第14讲 函数的应用（二分法）讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数零点概念、零点存在定理及二分法原理这一核心知识点，前承方程实根与函数图象交点的关联，后接二分法求近似解的操作步骤，构建“概念-定理-方法”的学习支架，还涵盖二次函数零点个数与判别式的关系。 资料以新知导图可视化知识联系，题型分类训练含例题及变式（如例3训练二分法中点判断），易错清单与方法总结助学生规范表达。通过分层检测提升数学思维的推理能力，培养数学眼光的抽象意识，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第 14 讲 4.5 函数的应用（二分法） ▶ 预习目标 ● 1．理解函数零点的概念：方程 的实根就是函数 的零点。 ● 2．掌握零点存在定理：若 ，则区间 内至少有一个零点。 ● 3．理解二分法的原理，会用二分法求方程近似解。 ● 4．会判断二次函数零点个数，联系判别式 。 ▶ 知识回顾 方程 的解 不易手算，但可用“区间不断对半缩”的方法逼近。本讲把这种思想抽象为二分法，并用零点存在定理保证每次缩区间都包着根。 ▶ 新知导图 零点 的实根 图象与 轴交点的横坐标 存在定理 连续且 内至少一个零点 二分法 取中点、判符号、保留含零点的半边、重复逼近 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 函数零点 对于函数 ，使 的实数 叫零点。方程 的实根、函数零点、图象与 轴交点横坐标，三者一一对应。二次函数零点个数由判别式 决定： 两零点、 一零点、 无实零点。 ◆ 知识点 02 零点存在定理 若 在区间 上的图象连续，且 （即端点函数值异号），则在 内至少存在一个零点。注意：定理只保证“存在”，不保证唯一；若异号也可能有多个零点。 ◆ 知识点 03 二分法 在 上 时，取中点 ：若 则 为根；若 则根在 ，否则在 。重复此过程，区间长度减半，可逼近根到任意精度。 ◆ 理解提示 零点存在定理的前提是“连续”与“异号”，缺一则结论不成立（如 在 不满足连续）。二分法每次只保留含零点的那一半，区间长度以 速度缩小。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 函数 的零点是（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 二次函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D．无数个 【变式 1-3】 函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【例 2】 已知 连续且 ，则在区间 内（ ） A．至少有一个零点 B．恰有一个零点 C．无零点 D．无法确定是否有零点 【变式 2-1】 若 ，则 内（ ） A．一定无零点 B．一定有零点 C．可能有零点也可能没有 D．恰有一个零点 【变式 2-2】 方程 在 内是否有根（ ） A．有，因 B．无 C．恰有一根在 D．无法确定 【变式 2-3】 函数 的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【例 3】 用二分法求 在 内的根，第一次取中点 ，则 与下一步区间分别为（ ） A．，根已得 B．，下一步 C．，下一步 D．，下一步 【变式 3-1】 用二分法求 的正根，初始区间 ，，第一次中点 ，则下一步区间为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 二分法每次将区间长度（ ） A．减半 B．变为原来的 C．不变 D．加倍 【变式 3-3】 用二分法求方程近似解，至少需已知根所在区间满足（ ） A．端点函数值异号 B．端点函数值同号 C．区间长度大于 D．函数为一次函数 【例 4】 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 若二次函数 有两个零点且 ，则两零点可能（ ） A．都在 B．一个在 一个在 C．都在 D．都在 【变式 4-3】 用二分法对 迭代 次后，区间长度变为原来的（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 的零点是（ ） A． B． C． D． 2． 函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 3． 若 且 连续，则 内（ ） A．至少一个零点 B．无零点 C．恰一个零点 D．无数零点 4． 方程 的实数零点个数为（ ） A． B． C． D．无数 5． 的零点为（ ） A． B． C． D．无零点 6． 用二分法求根，取中点后下一步保留（ ） A．端点函数值异号的半边 B．端点函数值同号的半边 C．左半边 D．右半边 7． 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 8． 的零点为（ ） A． B． C． D． 9． 函数 在 上（ ） A．无零点且不连续，定理不适用 B．有零点 C．有一个零点 D．有两个零点 10． 二分法初值区间长度 ，迭代 次后长度（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 方程 的根所在区间（ ） A． B． C． D． 12． 函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 13． 用二分法求 在 的根，中点 ，则（ ） A．，根为 B．下一步 C．下一步 D．根不在区间内 14． 函数 在 连续且 ，则（ ） A．可能有偶数个零点 B．一定无零点 C．恰有奇数个零点 D．至少有一个零点 15． 二分法求方程近似解， 为精度，初值区间长 ，大约需迭代次数为（ ） A．使 的最小 B． C．固定 次 D． ▶ 易错清单 ● 1．零点是 的值（实数），不是坐标点；方程根、零点、图象交点横坐标三者一致。 ● 2．零点存在定理需“连续+端点异号”两个条件，缺一不可。 ● 3．定理只保证存在，不保证唯一；端点同号时也可能有零点（偶数个）。 ● 4．二分法每次保留端点异号的那一半，区间长度减半。 ▶ 方法总结墙 （1）求零点：解 。（2）判断存在：连续且 。（3）二分法：取中点、判符号、留异号半边、重复。（4）个数：二次函数看 ，高次因式分解或结合图象。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 14 讲 4.5 函数的应用（二分法） ▶ 预习目标 ● 1．理解函数零点的概念：方程 的实根就是函数 的零点。 ● 2．掌握零点存在定理：若 ，则区间 内至少有一个零点。 ● 3．理解二分法的原理，会用二分法求方程近似解。 ● 4．会判断二次函数零点个数，联系判别式 。 ▶ 知识回顾 方程 的解 不易手算，但可用“区间不断对半缩”的方法逼近。本讲把这种思想抽象为二分法，并用零点存在定理保证每次缩区间都包着根。 ▶ 新知导图 零点 的实根 图象与 轴交点的横坐标 存在定理 连续且 内至少一个零点 二分法 取中点、判符号、保留含零点的半边、重复逼近 ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 函数零点 对于函数 ，使 的实数 叫零点。方程 的实根、函数零点、图象与 轴交点横坐标，三者一一对应。二次函数零点个数由判别式 决定： 两零点、 一零点、 无实零点。 ◆ 知识点 02 零点存在定理 若 在区间 上的图象连续，且 （即端点函数值异号），则在 内至少存在一个零点。注意：定理只保证“存在”，不保证唯一；若异号也可能有多个零点。 ◆ 知识点 03 二分法 在 上 时，取中点 ：若 则 为根；若 则根在 ，否则在 。重复此过程，区间长度减半，可逼近根到任意精度。 ◆ 理解提示 零点存在定理的前提是“连续”与“异号”，缺一则结论不成立（如 在 不满足连续）。二分法每次只保留含零点的那一半，区间长度以 速度缩小。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 令 ，零点为 （注意零点是 的值，不是点）。 【变式 1-1】 函数 的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 【变式 1-2】 二次函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D．无数个 【答案】 C 【详解】 ，无实根，零点个数为 。 【变式 1-3】 函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 或 ，共 个零点。 【例 2】 已知 连续且 ，则在区间 内（ ） A．至少有一个零点 B．恰有一个零点 C．无零点 D．无法确定是否有零点 【答案】 A 【详解】 ，由零点存在定理知 内至少有一个零点；不能保证唯一。 【变式 2-1】 若 ，则 内（ ） A．一定无零点 B．一定有零点 C．可能有零点也可能没有 D．恰有一个零点 【答案】 C 【详解】 端点同号时区间内可能有零点（如偶数个）也可能没有，定理不能判定。 【变式 2-2】 方程 在 内是否有根（ ） A．有，因 B．无 C．恰有一根在 D．无法确定 【答案】 A 【详解】 令 ，，，异号，由定理 内至少一根。 【变式 2-3】 函数 的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，，异号，零点在 。 【例 3】 用二分法求 在 内的根，第一次取中点 ，则 与下一步区间分别为（ ） A．，根已得 B．，下一步 C．，下一步 D．，下一步 【答案】 A 【详解】 ，，故 即为根。 【变式 3-1】 用二分法求 的正根，初始区间 ，，第一次中点 ，则下一步区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，与 异号，故根在 ；下一步取该区间。 【变式 3-2】 二分法每次将区间长度（ ） A．减半 B．变为原来的 C．不变 D．加倍 【答案】 A 【详解】 取中点后将区间缩为原长的一半，长度减半。 【变式 3-3】 用二分法求方程近似解，至少需已知根所在区间满足（ ） A．端点函数值异号 B．端点函数值同号 C．区间长度大于 D．函数为一次函数 【答案】 A 【详解】 二分法要求初始区间内 以保证含根。 【例 4】 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 或 。 【变式 4-1】 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【变式 4-2】 若二次函数 有两个零点且 ，则两零点可能（ ） A．都在 B．一个在 一个在 C．都在 D．都在 【答案】 B 【详解】 抛物线 开口向上，两根 之间函数值为负，故在 上 。 【变式 4-3】 用二分法对 迭代 次后，区间长度变为原来的（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 每次减半，迭代 次后长度为 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 函数 的零点是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 2． 函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 ，共 个。 3． 若 且 连续，则 内（ ） A．至少一个零点 B．无零点 C．恰一个零点 D．无数零点 【答案】 A 【详解】 零点存在定理保证至少一个。 4． 方程 的实数零点个数为（ ） A． B． C． D．无数 【答案】 A 【详解】 无实根，零点个数 。 5． 的零点为（ ） A． B． C． D．无零点 【答案】 A 【详解】 ，零点 。 6． 用二分法求根，取中点后下一步保留（ ） A．端点函数值异号的半边 B．端点函数值同号的半边 C．左半边 D．右半边 【答案】 A 【详解】 保留含根（端点异号）的那一半。 7． 函数 的零点为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 8． 的零点为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 9． 函数 在 上（ ） A．无零点且不连续，定理不适用 B．有零点 C．有一个零点 D．有两个零点 【答案】 A 【详解】 无解，且 处不连续，零点存在定理前提不满足，不能用其判定。 10． 二分法初值区间长度 ，迭代 次后长度（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 每次减半，两次后 。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 方程 的根所在区间（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 令 ，，，异号，根在 。 12． 函数 的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 ，共 个零点。 13． 用二分法求 在 的根，中点 ，则（ ） A．，根为 B．下一步 C．下一步 D．根不在区间内 【答案】 A 【详解】 ，故 为根。 14． 函数 在 连续且 ，则（ ） A．可能有偶数个零点 B．一定无零点 C．恰有奇数个零点 D．至少有一个零点 【答案】 A 【详解】 端点同号时零点个数可能为偶数（含 ），不能判定，故“可能有偶数个零点”正确。 15． 二分法求方程近似解， 为精度，初值区间长 ，大约需迭代次数为（ ） A．使 的最小 B． C．固定 次 D． 【答案】 A 【详解】 第 次后区间长 ，令其小于精度 即可。 ▶ 易错清单 ● 1．零点是 的值（实数），不是坐标点；方程根、零点、图象交点横坐标三者一致。 ● 2．零点存在定理需“连续+端点异号”两个条件，缺一不可。 ● 3．定理只保证存在，不保证唯一；端点同号时也可能有零点（偶数个）。 ● 4．二分法每次保留端点异号的那一半，区间长度减半。 ▶ 方法总结墙 （1）求零点：解 。（2）判断存在：连续且 。（3）二分法：取中点、判符号、留异号半边、重复。（4）个数：二次函数看 ，高次因式分解或结合图象。 学科网（北京）股份有限公司 $