第十三章 三角形（五大考点+三大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学第十三章“三角形”知识清单系统梳理了三角形的概念及分类、三边关系、高线中线角平分线、内角和定理、外角性质等核心内容，搭建了从基础概念认知到性质应用推理的递进式学习支架。 清单通过“知识点+易错点+对点训练”三级架构呈现知识体系，如将“钝角三角形高的画法”列为易错点并标注“外部高需延长对边”，培养学生的几何直观和推理意识。设计“折叠问题多解分类”“角平分线模型公式”等实用工具，不同层次学生可高效掌握，教师可直接用于课堂重难点突破，提升教学针对性。

第十三章 三角形 知识点一 三角形的概念及分类 1. 定义：三条不在同一直线上的线段首尾顺次封闭相接形成三角形，具备 3 个______、3 条______、3 个______。 1. 按角划分 · 锐角三角形：三内角均为______； · 直角三角形：有一个______，剩余两角______； · 钝角三角形：有一个______。 1. 按边划分 · 不等边三角形：三边长度互不相等； · 等腰三角形：两条边______；特殊等腰三角形为等边三角形，三边______，内角均 ______。 知识点二 三角形中三边关系 1. 两条核心不等式： ① 任意两边之和______第三边； ② 任意两边之差______第三边。 1. 取值范围：已知两边长 、 ()，第三边 取值范围：__________________。 1. 用途：判断线段能否组成三角形、求第三边取值、求整数边长。 知识点三 三角形的高线、中线、角平分线 1. 高：过顶点作对边____________，顶点到垂足线段；三条高交于垂心，钝角三角形两条高在形外。 1. 中线：顶点连接对边__________；三条中线交于重心，任意一条中线把三角形分成面积相等两部分。 1. 角平分线：平分三角形____________，交对边；三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。 1. 统一性质：任意三角形都各有三条高、中线、角平分线，且各自交于一点。 知识点四 三角形的内角和定理 1. 核心结论：三角形内角和恒等于____________。 1. 重要推论：直角三角形两个锐角相加等于____________；若三角形两内角互余，则为直角三角形。 1. 常见题型：角度计算、含未知数角度求值、证明角度相等。 知识点五 三角形的外角定义和定理 1. 外角定义：三角形一条边与另一边____________形成的角，每个顶点有一对相等外角。 1. 外角定理 1：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角____________。 1. 外角定理 2：三角形一个外角____________任意一个不相邻的内角。 1. 拓展：三角形三个外角相加总和为____________。 易错点1 画三角形的高线易错问题 易错提醒 一、易错点总结 1. 只会画锐角三角形高，不会画直角、钝角三角形的高。 2. 钝角三角形两条高在三角形外部，学生习惯性画在内部，导致完全错误。 3. 画高不垂直、不标直角符号，没有从顶点出发，随意画线。 4. 混淆“高”与“中线、角平分线”，误画成平分线段或平分角。 二、注意事项总结 1. 高的唯一标准：过顶点、垂直对边（或对边延长线）。 2. 锐角三角形：三条高全在内部；直角三角形：两条高与直角边重合；钝角三角形：钝角两条邻边上的高在外部。 3. 外部高必须先延长对边，再作垂线。 4. 作图必须标注直角符号，保证规范得分。 【对点训练】1．如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题 易错提醒 一、易错点总结 1.折叠题只算一种情况，忽略多解（折叠后顶点可落在三角形内部或外部）。 2.不会利用“折叠前后角度相等”，找不到等量关系。 3.角度推导混乱，乱用内角和、平角、对顶角关系。 4.忽略折叠后产生的重叠角、两倍角关系，计算出错。 二、注意事项总结 1.折叠核心：折叠前后对应角相等，所有重合角度完全一样。 2.遇折叠题型必须分类：落点在内部、落点在外部两种情况，防止漏解。 3.解题固定套路：找相等角 → 利用平角/内角和 → 列方程求解。 4.出现折叠夹角问题，优先使用“两倍关系”快速解题。 【对点训练】2．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题 易错提醒 一、易错点总结 1.混淆内角平分线、外角平分线模型，公式乱用。 2.不会区分“相邻内角、不相邻内角”，外角定理使用错误。 3.多角叠加题型，角度推导逻辑混乱，跳步导致错结果。 4.二级结论记混：内角平分线夹角、内外角平分线夹角公式记错。 二、注意事项总结 1.严格区分：外角只等于两个不相邻内角和，绝不包含相邻内角。 2.角平分线题型优先标出相等小角，设未知数解方程最稳妥。 3.熟记两大必考模型： ① 两内角平分线夹角 = 90^∘+1/2顶角 ② 一内一外平分线夹角 = 1/2顶角 4.综合题先找外角、再找等分角、最后用内角和收尾，步骤不乱、不丢分。 【对点训练】3．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 一、单选题 1．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．如图，已知，点在直线上，点在直线上，点在直线上方，点在的延长线上．若，，，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题 6．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 7．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 8．如图，在中，是的中点，连接，点在上，且，连接，．若的面积为36，则的面积为__________． 9．如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为________． 10．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 三、解答题 11．综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 12．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 13．数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 14．探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 15．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 知识点一 三角形的概念及分类 1. 定义：三条不在同一直线上的线段首尾顺次封闭相接形成三角形，具备 3 个顶点、3 条边、3 个内角。 1. 按角划分 · 锐角三角形：三内角均为锐角； · 直角三角形：有一个直角，剩余两角互余； · 钝角三角形：有一个钝角。 1. 按边划分 · 不等边三角形：三边长度互不相等； · 等腰三角形：两条边相等；特殊等腰三角形为等边三角形，三边相等，内角均 60°。 知识点二 三角形中三边关系 1. 两条核心不等式： ① 任意两边之和大于第三边； ② 任意两边之差小于第三边。 1. 取值范围：已知两边长 、 ()，第三边 取值范围：。 1. 用途：判断线段能否组成三角形、求第三边取值、求整数边长。 知识点三 三角形的高线、中线、角平分线 1. 高：过顶点作对边垂线，顶点到垂足线段；三条高交于垂心，钝角三角形两条高在形外。 1. 中线：顶点连接对边中点；三条中线交于重心，任意一条中线把三角形分成面积相等两部分。 1. 角平分线：平分三角形内角，交对边；三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。 1. 统一性质：任意三角形都各有三条高、中线、角平分线，且各自交于一点。 知识点四 三角形的内角和定理 1. 核心结论：三角形内角和恒等于 。 1. 重要推论：直角三角形两个锐角相加等于 ；若三角形两内角互余，则为直角三角形。 1. 常见题型：角度计算、含未知数角度求值、证明角度相等。 知识点五 三角形的外角定义和定理 1. 外角定义：三角形一条边与另一边延长线形成的角，每个顶点有一对相等外角。 1. 外角定理 1：三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角相加。 1. 外角定理 2：三角形一个外角大于任意一个不相邻的内角。 1. 拓展：三角形三个外角相加总和为 。 易错点1 画三角形的高线易错问题 易错提醒 一、易错点总结 1. 只会画锐角三角形高，不会画直角、钝角三角形的高。 2. 钝角三角形两条高在三角形外部，学生习惯性画在内部，导致完全错误。 3. 画高不垂直、不标直角符号，没有从顶点出发，随意画线。 4. 混淆“高”与“中线、角平分线”，误画成平分线段或平分角。 二、注意事项总结 1. 高的唯一标准：过顶点、垂直对边（或对边延长线）。 2. 锐角三角形：三条高全在内部；直角三角形：两条高与直角边重合；钝角三角形：钝角两条邻边上的高在外部。 3. 外部高必须先延长对边，再作垂线。 4. 作图必须标注直角符号，保证规范得分。 【对点训练】1．如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 易错点2 利用三角形内角和求折叠中的多解问题 易错提醒 一、易错点总结 1.折叠题只算一种情况，忽略多解（折叠后顶点可落在三角形内部或外部）。 2.不会利用“折叠前后角度相等”，找不到等量关系。 3.角度推导混乱，乱用内角和、平角、对顶角关系。 4.忽略折叠后产生的重叠角、两倍角关系，计算出错。 二、注意事项总结 1.折叠核心：折叠前后对应角相等，所有重合角度完全一样。 2.遇折叠题型必须分类：落点在内部、落点在外部两种情况，防止漏解。 3.解题固定套路：找相等角 → 利用平角/内角和 → 列方程求解。 4.出现折叠夹角问题，优先使用“两倍关系”快速解题。 【对点训练】2．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 易错点3 利用三角形内外角与角平分线问题 易错提醒 一、易错点总结 1.混淆内角平分线、外角平分线模型，公式乱用。 2.不会区分“相邻内角、不相邻内角”，外角定理使用错误。 3.多角叠加题型，角度推导逻辑混乱，跳步导致错结果。 4.二级结论记混：内角平分线夹角、内外角平分线夹角公式记错。 二、注意事项总结 1.严格区分：外角只等于两个不相邻内角和，绝不包含相邻内角。 2.角平分线题型优先标出相等小角，设未知数解方程最稳妥。 3.熟记两大必考模型： ① 两内角平分线夹角 = 90^∘+1/2顶角 ② 一内一外平分线夹角 = 1/2顶角 4.综合题先找外角、再找等分角、最后用内角和收尾，步骤不乱、不丢分。 【对点训练】3．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 一、单选题 1．如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． 2．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 3．如图，已知，点在直线上，点在直线上，点在直线上方，点在的延长线上．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，交于点，根据，可设设，，，，利用平行线的性质及三角形外角的性质可得出，再由即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，交于点， ，， 设，，，， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即． 4．如图，把纸片沿着折叠，使点落在四边形内部点处，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得出，，利用平角的定义推导出，从而求出的度数，最后根据三角形内角和定理及求解即可. 【详解】解：∵把纸片沿着折叠，点A落在四边形内部点处， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，且， ∴， ∴． 5．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 二、填空题 6．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出的面积，根据垂线段最短可得当时，有最小值，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴； ∵为上一动点， ∴由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时有， ∵， ∴此时，即的最小值为． 7．如图，已知平行于，是等腰直角三角形，，顶点A，B分别在，上，当时，__________． 【答案】65 【详解】解：如图， ∵平行于， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 8．如图，在中，是的中点，连接，点在上，且，连接，．若的面积为36，则的面积为__________． 【答案】 12 【分析】先根据D是的中点，得出和面积相等，求出的面积；然后根据，利用等高三角形面积比等于底边比，求出的面积． 【详解】解：∵D是的中点， ， ， ∵点E在上，且， ， 和的高相等，均为点C到的距离， ， ． 9．如图，将一块含有角的三角板的两个顶点放在直尺的一组对边上．如果，那么的度数为________． 【答案】 【分析】直尺上下两边互相平行，利用平行线的内错角相等，先求出三角板下方与对应的内错角，再结合等腰直角三角板的角，通过角的差计算出． 【详解】解：直尺的对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，三角板下方与相等的内错角为． 已知三角板含锐角，由角的和差关系： ． 10．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 三、解答题 11．综合与实践：探索三角形角平分线的定义及应用． 【问题情境】学习了三角形角平分线的定义后，同学们展开了探索三角形角平分线的数学活动．“前进”小组得到了一个结论：已知，如图1，若点是和的角平分线的交点，则． 证明如下：，是和的角平分线， ，， ， ， ． 【问题解决】 (1)如图2，若点是外角和的角平分线的交点，“前进”小组的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并证明． 【拓展创新】 (2)如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数． 【答案】(1)“前进”小组的结论不成立，正确结论为， 证明：，是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ∴“前进”小组的结论不成立，正确结论为． (2) 【分析】（1）由角平分线的定义得，，由外角的性质得，，再根据三角形内角和定理即可得出结论； （2）连接，由外角的性质得，，由折叠的性质得：，即可求出的度数，再根据题干的结论，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 由题干的结论得：， ． 12．如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 13．数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) (3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，， ， 当时，； ②由①可知，． （2）解：，，    ．     点是的外角，的角平分线的交点， ，， ，     ． （3）解：， ．     ，， ，     ．     由（2）可知，． ，， ，     ． 14．探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】(1)， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 15．【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $