3.2.1双曲线定义及其标准方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1　双曲线及其标准方程 【学习目标】 1. 理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程的推导. 2. 理解双曲线的标准方程与焦点的位置关系. 3. 会用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学习重难点】重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程. 难点：双曲线标准方程的推导. 【知识梳理】 1.双曲线的定义：把平面内与两个定点的距离的 等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距． 说明：平面内到两定点的距离的差的绝对值为非零常数，即，关键词“平面内”． 当时，轨迹是双曲线； 当时，轨迹是分别以为端点的两条射线； 当时，轨迹不存在． 2.双曲线的标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 的关系 ＝_________ 说明：（1）标准方程的代数特征：方程右边是，左边分子是关于的平方差，并且分母大小关系不确定． （2）若项的系数为正，则焦点在轴上；若项的系数为正，那么焦点在轴上． （3）三个量的关系：标准方程中的两个参数和，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里，与椭圆中相区别，且椭圆中，而双曲线中，大小不确定． 【概念辨析】 1.已知点，动点满足，当为和时，点的轨迹分别是(　 ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 2.已知双曲线，则双曲线的焦点坐标为 . 3.已知是双曲线上一点，是双曲线的左、右焦点，且，那么＝ . 【典例分析】 例1、已知两地相距，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处迟，设声速为. （1）爆炸点在什么样的曲线上？ （2）求（1）中曲线的方程. 例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）两个焦点分别为，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为8； （2）与双曲线有相同的焦点，且过点； （3）过点，且焦点在坐标轴上． 例3、已知分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线左支上的点，且，求的面积． 变式1、若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点到焦点的距离为，求点到焦点的距离． 变式2、若本例中的条件“”变成“”，其他条件不变，求的面积． 【当堂训练】 1．已知双曲线在左支上一点到右焦点的距离为，是线段的中点，为坐标原点，则等于 . 2.（多选题）已知方程表示的曲线为，则下列判断正确的有(　　) A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时， 曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1　双曲线及其标准方程 【学习目标】 1. 理解双曲线的定义,掌握双曲线的标准方程的推导. 2. 理解双曲线的标准方程与焦点的位置关系. 3. 会用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学习重难点】重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程. 难点：双曲线标准方程的推导. 【知识梳理】 1. 双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距． 说明：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即|MF1－MF2|＝2a，关键词“平面内”． 当2a<F1F2时，轨迹是双曲线； 当2a＝F1F2时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线； 当2a>F1F2时，轨迹不存在． 2. 双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c的关系 c2＝_________ 说明： (1) 标准方程的代数特征：方程右边是1，左边分子是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定． (2) 若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (3) a，b，c三个量的关系 标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定． 【概念辨析】 1. 已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　 ) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 解析：选D　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线． 2. 已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　) A．(－，0)，(，0)　　　 B．(－5,0)，(5,0) C．(0，－5)，(0,5) D．(0，－)，(0，) 1. C 【解析】 因为y2项的系数为正，所以焦点在y轴上.根据，得.故选C. 3.已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且PF1＝17，那么PF2＝ . 【解析】 由双曲线的方程－＝1可得a＝8，b＝6，c＝10.由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33. 【典例分析】 例1 已知A,B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s. （1）爆炸点在什么样的曲线上？ （2）求（1）中曲线的方程. 【解】 （1）由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差，可知A,B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A,B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上． （2）如图，建立平面直角坐标系，使A,B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合． 设爆炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|－|PB|＝340×2＝680，即2a＝680，从而a＝340. 又|AB|＝800，所以2c＝800，即c＝400，从而b2＝c2－a2＝44 400.因为|PA|－|PB|＝680>0，所以x>0. 故所求双曲线的方程为－＝1(x>0)． 例2、根据下列条件，求双曲线的标准方程： （1）两个焦点分别为F1(－5, 0), F2(5, 0)，双曲线上的一点P到两个焦点的距离之差的绝对值为8； （2）与双曲线有相同的焦点，且过点(3，2)； （3）过点P，Q，且焦点在坐标轴上． 【解】（1）设双曲线的标准方程为－＝1(a>0, b>0)．由题意,得c＝5, 2a＝8，即a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，故所求双曲线的标准方程为－＝1. （2）方法一：因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20 ①.因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1 ②.由①②得a2＝12，b2＝8，所以双曲线的标准方程为－＝1. 方法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)．因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．所以双曲线的标准方程为－＝1. （3）方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为点P，Q在双曲线上，所以此方程组无解；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为点P，Q在双曲线上，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1. 方法二：设所求双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0，因为点P，Q在此曲线上所以解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 例3、已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，求△F1PF2的面积． 解：由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5， 所以2a＝6,2c＝10. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 变式1、若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离． 解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6， 所以|10－|PF2||＝6，解得|PF2|＝4或|PF2|＝16. 变式2、若本例中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”变成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． 解：由双曲线方程－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6.又|PF1|∶|PF2|＝2∶5，所以|PF2|＝10，|PF1|＝4.因为|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2是等腰三角形．易得PF1边上的高为4，所以S△F1PF2＝×4×4＝8. 【当堂训练】 1．已知双曲线－＝1在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于(　 ) A．4 B．2 C．1 D. 解析：选A　因为双曲线－＝1左支上的点M到右焦点F1的距离为18，所以M到左焦点F2的距离|MF2|＝18－10＝8，N是MF1的中点，O是F1F2的中点，所以|ON|＝|MF2|＝4. 2.（多选题）已知方程表示的曲线为C，则下列判断正确的有(　　) A．当1<t<4时，曲线C表示椭圆 B．当t>4或t<1时， 曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t< D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4 BCD【解析】A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，所以t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，所以1<t<；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则所以t>4.故选BCD. *3. 已知P为双曲线x2－＝1右支上一点，M，N分别是(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________． 解析：双曲线的两个焦点F1(－4,0)，F2(4,0)分别为两圆的圆心，且两圆的半径分别为r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5. 答案：5 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $