第4章 4.4.1 对数函数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦对数函数的概念这一核心知识点，承接指数函数学习脉络，通过碳14衰减问题引出已知函数值求自变量的需求，构建从指数到对数的知识联系。以概念辨析、定义域求解、实际应用为学习支架，形成完整学习路径。 资料以实际问题驱动，如碳14衰减、物价增长案例，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过问题链推理和定义域延伸探究等设计，发展数学思维。结合香农公式应用实例，提升用数学语言表达现实问题的能力，课中助力教学，课后帮助学生查漏补缺。

4.4.1　对数函数的概念 学习目标　1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.(重点)3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.(难点) 导语 (课本P113问题2)我们已经研究了指数函数y=x≥0)描述了死亡生物体内碳14含量y随死亡年数x的推移而衰减的规律.根据这个函数，知道生物体的死亡年数x，就可以推算出相应的碳14含量y的值.那么，如果已知死亡生物体内碳14含量y，能否确定它的死亡年数x呢？这就是我们今天要研究的问题. 一、对数函数的概念及应用 问题　将y=2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，+∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 提示　x=log2y，任意y∈(0，+∞)，都有唯一的x对应，x是关于y的函数. 知识梳理　 一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). 注意点： (1)对数函数的系数为1. (2)真数只能是一个x. (3)底数a>0，且a≠1. 例1　(1)下列函数中是对数函数的有(　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logπx 答案　D 解析　只有D满足对数函数的定义. (2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f =　　　　.  答案　-5 解析　设对数函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8，3)， ∴3=loga8，∴a3=8，解得a=2. ∴f(x)=log2x， ∴f =log2=log22-5=-5. 反思感悟　判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 跟踪训练1　(1)若函数y=logax+a2-3a+2为对数函数，则a=　　　　　　.  答案　2 解析　函数y=logax+a2-3a+2为对数函数， 所以a>0，且a≠1，a2-3a+2=0，则a=2. (2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，若点Q(t，log43)也在这个函数的图象上，则t=　　　　.  答案　 解析　设对数函数为f(x)=logax(a>0，且a≠1)， 代入点P(8，3)可得loga8=3，解得a=2， 所以f(x)=log2x，代入点Q(t，log43)可得log2t=log43，则log2t=log23，即log2t=log2所以t=. 二、求函数的定义域 例2　(课本例1)求下列函数的定义域： (1)y=log3x2； (2)y=loga(4-x)(a>0，且a≠1). 解　(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数y=log3x2的定义域是{x|x≠0}. (2)因为4-x>0，即x<4，所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x|x<4}. 例2　函数y=lg的定义域为　　　　.  答案　(-1，1) 解析　由题意得>0，解得-1<x<1， 所以函数的定义域为(-1，1). 延伸探究1　在例2中将函数的解析式变为y=log(3x-1)试求函数的定义域. 解　由解得<x<1，且x≠ 所以函数的定义域为. 延伸探究2　在例2中将函数的解析式变为y=试求函数的定义域. 解　由解得-1<x<0或0<x≤3. 所以函数y=的定义域为(-1，0)∪(0，3]. 反思感悟　求对数型函数的定义域需注意 (1)真数大于0. (2)底数大于0且不等于1. (3)对数出现在分母上时，真数除了大于0，还不能为1. 三、对数函数模型的应用 例3　(课本例2)假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过t年后的物价为w. (1)该地的物价经过几年后会翻一番？ (2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律. 物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数t 0 解　(1)由题意可知，经过t年后物价w为 w=(1+5%)t，即w=1.05t(t∈[0，+∞)). 由对数与指数间的关系，可得 t=log1.05w，w∈[1，+∞). 由计算工具可得，当w=2时，t≈14. 所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番. (2)根据函数t=log1.05w，w∈[1，+∞)，利用计算工具，可得下表： 物价w 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年数t 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47 由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小. 例3　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的解析式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解　(1)由题意知y= (2)由题意知1.5+2log5(x-9)=5.5， 即log5(x-9)=2，∴x-9=52，解得x=34. ∴老江的销售利润是34万元. 反思感悟　利用对数函数解决应用问题 (1)列出与对数有关的函数并根据实际问题确定变量的范围. (2)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算. 跟踪训练2　我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农(Shannon)公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式C=W·log2”，其中W是信道带宽(赫兹)，S是信道内所传信号的平均功率(瓦)，N是信道内部的高斯噪声功率(瓦)，其中叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为(参考数据：100.2≈1.58)(　　) A.1 559 B.3 943 C.1 579 D.2 512 答案　C 解析　由题意得≈60%， 则≈1.6， 即1+λ≈1001.6=103.2=103×100.2≈1 580， 所以λ≈1 579. 1.知识清单： (1)对数函数的概念和定义域. (2)对数函数模型的应用. 2.方法归纳：待定系数法，转化法. 3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件. 1.下列函数是对数函数的是(　　) A.y=log2x B.y=ln(x+1) C.y=logxe D.y=logxx 答案　A 解析　由对数函数的特征可得只有A选项符合. 2.函数f(x)=log2(1-x)的定义域是(　　) A.[1，+∞) B.(1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 答案　C 解析　由1-x>0，得x<1. 3.某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y=alog2(x+1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 答案　A 解析　由题意，知100=alog2(1+1)， 解得a=100， 则当x=7时，y=100log2(7+1)=100×3=300. 4.若函数y=log(2a-1)x+a2-5a+4是对数函数，则a=　　　　.  答案　4 解析　因为函数y=log(2a-1)x+a2-5a+4是对数函数， 所以解得a=4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) A.y=logex B.y=lox C.y=log4x2 D.y=log2(x+1) 答案　AB 解析　A，B项中的函数是对数函数；C，D项中的真数不是x，故不是对数函数. 2.设函数f(x)=则f(f(10))的值为(　　) A.lg 101 B.1 C.2 D.0 答案　C 解析　f(f(10))=f(lg 10)=f(1)=12+1=2. 3.在函数y=log(x-3)(7-x)中，函数的定义域是(　　) A.(-∞，7) B.(3，7) C.(3，4)∪(4，7) D.(3，+∞) 答案　C 解析　由得3<x<7且x≠4， 故函数的定义域为(3，4)∪(4，7). 4.已知对数函数的图象过点M(9，-2)，则此对数函数的解析式为(　　) A.y=log2x B.y=log3x C.y=lox D.y=lox 答案　C 解析　设对数函数为y=logax(a>0且a≠1)， 由题意得loga9=-2， 即a-2=9，解得a=.∴所求解析式为y=lox. 5.“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　) A.y=log1.05x B.y=log1.005x C.y=log0.95x D.y=log0.995x 答案　B 解析　由题意得x=(1+0.005)y=1.005y，化为对数函数得y=log1.005x. 6.(多选)若点(a，b)满足对数函数f(x)=ln x的解析式，则下列点中也满足函数f(x)的解析式的是(其中e为自然对数的底数)(　　) A. B.(a+e，1+b) C. D.(a2，2b) 答案　ACD 解析　由题意知b=ln a，则-b=-ln a=ln 故A正确；1-b=1-ln a=ln 故C正确；2b=2ln a=ln a2，故D正确；1+b=1+ln a=ln(ae)，故B错误. 7.满足“对定义域内任意实数x，y，都有f(xy)=f(x)+f(y)”的函数f(x)可以是(　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=2x C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x 答案　C 解析　f(x)=x2，f(y)=y2，f(xy)=(xy)2=x2·y2=f(x)·f(y)，故A不正确； f(x)=2x，f(y)=2y，f(xy)=2xy≠f(x)+f(y)，故B不正确； f(x)=log2x，f(y)=log2y，f(xy)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y)，故C正确； f(x)=eln x=x(x>0)，f(y)=y(y>0)，f(xy)=xy≠f(x)+f(y)，故D不正确. 8.(5分)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为　　　　万元.  答案　128 解析　由题意得5=2log4x-2， 即7=log2x，得x=27=128. 9.(5分)已知函数f(x)是对数函数，且f =-则f(2=　　　　.  答案　 解析　设f(x)=logax(a>0，且a≠1)， 因为f=-所以loga=- 即解得a=2，所以f(x)=log2x， 所以f(2=log22=log2. 10.(10分)求下列函数的定义域： (1)y=log(3x-1)5；(5分) (2)y=.(5分) 解　(1)由题意得 解得x>且x≠ 所以函数y=log(3x-1)5的定义域是. (2)由题意得 解得x<4，且x≠3， 所以函数y=的定义域是{x|x<4，且x≠3}. 11.考古专家对某遗址出土的文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14年残留量约为初始量的66%，已知碳14的半衰期是5 730年(即每经过5 730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半).则该遗址距今约(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg 11≈1.04)(　　) A.3 200年 B.3 262年 C.3 386年 D.3 438年 答案　D 解析　设该遗址距今x年，则=0.66， 两边取对数得·lg =lg 0.66. 所以x=5 730×=5 730× ≈5 730×=3 438. 即该遗址距今约3 438年. 12.已知点P(16，2)，Q(t，log23)都在同一个对数函数的图象上，则t等于(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　设对数函数为y=logax(a>0，且a≠1)， 因为P(16，2)在函数的图象上， 所以loga16=2，解得a=4，则y=log4x. 因为Q(t，log23)也在该函数的图象上， 所以log4t=log23， 解得t=9. 13.设函数f(x)=f ·lg x+1，则f(10)的值是(　　) A.1 B.-1 C.10 D. 答案　A 解析　∵f(x)=f·lg x+1，将式中的x换成 ∴f =f(x)·lg+1=-f(x)lg x+1. 由以上两式，得f(x)= ∴f(10)==1. 14.(10分)20世纪70年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A-lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅. (1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；(4分) (2)5级地震给人的震感已比较明显，那么8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？(6分) 解　(1)由题意得M=lg A-lg A0=lg=lg=lg 104=4.即这次地震的震级为4级. (2)由题意得 所以lg A8-lg A5=3，即lg=3. 所以=103=1 000.即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍. 15.(多选)已知函数f(x)的定义域为D，若对∀x∈D，均有f =-f(x)，则称函数f(x)具有“倒负”变换性质.下列具有“倒负”变换性质的函数是(　　) A.f(x)=x+ B.f(x)=ln x+ C.f(x)= D.f(x)= 答案　BCD 解析　f(x)=x+x≠0，则≠0，f+x=f(x)≠-f(x)，故A错误； f(x)=ln x+x>0且x≠1，则>0且≠1，f =ln=-ln x-=-f(x)，故B正确； 当0<x<1时>1，则f =-=-x=-f(x)，当x>1时，0<<1，则f =-f(x)，故C正确； 当0<x<1时>1，则f =-=-f(x)，当x>1时，0<<1，则f=x2=-f(x)，故D正确. 16.(12分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0，且a≠1).当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围. 解　设t(x)=3-ax，∵a>0，且a≠1， ∴t(x)=3-ax为减函数， 则当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3-2a. ∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义， 即当x∈[0，2]时，3-ax>0恒成立. ∴3-2a>0，∴a<. 又a>0且a≠1， ∴0<a<1或1<a< ∴实数a的取值范围为(0，1)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $