．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 5．双曲线的中心在原点，焦点在轴上.已知的实轴长为，焦距为， （1）求双曲线的方程 （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求 题型二：直线与双曲线的位置关系问题 1．直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 2．已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 5．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 6．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 题型三：双曲线的简单应用 1．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ． 2．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 3．3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于 的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（    ）． A．双纽线关于原点中心对称； B．； C．双纽线上满足的点有两个； D．的最大值为. 5．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于、、、四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 1．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 3．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 4．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 5．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 6．已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第2课时） 题型一：求共焦点的双曲线方程 1．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,得到c相等，构造方程求出即可. 【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即， 因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距， 又因为双曲线满足，即， 又由，即，解得，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 2．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可. 【详解】可化为，其焦点为和， 所以双曲线焦点为和，即， 故设双曲线方程为， 因其过点，代入可得，解得或（舍去）， 故双曲线的方程为. 故答案为:. 3．已知双曲线与双曲线有相同的焦点.则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个双曲线有相同的焦点，由，得到双曲线的方程求解. 【详解】由，得， 由题得， 解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：C. 4．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3， 又双曲线C：=1的离心率为， 所以，即a=2， 所以b=， 故所求的双曲线方程为=1. 故选：B. 5．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解． 【详解】解：设双曲线方程为 ，将点代入， 即，解得或（舍去）， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 题型二：求双曲线的中点弦方程 1．已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 2．已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 3．已知双曲线．若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】 【分析】利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可. 【详解】设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即. 4．设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【分析】设，通过点差法即可求解； 【详解】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1 5．已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可. 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故答案为：. 题型三：直接法求轨迹方程 1．已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率公式即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：D 2．已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解. 【详解】设， 则， 则由得：， 化简得：， 即点的轨迹是， 故选：C 3．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是．求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状． 【答案】点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 【分析】设，根据斜率之积是即可得出方程，判定形状. 【详解】设，因为， 所以，整理得， 故点M的轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点. 4．点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，点的轨迹方程； 【答案】 【分析】根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程； 【详解】（由动点与点之间的距离和到直线的距离的比值为， 可得，整理得，即曲线的方程为. 5．在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，,由题意可得，用截距式分别表示出直线、的方程，再分别用表示出，代入，即可得M点的方程，最后再验证时的情况，即可得答案. 【详解】设，，． 因为，所以． 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程为． 已知，，则直线的方程为． 因为是和的交点， 所以的坐标满足和的方程． 对于直线的方程， 用表示出,得． 对于直线的方程， 用表示出,得． 因为，所以，即． 当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 因此所求轨迹方程为． 故答案为： 题型一：求弦长 1．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 2．已知双曲线C：（，）的实轴长为，一个焦点的坐标为． (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为2的直线l交双曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据待定系数法求双曲线方程，由题意可知，，即可求出b，进而得到双曲线方程； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，即可求出参数m，进而得到直线方程. 【详解】（1）解：由得，又， 所以， 则双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，，， 由，得， 所以，， 且，得， 则弦长 ， 解得，符合， 所以直线的方程为或 即或. 3．已知焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线交于两点，求弦长. 【答案】（1）；（2）8. 【分析】（1）根据双曲线的长轴、焦距可得；，再由即可求解. （2）将直线与双曲线方程联立，再利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）焦点在轴上的双曲线的实轴长为，焦距为， 则，， 所以，， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）联立方程 ，消整理可得， 设，， 则，， 所以 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4．已知双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为的直线l与双曲线交于A，B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知得，且，再结合求出，进而可得双曲线的方程； （2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果. 【详解】（1）由双曲线的焦距为6，且虚轴长是实轴长的倍. 得，且，又， 解得, 所以， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为， 设， 由，得， 所以， 所以.    5．双曲线的中心在原点，焦点在轴上.已知的实轴长为，焦距为， （1）求双曲线的方程 （2）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意可知，从而可求出，再结合求出，进而可得双曲线的方程； （2）由题意可得直线的方程为，设，然后将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，再利用弦长公式可得结果 【详解】解：（1）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线的实轴长为，焦距为， 所以，得， 所以， 所以双曲线方程为， （2）由（1）可知双曲线的右焦点为，所以直线的方程为， 设， 由，得， 所以， 所以 题型二：直线与双曲线的位置关系问题 1．直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B 2．已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定双曲线的右顶点，再分垂直轴、与轴不垂直两种情况讨论，当与轴不垂直时，可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，再分、两种情况讨论，即可得解． 【详解】解：根据双曲线方程可知 右顶点为，使与有且只有一个公共点的情况为： ①当垂直轴时，此时过点的直线方程为，与双曲线只有一个公共点， ②当与轴不垂直时，可设直线方程为 联立方程可得 当即时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点， 当时，，整理可得即 故选：D 3．过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【详解】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B 4．已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数. 【详解】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线. 故选：C 5．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 6．已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 题型三：双曲线的简单应用 1．祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．    【答案】 【分析】由直线，其中，分别联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解 【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为， 由直线，其中，    联立方程组，解得， 联立方程组，解得， 所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为， 根据“幂势既同，则积不容异”， 可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同， 所以该几何体的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知旋转面的面积为，可得该几何体的体积与底面面积为，高为3的圆柱的体积相同, 2．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以 ，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 3．3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点， 以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点. 由题意可知，设，则， 设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为， 所以，所以方程可化简为， 将和的坐标代入式可得，解得， 则笔筒最细处的直径为. 故选：C. 4．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于 的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有（    ）． A．双纽线关于原点中心对称； B．； C．双纽线上满足的点有两个； D．的最大值为. 【答案】ABD 【分析】对于A，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于B，根据三角形的等面积法分析判断，对于C，由题意得，从而可得点在轴上，进行可判断，对于D，由向量的性质结合余弦定理分析判断. 【详解】对于A，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以A正确， 对于B，设 ∵，， ∴， ∴，∴，故B正确； 对于C，由知在的垂直平分线（方程为）上 将代入得 即，解得， ∴这样的点只有一个，故C错误； 对于D，因为， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 5．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立双曲线标准方程下的直角坐标系，得双曲线方程为，利用实轴长为20，（），（）在双曲线上，且，可求得，得离心率． 【详解】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在轴，如图，双曲线方程为， 则，， （），（）在双曲线上，且， 由，即，，， 由，得，所以，，， 离心率为． 故选：B． 6．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于、、、四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点、、、分别为第一、二、三、四象限内的点，写出双曲线的渐近线方程，将渐近线方程与圆的方程联立，求出点、、、的坐标，利用矩形的面积公式可求得的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆的方程为， 联立可得或， 不妨设点、、、分别为第一、二、三、四象限内的点， 则、、、 ， 易知四边形为矩形，且，， 故四边形的面积为，可得， 因此，该双曲线的方程为， 故选：B. 1．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 2．（多选）双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 【分析】由平行四边形的性质判断A；由且结合在渐近线上可求的坐标，从而可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得，计算后可判断C的正误，或者利用并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出面积后可判断D的正误. 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 3．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 4．已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率. 【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，. 因为，所以也是的中点.设， 由双曲线的定义得，所以， 在中，由，得，所以， 在中，由，得. 故答案为：. 5．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 6．已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可. 【详解】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $