专题14 函数模型的应用高频考点讲义【8大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数模型应用，系统梳理实际问题建模四步骤，详解一次、二次、幂、指数、对数、分段及“对勾”函数模型，对比指数、对数、一次函数增长差异，构建从基础建模到具体应用的学习支架。 资料以生活实例（如销售利润、药物浓度）为载体，通过例题引导学生用数学眼光抽象问题，用数学思维分析函数关系，培养模型意识与应用能力。课中辅助教师高效教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题14 函数模型的应用高频考点精讲 知识点1：实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 知识点2：一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 知识点3：二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 知识点4：幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 知识点5：三种函数模型的增长差异 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 知识点6：分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 知识点7：“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 考点一　一次函数模型的应用 考点二　二次函数模型的应用 考点三　幂函数模型的应用 考点四　指数函数模型的应用 考点五　对数函数模型的应用 考点六　分段函数模型的应用 考点七　“对勾”函数模型的应用 考点八　建立拟合函数模型解决实际问题 考点一　一次函数模型的应用 1．（25-26高一上·陕西西安·期中）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（元/件）与月销售量（件）之间的关系为，生产件的成本为若每月获得的利润不少于元，该厂的月销售量的不可能取值为（　　） A． B． C．. D． 2．（2026高一上·全国·专题练习）某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元，该店推出两种优惠办法： （1）买一本软皮本赠送一支铅笔； （2）按总价的92%付款. 现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买x支铅笔，付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？ 3．（2026高一·全国·专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ） A．2 000套 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 4．（25-26高一·全国·课堂例题）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法： （1）买一个茶壶赠送一个茶杯． （2）按购买总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法． 考点二　二次函数模型的应用 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 8．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 考点三　幂函数模型的应用 9．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 10．（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 11．（25-26高一上·云南昆明·期末）昆明某环保组织自2024年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为（单位：），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.记2024年元旦最初测量时间的值为0，部分测量数据统计如表： 第月月底 2 3 水葫芦生长面积（） 24 64 (1)水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①；②，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 12．（25-26高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 考点四　指数函数模型的应用 13．（26-27高一上·浙江·开学考试）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 14．（26-27高三上·云南·开学考试）某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 15．（2026高一上·全国·专题练习）为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放完毕后，求每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 16．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过（     ）天．（参考数据：， A．110 B．115 C．120 D．125 考点五　对数函数模型的应用 17．（26-27高三上·北京房山·开学考试）图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 18．（2026·贵州黔南·模拟预测）在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 19．（25-26高二下·安徽合肥·期末）我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 20．（25-26高三·全国·一轮复习）某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 考点六　分段函数模型的应用 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t（min）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 22．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 23．（25-26高二下·北京·阶段检测）一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 24．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 考点七　“对勾”函数模型的应用 25．（2026高一上·江苏南通·专题练习）某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 26．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 27．（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 28．（25-26高一上·河南·阶段检测）某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． (1)当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ (2)写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． (3)每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 考点八　建立拟合函数模型解决实际问题 29．（26-27高一上·河北衡水·开学考试）随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 30．（25-26高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 31．（25-26高一下·上海·期中）某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成，已知圆的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为．要求端点、均在直径上，端点、均在圆弧上．设．    (1)试用分别表示矩形和的面积； (2)若在矩形两侧线段、的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为10万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元．问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值． 32．（26-27高一上·全国·课后作业）小明根据某市预报的某天（0～24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连续函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如图）． (1)求的值； (2)当空气质量指数大于150时，有关部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止某行业施工作业．请你结合小明选择的函数模型，回答以下问题： （ⅰ）某同学该天出发上学，是否应该戴防雾霾口罩？请说明理由； （ⅱ）试问该天之后，该行业可以施工作业的时间最长为多少小时？ 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 函数模型的应用高频考点精讲 知识点1：实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 知识点2：一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 知识点3：二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 知识点4：幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 知识点5：三种函数模型的增长差异 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 知识点6：分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 知识点7：“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 考点一　一次函数模型的应用 考点二　二次函数模型的应用 考点三　幂函数模型的应用 考点四　指数函数模型的应用 考点五　对数函数模型的应用 考点六　分段函数模型的应用 考点七　“对勾”函数模型的应用 考点八　建立拟合函数模型解决实际问题 考点一　一次函数模型的应用 1．（25-26高一上·陕西西安·期中）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（元/件）与月销售量（件）之间的关系为，生产件的成本为若每月获得的利润不少于元，该厂的月销售量的不可能取值为（　　） A． B． C．. D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出每月获得的利润，列不等式解出月销售量的范围即可判断. 【详解】设该厂月获得的利润为元， 则.   由题意，， 解得：， ∴当月产量在至件（包括和）之间时，月获得的利润不少于元. 故选：D. 2．（2026高一上·全国·专题练习）某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元，该店推出两种优惠办法： （1）买一本软皮本赠送一支铅笔； （2）按总价的92%付款. 现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买x支铅笔，付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？ 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，由不同的优惠方式列出不同的函数解析式，再求得当付款相同时购买量的值，再结合函数值的大小即可容易判断. 【详解】由优惠办法（1）得到y与x的函数关系式为y=2×4+0.5(x-4)=0.5x+6(x≥4，且x∈N). 由优惠办法（2）得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+2×4)×92%=0.46x+7.36(x≥4，且x∈N). 令0.5x+6=0.46x+7.36，解得x=34， 且当4≤x<34时，0.5x+6<0.46x+7.36， 当x>34时，0.5x+6>0.46x+7.36. 即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时，用优惠办法（1）合算； 当购买铅笔多于34支时，用优惠办法（2）合算； 当购买铅笔34支时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算. 【点睛】本题考查函数模型的应用，属简单题. 3．（2026高一·全国·专题练习）某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（    ） A．2 000套 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 【答案】D 【解析】列出利润的表达式再求解的解即可. 【详解】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套. 故选：D 【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题,属于基础题. 4．（25-26高一·全国·课堂例题）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该商店现推出两种优惠办法： （1）买一个茶壶赠送一个茶杯． （2）按购买总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法． 【答案】优惠办法（1）：，优惠办法（2）：；选择优惠办法（2）. 【分析】根据已知条件写出两种优惠办法对应解析式，再将代入解析式求，比较不同优惠下的大小，选择优惠办法． 【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为； 由优惠办法（2）可得函数解析式为． 当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款（元）；采用（2）应付款（元）． 由于，故选择优惠办法（2）． 考点二　二次函数模型的应用 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套． (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1). (2)每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是640元． 【分析】（1）根据题意，用含有的式子将销售量表示出来，得到函数的解析式，即可求解． （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，求得的最值，即可求解， 【详解】（1）解：该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）解：根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）随着人们对交通安全的认识不断提高，骑电动车必须戴头盔，所以头盔已成为人们日常生活中不可或缺的物品．某商人将进货单价为8元的某种头盔按10元一个销售时，每天可卖出100个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种头盔销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值． 【答案】当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 【分析】根据给定条件，求出利润与售价的函数关系，再利用二次函数性质求出最大值. 【详解】设每个提价元（，），利润为元． 每天销售总额为元， 进货总额元，显然，即， 因此 ，当且仅当时取等号， 此时销售单价应为14元，最大利润为360元， 所以当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元． 7．（26-27高一上·全国·课堂例题）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入千万元生产B芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．（净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金） 【答案】(1)生产A芯片的毛收入，生产B芯片的毛收入． (2)当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大 (3)千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）根据给定条件，列出净利润的函数关系，再借助二次函数性质求出最大值. 【详解】（1）设投入资金千万元，则生产A芯片的毛收入， 将代入，得，解得， 所以生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得；由，得， 所以当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16千万元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）依题意，投入千万元生产芯片，则投入千万元资金生产A芯片， 公司所获净利润，当且仅当，即时取等号， 所以千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可. （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到，计算得解. 【详解】（1）投入成本为，出厂价为，年销售量为， 则， 整理得． （2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有， 即，解得， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 考点三　幂函数模型的应用 9．（25-26高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为（α为常数），其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为（    ） A．115万元 B．120万元 C．125万元 D．130万元 【答案】C 【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解. 【详解】由已知投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，代入中，得，解得， 故函数解析式为，所以当时，． 故选：C. 10．（25-26高三·全国·三轮复习）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 11．（25-26高一上·云南昆明·期末）昆明某环保组织自2024年元旦开始监测滇池某水域中水葫芦生长的面积变化情况，并测得最初水葫芦的生长面积为（单位：），此后每月月底测量一次.通过近一年的观察发现：自2024年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度越来越快.记2024年元旦最初测量时间的值为0，部分测量数据统计如表： 第月月底 2 3 水葫芦生长面积（） 24 64 (1)水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：①；②，请你判断哪个函数模型更适合，说明理由，并求出该函数模型的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，求该水域中水葫芦生长的面积在几月起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上？（参考数据：）. 【答案】(1)选择模型， 因两个函数模型在上都是增函数， 随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢， 由题意和表格数据，可以发现随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快， 故第一个函数模型满足要求. 由题意知，，解得，所以. (2)7月份 【分析】（1）由随着的增大，的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢即可选择； （2）根据题意，由运算求解. 【详解】（1）略 （2）由，解得， 又 故， 即该水域中水葫芦生长的面积在7月份起是元旦开始研究时其生长面积的240倍以上. 12．（25-26高一上·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【详解】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 考点四　指数函数模型的应用 13．（26-27高一上·浙江·开学考试）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 【答案】 14 【分析】代入已知条件求出参数，注意后段降温要更新初始温度，再借助对数运算求解时间. 【详解】由题，当时，， 则，当从50℃再下降到40℃时， . 14．（26-27高三上·云南·开学考试）某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的性质计算即可. 【详解】由题意，得． 由，得． 两边取自然对数，得，所以， 解得，所以满足停止迭代条件的迭代次数至少为． 15．（2026高一上·全国·专题练习）为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放完毕后，求每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的函数解析式； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图象定位临界点，代入衰减解析式求出，进而求出函数解析式； （2）建立不等式，将不等式化为同底，进而利用指数函数单调性解不等式得出结论． 【详解】（1）从图中可以看出：当时，，则方程中的， 所以从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式． （2）由题设，则，即， 因为，则函数单调递减， 故，所以， 因此从药物释放开始至少需要经过小时后，学生才能回到教室． 16．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过（     ）天．（参考数据：， A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍， 依题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为， 因此，两边取常用对数，得， 则， 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 考点五　对数函数模型的应用 17．（26-27高三上·北京房山·开学考试）图书馆安静区域的声强级（单位：）通常满足．声强级的计算公式为，其中（单位：）为声强，基准声强．根据以上条件，图书馆安静区域对应的声强的取值范围是______． 【答案】 【分析】应用新定义结合对数运算律计算求解. 【详解】由，可得， 即，解得. 18．（2026·贵州黔南·模拟预测）在高铁噪声测量中，声强级（单位：）与声强（单位：）的关系为，其中基准值，系列高铁经过时，测得其声强级为，系列高铁经过时，其声强变为系列高铁的倍，则系列高铁的声强级约为（    ）？ （参考数据，） A．74 B．79 C．81 D．83 【答案】A 【分析】先根据系列的声强级求得的值，再利用对数运算性质计算系列的声强级，结合参考数据估算结果. 【详解】对系列高铁，已知其声强级，代入声强级公式，可得 ，化简得, 由题意可知系列高铁的声强，代入公式计算B系列的声强级： , 根据对数加法运算性质，上式可拆分为： , 因此， 故. 19．（25-26高二下·安徽合肥·期末）我市为促进新能源产业发展，计划逐年加大研发资金投入，若2025年全年投入研发资金1300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则我市全年投入的研发资金开始超过2000万元的年份是（     ）（参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 【答案】C 【详解】设经过年，全年投入的研发资金超过2000万元， 根据题意得：，化简得：. 因为在上单调递增，不等式两边同时取常用对数得： ， 代入参考数据得： ，解得. 因为为正整数，故的最小值为4，所以对应年份为年. 20．（25-26高三·全国·一轮复习）某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（   ） A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2027年 【答案】D 【分析】若2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n的范围即可． 【详解】不妨取2024年是第1年， 根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则，则第4年符合题意， 即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 考点六　分段函数模型的应用 21．（26-27高一上·全国·课堂例题）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间一段时间，学生保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间t（min）的变化规律（越大，表明学生注意力越集中），经实验分析得知：. (1)讲课开始多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (2)讲课开始后5 min与讲课开始后25 min比较，何时学生的注意力更集中？ (3)一道数学难题，需要讲解24 min，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需要的状态下讲完这道题目？ 【答案】(1)讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min (2)讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中 (3)老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目 【分析】（1）对分段函数讨论，当，,时，分析函数的单调性，求得最大值即可； （2）求出的值比较即可； （3）当与时，分别令，解得对应的值，求差即可得到结论． 【详解】（1）当时，是增函数， 当时，是减函数，且， 所以讲课开始10 min，学生的注意力最集中，能持续10 min. （2）因为， 所以讲课开始后25 min比讲课开始后5 min学生的注意力更集中． （3）当时，令，得， 当时，令，得， 又， 所以经过适当的安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲完这道题目. 22．（25-26高一下·广东广州·期末）将药物注射进患者的血液中，药物在血液中释放某有效治疗因子，该因子在血液中的浓度随着时间（单位：小时）的变化情况如图所示，其函数模型可以用函数近似，其中． (1)根据图象求参数，，的值； (2)当浓度时药物才有疗效，求注射该药物一次的有效治疗时长（保留两位小数）． （参考数据：，） 【答案】(1) ，， (2) 小时 【分析】（1）根据及待定系数法求解析式中的参数值； （2）应用分类讨论研究时对应的自变量范围，即可得. 【详解】（1）由， 由图象知， 联立得，得，则， 由， 综上，； （2）由（1）知， 当时，，则， 所以，因此第一段满足条件的范围是， 当时，，则， 所以，因此第二段满足条件的范围是， 综上，总有效时长为小时. 23．（25-26高二下·北京·阶段检测）一款运动测得某运动员百米赛跑后半小时内心率（单位：次/分钟）与停止运动后的时间（单位：分钟）之间的关系满足其中为正整数，表示不超过的最大整数；当时，心率为次/分钟，当心率不低于次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”；该运动员的静息心率（休息时的心率）为次/分钟；则下列结论中正确的序号是_________． ① ②y的最大值为 ③该运动员第分钟时恢复到静息心率 ④该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟 【答案】①②④ 【分析】对于①，根据分段函数定义可得当时，，，结合函数单调性即可判断；对于②，对每段函数分别求最大值即可判断；对于③，将代入函数计算函数值即可判断；对于④根据“运动后活跃期”定义求得满足的的值即可判断． 【详解】对于①，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，①正确； 对于②，当且时，， 所以当时，取得最大值， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值， 综上，的最大值为，②正确； 对于③，当时，， 所以该运动员第分钟时没有恢复到静息心率，③错误； 对于④，当且时，， 当时，取得最小值， 所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，，解得， 所以，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为分钟，④正确． 24．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 【答案】B 【分析】先判断时酒精含量均高于合法阈值，再对的情况列不等式，通过对数运算求解时间范围即可. 【详解】将、代入函数： 当时，， 该函数在上单调递增，因此，不符合合法驾驶要求； 当时，， 令，化简得： ，两边取自然对数， 所以 ， 代入，， 得： ， 即，因此最少需在24小时后合法驾驶. 考点七　“对勾”函数模型的应用 25．（2026高一上·江苏南通·专题练习）某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A在产业升级前后的数据如下表： A企业 产量万件 投入成本万元 销售单价元/件 产业升级前 2 45 30 完成产业升级后， 获补贴x万元， 产量 为升级后产量 若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本． (1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？ (2)企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元 【分析】（1）根据题意补贴为0，再结合收益销售金额成本，列出算式，即可求解； （2）设获政府补贴万元时，收益为万元，求得，结合基本不等式，得到的最大值，及其相应的值，即可得到答案. 【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益销售金额成本， 即：万元； （2）解：设获政府补贴万元时，收益为万元， 则，其中， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为万元时，所获收益最大，最大收益为33万元． 26．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 27．（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 【答案】(1) (2) (3)万元 【分析】（1）根据题中所给的条件直接可得； （2）分别计算生产投入费用、维护投入费用、广告费用即可得年总成本； （3）根据基本不等式可得利润最高值. 【详解】（1）由题意，当时，，解得. （2）由题意，设生产（万件）产品的广告费用x（万元），维护投入费用万元，生产投入费用万元. 所以该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为： ，； （3）设年利润为万元， 则， 因为，所以， 当且仅当即时，取最大值， 所以广告费用为万元时，厂家的年利润最高. 28．（25-26高一上·河南·阶段检测）某景区联合生产厂家推出了一套该景区的特色文化纪念品，并将所获利润全部用于景区的体育设施建设．据调查，当每套纪念品的售价定为元时，年销售量可达到万套．每套纪念品的成本分为固定成本和浮动成本两部分，其中固定成本为40元，浮动成本（单位：元）与年销售量（单位：万套）成反比，比例系数为20．不计其他成本，即销售每套纪念品的利润售价成本． (1)当每套纪念品的售价为元时，年利润是多少万元？ (2)写出每套的利润关于售价的函数解析式，并写出的定义域． (3)每套纪念品的售价为多少元时，单套的利润最大？最大是多少元？ 【答案】(1)万元 (2)． (3)元，最大为元 【分析】（1）根据条件，求出年销量和成本，即可求解； （2）根据条件得每套纪念品的成本为，即可求出，再根据实际问题的意义，即可求出定义域； （3）由（2）得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）当每套纪念品的售价为60元时，年销售量为（万套）， 每套纪念品的成本为（元）， 所以年利润为（万元）． （2）由题可知年销售量大于0，每套纪念品的成本为元． 由，可得， 所以． （3）由（2）可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以每套纪念品的售价为70元时，单套的利润最大，最大为20元． 考点八　建立拟合函数模型解决实际问题 29．（26-27高一上·河北衡水·开学考试）随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【答案】(1)不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为， 所需总电量为， 因为kW·h， 当且仅当km/h时取等号， 因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地. (2) 【分析】（1）由题可得出所需总电量为，再结合基本不等式即可求解； 设行驶时间为，充电时间为，总时间，结合题意可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）略. （2）设行驶时间为，充电时间为，总时间， 则可得，即，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以最少时间为. 30．（25-26高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2) ，当时，取得最小值 【分析】（1）由函数的单调性选择模型②，再代入点的坐标求出相应的函数关系式； （2）结合（1）的结论可得的解析式，再根据其单调性求得最小值及对应的. 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 31．（25-26高一下·上海·期中）某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆的半个圆弧（为此圆弧的中点）和直径构成，已知圆的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形；喷泉观景区的形状为．要求端点、均在直径上，端点、均在圆弧上．设．    (1)试用分别表示矩形和的面积； (2)若在矩形两侧线段、的位置架起两座观景桥，已知建造荷花池的总费用为10万元，建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用为每平方千米16万元．问：当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值． 【答案】(1)；，； (2)建造该景区总费用最低费用为（万元），此时. 【分析】（1）由题可得关于表达式，据此可表示矩形面积；连接与交于点，用表示出，，据此可表示面积； （2）由题可得关于观景区总费用的表达式，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得，则； 如图连接与交于E，因为此圆弧中点，由圆弧对称性，可得，， 从而，； （2）由（1）及题设可得：建造该景区总费用为：，. 令，则. 又，则. 从而， 因在(]上单调递减，则， 则建造该景区总费用最低费用为（万元），此时.    32．（26-27高一上·全国·课后作业）小明根据某市预报的某天（0～24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择连续函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如图）． (1)求的值； (2)当空气质量指数大于150时，有关部门建议该市市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止某行业施工作业．请你结合小明选择的函数模型，回答以下问题： （ⅰ）某同学该天出发上学，是否应该戴防雾霾口罩？请说明理由； （ⅱ）试问该天之后，该行业可以施工作业的时间最长为多少小时？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）该同学应该戴防雾霾口罩， 因为当时，， 所以该同学应该戴防雾霾口罩； （ⅱ）12小时 【分析】（1）结合图象，进行代值求解； （2）（ⅰ）计算当时进行比较求解； （ⅱ）由进行求解． 【详解】（1）因为当时，图象过点， 所以，所以， 因为函数连续，所以， 所以．所以； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）令，即，解得． 因为，所以该行业可以施工作业的时间最长为12小时． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $