26.1 二次函数的概念 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数的概念，通过喷泉图片情景导入引发思考，结合流感传染、矩形菜园等实际问题，搭建从具体现象到抽象概念的学习支架，衔接一次函数知识，引导学生感知变量间的二次关系。 特色在于以实际问题为载体，例1、例3抽象出二次函数关系式培养抽象能力与模型意识，例2强调定义三特征发展推理意识，课堂训练提升应用能力，助力学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达，也为教师提供清晰教学路径。

26.1　二次函数的概念 教学目标 1.理解并掌握二次函数的定义. 2.能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数. 3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的关系式及自变量的取值范围. 4.在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体会用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 重点难点 重点：1.理解并掌握二次函数的定义； 2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的关系式及自变量的取值范围. 难点：用二次函数表示变量之间的关系. 教学过程 情景导入 出示喷泉图片（图①、图②） 图片中的喷泉喷出的水柱在空中形成一条曲线，这些曲线能否用函数关系式表示出来？ 探究新知 探究点一　感知二次函数 【例1】有1人患了流感，经过两轮传染后共有m人患了流感.假设每轮传染恰好每个人传染n个人，则m与n之间有什么关系？在这个关系式中，m是n的函数吗？ 【解析】由每个人传染n个人知，第一轮传染的人数为n，第二轮传染的人数为n（n＋1），利用1＋第一轮传染的人数＋第二轮传染的人数得出总人数m即可. 【解】由题意，得m＝1＋n＋n（n＋1）＝n2＋2n＋1， ∴m与n之间的关系为m＝n2＋2n＋1. ∵n是一个变量，传染后的人数m是随着n的变化而变化的，对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，因此m是n的函数. 探究点二　二次函数的概念 【例2】下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项. （1）y＝3（x－1）2＋1；（2）y＝x＋；（3）s＝3－2t2； （4）y＝（x＋3）2－x2；（5）y＝－x；（6）v＝8πr2. 【解析】根据二次函数的定义作出判断. 【解】（1）y＝3（x－1）2＋1＝3（x2－2x＋1）＋1＝3x2－6x＋3＋1， 即y＝3x2－6x＋4，是二次函数， 二次项系数为3，一次项系数为－6，常数项为4. （2）y＝x＋不是二次函数. （3）s＝3－2t2是二次函数， 二次项系数为－2，一次项系数为0，常数项为3. （4）y＝（x＋3）2－x2＝x2＋6x＋9－x2， 即y＝6x＋9，不是二次函数. （5）y＝－x不是二次函数. （6）v＝8πr2是二次函数， 二次项系数为8π，一次项系数为0，常数项为0. 【方法技巧】判断一个函数是否是二次函数，应抓住三个特征：（1）经整理后，函数解析式是含自变量的整式；（2）只含有一个自变量，且自变量的最高次数是2；（3）二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意含字母的二次项系数是否为0. 探究点三　实际问题中的二次函数关系式 【例3】一位农民用40m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个矩形菜园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式，并说出自变量x的取值范围.当x＝12时，计算菜园的面积. 【解析】先求出矩形的另一边长，然后根据矩形的面积＝长×宽，可得出y与x之间的函数关系式，结合矩形的长和宽应大于0可得出自变量的取值范围，最后令x＝12，代入函数关系式求得结果. 【解】由题意，得y＝x（40－2x）， 即y＝－2x2＋40x（0＜x＜20）. 当x＝12时，y＝－2x2＋40x＝－2×122＋40×12＝192.故菜园的面积为192m2. 【规律总结】实际问题中列二次函数关系式的一般步骤： （1）审清题意，找出实际问题中的已知量和未知量，并分析它们之间的关系； （2）建立二次函数模型，并将解析式化为一般形式； （3）联系实际，确定自变量的取值范围. 课堂训练 1.在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形.如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（　　） A.y＝x2 B.y＝4－x2 C.y＝x2－4 D.y＝4－2x 2.若y＝（m2＋m）是二次函数，求m的值. 板书设计 26.1　二次函数的概念 1.感知二次函数. 2.二次函数的概念： 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 3.实际问题中的二次函数关系式. 课堂小结 本节课通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界的有效模型的意义；通过观察和分析，让学生归纳二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数. 教学反思 　　本节课由实际问题导入新知识，使学生知道了二次函数的概念.通过例题讲解和课堂中的练习，学生在从问题出发到列二次函数解析式的过程中，体会用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义，并让学生通过对二次函数概念的学习，体会函数思想的基本研究方法思路. 答案 课堂训练 1.B 2.解：由题意，得 解得 ∴m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $