专题06 函数的概念及其表示高频考点讲义【10大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的概念及其表示核心知识点，系统梳理函数的定义与三要素，衔接区间概念、定义域值域求法、同一函数判断，延伸至函数表示法、解析式求法及分段函数，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料通过表格归纳三要素、区间表示等要点，设计10类高频考点分层训练，注重概念辨析（如同一函数的定义域与对应关系判断）和方法总结（如4种求解析式技巧）。借助实例培养数学眼光（观察函数关系）、数学思维（推理定义域参数问题），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题06 函数的概念及其表示高频考点精讲 知识点1：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 知识点2：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 知识点3：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点4：求函数的定义域与函数值 1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． 知识点5：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 知识点6：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 知识点7：求函数解析式的4种常用方法 (1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可． (3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 知识点8：分段函数求值(范围)问题 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 考点一　求定义域的问题 考点二　利用定义域求参数的问题 考点三　求函数值域的问题 考点四　判别式法求最值 考点五　函数的表示方法 考点六　求函数解析式的问题 考点七　求分段函数值及其求参数 考点八　画出具体函数图象 考点九　分段函数的性质及应用 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 考点一　求定义域的问题 1．（25-26高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为_____________ 【答案】 【分析】根据根式与分式有意义列不等式组求解即可. 【详解】函数要有意义则：， 所以函数的定义域为. 2．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或； (2)； (3) 【分析】（1）根据实函数定义域得，再解不等式组即可； （2）根据实函数定义域得，再解不等式组即可； （3）根据实函数定义域得，再解不等式组即可． 【详解】（1）解：要使函数有意义，则，即，即或． ∴函数的定义域为或； （2）解：要使函数有意义，则，即， 解得或． ∴函数的定义域为； （3）要使原函数有意义，则：，解得， ∴原函数的定义域为． 3．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数的定义域列出相应不等式，求解可得函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以. 所以函数的定义域为. 故选：B. 4．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. 6．（25-26高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】∵函数的定义域为， ∴要使函数有意义， 则有，解得， ∴，即函数的定义域为. 故选：D. 考点二　利用定义域求参数的问题 7．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 8．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）若的定义域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意，转化为，对恒成立求解. 【详解】因为的定义域为， 所以，对恒成立， 当时，，不符合题意； 当，解得， 综上的取值范围是 ， 故答案为： 9．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求参数范围，即可得. 【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立， 当时，情况如下： 若，此时不等式为在上不恒成立， 若，则，可得.， 综上，. 故选：D 10．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式恒成立求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】由的定义域为，得. 当时，40恒成立； 当时，由，解得. 所以当函数的定义域为时，的取值范围为， 所以“”是“函数的定义域为”的充分不必要条件. 故选：B 考点三　求函数值域的问题 11．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 12．（25-26高一上·全国·专题训练）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 13．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 14．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 15．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法结合二次函数性质求解值域即可. 【详解】由题意得，令， 可得，则，即原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，， 可得，即的值域为，故B正确. 故选：B 16．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 考点四　判别式法求最值 17．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 18．（25-26高一上·上海·课后作业）函数的值域为________． 【答案】 【分析】首先分离常数，再求出的范围，得出的范围，即可逐步求出函数的值域. 【详解】， 因为，所以 或， 则或 ，即. 故答案为： 【点睛】本题考查具体函数的值域问题，属于中档题. 19．（25-26高一下·河北唐山·期末）的值域为________． 【答案】 【分析】利用判别式法求得函数的值域. 【详解】由于，所以函数的定义域为， 由化简得， 即，关于的一元二次方程有解， 时，存在，符合题意， 时，由， 即，即， 解得， 综上可得的值域为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查分式型函数值域的求法，属于中档题. 20．（25-26高三上·河南平顶山·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 考点五　函数的表示方法 21．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 22．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据对应法则找到对应的值即可. 【详解】由表可知：， 故选：C. 23．（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【分析】根据表格求出对应函数值即可. 【详解】当时，，则. 故答案为：10 24．（25-26高一上·全国·专题训练）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，故A选项符合. 考点六　求函数解析式的问题 25．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 26．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 【答案】(1) (2) 或 (3) 【分析】（1）由配凑法求解即可； （2）由待定系数法求解即可； （3）通过构造方程组求解即可. 【详解】（1）因为， 因为，所以； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或； （3）因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①②，得， 所以. 27．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【分析】利用配凑法求抽象函数解析式即可． 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 28．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 29．（25-26高一上·全国·专题训练）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； （2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； （3）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . （3）∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 30．（25-26高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或；（2）；（3），. 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，设，结合题意即可求解； （2）设，利用换元法求解析式即可； （3）由题意得，利用方程组法可得，再利用换元法求解析式即可. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 考点七　求分段函数值及其求参数 31．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 32．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则___________ 【答案】 【分析】直接由分段函数求函数值可得. 【详解】因为函数，且， 所以 . 33．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. 34．（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【答案】C 【分析】由得，分，，三种情况求得或，代入分段函数计算即可求解. 【详解】因为函数， 若，则，解得， 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得或（舍去）； 当时，， 若，则，此时无解， 综上，实数或， 当时，，当时，， 所以或. 故选：C 考点八　画出具体函数图象 35．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 【答案】(1)  ，最大值为 (2)或 【分析】（1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 36．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象： (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图象. 【详解】（1）由，其函数图象如下， （2）由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数图象如下， 37．（25-26高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】(1)，， (2)或1或 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【详解】（1）因为， 所以，， . （2）当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. （3）函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 38．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象； （2）根据分段函数，分段解不等式即得. 【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，； 故，函数图象如图所示： . （2）由题得，当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 综上，的解集为. 39．（25-26高一上·全国·课后作业）求作的图象． 【答案】 作出二次函数的图象如图1， 将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图象如图2．    【分析】先画出的图象，再经过翻折得到的图象. 【详解】略 40．（25-26高一上·湖北武汉·期中）给定函数.    (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2) 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 【答案】(1)    (2)， 【分析】（1）根据函数解析直接画图象即可； （2）先求出两函数图象的交点坐标，再根据图象可求出的解析式和其最小值. 【详解】（1）对于，过作一条直线即可得到的图象， 对于是对称轴为，开口向上的抛物线，过作平滑曲线可得的图象，图象如图所示，    （2）由，得或，结合图象，可得的解析式为 ， 结合图象可知，当时，. 考点九　分段函数的性质及应用 41．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 42．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可. 【详解】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当 时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. 43．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的特点，分段列不等式求解最后取并集即可. 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 44．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 【答案】 【分析】首先运用换元法令，根据解出的范围，再数形结合解出的范围即可. 【详解】令，则， 若，则，解得； 若，恒成立，解得； 若，则，解得. 综上，或，即或. 若，解得；，解得； 结合的函数图象可知，若，则； 若，，解得. 综上所述，. 故答案为：. 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 45．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 46．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）设函数，若，则______． 【答案】1 【分析】根据分段函数性质代入计算得出方程，解方程可得. 【详解】函数，易知， 若， 当时，即，可得， 解得，不满足，舍去； 当，即时，可得， 解得，满足题意． 故答案为：1． 47．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，即可求解． 【详解】画出函数的图象，如图所示： 若的值域是，得， 即的值域为：． 故选：A 48．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 49．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 50．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先根据题意得到，再画出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，若函数， 所以， 如图所示：实线部分为函数的图象，，. 在区间上的值域为， 令，解得，即， ，解得或（舍去），即， 令，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 因为， 所以的长度的最小值为，的长度最大值为. 故选：ABC 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的概念及其表示高频考点精讲 知识点1：函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f (x)|x∈A} 【注意】理解函数的概念抓住以下4点： (1)“y＝f (x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”“y＝h(x)”都可以． (2)“A，B”是非空的实数集，定义域为空集的函数是不存在的． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f (x)”是数学符号之一，不表示y等于f 与x的乘积，f (x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． 知识点2：函数的三要素 函数 对应关系 定义域 值域 一次 函数 y＝kx＋b(k≠0) R R 二次 函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R a>0 a<0 反比例函数 y＝(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f (x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y． 知识点3：区间的概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． 用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点4：求函数的定义域与函数值 1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． 知识点5：同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【注意】(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f3(x)＝x2，x∈[0，2]和f4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． 知识点6：函数的表示法 【注意】(1)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (2)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 知识点7：求函数解析式的4种常用方法 (1)待定系数法：若已知f (x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (2)换元法：对于形如f (g(x))的解析式求f (x)，设t＝g(x)，解出x，代入f (g(x))，求f (t)的解析式即可． (3)配凑法：对f (g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 知识点8：分段函数求值(范围)问题 定义 像y＝这样的函数称为分段函数 本质 函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系 【注意】分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 考点一　求定义域的问题 考点二　利用定义域求参数的问题 考点三　求函数值域的问题 考点四　判别式法求最值 考点五　函数的表示方法 考点六　求函数解析式的问题 考点七　求分段函数值及其求参数 考点八　画出具体函数图象 考点九　分段函数的性质及应用 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 考点一　求定义域的问题 1．（25-26高二下·北京石景山·期末）函数的定义域为_____________ 2．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)． 3．（25-26高一上·山东泰安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 5．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 6．（25-26高一上·山东·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点二　利用定义域求参数的问题 7．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 8．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）若的定义域为，则的取值范围是___________． 9．（25-26高一上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 考点三　求函数值域的问题 11．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 12．（25-26高一上·全国·专题训练）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 13．（25-26高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 14．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 15．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点四　判别式法求最值 17．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 18．（25-26高一上·上海·课后作业）函数的值域为________． 19．（25-26高一下·河北唐山·期末）的值域为________． 20．（25-26高三上·河南平顶山·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 考点五　函数的表示方法 21．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）（多选）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 22．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 23．（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 24．（25-26高一上·全国·专题训练）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 考点六　求函数解析式的问题 25．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 26．（2026高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式： (1)已知函数满足：； (2)已知一次函数在上满足：； (3)已知函数满足：. 27．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 28．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知，则的解析式是__________. 29．（25-26高一上·全国·专题训练）求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求. 30．（25-26高一上·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 考点七　求分段函数值及其求参数 31．（25-26高二下·广东·期末）已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，则___________ 33．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 34．（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 考点八　画出具体函数图象 35．（25-26高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为.    (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)解不等式； 36．（25-26高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象： (1)； (2). 37．（25-26高一上·广东惠州·期中）已知函数． (1)求，，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求时，的值域． 38．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数. (1)画出的图像； (2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）. 39．（25-26高一上·全国·课后作业）求作的图象． 40．（25-26高一上·湖北武汉·期中）给定函数.    (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2) 表示中的较大者，记为.结合图像写出函数的解析式，并求的最小值. 考点九　分段函数的性质及应用 41．（25-26高二下·陕西商洛·期末）已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 43．（2026·云南曲靖·一模）设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·四川广安·期中）设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 考点十　根据分段函数的值域(最值)求参数 45．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）设函数，若，则______． 47．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知函数，是二次函数，若的值域是，则的值域为（  ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 49．（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $