第十三章 三角形 单元复习 导学案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学导学案以“三角形”为核心，围绕分类、三边关系、重要线段、内角和、外角及多边形等知识，设定掌握概念、推导依据、体会思想方法的整体目标。通过前置回顾梳理基础，七个探究模块递进深化，结合对点小练、合作辨析与分层作业，构建从知识理解到应用提升的完整学习路径。 亮点在于“实验猜想-推理论证”的探究设计，如内角和定理通过剪拼过渡到推理证明，培养推理意识；等腰三角形边长求解强调检验三边关系，发展抽象能力。分层作业与易错警示为教师提供教学抓手，助力学生系统掌握知识，提升几何思维与应用能力。

第十三章 三角形 单元复习导学案【解析版】 【复习目标】 1. 掌握三角形按角、按边的分类；掌握三角形三边关系，知道结论推导依据。 2. 识别三角形高、中线、角平分线，理解重心，掌握三种线段在锐角、直角、钝角三角形中的位置特点。 3. 熟记三角形内角和定理，体会两种剪拼实验猜想过渡到推理论证的过程；掌握直角三角形性质与判定。 4. 理解三角形外角定义，会借助内角和定理推导外角两条性质。 5. 掌握多边形、对角线概念；n 边形内角和、多边形外角和公式，理解分割推导思想。 6. 感悟几何研究路径：实验猜想→推理论证得到定理；学会分类讨论、转化、方程思想，规范简单几何证明书写。 复习重点：三角形三边关系；三角形高、中线、角平分线；三角形内角和；三角形外角性质；多边形内角和、外角和。 复习难点：钝角三角形高的识别；等腰三角形分类讨论后检验三边关系；外角综合推理；多边形对角线计算。 【前置回顾】 1. 三角形按角、按边如何分类？ 2. 三角形三边有什么关系？得出该结论的依据是什么？ 3. 什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是重心？它们在锐角、直角、钝角三角形中位置怎样？ 4. 三角形内角和是多少？课本是怎样证明内角和定理的？ 5. 直角三角形的锐角有什么性质？怎样判定直角三角形？ 6. 三角形外角有什么性质？这个性质能否由内角和定理推导出来？ 探究一 ：三角形的分类 1. 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 2. 按边分类：不等边三角形；等腰三角形（等边三角形属于特殊等腰三角形）。 思考：等腰三角形求解边长，算出结果后，必须检验三边关系，舍去不符合题意的解。 【对点小练 】 1. 三角形三内角为 45°、60°、75°，属于锐角三角形。 2. 等腰三角形一边长 6，周长 20，求另外两边：7，7。 探究二：三角形三边关系 1. 三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。 2. 三边关系理论依据：两点之间，线段最短。 简便判定：只需要判断较短两条线段之和大于最长线段，即可判定可以组成三角形。 【对点小练】 1. 下列线段可以组成三角形的是（C） A.2，3，5 B.3，4，8 C.4，5，6 D.2，2，7 2. 三角形两边为 5 和 11，则第三边 x 取值范围：6＜x＜16。 探究三：三角形高、中线、角平分线、重心 1. 中线：连接顶点和对边中点的线段。 ∵AD 是△ABC 的 BC 边上中线，∴BD=DC； 三条中线交点叫重心；中线把三角形分成两个面积相等的三角形。 2. 角平分线：内角平分线和对边相交，顶点与交点之间线段。 ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD。 3. 高：从三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间线段。 ∵AD 是 BC 边上的高，∴AD⊥BC。 思考填空： ①锐角三角形：三条高全部在三角形内部； ②直角三角形：两条高就是它的两条直角边； ③钝角三角形：1 条高在内部，2 条高在外部； 中线、角平分线在所有三角形中都在三角形内部。 【对点小练 3】 1. 三角形三条中线交点叫重心；三条角平分线交点在三角形内部。 2. AD 是△ABC 中线，S△ABD=7，则 S△ABC=14。 探究四：三角形内角和定理 1. 三角形内角和等于 180°。 2. 课本证明思路：受小学两种剪拼启发，作平行线，将三个内角转化为平角完成证明。 【对点小练】 1. △ABC 中∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠C=80°。 探究五：直角三角形性质与判定 1. 性质：直角三角形两个锐角互余；依据：三角形内角和等于 180°。 2. 判定：如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；记作 Rt△ABC。 【对点小练】 1. Rt△ABC，∠C=90°，∠B=36°，∠A=54°。 探究六：三角形外角 1. 定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫外角。 2. 性质 1：三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3. 性质 2：三角形外角大于任意一个与它不相邻的内角。 4. 思考：外角性质可以（填 “可以”“不可以”）由内角和定理推导得到。 5. 每个顶点取一个外角，三角形外角和 = 360°。 【对点小练】 1. 三角形一个外角 121°，一个不相邻内角 54°，另一个不相邻内角 = 67°。 探究七 多边形拓展 1. n 边形，从一个顶点出发，可以作 n−3 条对角线；总对角线条数公式：n (n−3)/2。 2. n 边形内角和公式：(n−2)×180°，推导思路分割成 n−2 个三角形。 3. 任意多边形外角和等于 360°，与边数无关。 【对点小练】 1. 八边形内角和 = 1080°；内角和等于 1260° 是九边形。 2. 多边形每一个外角 45°，多边形边数 = 8。 【合作学习・易错辨析】（对打√，错打 ×） （√）1. 钝角三角形有两条高在三角形外部。 （×）2. 三角形外角等于两个内角的和。 （×）3. 只要 a+b>c，线段 a、b、c 就一定可以构成三角形。 （√）4. 直角三角形两锐角互余依据三角形内角和定理。 （×）5. 多边形外角和随边数增大而增大。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】单元高频易错警示 🔔1. 三边关系理论依据：两点之间，线段最短；等腰三角形做完计算务必检验三边关系。 🔔2. 钝角三角形 2 条高落在外部；中线、角平分线永远全部在三角形内部。 🔔3. 外角性质必须强调 “与它不相邻”，结论可由内角和定理推导。 🔔4. 多边形外角和恒 360°，内角和随 n 变化。 🔔5. 剪拼属于实验猜想，必须推理论证之后才是定理。 课堂笔记： 【课内自测】 如图，∠B=42°，∠A 比∠1 小 10°，∠ACD=64°。求证：AB∥CD。 证明： 在△ABC 中，∠A+∠1+∠B=180° ∵∠1−∠A=10°，∠B=42° ∴{∠1−∠A=10° ∠A+∠1=138° 解得∠A=64° ∵∠ACD=64°，∴∠A=∠ACD ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 【分层单元作业】 A 组【基础过关・必做】 1. 已知三角形两边长为 4 和 7，第三边长为整数，求第三边可以取哪些数值。 解：设第三边为 x，7−4＜x＜7+4，即 3＜x＜11， 整数可取：4，5，6，7，8，9，10。 2. 一个多边形内角和是外角和的 3 倍，求这个多边形的边数。 解：外角和 360°，内角和 3×360°=1080° (n−2)×180°=1080°，解得 n=8，八边形。 B 组【能力提升・选做】 3. 如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是边 AC 上的高。求∠DBC 的度数。 解：设∠A=x，∠C=∠ABC=2x x+2x+2x=180°，解得 x=36°，∠C=72° ∵BD⊥AC，∠BDC=90° ∴∠DBC=180°−90°−72°=18°。 4. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，且 AE，BF 相交于点 O，∠BAC=50°，∠C=70°。求∠DAC 和∠BOA 的度数。 解：∵AD 为高，∠ADC=90°， ∠DAC=180°−90°−70°=20° ∠ABC=180°−50°−70°=60° AE、BF 是角平分线，∠BAO=1/2∠BAC=25°，∠ABO=1/2∠ABC=30° ∠BOA=180°−25°−30°=125°。 答：∠DAC=20°，∠BOA=125°。 C 组【拓广探索・培优】 5. 如图，在△ABC 中，BE，CF 是角平分线，且 BE，CF 相交于点 G。求证： （1）∠BGC=180°−1/2 (∠ABC+∠ACB)； （2）∠BGC=90°+1/2∠A。 证明（1）： ∵BE、CF 平分∠ABC、∠ACB ∴∠GBC=1/2∠ABC，∠GCB=1/2∠ACB 在△BGC 中，内角和 180° ∠BGC=180°−(∠GBC+∠GCB)=180°−1/2 (∠ABC+∠ACB)。 证明（2）： ∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，代入上式 ∠BGC=180°−1/2 (180°−∠A)=180°−90°+1/2∠A=90°+1/2∠A。 6. 如图，连接 AC，AD，BD，BE，CE，求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 证明：利用三角形外角性质，将五角星五个角转化到同一个三角形的三个内角， 依据三角形内角和 180°，可证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 单元复习导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【复习目标】 1. 掌握三角形按角、按边的分类；掌握三角形三边关系，知道结论推导依据。 2. 识别三角形高、中线、角平分线，理解重心，掌握三种线段在锐角、直角、钝角三角形中的位置特点。 3. 熟记三角形内角和定理，体会两种剪拼实验猜想过渡到推理论证的过程；掌握直角三角形性质与判定。 4. 理解三角形外角定义，会借助内角和定理推导外角两条性质。 5. 掌握多边形、对角线概念；n 边形内角和、多边形外角和公式，理解分割推导思想。 6. 感悟几何研究路径：实验猜想→推理论证得到定理；学会分类讨论、转化、方程思想，规范简单几何证明书写。 复习重点：三角形三边关系；三角形高、中线、角平分线；三角形内角和；三角形外角性质；多边形内角和、外角和。 复习难点：钝角三角形高的识别；等腰三角形分类讨论后检验三边关系；外角综合推理；多边形对角线计算。 【前置回顾】 1. 三角形按角、按边如何分类？ 2. 三角形三边有什么关系？得出该结论的依据是什么？ 3. 什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是重心？它们在锐角、直角、钝角三角形中位置怎样？ 4. 三角形内角和是多少？课本是怎样证明内角和定理的？ 5. 直角三角形的锐角有什么性质？怎样判定直角三角形？ 6. 三角形外角有什么性质？这个性质能否由内角和定理推导出来？ 探究一：三角形的分类 1. 按角分类：________三角形、________三角形、________三角形。 2. 按边分类：不等边三角形；________三角形（等边三角形属于特殊等腰三角形）。 思考：等腰三角形求解边长，算出结果后，必须________三边关系，舍去不符合题意的解。 【对点小练】 1. 三角形三内角为 45°、60°、75°，属于________三角形。 2. 等腰三角形一边长 6，周长 20，求另外两边：____________。 探究二：三角形三边关系 1. 三角形两边之和________第三边；两边之差________第三边。 2. 三边关系理论依据：________________。 简便判定：只需要判断________________之和大于最长线段，即可判定可以组成三角形。 【对点小练】 1. 下列线段可以组成三角形的是（） A.2，3，5 B.3，4，8 C.4，5，6 D.2，2，7 2. 三角形两边为 5 和 11，则第三边 x 取值范围：________________。 探究三 ：三角形高、中线、角平分线、重心 1. 中线：连接顶点和对边________的线段。 ∵AD 是△ABC 的 BC 边上中线， ∴ = ； 三条中线交点叫________；中线把三角形分成两个________相等的三角形。 2. 角平分线：内角平分线和对边相交，顶点与交点之间线段。 ∵AD 平分∠BAC， ∴ = 。 3. 高：从三角形顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间线段。 ∵AD 是 BC 边上的高， ∴________。 思考填空：（三角形的高线位置与三角形的关系） ①锐角三角形： ； ②直角三角形： ； ③钝角三角形： ； 中线、角平分线在所有三角形中都在三角形 部。 【对点小练】 1. 三角形三条中线交点叫________；三条角平分线交点在三角形________。 2. AD 是△AB 中线，S△ABD=7，则 S△ABC=________。 探究四 ：三角形内角和定理 1. 三角形内角和等于________。 2. 证明思路：受小学两种剪拼启发，作________，将三个内角转化为________完成证明。 【对点小练】 在△ABC 中∠A:∠B:∠C=2:3:4，则∠C=________。 探究五 ：直角三角形性质与判定 1. 性质：直角三角形两个锐角________；依据：________________。 2. 判定：如果三角形有两个角________，那么这个三角形是直角三角形；记作 Rt△ABC。 【对点小练】 在Rt△ABC，∠C=90°，∠B=36°，∠A=________。 探究六 ：三角形外角 1. 定义：三角形一边与另一边的________组成的角叫外角。 2. 性质 1：三角形外角等于________________________________。 3. 性质 2：三角形外角________任意一个与它不相邻的内角。 4. 思考：外角性质________（填 “可以”“不可以”）由内角和定理推导得到。 5. 每个顶点取一个外角，三角形外角和 =________。 【对点小练】 三角形一个外角 121°，一个不相邻内角 54°，另一个不相邻内角为________。 探究七 多边形拓展 1. n 边形，从一个顶点出发，可以作________条对角线；总对角线条数公式：________________。 2. n 边形内角和公式：________________，推导思路分割成 n−2 个三角形。 3. 任意多边形外角和等于________，与边数无关。 【对点小练】 1. 八边形内角和为________；内角和等于1260° 是____边形。 2. 多边形每一个外角 45°，多边形边数 =________。 【合作学习・易错辨析】（对打√，错打 ×） （）1. 钝角三角形有两条高在三角形外部。 （）2. 三角形外角等于两个内角的和。 （）3. 只要 a+b>c，线段 a、b、c 就一定可以构成三角形。 （）4. 直角三角形两锐角互余依据三角形内角和定理。 （）5. 多边形外角和随边数增大而增大。 小组疑问记录：________________________________________________ 【精讲点拨】单元高频易错警示 🔔1. 三边关系理论依据：两点之间，线段最短；等腰三角形做完计算务必检验三边关系。 🔔2. 钝角三角形 2 条高落在外部；中线、角平分线永远全部在三角形内部。 🔔3. 外角性质必须强调 “与它不相邻”，结论可由内角和定理推导。 🔔4. 多边形外角和恒 360°，内角和随 n 变化。 🔔5. 剪拼属于实验猜想，必须推理论证之后才是定理。 课堂笔记： 【课内自测】 如图，∠B=42°，∠A 比∠1 小 10°，∠ACD=64°。 求证：AB∥CD。 【分层单元作业】 A 组【基础过关】 1. 已知三角形两边长为 4 和 7，第三边长为整数，求第三边可以取哪些数值。 2. 一个多边形内角和是外角和的 3 倍，求这个多边形的边数。 B 组【能力提升・选做】 3. 如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是边 AC 上的高。 求∠DBC 的度数。 4. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE，BF 是角平分线，且 AE，BF 相交于点 O，∠BAC=50°，∠C=70°。 求∠DAC 和∠BOA 的度数。 C 组【拓广探索・培优】 5. 如图，在△ABC 中，BE，CF 是角平分线，且 BE，CF 相交于点 G。求证： （1）∠BGC=180°−(∠ABC+∠ACB)； （2）∠BGC=90°+∠A。 6. 如图，连接 AC，AD，BD，BE，CE，求证∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 学科网（北京）股份有限公司 $