1.1.2有理数 分层作业 2026-2027学年华东师大版七年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦有理数概念，分基础巩固、能力提优、压轴拓展三层，通过概念辨析-综合应用-跨情境探究的路径，强化抽象能力、推理意识与应用意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固篇|有理数分类、正负数表示等核心概念|选择填空为主，如“既是正数又是分数”的辨析题，强化数感与符号意识| |能力提优篇|集合关系、分类讨论及概念综合应用|含集合包含关系（W⊂Z⊂Q）、非正有理数分类等题，提升推理意识| |压轴拓展篇|跨情境综合与规律探究|如“数的身份证”分类、余数定义有理数规律题，发展应用意识与创新意识|

华东师大版七年级上册 1.1.2 有理数 分层作业 基础巩固篇 （一）选择题 1. 在下列各数中，既是正数又是分数的是 A． B．0 C．−4 D．6 2. 某冷库温度记录为“零下7 ℃”。若把0 ℃记作0，则该温度用有理数表示为 A．−7 B．7 C．0 D． 3. 下列数中，属于整数的是 A．2.5 B． C．−8 D．35% 4. 下列关于0的说法正确的是 A．0是正数 B．0是负数 C．0是整数 D．0不是有理数 5. 下列小数中，不是有理数的是 A．0.4 B．0.125 C．0.333…（3循环） D．0.101001000100001… 6. 在 −6，，0，1.25，9， 中，整数共有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7. 某商品折扣变化率记为12.5%，这个数按有理数“整数、分数”分类时属于 A．正整数 B．负整数 C．正分数 D．负分数 8. 下列说法正确的是 A．正整数和负整数统称整数 B．整数和分数统称有理数 C．0既是正数又是负数 D．无限小数都不是有理数 （二）填空题 9. 在 −5，，0，1.6，7 中，负分数是________。 10. 写出大于 −3 且小于 2 的所有整数：________________。 11. 45%化成最简分数是________；按有理数分类，它属于________分数。 12. 观察下图，有理数按“整数和分数”分类时，整数可继续分为________、0、________；分数可继续分为________和________。 13. 把 −0.375 化成最简分数为________，因此 −0.375 是________有理数。 14. 在 π，−2，0.6，，0.121212…（12循环）中，有理数共有________个。 15. 0既不是正数，也不是________；0既是非负数，也是________数。 16. 一组海拔相对基准面的记录为 −12 m、0 m、8 m、−2.5 m、 m，其中负整数有________个，正分数有________个。 （三）解答题 17. 把下列各数填入相应集合：−9，0，，−1.4，7，2.75，，20%。 正整数集合；负整数集合；正分数集合；负分数集合。 18. 校园气象站一天内记录了5个“相对标准值”：气温偏差 −3 ℃、气压偏差 0、湿度偏差 2.5%、风速偏差 、能见度偏差 −1.2。请按“正有理数、负有理数、0”分类，并指出其中哪些是分数。 19. 判断下列说法是否正确，并说明理由： （1）所有整数都是有理数； （2）0是最小的正整数； （3）有限小数一定是有理数； （4）无限循环小数是有理数。 20. 按要求写数： （1）写出两个大于 −4 且小于0的整数； （2）写出两个大于0且小于1的分数； （3）写出一个既是非负数又是非正数的数； （4）写出两个写成小数形式但实际属于整数的数。 能力提优篇 （一）选择题 21. 下列各组数中，全部是非正有理数，且既有整数又有分数的一组是 A．−3，0， B．0，2， C．−1，，−4 D．−0.4，，1 22. 设W表示非负整数集合，Z表示整数集合，Q表示有理数集合。下列关系正确的是 A．Q⊂Z⊂W B．W⊂Z⊂Q C．Z⊂W⊂Q D．W=Z=Q 23. 数 −3.00 按有理数分类时应看作 A．负整数 B．负分数 C．正整数 D．0 24. 下列判断：①0%是整数；②是负分数；③2.0是分数；④0.272727…（27循环）是有理数。正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25. 在数集 {−4，，−1，0，，3} 中，同时满足“整数”与“非正数”的数有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 26. a取 −4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4 中的一个数。使 为负整数的a共有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27. 从 {−6，，0，1.5，4} 中删去一个数，使剩下的负数与非负数个数相等。可删去的数共有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28. 下列说法中正确的是 A．非正数就是负数 B．分数一定能写成有限小数 C．任何有理数都可写成两个整数之比 D．无限小数一定不是有理数 （二）填空题 29. 在 −8，−2.5，0，，4，−3.0，60%，π 中，同时满足“有理数且非正数”的有________个。 30. 若整数x满足 < x ≤ ，则x的所有可能值为________________。 31. 0.181818…（18循环）可以写成最简分数________，因此它属于________数。 32. 根据下图，集合W、Z、Q的包含关系可写成：________ ⊂ ________ ⊂ ________。 33. 数集 {−5，，−0.8，0，2} 中负数比非负数多1个。若再加入一个有理数，使两类数个数相等，则新加入的数应是________数。 34. p取 −6，−5，…，5，6 中的整数。若 是非负整数，则p共有________个可能值。 35. 某同学把 −2.0，，25%，−7 分成“整数：−7；分数：−2.0，，25%”。其中被错分的数是________，它应归入________集合。 36. 在 −1.25，0，2，，3.0，40%，−6 中，属于“整数”或“正分数”的数共有________个。 （三）解答题 37. 某学习小组将 −10，0，，−0.45，12，，80%，4.0 分类为： 整数：−10，0，12； 分数：，−0.45，，80%，4.0。 找出错误并改正，说明判断4.0类别的依据。 38. 某数据整理程序给有理数贴三类标签：A“整数”、B“负数”、C“非负数”。现输入 −4，，0，2.0，，−0.25。 （1）分别写出同时带A、B标签的数和同时带A、C标签的数； （2）在这6个数中，哪些数只带B标签？哪些数只带C标签？ （3）再输入一个有理数x，要求x只带C标签且不是整数。写出两个符合条件、表示形式不同的x，并说明理由。 39. 三名同学整理“有理数的分类”时给出下列结论：甲：“写成小数形式的数一定是分数”；乙：“一个数如果既不是正数也不是负数，那么它一定是0”；丙：“整数集合是有理数集合的一部分”。 （1）判断甲的结论，并举一个反例； （2）判断乙的结论，并说明理由； （3）判断丙的结论，并用集合包含关系表示整数集合Z与有理数集合Q的关系。 40. 已知有理数x满足 < x ≤ 。 （1）若x是整数，写出全部可能的x； （2）若x还是非负整数，求所有符合条件的x的和； （3）若x是分数，能否把所有符合条件的x全部列完？请说明理由，并写出三个彼此不同的例子。 压轴拓展篇 综合大题 41. 数学节上有一张“数的身份证”展板，固定写有10个数，另留一个位置给有理数a： 数卡：−12，0，，−1.2，5； 　　　，π，0.272727…（27循环），−3.0，30%。 另一个位置：a（已知a为有理数）。 （1） 不考虑a，分别统计固定10个数中整数、分数、有理数、负有理数和非负有理数的个数； （2）加入a后，要求负有理数与非负有理数个数相等，并且a不是整数。判断a应属于哪一类数，并写出两个表示形式不同的例子； （3）先利用展板中的数反驳“只要写成小数形式就一定是分数”这一说法；再说明若把π换成一个无限循环小数，整数、分数和有理数的个数分别如何变化。 42. 对每个正整数n，按n除以4的余数定义一个有理数aₙ： 当余数为1时，aₙ=；当余数为2时，aₙ=；当余数为3时，aₙ=n；当余数为0时，aₙ=。 （1）写出a₁～a₁₂，并分别指出其中哪些是整数、哪些是分数； （2）判断a₂₀₂₆的正负和“整数/分数”类别，并统计前24项中正整数、负整数、正分数、负分数各有多少项； （3）在n≤60且n除以4余2的项中，找出所有使aₙ成为整数的n；若把这一分支的规则改为aₙ=，其余规则不变，说明前24项四类数量会怎样变化。 参考答案与详解 一、基础巩固篇 1. A > 0，且不是整数，所以是正分数。 2. A “零下”表示低于0，故记作 −7。 3. C −8是负整数；2.5、、35%都可以写成非整数的分数形式。 4. C 0是整数，也是有理数；0既不是正数，也不是负数。 5. D 有限小数和无限循环小数都是有理数；0.101001000100001…中相邻两个1之间的0逐次增加，不能形成循环，因此不是有理数。 6. B 整数为 −6、0、9，共3个。 7. C 12.5%=0.125=，是大于0的分数。 8. B 有理数按“整数和分数”分类。A遗漏了0；C错误；D错误，因为无限循环小数属于有理数。 9. −5是负整数；是小于0的分数。 10. −2，−1，0，1 满足 −3 < x < 2 的整数依次为 −2、−1、0、1。 11. ；正 45%=0.45==，大于0，所以是正分数。 12. 正整数；负整数；正分数；负分数 整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 13. ；负 −0.375==，所以是负分数，即负有理数。 14. 4 π不是有理数；其余 −2、0.6、、0.121212…（12循环）都是有理数。 15. 负数；非正 0不大于0也不小于0，因此既是非负数，也是非正数。 16. 1；1 负整数只有 −12；正分数只有 。−2.5是负分数，8是正整数。 17. 分类如下： 正整数集合：{7}。 负整数集合：{−9}。 正分数集合：{，2.75，20%}。 负分数集合：{−1.4，}。 说明：0是整数，但既不是正整数也不是负整数，因此不进入上述四个集合。 18. 分类如下： 正有理数：2.5%，。 负有理数：−3，−1.2。 0：气压偏差0。 分数：2.5%、、−1.2。有限小数和百分数都可以化成分数。 19. （1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确。 （1）整数都可以写成“整数÷1”的形式，所以都是有理数。 （2）0不是正数，因此不是正整数。最小的正整数是1。 （3）任何有限小数都能化成分母为10、100、1000等的分数。 （4）无限循环小数可以化成分数，所以是有理数。 20. 答案不唯一，例如： （1）−3，−1。 （2），。 （3）0。因为同时满足“非负”和“非正”的有理数只有0。 （4）2.0，−5.00。它们分别等于整数2、−5。 二、能力提优篇 21. A A中−3、0、都不大于0，且既有整数也有分数。其余各组选项均含正数。 22. B 非负整数是整数的一部分，整数又是有理数的一部分，所以W⊂Z⊂Q。 23. A −3.00=−3，数的类别由数值决定，不由书写形式决定，因此它是负整数。 24. C ①0%=0，是整数，正确；②正确；③2.0=2，是整数，错误；④无限循环小数是有理数，正确。共3个正确。 25. B 整数有−4、−1、0、3；其中非正的是−4、−1、0，共3个。 26. B 要使 为负整数，a必须是负的偶数。在给定范围内a=−4或−2，共2个。 27. C 原集合中负数有−6、，共2个；非负数有0、1.5、4，共3个。要使删去后2=2，只能删去一个非负数，因此有3种。 28. C 有理数的定义正是“可以写成两个整数之比（分母不为0）的数”。A忽略0；B不成立，如为无限循环小数；D不成立，因为无限循环小数是有理数。 29. 4 满足条件的数为−8、−2.5、0、−3.0。π不是有理数；、4、60%均为正数。 30. −2，−1，0，1，2 =−2.5，≈2.33，所以整数x可取−2、−1、0、1、2。 31. ；有理 设x=0.181818…，则100x=18.181818…，两式相减得99x=18，所以x==。 32. W；Z；Q 由图可知W是Z的一部分，Z又是Q的一部分，因此W⊂Z⊂Q。 33. 非负 原来负数有−5、、−0.8，共3个；非负数有0、2，共2个。新增一个非负数后两类均为3个。 34. 3 由 ∈{0，1，2，…}，得p=3k−1。结合−6≤p≤6，k可取0、1、2，因此p=−1、2、5，共3个。 35. −2.0；整数 −2.0=−2，应归入整数集合；与25%都是真正的分数。 36. 5 整数为0、2、3.0、−6，共4个；正分数为40%，共1个；合计5个。 37. 错误在于把4.0分到了分数集合。 正确分类：整数：−10，0，12，4.0；分数：，−0.45，，80%。 依据：4.0与4表示同一个数，4是整数。判断类别看数值，而不是看是否带有小数点。 38. 分析如下： （1）同时带A、B标签：−4；同时带A、C标签：0、2.0。因为2.0=2，是整数且非负。 （2）只带B标签：、−0.25；只带C标签：。 （3）x必须是非负分数，且不能是0（0是整数）。例如 和0.4。二者都大于0且不是整数，因此只带C标签。 39. 三条结论逐一判断： （1）甲错误。反例：2.0写成小数形式，但2.0=2，是整数而不是分数。 （2）乙正确。有理数按正数、0、负数分类；既不是正数也不是负数的数只有0。 （3）丙正确。每个整数都能写成“整数÷1”的形式，所以都是有理数，集合关系为Z⊂Q。 40. 分情况求解： （1）=−2.5，≈2.33，所以整数x为−2、−1、0、1、2。 （2）非负整数为0、1、2，它们的和为3。 （3）不能全部列完，因为区间(，]内有无数个分数。例如 、、 都符合条件。 三、压轴拓展篇 41. 逐问分析： （1）固定10个数中：整数为−12、0、5、−3.0，共4个；分数为 、−1.2、、0.272727…、30%，共5个；π不是有理数，所以有理数共9个。负有理数为−12、−1.2、、−3.0，共4个；非负有理数为0、、5、0.272727…、30%，共5个。 （2）加入前负有理数4个、非负有理数5个，要相等就必须新增1个负有理数。又因a不是整数，所以a必须是负分数。例如 和−0.4。加入后两类各5个。 （3）反例可取−3.0：它写成小数形式，但−3.0=−3，是整数。若把π换成一个无限循环小数，新数属于分数且属于有理数，不属于整数。因此整数仍4个，分数由5个变为6个，有理数由9个变为10个。 42. 逐问分析： （1）a₁=，a₂=，a₃=3，a₄=−1，a₅=，a₆=−2，a₇=7，a₈=−2，a₉=，a₁₀=，a₁₁=11，a₁₂=−3。整数为a₃、a₄、a₆、a₇、a₈、a₁₁、a₁₂；分数为a₁、a₂、a₅、a₉、a₁₀。 （2）2026÷4余2，所以a₂₀₂₆=。2026不能被3整除，故它是负分数。前24项中：余1的6项均为正分数；余3的6项均为正整数；余0的6项均为负整数；余2对应n=2、6、10、14、18、22，其中n=6、18得到负整数，其余4项为负分数。因此正整数6项、负整数8项、正分数6项、负分数4项。 （3）原规则下，余2且aₙ为整数要求n能被3整除，同时n≡2（mod 4），即n≡6（mod 12）。n≤60时，n=6、18、30、42、54。若改为aₙ=，由于余2的n全是偶数，这6项在前24项中全部成为负整数，于是四类数量变为：正整数6项、负整数12项、正分数6项、负分数0项。 华东师大版七年级上册 · 1.1.2 有理数 · 分层训练 学科网（北京）股份有限公司 $