河南省新乡市原阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

2024—2025学年高二上学期入学测试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.到x轴距离与到y轴距离之比等于的点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 6. 已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为 B. 直线的倾斜角为120° C. ，，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 已知两个向量，且，则 B. 已知，则在上的投影向量为 C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 11. 下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆的公共弦长为 B. 过点作圆的切线，则切线的方程为 C. 圆与圆关于直线对称 D. 圆心为，半径为5的圆的标准方程是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 假如，，且与相互独立，则___________． 13. 直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则______. 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （13分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. （1）试用向量表示向量； （2）若，求的值. 16. （15分） 已知的顶点，，且重心G的坐标为. （1）求C点坐标： （2）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.求的欧拉线的一般式方程. 17. （15分）在锐角中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若是的外接圆上一点（与位于直线异侧），且，求四边形的面积． 18.（17分）如图，平面，，，，，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）若二面角的余弦值为，求线段的长. 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN； （2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围． 高二数学试题-参考答案 1D2. A.3. D4. C5. B6. D7. A【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 故选：A. 8.B解：设，，则，，， 故，，， 观察可知，，，，，，，，，，，，则，即．故选：． 9. BCD 10. ABC 11. AC 三、填空题：12. 13. 14. 或或 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以 . 【小问2详解】 因为，， 所以 = 16. 【小问1详解】 设，则由重心G的坐标为，有， 解得，即, 所以C点坐标为. 【小问2详解】 设的外心，则由外心性质可得P在的中垂线上，即， 由，，， 则，即，解得，即. 又，故欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即. 17【答案】（1） （2） 【小问1详解】在锐角中， 因为，所以， 而，故， 因为是锐角，所以， 由余弦定理得， 又因为，所以，整理的， 故． 【小问2详解】在中，因为， 所以，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得，即： ，解得， 所以四边形的面积为 . 18.（1）以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系 则 设 设为平面的法向量 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 （2）设为平面的法向量 由题意得 解得 经检验，符合题意，所以线段的长为 19. 【小问1详解】 证明：因为点N为线段AD中点，且， 所以， 因为，且四边形ABCD为正方形，故， 所以，而平面， 故平面； 【小问2详解】 设正方形ABCD的中心为O，分别取的中点为， 设点H为线段AD的中点，由（1）知四点共面，且平面， 连接平面，故， 又平面，故平面平面， 且平面平面， 由题意可知四边形为等腰梯形，故, 平面，故平面， 故以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 因为，则， 又，故， 设到底面的距离为h， 四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且， 故，又， 故，则， ，， 设， 设平面的一个法向量为， 则，令， 设平面的一个法向量为， 则，令， 故， 令，则， 令，则， 令，则在上单调递增， 故当时，，当时，， 故， 即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$