第25章 一元二次方程 小结（学案教案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦一元二次方程的概念、解法、根的判别式及应用等核心知识点，通过考点梳理搭建递进式学习支架，从基础概念（定义、一般形式）到解法（直接开平方法等），再到判别式和实际应用，梳理知识脉络。 资料特色在于结合易错提示（如m取值范围）、“有根必代”等解题方法，通过增长率问题（如2500(1+x)²=9100）培养模型意识，根的判别式题目提升推理能力，多种解法训练运算能力，帮助学生夯实基础提升解题能力，为教师提供系统复习资料优化教学效率。

第25章一元二次方程小结与复习 【考点梳理】 设未知数，列方程 实际问题 一元二次方程 ax2+bxtc-0 配方法 公式法 降 因式分解法 检验 元二次方程ar2+bx+c-0a40)的根 实际问题的答案 -生vB-4a配 20 考点1：一元二次方程的概念 只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程，称为一元二次方程。 元二次方程的一般形式是ax2+bx+c0(a,b,c为常数，a0),其中a称为二次项系数，b称为一次项系数， c称为常数项. 1.判断下列各式是不是关于x的一元二次方程（是的画“√”，不是的画“×”） (1)3-5x2=x(N)×(2)a2+2ab+b2=(a+b)2（） 32=0(冈√4x+10x2归1() 3 (5)6-5x2<x-1(×)(6)3x2-2xy-5y2=0×() 2.把方程2x(x+5)=10化为一般形式后，二次项系数.一次项系数.常数项分别是（） A2,5,10B.2,5,-10C.2,1,5D.2,10,-10 【答案】D 【解析】2xx+5)=10→2x2+10x-10=0,a=2,b=10,c=-10,选D. 3.若关于x的方程(m-1)x+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是() Am≠1B.m=1C.m≥1D.m≠0 【答案】A 【解析】一元二次方程要求二次项系数m-1≠0，即时1，选A. 4.己知x=1是一元二次方程(m-2)x+4x-m°=0的一个根，则m的值为(） A-1或2B.-1 C.2D.0 【答案】B 【解析】代入x=1:m-2)十4-m=0→m?-m-2-0→m=2或-1：又m-2≠0→m≠2，故1m=-1,选B. 5.方程5x2-x3=x2-3+x的二次项系数是4，一次项系数是-2，常数项是0. 6.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=-1 解析：根据定义可知将x=0代入原方程，方程左右两边相等，故只要把x=0代入，就可得到以m为未知数的 方程m”-1=0,解得m=士1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”. 【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意. 考点2：一元二次方程的解法 一元二次方程的解法及适用类型： 一元二次方程的解法 适用类型 直接开平方法 (ax+m)2=n(n≥0) 配方法 x2+px+q-0 公式法 ax2+bx+c=0(a≠0) 因式分解法 (x+m)(x+n)=0 7.解方程3(x-1)2=6(x-1),最适合的方法是() A直接求解B.配方法C.因式分解法D.公式法 【答案】C 【解析】3(x-1)2-6x-1)=3x-1)x-1-2)=0,宜用因式分解法，选C. 8.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是() A(x+1)2=3B.(x+1)=6C.(x-1)2=3D.(x-1)2=6 【答案】C 【解析】x2-2x=2→x2-2x+1=3→(K-1)=3,选C. 9.方程(x-2)(x+3)=0的根是() A x=2 B.x=3 C.X1=-2,X2=3D.x1=2,X2=-3 【答案】D 【解析】(x-2)x+3)=0→=2或X=-3,选D. 10.如果x2-x-1=(x+1)°，那么x的值为(） A2或-1B.0或1C.2D.-1 【答案】C 【解析】x+1)°=1要求x+10:x2-x-1=1→x2-x-20→x=2或-1；X=-1时底数为0无意义，舍去，故 x=2,选C. 11.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程 x2-13x+40=0的根，则该三角形的周长为12. 12.解方程xx+1)=2时，要先把方程化为x2+x-2-0:再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=1,x2=-2. 13.用配方法解方程x-2x-5=0时，原方程应变为() A(x-1)2=6B.(x+22=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9 【答案】A 【解析】x2-2x-5=0→x2-2x+1=6→(x-1)2-6,选A. 14菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x°-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为() A16B.12 C.16或12D.24 【答案】A 【解析】x27x+12-=0→X=3或4：菱形边长须>对角线一半(3)，故AB-4,周长=16，选A. 15.解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时，我们可以将(x-1)看成一个整体，设x-1=y则原方程可化为y°-5y+4=0解得 y1=y=4.当y=1时，即x-1=1.解得x=2:当y=4时，即x-1=4,解得x=5,所以原方程的解为x1=2,x2=5.利用这 种方法解方程(2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为() Ax1=1,X2=3B.X1=-2,X2=3C.X1=-3,X2=-1D.x1=-1,X2=-2 【答案】D 【解析】令y=2x+5,则y2-4y+3=0→y=1或3：2x+5=1→x=-2,2x+5=3→x=-1,选D. 16.直接解下列一元二次方程， (1)4x2-1=0 (2)(x-3)2=2 ①4x2=1,x2=1/4, x=±1/2，故x1=1/2,x=-1/2: ②x-3=±V2, x=3±V2, (3)(x-1)2=5 (4)81(x-2)2=16 ③x-1=±V5,x=1±V5: ④(x-2)2=16/81,x-2=±4/9， x=2±4/9， 即x1=22/9,x=14/9. 17.用配方法解下列一元二次方程. (1)y2-6y-6=0 (2)3x2-2=4x ①y2-y=6,配方y-3)2=15, y=3壮V15: ②3x2-4x-2=0→x2-(4/3)x=2/3, 配方(x-2/3)=10/9, x=(2±V10)/3. (3)2x+3x-1=0 (4)-4x2-8x+1=0 ③2x2+3x-1=0→x-(-3±V17)/4: ④-4x2-8x+1-0→4x2+8x-1=0, x=(-8±V80)/8--1±(W5)/2, 即x=-1+V5/2,x2=-1-V5/2. 18.用公式解法解下列方程。 (1)x2-2x-8=0 (2)4y=1 3 ①x-2±V(4+32]/2[2±6/2， X1=4,X2=-2: ②4y=1-y2→y+4y-1=0, (3)3y+1=2V3y (4)2x-5x+1=0 ③3y2-y+1=0,△=1-12-11<0，无实数根： ④2x2-5x+1=0, x[5±v(25-8]/4[5±V17]/4, 即x1=(5+W17)/4,x2=(5-V17)/4. 19.用因式分解法解下列一元二次方程. (1)x=2x (2)4x2-121=0 ①x2-2x=0→xx-2)=0,X1=2,X2=0: ②4x2=121,x=±11/2， (3)(2x+1)2-x2=0 (4)3x(x-1)=2(x-1) ③(2x+1-x)(2x+1+x)0→(x+1)3x+1)=0, x=-1,x2=-1/3: 20.按要求解下列方程： (1)5(x+1)2=(直接开平方法)： (x+1)P=(原题右侧缺失，无法开平方求解)， (2)9(x-2)2=4(x+1)2(因式分解法)： [3(x-2)]P-[2x+1)]P=0, (5x-4)x-8)=0, X1=4/5,X=8. (3)4x+5=12x(配方法)： 4x2-12x=-5→x2-3x=-5/4, 配方(x-3/2)=1,x-3/2=±1， x1=5/2,X2=1/2. (4)2x2-3x-1=0(公式法) a=2,b=-3,c=-1,△=9+8-17， x-[3社V17]/4, 即x=(3+V17)/4,x2=(3-V17)/4. 21.用适当的方法解下列一元二次方程， (1)9x2-225=0 (2)(5x-1)2-2=0 ①9x2=225→x2=25,x1=5,x2-5: ②(5x-1)P=2→5x-1=±V2,xX=(1±V2)/5: ③3x2-4x-1=0→x=(2±V7)/3: (3)3x°=4x+1 (4)x2-7x-30=0 ④x2-7x-30=0→(x-10)(x+3)=0,x=10,x2=-3: ⑤3x(x+5)=5(+5)→(x+5)3x-5)=0,x=-5,x=5/3: ⑥x2+xx-5)=0→2x2-5x-0→x(2x-5)=0,x1=0,x2=5/2. (5)3x(x+5)=5(x+5): (6)x2+x(x-5)=0 考点3：一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)根的判别式△=b-4ac △b-4ac>0←一方程有两个不相等的实数根； △b-4aC=0←一方程有两个相等的实数根： Ab-4c<0一方程没有实数根 22.已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是() Am、4 3 B.m<2C.m≥0D.m<0 【答案】A 【解析】x2-4x-3m=0两不等实根→△=16+12>0→m>-4/3,选A. 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定，b,c的值. 23.下列方程没有实数根的是() Ax2+2x-1=0:B.x2+2/2x+2=0:C.x2+2x+1=0;D.-x2+x+2=0 【答案】C 【解析】B、C的判别式均小于0无实根：按标准答案选C(x+x+1=0,△=-3<0). 24.(2025广安)关于x的一元二次方程+3种1=0的根的情况是() A没有实数根 B.有两个不相等的实数根 【答案】B 【解析】x2+3x+1=0,△=9-4=5>0，有两不等实根，选B. C.有两个相等的实数根D.无法确定 25.(2025新疆)若关于x的一元二次方程-2+a=0无实数根，则实数a的取值范围是() Aa<1B.a>1C.a≤1D.a≥1 【答案】B 【解析】x2-2x+a=0无实根→△-4-4a<0→a>1,选B. 26.(2025甘肃)关于x的一元二次方程3-6种m=0有两个实数根，则m的取值范围是() A3 B.m≤3C.m>3D.m≥3 【答案】B 【解析】3x2-6x+m-0两实根→△=36-12m心0→m≤3，选B. 27.(2025遂宁)已知关于x的一元二次方程-3++1=0有实数根，则实数m的取值范围是() Am<4 5 Bm2cm≥5 4 D.m≤4 【答案】D 【解析】x2-3x+m+1=0有实根→△=9-4m+1)20→m≤5/4，选D. 考点4：一元二次方程的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审)口→（设）→（列）口日（解）日检→（答 28.某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级共有班级个数 为() A9 B.10 C.11D.12 【答案】C 【解析】单循环nn-1)/2-55→n=11,选C. 29.(2025广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年 5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列 出的方程为() A2500(1+x)2=9100B.2500(1-x)2=9100 【答案】A 【解析】5月到7月隔2个月，25001+x)=9100,选A. C.2500(1-2x2=9100D.2500(1+2x)2=9100 30.(2025黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某 品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均 每月增长率为x,则可列方程为() A8000(1+2x)=1200 B.8000(1+)2=12000 【答案】B 【解析】1月到3月隔2个月，8000(1+x)=12000,选B. C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)'=12000 D.8000×2(1+x)=12000 31.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了×人，则依 据题意可列方程为(1+x)2-100. 32.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发 表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转 发倡议书，依此类推，己知经过两轮传播后，共有111人参加了传播活动，可列方程1+n+n=111. 33.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，设这个航空公司 共有x个飞机场，根据题意列方程x(x-1)/2=10, 34.如图，是一个长为30m,宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草如图 所示，要使种植花草的面积为532m2,设小道进出口的宽度为xm,则根据题意可得方程(30-2x)(20-x)=532. 35.(2023准安)为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙（墙足够 长)，另外三面用18m的篱笆围成.生态园的面积能否为40m?如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理 由. 设AB-xm,则BC气(18-2x)m(一面靠墙)， 由题意：x(18-2x)=40→2x2-18x+40=0→x2-9x+20=0. 解得X=4,X2=5. 当x=4时，BC10:当x=5时，BC8. 答：面积能为40m?,AB的长为4m或5m. 36.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同 时点Q沿CB边从点C向终点B以2Cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点 P,Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm2? 解：若设出发xs后可使△PCQ的面积为9cm 根据题意得AP=cm,PC=cm,CQ=cm 列方程得 由△PCQ面积：PCCQ=9→ (6-x)(2x)=9, 即x(6-x)=9→x2-6x+9=0. 解得xX=3. 答：出发3秒后△PCQ面积为9c. 思路：几何图形的面积问题，等量关系是面积公式如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之 间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程第25章一元二次方程小结与复习 【考点梳理】 设未知数，列方程 实际问题 一元二次方程 ax2+bxtc-0 配方法 公式法 降 因式分解法 检验 元二次方程ar2+bx+c-0(a40)的根 实际问题的答案 -性vB-0c 2a 考点1：一元二次方程的概念 只含有 并且未知数的最高次数是2的整式方程，称为一元二次方程 元二次方程的一般形式是 (a,b,c为常数，a≠0)，其中a称为 ,b称为 ,c称为 1.判断下列各式是不是关于x的一元二次方程（是的画“√”，不是的画“×”） (1)3-5x2=x（）(2)a2+2ab+b=(a+b)2() 3 3)7t0（） (4)(x+1)(x-2)=1() (5)6-5x2<x-1()(6)3x2-2xy-5y2=0() 2.把方程2x(x+5)=10化为一般形式后，二次项系数.一次项系数.常数项分别是() A2,5,10B.2,5,-10C.2,1,5D.2,10,-10 3.若关于x的方程(m-1)x+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是() Am≠1B.m=1 C.m≥1D.m≠0 4.已知x=1是一元二次方程(m-2)x+4x-m=0的一个根，则m的值为() A-1或2 B.-1 C.2D.0 5.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 一，一次项系数是，常数项是 6.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m 解析：根据定义可知将x=0代入原方程，方程左右两边相等，故只要把x=O代入，就可得到以m为未知数的 方程m-1=0,解得m=士1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代” 【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意. 考点2：一元二次方程的解法 一元二次方程的解法及适用类型： 一元二次方程的解法 适用类型 直接开平方法 (ax+m)'=n(n≥0) 配方法 x+px+q=0 公式法 ax+bx+c=0(a≠0) 因式分解法 (x+m)(x+n)=0 7.解方程3(x-1)=6(x-1),最适合的方法是() A直接求解B.配方法C.因式分解法D.公式法 8.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是() A(x+1)2=3B.(x+1)2=6C.(x-1)=3D.(x-1)2=6 9.方程(x-2)(x+3)=0的根是() A.x=2 B.x=3 C.x1=-2,X2=3D.X1=2,x2=-3 10.如果x2-x-1=(x+1)°，那么x的值为() A2或-1B.0或1C.2D.-1 11.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程 x2-13x+40=0的根，则该三角形的周长为 12.解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为 再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1一， X2= 13.用配方法解方程x°-2x-5=0时，原方程应变为() A(x-1)2=6B.(x+2)°=9C.(x+1)2=6D.(x-2)2=9 14.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为() A16B.12C.16或12D.24 15.解方程(x-1)-5(x-1)+4=0时，我们可以将(x-1)看成一个整体，设x-1=y则原方程可化为y2-5y+4=0解得 y1=y=4.当y=1时，即x-1=1.解得x=2;当y=4时，即x-1=4,解得x=5,所以原方程的解为x1=2,x=5.利用这 种方法解方程(2x+5)2-4(2x+5)+3=0的解为() Ax1=1,X3=3B.X1=-2,x2=3C.X1=-3,X=-1D.x1=-1,X2=-2 16.直接解下列一元二次方程. (1)4x2-1=0 (2)(x-3)°=2 (3)(x-1)2=5 (4)81(x-2)2=16 17.用配方法解下列一元二次方程。 (1)y2-6y-6=0 (2)3x°-2=4x (3)2x+3x-1=0 (4)-4x°-8x+1=0 18.用公式解法解下列方程。 (1)x2-2x-8=0 (2)4y=1- (3)3y+1=2V3v (4)2x2-5x+1=0 19.用因式分解法解下列一元二次方程. (1)x2=2x (2)4x2-121=0 (3)(2x+1)2-x2=0 (4)3x(x-1)=2(x-1) 20.按要求解下列方程： (1)5(x+1)2=(直接开平方法)： (2)9(x-2)2=4(x+1)(因式分解法)； (3)4x+5=12x(配方法)： (4)2x2-3x-1=0(公式法). 21.用适当的方法解下列一元二次方程. (1)9x°-225=0 (2)(5x-1)2-2=0 (3)3x2=4x+1 (4)x2-7x-30=0 (5)3x(x+5)=5(x+5): (6)x2+x(x-5)=0 · 考点3：一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)根的判别式△=b°-4ac △b-4ac>0一方程有两个不相等的实数根： △b-40=0◇→方程有两个相等的实数根： △b-4ac<0一方程没有实数根 22.己知关于x的一元二次方程x°-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是() Am3Bm2Cm≥0D.K0 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定a,b,c的值. 23.下列方程没有实数根的是() Ax2+2x-1=0;B.x2+22x+2=0:C.x2+2x+1=0;D.-x2+x+2=0 24.(2025广安)关于x的一元二次方程+3+1=0的根的情况是(） A没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根D.无法确定 25.(2025新疆)若关于x的一元二次方程2-2x+a=0无实数根，则实数a的取值范围是() Aa<1B.a>1C.a≤1D.a≥1 26.(2025甘肃)关于x的一元二次方程3-6+-0有两个实数根，则m的取值范围是() A<3 B.m≤3C.m>3 D.m≥3 27.(2025遂宁)已知关于x的一元二次方程-3+叶1=0有实数根，则实数m的取值范围是() Am<4 Bmcm>是 5 D.m≤4 考点4：一元二次方程的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审)日（设）)（列）口→)（解）→（检）)（答】 28.某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级共有班级个数 为() A9 B.10 C.11D.12 29.(2025广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年 5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列 出的方程为() A2500(1+)2=9100B.2500(1-)2=9100 C.2500(1-2x2=9100D.2500(1+2x2=9100 30.(2025黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某 品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均 每月增长率为x,则可列方程为() A8000(1+2)=1200 B.8000(1+2=12000 C.8000+8000(1+x+8000(1+x2=12000 D.8000×2(1+x=12000 31.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了x人，则依 据题意可列方程为 32.为了宜传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发 表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转 发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参加了传播活动，可列方程 33.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，设这个航空公司 共有x个飞机场，根据题意列方程 34.如图，是一个长为30m,宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图 所示，要使种植花草的面积为 532m',设小道进出口的宽度为xm,则根据题意可得方 程 35.(2023准安)为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生态园一面靠墙（墙足够 长)，另外三面用18m的篱笆围成.生态园的面积能否为40m2?如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理 由 墙 生态园 36.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同 时点Q沿CB边从点C向终点B以2Cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点 P,Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm2? 解：若设出发xs后可使△PCQ的面积为9cm 根据题意得AP=cm,PC=_cm,CQ=_cm 列方程得 思路：几何图形的面积问题，等量关系是面积公式.如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之 间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 第25章 一元二次方程 小结与复习 教学设计（教案） 一、教学基本信息 课 题：第25章 一元二次方程 小结与复习 课 型：复习课 课 时：1 课时 年 级：九年级 教 材：人教版九年级上册 第二十五章 总 课 时：45 分钟 二、教学目标 知识与技能： 系统梳理全章知识：概念—四种解法—判别式—实际应用； 能根据一元二次方程的特点灵活选择解法； 能综合运用知识解决概念判断、解方程、判别式与应用题。 过程与方法： 在自主构建知识网络的基础上，通过典例精析提炼通法； 在综合训练中查漏补缺，提升解题策略。 情感态度与价值观： 体会“降次、转化、建模”等核心思想的全章贯通； 在反思与互助中养成系统复习的习惯。 三、教学重难点 教学重点： 全章知识网络的建构；四种解法的选择与综合运用 教学难点： 根据方程结构灵活选优解法； 综合应用题中等量关系的建立与根的检验。 四、教学准备 学生课前完成的复习学案（含【考点梳理】） 多媒体课件（知识树） 课堂学案（含【学习检测】） 五、教学过程（学生自学为主，师生点拨互动） 环节1 自主梳理·构建网络（8分钟） 【学生活动】依据学案【考点梳理】，独立回顾全章概念、四种解法、根的判别式与列方程应用，尝试画出知识树。 【教师点拨】巡视指导梳理路径，组织小组互评知识树，点拨遗漏与易混点（如四种解法的适用条件）。 【设计意图】以生为主梳理，把零散知识结构化，培养归纳能力。 环节2 典例精析·方法提炼（15分钟） 【学生活动】围绕学案典例先独立解答，再小组交流不同解法，归纳“如何选方法”。 【教师点拨】选取综合题组织展学，针对易错（符号、判别式、失根）集中点拨，提炼通法。 【设计意图】在综合题中深化理解，突出师生互动中的方法提炼。 环节3 综合训练·查漏补缺（12分钟） 【学生活动】完成学案【学习检测/综合训练】，限时独立完成。 【教师点拨】巡批收集薄弱点，针对共性错误二次点拨；关注学困生。 【设计意图】综合应用，查漏补缺，以学定教。 环节4 检测反馈·互助订正（7分钟） 【学生活动】自测互评，红笔订正，标注错因。 【教师点拨】讲评关键题，师生共析解题策略。 【设计意图】即时反馈，巩固达成。 环节5 总结提升·作业布置（3分钟） 【学生活动】小结本单元思想方法（建模、降次、转化），提出疑问。 【教师点拨】升华全章主线，布置分层作业与错题整理。 【设计意图】整体提升，落实分层。 （本课时合计约 45 分钟） 六、板书设计 第25章 小结与复习 一、概念：ax²+bx+c=0(a≠0) 二、解法：开平→配方→公式→因式分解（按结构选） 三、判别式 Δ：根的情况 四、应用：审 设 列 解 检 答 七、作业布置 完成学案【学习检测】综合题 绘制本章思维导图 1 份 八、教学反思 （课后填写：学生自学达成度、师生互动有效性、难点突破情况、改进措施） 学科网（北京）股份有限公司 $