学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（云南专用，新教材人教版八年级上册第13～14章：三角形+全等三角形）

**基本信息** 立足三角形与全等三角形核心内容，以口袋公园、电脑支架等现实情境为载体，通过基础辨析、动态探究、实践作图等题型，考查几何直观与推理能力，适配八年级9月学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|三角形定义、三边关系、全等判定|第10题以口袋公园考内心性质，体现数学应用| |填空题|4/8|三角形外角、全等条件|第18题开放填空，考查全等判定依据的灵活运用| |解答题|8/62|等腰三角形周长、动态全等、作图证明|第24题结合电脑支架探究角度关系，第27题通过坐标系探究等腰直角三角形存在性，凸显综合思维与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ===-==-。。==--=--。====-=●一一==- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 13.[A][B][C[D] 4.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 14.[A][B][C][D] 5.IA][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 15.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16. 17. 18 19 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 20.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(7分) 23.(6分) G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 图① 图② 25.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(8分) B D 27.(12分) C 图1 图2 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16._______________ 17. ___________ 18. _________________ 19. __________________ 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 20.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（6分） 22.（7分） 23．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． （8分） 25．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（8分）     27． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版八年级上册（13—14章）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．下列线段长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 4．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 5．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 6．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 9．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 11．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 13．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 17．如图，为的外角，已知，，则_____________． 18．如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 19．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．（7分）已知x，y满足，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长． 21．（6分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 22．（7分）如图，在中，，，平分，求的度数． 23．（6分）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 24．（8分）电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示意图，若笔记本电脑的屏幕垂直于支架底座的位置． (1)与的数量关系是 ，并写出证明过程； (2)若图②中的撑杆于点E，试探索与的数量关系？并说明理由． 25．（8分）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 26．（8分）如图，使用圆规作图，看图填空： (1)如图，以点___________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边___________，___________于点___________，___________．分别以C、D为圆心，以大于的一半为半径作弧交于点P． (2)求证：平分． 27．（12分）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟 分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新人教版八年级上册（13—14章）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 2．下列线段长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 4．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 5．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 6．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 8．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 9．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 11．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 13．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 17．如图，为的外角，已知，，则_____________． 18．如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 19．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．（7分）已知x，y满足，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长． 21．（6分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 22．（7分）如图，在中，，，平分，求的度数． 23．（6分）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 24．（8分）电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示意图，若笔记本电脑的屏幕垂直于支架底座的位置． (1)与的数量关系是 ，并写出证明过程； (2)若图②中的撑杆于点E，试探索与的数量关系？并说明理由． 25．（8分）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 26．（8分）如图，使用圆规作图，看图填空： (1)如图，以点___________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边___________，___________于点___________，___________．分别以C、D为圆心，以大于的一半为半径作弧交于点P． (2)求证：平分． 27．（12分）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 2．下列线段长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用构成三角形的三边条件，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不合题意． 3．如图，一把不透明的尺子挡住了三角形的一部分，则这个三角形的类别为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，属于基础题型，掌握其分类的方法是做题的关键．根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 【详解】解：根据题意与图可得，这个三角形为锐角三角形． 故选：C． 4．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 5．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 6．下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 7．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵是中边上的中线，的面积为， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴． 8．将一个直角三角尺EGF与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，其中，点F，E分别落在边，上，与交于点H，若，则的度数为（   ） A．40° B．35° C．30° D．20° 【答案】D 【分析】根据直角三角尺的性质得出，利用平角定义求出的度数，进而求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出的度数． 【详解】解：直角三角尺中，，， ， ，点、、在同一直线上， ， ， ， ． 9．如图，已知，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 10．上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 11．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，即，再结合图形中线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 12．如图，在中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，运动速度为（   ）厘米/秒 A． B．3或 C．2或 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及动点问题的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合动点的运动路程与速度、时间的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设运动时间为秒，则，，， ①若≌， 则，， 即 解得； ②若≌， 则，， 即 解得 故或． 故选：C ． 13．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：，， ． ，的平分线交于点D，于点E， ． 15．如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到， 则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确， 【详解】解：∵， ， 在中，，在中， ， 在和中， ， ∴，故①选项正确； ， ， 得， ∴，选项④正确； 在和中， ， ∴，选项②正确； 连接， 在和中， ， ∴， ，即点D在的平分线上，选项③正确； 故正确的为①②③④． 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16．一个三角形的三边长分别为2，3，，若为偶数，则的值为____________．（写出一个即可） 【答案】（或，写出任意一个即可） 【分析】先利用三角形三边关系确定的取值范围，再根据为偶数的条件确定符合要求的的值． 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为2，3，， ∴ ∴， ∵为偶数， ∴的值为或． 17．如图，为的外角，已知，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，进行解得，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 18．如图，已知，需要条件（用图中的字母表示）______，可得，根据是______． 【答案】 或 或 【详解】解：已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 已知，需要条件（用图中的字母表示）为，可得，根据是． 理由如下： ∵，，， ∴， 19．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． ①利用三角形的内角和以及角平分线和直角三角形的性质求出相关的角，然后利用角的和差进行求解即可； ②利用反证法进行证明即可； ③在上截取，连接，求出相关的角，证明和，得出相等的线段，利用线段的和差即可得出结论； ④在③的基础上，过点作于点，过点作于点，利用角平分线的性质得出三角形相等的高，然后根据面积比等于底边的比进行求解即可． 【详解】解：①， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②如图所示，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ， ； 假设，则， ，， ， ， ， ，与矛盾， 假设不成立，即， ，故结论②错误，不符合题意； ③如图，在上截取，连接； 平分，平分，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ， ，， ， ，， ，， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20．（7分）已知x，y满足，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长． 【详解】解：由题意得 ．（3分） 当底边长为4时，周长为．（4分） 当底边长为8时，，（5分） ∴不能构成三角形． 故满足条件的等腰三角形的周长为20．（7分） 21．（6分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ，（5分） ∴．（6分） 22．（7分）如图，在中，，，平分，求的度数． 【详解】解：∵，且，， ∴，（3分） 又平分， ∴，（6分） ∴．（7分） 23．（6分）如图，、分别为的边BC上的高线和中线，为边上的高线，已知，，． (1)求的长和的面积； (2)求的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 则， 的面积为；（3分） （2）解：， ．（6分） 24．（8分）电脑支架是我们工作学习的帮手，也隐藏着数学问题，如图①是从侧面看一台笔记本电脑放在电脑支架上的平面图，如图②是图①的简易示意图，若笔记本电脑的屏幕垂直于支架底座的位置． (1)与的数量关系是 ，并写出证明过程； (2)若图②中的撑杆于点E，试探索与的数量关系？并说明理由． 【答案】(1) ，证明如下： 延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ．（4分） (2) ，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴．（8分） 25．（8分）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ；（4分） (2) 证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ．（8分） 26．（8分）如图，使用圆规作图，看图填空： (1)如图，以点___________为圆心，以任意长为半径作弧，分别交两边___________，___________于点___________，___________．分别以C、D为圆心，以大于的一半为半径作弧交于点P． (2)求证：平分． 【答案】(1)O，，，，（3分） (2) 证明：如图，连接， 根据作图可知， ∴， ∴， ∴平分． （8分） 27．（12分）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴；（3分） （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴；（7分） （3）解：存在，理由如下： ①：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ②：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： ∵，， ∴，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴； ③：当，时，过点作平行于轴的直线，于点，于点，如图所示： 设， ∵，， ∴，，，， 由（1）同理可证， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 综上，点的坐标为：，，．（12分） 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 6 7 8 10 11 13 14 15 C C D 第二部分（非选择题共70分） 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16.2(或4，写出任意一个即可) 17.125° 18.BC=DC或∠BAC=∠DAC SSS或SAS 19.①③④ 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 20.(7分) 【详解】解：由题意得x-4=0,y-8=0, .x=4,y=8 (3分) 当底边长为4时，周长为8+8+4=20.(4分) 当底边长为8时，4+4=8，(5分) ∴不能构成三角形 故满足条件的等腰三角形的周长为20.(7分) 21.(6分) 【答案】证明：，AF=DC, ..AF-CF=DC-CF,AC=DF, 在△ABC和△DEF中， 1/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 AC=DF ∠A=∠D AB=DE;(5分) △ABC≌△DEF(SAS) (6分) 22.(7分) 【详解】解：，∠BAC+∠C+∠B=180°，且∠B=30°，∠C=110°， .∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-110°-30°=40°，(3分) 又AD平分∠BAC, :∠BAD-3BAC=20,(6分) :.∠ADC=∠BAD+∠B=20°+30°=50°.(7分) 23.(6分) 【详解】(I)解：AD是△ABC的中线， ∴.BD=DC=10 则BC=2BD=2×10=20, 1 △ABC的面积为SABc= 2×BC×AF2×20×6=60:(3分 (2)解：Sac=)×AC×BG=60 1 2 4C=60x2=24.(6分) 5 24.(8分) 【答案】(I) ∠ABC-∠BCD=90°，证明如下： 延长AB交CD于点G, 217 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 A B卧E DGF AB⊥CD. ∠BGC=90°， ·∠ABC=∠BCD+∠BGC=∠BCD+90°， ∴∠ABC-∠BCD=90°， 故答案为： ∠ABC-∠BCD=90°.(4分) (2) ∠ABC=∠DFE,理由如下： :FE⊥BC, .∠FEC=90°， .∠DFE=∠FEC+∠BCD=∠BCD+90°， 由(1)可知，∠ABC=∠BCD+90°， ·.∠ABC=∠DFE.(8分) 25.(8分) 【答案】(1) 证明：连接AD,如图所示： 在 花 中， B △ABD△ACD AB=AC BD=CD AD=AD 3/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ,∴.△ABD≌△ACD(SSS) .∠ABD=∠ACD:(4分) (2) 证明：由(1)可知：△ABD≌△ACD, .∠BAD=∠CAD :DE⊥AB,DF⊥AC. .DE =DF, 在Rt△DEB和RtADFC中， DB=DC DE=DF, ∴.Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) .BE=CF.(8分) 26.(8分) 【答案】(I)O,OA,OB,C,D(3分) (2) 证明：如图，连接DP,CP,OP, 根据作图可知DP=CP,OD=OC,OP=OP AODP≌△OCP(SSS) .∠1=∠2， .OP平分∠AOB B D (8分) C A 27.(12分) 【详解】(1)解：CD=BE,理由如下： AD⊥DE,BE⊥DE, 4/7 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 .∠D=∠E=90°=∠ACB, ∠D+∠DAC=∠ACE=∠ACB+∠BCE, ∴∠DAC=∠BCE, ∴，在△ADC与△CEB中， ∠D=∠E ∠DAC=∠BCE AC=BC △ADC≌ACEB(AAS) .CD=BE:(3分) (2)解：AD⊥CE,BE⊥CE, ∴.∠E=∠ADC=90°. :∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， .∠BCE=∠CAD. .△BCE和△CAD中， [∠E=∠ADC ∠BCE=∠CAD BC=AC △BCE≌ACAD(AAS) .BE CD,CE=AD=2cm, .BE=CD=CE-DE=2-1.6=0.4cm;(7分) (3)解：存在，理由如下： ①：当PB=AB,∠ABP=9O°时，过点B作平行于x轴的直线DE,AD⊥DE于点D,PE⊥DE于点E, 如图所示： 517 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 A< ÷1(-2,6)B(6,2) AD=6-2=4.BD=6-(-2)=8 由(1)同理可证△ABD≌APEB, .AD=BE=4,PE=BD=8. :.P点的横坐 =BE+x=4+6=10,P点的纵坐标 PE+yg=8+2=10 .P（10,10) ②：当PA=AB,∠PAB=90°时，过点A作平行于y轴的直线GF,PG⊥GF于点G,，BF⊥GF于点F, 如图所示： y G ·1(-2,6)8(6,2) :AF=6-2=4BF=6-(-2)=8 由(1)同理可证△PGA≌△AFB, .PG=AF=4,GA=BF=8, 617 西学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 :.P点的横坐 =PG+x4=4+(-2)=2,P点的纵坐标 GA+y4=8+6=14 :P214) ③：当PA=PB,∠APB=90°时，过点P作平行于x轴的直线MN,AM LMN于点M,BN⊥MN于点 N,如图所示： M PN B 设P(0) 1(-2,6)B(6,2) :PW=。-,=6-a,NB=-y=b-2.PM=-x=a-(-2)=a+2MA=p-y,=b-6 由(1)同理可证△APM≌aPBN,, ∴.PN=MA,PM=NB, 6-a=b-6 a+2=b-2, a=4 解得：1b=8, P(48) 综上，P点的坐标为： (10,10)(2,14).（4,8).12分) 7/7