3.2.2双曲线的简单几何性质 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“双曲线的简单几何性质”，涵盖标准方程、图形、范围、对称性等核心知识点，通过彗星轨道问题导入，衔接双曲线定义与标准方程，搭建从定义到性质应用的学习支架。 资料以问题驱动激发数学眼光，知识梳理表格对比两种标准方程性质培养数学思维，例题变式分层设计提升数学语言表达能力，系统归纳位置关系与弦长公式，巩固加练多样化，助力学生构建知识体系，培养逻辑推理与应用意识。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2双曲线 3.2.2双曲线的简单几何性质 学习目标 了解双曲线的的简单几何性质。 问题 彗星沿双曲线轨道掠过太阳系，只会靠近太阳一次而后永不返回。想要解释这一现象，我们需要系统研究双曲线的什么性质？ 一、双曲线的简单几何性质 知识梳理 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 对称性 对称轴： ；对称中心： 顶点 A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x 离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的 ，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的 ，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝ 【例1】双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　) A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0) C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2) 【变式1-1】双曲线=1的渐近线方程为(　　) A. B. C. D. 【变式1-2】已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线说法正确的是（ ） A．顶点坐标不变 B．焦距不变 C．离心率不变 D．渐近线不变 【例2】已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 【例3】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C． D． 【变式3-1】双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．3 【变式3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 2、 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， （1） ，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2） ，设该一元二次方程的判别式为， 若 ，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若 ，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若 ，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 【例4】已知双曲线，直线，在下列条件下，求实数k的取值范围． (1)直线与双曲线有两个公共点； (2)直线与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线与双曲线没有公共点． 【变式4-1】直线与双曲线有且只有一个公共点，那么实数的值是（ ） A． B．或 C．或 D． 【例5】直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 三、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则 【例6】斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________． 【变式6-1】已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ） A． B． C． D． 巩固加练 1.已知双曲线的离心率是，则(　　) A. B.4 C.2 D. 2.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3.已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A为虚轴上的端点，若是顶角为120的等腰三角形，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4.（多选）已知双曲线,则(　　) A.的取值范围是(-6,3) B.的焦点可在轴上也可在轴上 C.的焦距为6 D.的离心率的取值范围为(1,3) 5.（多选）下列曲线中与直线有交点的是（ ） A． B． C． D． 6.直线：过双曲线一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_____________. 7.记双曲线的离心率为,写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值:　　　　　. 8.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 9.已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.2双曲线 3.2.2双曲线的简单几何性质 学习目标 了解双曲线的的简单几何性质。 问题 彗星沿双曲线轨道掠过太阳系，只会靠近太阳一次而后永不返回。想要解释这一现象，我们需要系统研究双曲线的什么性质？ 参考答案 需要系统研究双曲线范围、顶点、渐近线等几何性质；双曲线是开放曲线，不存在闭合轨道，因此彗星仅能抵达近日点一次，之后持续远离，不再返回。 一、双曲线的简单几何性质 知识梳理 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图　形 性　质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【例1】双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　) A.(－，0)，(，0) B.(－2，0)，(2，0) C.(0，－)，(0，) D.(0，－2)，(0，2) 【答案】B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0). 【变式1-1】双曲线=1的渐近线方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C　 【解析】由方程=1,知,所以渐近线方程为.故选C. 【变式1-2】已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线说法正确的是（ ） A．顶点坐标不变 B．焦距不变 C．离心率不变 D．渐近线不变 【答案】D 【解析】①若，则双曲线的标准方程为， 顶点坐标为，焦距为， 离心率为，渐近线方程为； ②若，则双曲线的标准方程为， 顶点坐标为，焦距为， 离心率为，渐近线方程为. 因此，不论怎么变化，双曲线的渐近线不变.故选：D. 【例2】已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 【答案】A 【解析】 由双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠1),又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程为=1. 【例3】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】因双曲线 的焦点在轴上，由其渐近线方程，可得 【变式3-1】双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】设双曲线的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性可得， 由双曲线的定义可得 所以 在中，， 结合，可得， 所以即， 在中， 即， 所以，则，故选：C 【变式3-2】已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 2、 直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， （1）当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 【例4】已知双曲线，直线，在下列条件下，求实数k的取值范围． (1)直线与双曲线有两个公共点； (2)直线与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线与双曲线没有公共点． 【答案】B 【解析】联立消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*) (1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点． (2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)． ①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点． ②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点． ③即k＜－，或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点． 综上所述，当－＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1，或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k＜－，或k＞时，直线与双曲线没有公共点． 【变式4-1】直线与双曲线有且只有一个公共点，那么实数的值是（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】联立，得①.当，即时，方程①化为一次方程，直线与双曲线有且只有一个交点；当，即时，要使直线与双曲线有且只有一个交点，则方程①有两个相等的实数根， 即，解得：.综上，使直线与双曲线有且只有一个交点的实数的值是或. 【例5】直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，求离心率e． 【答案】. 【解析】联立，得，设，， 则，解得. 所以，离心率. 三、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（） 【例6】斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________． 【答案】y＝2x± 【解析】 设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0. 故x1＋x2＝－m，①x1x2＝.②由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.③ 把①②代入③，解得m＝±.∴直线l的方程为y＝2x±. 【变式6-1】已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：设，则， 所以，解得，则，.弦长|MN|.故选：D. 巩固加练 1.已知双曲线的离心率是，则(　　) A. B.4 C.2 D. 【答案】D 【解析】由双曲线方程，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝＝＝1＋.结合，解得. 2.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的离心率为，即 ，所以 ，则 ，故C的渐近线方程为.故选：D. 3.已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A为虚轴上的端点，若是顶角为120的等腰三角形，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设原点为O，由是顶角为的等腰三角形，可， ，，，故C的渐近线方程为.故选：A. 4.（多选）已知双曲线,则(　　) A.的取值范围是(-6,3) B.的焦点可在轴上也可在轴上 C.的焦距为6 D.的离心率的取值范围为(1,3) 【答案】AC 【解析】 =1表示双曲线,∴,解得,故A正确;∵,∴C的焦点只能在x轴上,故B错误;设C的半焦距为即C的焦距为2c=6,故C正确;离心率∴的取值范围是,故D错误.故选AC 5.（多选）下列曲线中与直线有交点的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A,直线和的斜率都是﹣2，所以两直线平行，不可能有交点． 对于B,由，得，，所以直线与B中的曲线有交点． 对于C,由，得，，所以直线与C中的曲线有交点． 对于D,由，得，，所以直线与D中的曲线有交点． 故选：BCD 6.直线：过双曲线一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_____________. 【答案】－＝1 【解析】由题意得一个焦点为，，又，所以＝5，＝20，所以双曲线方程为－＝1. 7.记双曲线的离心率为,写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值:　　　　　. 【答案】2(答案不唯一,只要1e即可)　 【解析】由题意知,双曲线的渐近线方程为要使直线与双曲线无公共点,只需02即可.由02,得04,所以1e2≤5,故1e 8.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，求和的取值范围． 【答案】， 【解析】设椭圆和双曲线的焦半径分别为，由题意得双曲线的渐近线方程为， 所以，则， 所以， 9.已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ 【答案】不能，证明见解析. 【解析】当直线垂直轴时，因为过点，所以直线方程为=1， 又双曲线，右顶点为（1,0）在直线上 所以直线与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线不垂直轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 将直线与双曲线联立，可得， ，故方程无解 所以不存在这样的直线， 综上，点P不能是线段AB的中点. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $