专题11 指数与指数函数高频考点讲义【14大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数与指数函数核心知识点，系统梳理n次方根定义及性质、分数与实数指数幂运算规则、指数函数概念及图象性质，构建从基础概念到运算应用再到函数性质的完整知识支架。 资料以知识点精讲结合14个高频考点例题，通过辨析、计算等题型培养学生抽象能力与运算推理意识，课中助力教师系统授课，课后学生可通过例题练习巩固知识，有效查漏补缺。

专题11 指数与指数函数高频考点精讲 知识点1：n次方根 1．n次方根的定义 如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．a的n次方根的表示 n a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± 3．根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根据n次方根的意义，可得n＝a． (4)n为奇数时，＝a． n为偶数时，＝|a|＝ 【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． (2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a． 知识点2：分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：＝＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘． 知识点3：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立． 知识点4：无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 知识点5：指数函数的概念 1.一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R． 【注意】指数函数和幂函数的区别： 指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上． 2.判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． 知识点6：指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1　 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1　 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 考点一　根式的化简求值 考点二　指数幂的化简、求值 考点三　指数函数的概念及其求参数 考点四　求指数函数的解析式或求值 考点五　指数型函数的定义域问题 考点六　指数型函数过定点问题 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 考点八　指数函数图像应用 考点九　求指数型函数的单调区间 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 考点十二　求指数型函数的值域或最值 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 考点一　根式的化简求值 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】根据根式的运算法则化简求值即可. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以， 所以. （3）. 2．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 3．（25-26高一上·全国·阶段检测）（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 4．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用指数幂的运算性质，准确计算化简，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算性质，可得. 故选：D. 考点二　指数幂的化简、求值 5．（26-27高一上·全国·课后作业）化简下式：. 【答案】 【详解】 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 . （2）原式 （3）原式. 7．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由，可得， 等式两边同时平方可得：，即， 等式两边同时平方可得：，即， 所以. 8．（25-26高一上·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）应用指数幂的运算性质化简求值； （2）由题设求得，代入目标式化简求值. 【详解】（1）由 ； （2）由，则. 考点三　指数函数的概念及其求参数 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义列式求解即可. 【详解】解：因为函数是指数函数， 所以，，即， 所以. 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知指数函数，则实数的取值范围是________； 【答案】 【分析】根据指数函数的定义求解； 【详解】由已知且，解得且， 所以的范围是. 故答案为： 11．（25-26高一上·甘肃张掖·期中）（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】ACD 【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出的值. 【详解】由指数函数的定义知且，解得. 故选：ACD. 12．（25-26高一·全国·课后作业）若函数(，且)是指数函数，则______，______. 【答案】 -1 2 【分析】根据指数函数定义求解． 【详解】根据指数函数的定义，得解得 故答案为：；2． 考点四　求指数函数的解析式或求值 13．（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 【分析】答题空1：由指数函数过点，先求出底数，进而求出指数函数表达式；答题空2：由指数函数表达式，分别求出，从而求出的值. 【详解】由题知，即，，，. 14．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 15．（25-26高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______． 【答案】 【分析】设出解析式，代入，求出，得到答案. 【详解】设（且），将代入得，解得，负值舍去， 故该指数函数的解析式为. 故答案为： 16．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义及图象经过点求解即可. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：4. 考点五　指数型函数的定义域问题 17．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 18．（25-26高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为___________. 【答案】 【分析】只需解出使原式有意义的x的取值范围即可. 【详解】要使原式有意义需满足，即，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 19．（25-26高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解. 【详解】由题意得 所以， 即， 又指数函数为上的单调减函数， 所以，解得. 故选：C. 20．（25-26高一·全国·单元测试）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】将函数转化为根式形式，根据根式复合型函数定义域范围求解，转化为指数函数不等式，根据其单调性进一步求解. 【详解】因为，所以，则， 即，解得， 故函数的定义域为． 故答案为：. 考点六　指数型函数过定点问题 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，得，此时， 所以函数（且）的图象过定点. 22．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 23．（25-26高一上·河南·期中）已知函数（且）的图象过定点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据指数型函数过定点问题求出函数过定点，进而求解即可. 【详解】令，得，此时， 则函数过定点，即， 所以. 故选：D 24．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数 且)的图象一定过点P，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象过定点求解. 【详解】当，即时，恒成立， 所以函数恒过点． 故答案为： 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 25．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可. 【详解】由指数函数的图象和性质可知：， 若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确； 若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限， 由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除. 故选：C 26．（25-26高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项. 【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则， 且当时，，可得. 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对. 故选：ABD. 27．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据指数函数的图像和函数图像变换结论判断. 【详解】当时，函数的图像由函数的图像向下平移个单位得到， 如图，若，，函数的图像经过第一，二，三象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，三，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第一，二，四象限，与已知矛盾， 若，，函数的图像经过第二，三，四象限，符合条件， 故选：AD. 28．（25-26高一上·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 考点八　指数函数图像应用 29．（2026高三·全国·专题练习）作函数的图象． 【答案】 【详解】函数，该函数在区间上的图象，可由的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到； 在区间上的图象，可由的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到，如图： 30．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 31．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 32．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系下画出和的图像，然后在坐标系中作水平直线即可得解. 【详解】 在同一坐标系下画出和的图像， 从上到下的三条虚线分别可以推出，，， 则ACD选项有可能，B选项不可能. 故选：B 考点九　求指数型函数的单调区间 33．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论. 【详解】函数的定义域为， 令，时，． ，， 函数为增函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增． 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 34．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 35．（25-26高一上·四川德阳·期中）函数的单调增区间为______ . 【答案】 【分析】根据指数函数、二次函数性质，结合复合函数的单调性的求法，求解即可． 【详解】设，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以t在上单调递减，在上单调递增， 又因为在R上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 36．（25-26高一上·重庆·期中）的单调递增区间为_____. 【答案】（或） 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性分析求解. 【详解】因为的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 37．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由指数函数和分段函数的单调性求解即可. 【详解】因为（且）在上单调递减， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 38．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数法求出函数的减区间，结合已知条件可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】令，， 内层函数的减区间为，增区间为，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数的减区间为，增区间为， 因为函数在区间上单调递减，则， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 39．（25-26高一上·广东广州·期中）函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据复合函数单调性的判断方法，可得所以在上单调递减.根据二次函数的单调性判断方法，可求得的取值范围. 【详解】令， 则在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数，且函数在上单调递减，所以在上单调递减. 所以，所以. 所以的取值范围是. 故选：B. 40．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围． 【详解】函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若要满足题意，则，得. 综上，的取值范围是． 故选：C． 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 41．（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将化成，通过比较得到，再利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】 由可得：， ， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以， 所以. 42．（26-27高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数函数的单调性比较大小； （2）根据指数函数的单调性比较大小； （3）借助中间量及指数函数的单调性比较大小. 【详解】（1）由于指数函数在上单调递增，而，所以. （2）因为函数在上单调递减，而，所以， （3）因为在上单调递减，所以； 又在轴右侧， 函数的图象在的图象的上方，所以，所以. 43．（2026高一上·河北石家庄·专题练习）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数、的单调性比较大小即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选：D 44．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数函数的单调性可判断选项A和B，利用幂函数的单调性可判断选项C和D． 【详解】选项A：因为在R上是减函数，且，所以，故A正确； 选项B： 因为在R上是增函数，且，所以，故B正确； 选项C：因为在上是减函数，且，所以，故C错误； 选项D：因为在R上是增函数，且，所以，故D正确． 故选：ABD 考点十二　求指数型函数的值域或最值 45．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)定义域为，值域且 (2)定义域为R，值域 (3)定义域为，值域 (4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 46．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 47．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 48．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）函数的最小值为________，此时________． 【答案】 0 1 【分析】化简为，即可确定时，取得最小值．再结合，的图象即可求得取值小值时x的值. 【详解】由题意得， 当时，取得最小值0． 作出函数，的图象， 可知，的图象只有一个交点，且， 故结合图象可知交点的横坐标为1，所以方程的解为． 故答案为：0；1 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 49．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数性质求出在的值域，再由在上的值域包含分类求解. 【详解】当时，，即函数的取值集合为； 由函数的值域为，得函数在上的值域包含， 当时，，，不符合题意； 当时，在上单调递减，，不符合题意； 当时，在上单调递增，，函数值值集合为， 由，得，解得，因此， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 50．（2026高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 51．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数的最大值为2025，则的值为_____. 【答案】/ 【分析】根据复合函数单调性结合指数函数的单调性得出的最小值为，最后应用二次函数最值求参数. 【详解】令， 因为单调递减，又因为函数的最大值为2025， 则的最小值为， 所以，且当时，，即， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 52．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 53．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过分析辅助函数的奇偶性、单调性来判断原函数的单调性，将不等式问题转化为求辅助函数的值域问题进行解答. 【详解】函数， 令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 54．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）根据题意得函数关于对称，利用二次函数对称性即可求解； （2）将代入中，得出函数的解析式，然后结合二次函数和指数型复合函数性质求解即可； （3）先利用指数函数性质将问题转化，分离参数转化为不等式恒成立问题，再结合二次函数的图象与性质分析求解即可. 【详解】（1）因为函数在和上的单调性相反， 所以函数为二次函数且对称轴为， 即， 所以. （2）当时，， 此时函数， 由函数的对称轴为，且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，根据复合函数单调性得： 在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意得：即， 即在上恒成立， 由在上单调递减， 所以问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， 等价于求在上的最大值， 令，由，则， 则， 由该函数对称轴为，且该二次函数开口向下， 所以在上单调递减， 所以， 所以，又，所以的取值范围是. 55．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 【答案】(1)最小值-3，无最大值 (2) (3) 【分析】（1）用把函数变成关于的二次函数，然后通过配方找到最小值点，因为且二次函数开口向上，所以只有最小值，没有最大值. （2）同样令，把不等式化为，把分离出来，变成求一个分式的最大值，再令，把分式变成二次函数，通过对称轴求出最大值，得到的取值范围. （3）把也令，变成，题目意思是在区间上的最大值和最小值的差要不少于，按分情况讨论：在区间左侧、内部还是右侧，分别讨论单调性并算差值，判断是否满足条件. 【详解】（1）由题意知，的定义域为， 令，则， 当时，等价于， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，二次函数取得最小值-3， 即时，取得最小值-3，无最大值． （2）令，当时，， 对任意的恒成立，即在时恒成立， ，令，则，不等式变为， 记，则函数的图象开口向下，对称轴为， 在时的最大值为，因此，， 即的取值范围为． （3）由题知， 令，当时，，则等价于， 题目等价于“存在，使得成立”， 等价于“在上的最大值与最小值之差大于或等于”， 分情况讨论： ①当时，易知在上单调递减，最大值与最小值之差为： ，由，知，满足条件， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，知在上单调递增，最大值为，最小值为， 差为：，由，得，满足条件； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 最小值为，最大值为或， ，，均不符合条件； 当时，在上单调递减， 最大值与最小值之差为， 因为，所以，不符合条件， 综上，的取值范围为． 56．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数k的值； (2)当时，函数的最小值是关于a的函数，求； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知函数的性质，利用奇函数的定义列方程求解； （2）先求出在上的值域，利用换元法化简已知函数，再根据二次函数的性质分情况讨论求出； （3）利用（2）的结论结合已知条件，分情况讨论求出实数a的取值范围． 【详解】（1）函数是上的奇函数， ，即，整理得， 对任意成立，，解得． （2），在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增， ， 在上的值域为， 令，则，函数开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，最小值为； 当时，在对称轴处取得最小值，最小值为； 当时，在上单调递减，最小值为； ． （3）若对任意的，恒成立，即对恒成立； 当时，，成立； 当时，，解得，又，； 当时，，解得，与矛盾，舍去； 的取值范围是． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 指数与指数函数高频考点精讲 知识点1：n次方根 1．n次方根的定义 如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 2．a的n次方根的表示 n a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± 3．根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0． (3)根据n次方根的意义，可得n＝a． (4)n为奇数时，＝a． n为偶数时，＝|a|＝ 【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制． (2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a． 知识点2：分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1) 负分数指数幂 规定：＝＝ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘． 知识点3：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立． 知识点4：无理数指数幂的运算 1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 知识点5：指数函数的概念 1.一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R． 【注意】指数函数和幂函数的区别： 指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上． 2.判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须在指数的位置上． (3)ax的系数必须为1． 知识点6：指数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 最值 无最值 定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1　 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1　 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 ①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c 解决指数函数图象问题的注意点 (1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状． (2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”． 考点一　根式的化简求值 考点二　指数幂的化简、求值 考点三　指数函数的概念及其求参数 考点四　求指数函数的解析式或求值 考点五　指数型函数的定义域问题 考点六　指数型函数过定点问题 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 考点八　指数函数图像应用 考点九　求指数型函数的单调区间 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 考点十二　求指数型函数的值域或最值 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 考点一　根式的化简求值 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)（）； (3) 2．（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 3．（25-26高一上·全国·阶段检测）（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东青岛·期中）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 考点二　指数幂的化简、求值 5．（26-27高一上·全国·课后作业）化简下式：. 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算下列各式： (1)； (2)； (3). 7．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 8．（25-26高一上·北京·期中）计算: (1) (2)已知，求的值. 考点三　指数函数的概念及其求参数 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）若函数是指数函数，求的值. 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知指数函数，则实数的取值范围是________； 11．（25-26高一上·甘肃张掖·期中）（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．（25-26高一·全国·课后作业）若函数(，且)是指数函数，则______，______. 考点四　求指数函数的解析式或求值 13．（26-27高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象经过点，则______，______． 14．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 15．（25-26高一上·北京丰台·期末）已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______． 16．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知指数函数的图象经过点，则______． 考点五　指数型函数的定义域问题 17．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 18．（25-26高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为___________. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一·全国·单元测试）函数的定义域为______． 考点六　指数型函数过定点问题 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 23．（25-26高一上·河南·期中）已知函数（且）的图象过定点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（25-26高一上·山东淄博·期中）已知函数 且)的图象一定过点P，则点P的坐标是________． 考点七　根据指数型函数图象判断参数的范围 25．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．  B．  C．  D．   26．（25-26高二下·甘肃白银·期末）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 27．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）已知函数且的图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 考点八　指数函数图像应用 29．（2026高三·全国·专题练习）作函数的图象． 30．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知实数满足等式，其中不可能成立的关系式为（   ） A． B． C． D． 考点九　求指数型函数的单调区间 33．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间． 34．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的单调递增区间是__________. 35．（25-26高一上·四川德阳·期中）函数的单调增区间为______ . 36．（25-26高一上·重庆·期中）的单调递增区间为_____. 考点十　利用指数型函数的单调性求参数 37．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为__________． 38．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·广东广州·期中）函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数且在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十一　利用指数型函数单调性比较大小 41．（26-27高一上·全国·课后作业）设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 42．（26-27高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与 (2)与 (3)与 43．（2026高一上·河北石家庄·专题练习）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·河南·阶段检测）（多选）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 考点十二　求指数型函数的值域或最值 45．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域； (1) (2) (3) (4) 46．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 48．（25-26高一上·辽宁辽阳·期末）函数的最小值为________，此时________． 考点十三 利用指数函数的值域或最值求参数 49．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2026高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 51．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数的最大值为2025，则的值为_____. 52．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 考点十四　指数函数最值与不等式的综合问题 53．（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知函数，函数 (1)若函数在和上的单调性相反，求的解析式； (2)若，求的单调性； (3)若，不等式在上恒成立，求的取值范围. 55．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的最值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)设函数，若存在，使得成立，求的取值范围． 附：函数在上单调递减，在上单调递增． 56．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数是上的奇函数，函数． (1)求实数k的值； (2)当时，函数的最小值是关于a的函数，求； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $