26.1 二次函数的概念 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.1　二次函数的概念

教学目标

1.理解并掌握二次函数的定义.

2.能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数.

3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的关系式及自变量的取值范围.

4.在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体会用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.

重点难点

重点：1.理解并掌握二次函数的定义；

2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的关系式及自变量的取值范围.

难点：用二次函数表示变量之间的关系.

教学过程

情景导入

出示喷泉图片（图①、图②）

图片中的喷泉喷出的水柱在空中形成一条曲线，这些曲线能否用函数关系式表示出来？

探究新知

探究点一　感知二次函数

【例1】有1人患了流感，经过两轮传染后共有m人患了流感.假设每轮传染恰好每个人传染n个人，则m与n之间有什么关系？在这个关系式中，m是n的函数吗？

【解析】由每个人传染n个人知，第一轮传染的人数为n，第二轮传染的人数为n（n＋1），利用1＋第一轮传染的人数＋第二轮传染的人数得出总人数m即可.

【解】由题意，得m＝1＋n＋n（n＋1）＝n2＋2n＋1，

∴m与n之间的关系为m＝n2＋2n＋1.

∵n是一个变量，传染后的人数m是随着n的变化而变化的，对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，因此m是n的函数.

探究点二　二次函数的概念

【例2】下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）y＝3（x－1）2＋1；（2）y＝x＋；（3）s＝3－2t2；

（4）y＝（x＋3）2－x2；（5）y＝－x；（6）v＝8πr2.

【解析】根据二次函数的定义作出判断.

【解】（1）y＝3（x－1）2＋1＝3（x2－2x＋1）＋1＝3x2－6x＋3＋1，

即y＝3x2－6x＋4，是二次函数，

二次项系数为3，一次项系数为－6，常数项为4.

（2）y＝x＋不是二次函数.

（3）s＝3－2t2是二次函数，

二次项系数为－2，一次项系数为0，常数项为3.

（4）y＝（x＋3）2－x2＝x2＋6x＋9－x2，

即y＝6x＋9，不是二次函数.

（5）y＝－x不是二次函数.

（6）v＝8πr2是二次函数，

二次项系数为8π，一次项系数为0，常数项为0.

【方法技巧】判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个特征：（1）经整理后，函数解析式是含自变量的整式；（2）只含有一个自变量，且自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意含字母的二次项系数是否为0.

探究点三　实际问题中的二次函数关系式