第25章一元二次方程_核心素养 教案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

单元标题

第二十五章 一元二次方程

总课时

11

单元教材
分析

本章是人教版初中数学代数方程体系的收官内容，承接一元一次方程与平方根，铺垫二次函数与一元二次不等式。章内设三个解法主线——直接开平方法、配方法、公式法，由因式分解法补充简便解法；以实际问题为应用线，覆盖几何面积、增长率、循环比赛三大模型。

单元整体
目标

1.运算能力：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，会用根的判别式与根与系数关系进行结构化运算。
2.推理能力：经历求根公式的推导，理解降次转化的数学思想，能根据方程特征选择最优解法。
3.模型观念：从面积、增长率、循环类实际问题中抽象等量关系，构建一元二次方程模型。
4.应用意识：体会一元二次方程在刻画现实问题变量关系中的作用，提升用代数方法解决实际问题的能力。

单元重点

一元二次方程的概念、一般形式与四种解法的灵活选用。

单元难点

配方法的几何理解与公式法的推导，及从实际问题中准确提炼等量关系建立方程模型。

教学中注意的问题

教学中应避免过早抽象，先借助学生熟悉的等式变形（平方根）建立降次直觉；实际问题需反复强调检验根的实际意义与双根取舍。

教学内容

25.1 一元二次方程的概念

课时

1

总第课时

1

教材分析

本课时是本章起始课，承接一元一次方程与平方根概念，铺垫后续解法与应用。

学情分析

学生已掌握一元一次方程及平方根，但对最高次数为 2 的整式方程缺乏直观认识，建模意识尚浅。

核心素养

运算能力：能辨析一元二次方程及其一般形式，准确判断二次项系数、一次项系数与常数项。
推理能力：通过对比方程①②③归纳概念，培养归纳概括能力。
模型观念：从雕像、无盖方盒、循环赛等实际问题中抽象出方程模型。
应用意识：体会一元二次方程刻画现实变量关系的价值。

教学重点

一元二次方程的概念与一般形式。

教学难点

从一元一次方程迁移到一元二次方程的概念建构。

教学方法

情境教学法，类比迁移法

教学用具

多媒体课件，学案

教 学 过 程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

前置性学习检查(5分钟)

教师展示人体雕像黄金比例图，引导学生列式 x²=5(5−x) 并整理得 x²+5x−25=0；再给出无盖方盒底面积问题与排球单循环赛问题，分别列得三个方程。

学生观察情境图，独立列式整理为标准形式，写出三项方程。

通过三个典型现实问题引入，激发建模兴趣，为概念归纳提供原始素材。

自主学习
(10分钟)

教师组织学生观察三道方程的结构特征：整式方程、含一个未知数、最高次数为 2，归纳出一元二次方程的定义与一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0)，强调 a≠0 的关键性。

学生分组讨论三个方程的共同点，归纳概念并表述 a≠0 的理由。

通过类比迁移自然抽象出概念，落实核心素养的数学抽象与逻辑推理。

合作探究
(10分钟)

教师展示 ax²+bx+c=0 各部分名称标注图，示范一次项系数含负号情形；例：将 3x(x−1)=5(x+2) 化为一般形式 3x²−8x−10=0，指出二次项系数、一次项系数与常数项。

学生独立完成去括号、移项、合并同类项，明确二次项系数、一次项系数、常数项。

通过规范的变式例题强化代数式变形能力，提升运算素养。

当堂训练
(14分钟)

教师展示练习表（5x²−1=4x 等四道方程），要求学生填一般形式与三项系数；并附加矩形面积、长方形裁木条等列方程问题。

学生独立完成表格填空与列方程，教师巡视纠错。

通过变式练习巩固概念辨析与建模技能，为后续解法学习奠基。

总结与作业设计(1分钟)

教师引导学生回顾本节课：一元二次方程定义、一般形式及 a≠0 条件；强调从实际问题抽象方程模型的步骤；布置课后作业与前置性作业（预习直接开平方法）。

学生小结收获并提出疑问，完成作业。

强化概念体系，培养总结反思习惯，为下节课解法学习做好铺垫。