25.1 一元二次方程的概念 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦九年级“一元二次方程的概念”，课堂导入通过抢答区分方程、代数式与不等式，复习多项式的项、次数、系数及一元一次方程定义，追问“元”“次”含义，搭建旧知到新知的学习支架。 资料以“实际问题→列方程→抽象概念”为主线，结合真题设计例题，注重根的检验与整体代入，分层作业搭配错题整理，培养模型意识、运算能力和严谨习惯，助力学生理解概念本质与提升应用能力。

25.1 一元二次方程的概念（学案·学生版） 人教版2026版九年级数学上册 【知识回顾】 1. 下列式子哪些是方程？；；；；。 2. 多项式 是____次____项式，其中最高项是______，二次项系数为______，一次项系数为_____，常数项为______。 3. 一元一次方程指的是含有一个_______，并且___________的最高次数是一次的_______方程。 【感知数学】 1. 矩形铁皮长100 cm、宽50 cm，四角各切去边长为 cm 的正方形，折成无盖方盒，底面积 3600 cm²，列方程： 2. 排球赛每两队赛一场，7天每天4场，设邀请 个队，列方程： （即 ） 【新知学习】 1. 思考：感知数学中所列方程是一元一次方程吗？与一元一次方程的区别？共同特点？ 2. 给一元二次方程下定义：等号两边都是______，只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是______的方程叫一元二次方程。 3. 一元二次方程的一般形式：。其中二次项是_____，一次项是______，常数项是_____；二次项系数是_____，一次项系数是_____。 想一想：① 为什么规定 ？② 方程 是一元二次方程吗？③ 中 可以为零吗？ 4. 试一试：(1) 下列方程是一元二次方程的是（　） A. 　B. 　　C. 　D. (2) 化一般形式并写系数：① ② ③ ④ 5. 方程 的根是哪些（从 -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 中判断）？使方程左右两边______的未知数的值叫根。 6.（2024深圳） 一个解为 ，则 a＝______。 7.（2024南充）已知 是 的一个根，则 的值为______。 【学习检测】 1. 判断下列方程是否为一元二次方程。 ；(2) ；(3) （分式方程，略）；(5) ；(6) 2. 关于 x 的一元二次方程 的二次项系数、一次项和常数项，完全正确的是（　） A. 3，-5，-2　B. 3，-5x，2　C. 3，5x，-2　D. 3，-5，2 3. 下列各数是 的解的是（　） A. -3　B. 5　C. -1　D. 1 4.（2024凉山州） 一根 ，则 a 的值为（　） A. 2　B. -2　C. 2或-2　D. 0 5.（2025青海） 是 的根，则 c 的值为______。 6. 一根 ，则 a=______。 7.（2023枣庄） 是 的解，则 的值为______。 8. 化一般形式并写系数、一次项系数、常数项。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念（学案·教师版） 人教版2026版九年级数学上册（答案已填入空处，并附详解） 【知识回顾】 1. 下列式子哪些是方程？→ 是方程的有：、。 【详解】方程须同时满足：①含未知数；②是等式。 是等式但无未知数； 含未知数但非等式； 是不等式。 2. 多项式 是 二 次 三 项式，最高项 ，二次项系数 3，一次项系数 -2，常数项 -1。 【详解】多项式的次数由最高次项决定， 为二次项，故为二次三项式。 3. 一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程。 【详解】“元”指未知数个数，“次”指未知数最高次数。 【感知数学】 1. 列方程：。 【详解】方盒底面长 、宽 ，底面积 = 长×宽 = 3600。 2. 列方程：（即 ）。 【详解】x 个队每两队赛一场，共 场；7天×4场/天 = 28 场。 【新知学习】 2. 定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，最高次数是 2 的方程叫一元二次方程。 【详解】与一元一次方程对比，区别在“最高次数是 2”。 3. 一般形式 ；二次项 、一次项 、常数项 ；系数 （b, c 可为0，a 不可为0）。 【详解】若 ，方程退化为 ，不再是二次。 4.(1) 选 D。 化为 ，是一元二次方程。 【详解】A 不是等式；C 为一次方程；B 空；D 满足整式、一元、二次。 4.(2) ① ；② ；③ ；④ 。 【详解】先移项/展开化为一般形式，再写各项及系数（含符号）。 5. 的根：-3，-2。 【详解】，故 x=-2 或 x=-3。 6.（2024深圳） 一个解 ⇒ a＝3。 【详解】代入 x=1：1-4+a=0 ⇒ a=3。 7.（2024南充） 是 的根 ⇒ ＝-4。 【详解】 ⇒ ；（整体代入）。 【学习检测】 1. 判断。 是； 否（两未知数）； 是；分式方程否； 否（非等式）； 是。 【详解】用“一看二化三满足”判断。 2. 选 D。一般形式 ，二次项3、一次项-5x、常数项2。 3. 选 C。解为 或 。 4. 选 A。 且 ⇒ a=2。 5. c=3。　6. a=-1。　7. 2019。 8.(1) （4,5,-81）；(2) （3,-6,-1）； (3) （1,-10,10）；(4) （1,2,-2）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2026版九年级数学上册 学案教案 第1课时　25.1 一元二次方程的概念 第1课时　25.1 一元二次方程的概念 一、教学目标 知识与技能：①理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是否为一元二次方程； ②会将一元二次方程化为一般形式 ，并准确说出各项及系数； ③理解一元二次方程根（解）的概念，会用代入法检验根，会用整体代入求代数式的值。 过程与方法：经历“实际问题→列方程→抽象概念”的过程，体会数学建模与化归思想。 情感态度与价值观：养成严谨的代数表达习惯，关注“二次项系数不为零”的隐含条件。 二、教学过程（约45分钟） （一）情境导入·知识回顾（约8分钟） 互动：出示“下列式子哪些是方程？”让学生抢答，区分方程、代数式、不等式；复习多项式的项/次数/系数与一元一次方程定义。多项式 为二次三项式。 追问：一元一次方程“元”“次”的含义，为本课做铺垫。 （二）新知探究（约15分钟） 呈现两个实际问题，引导学生设未知数 x 并列方程： （即 ） 比较它们与一元一次方程的异同，师生共同归纳一元二次方程的定义与三个条件（整式方程、只含一个未知数、最高次为2）。 给出一般形式并辨析 的必要性：二次项 、一次项 、常数项 ；其中 可为0， 不可为0。 互动辨析：当 为何值时 是一元二次方程 / 一元一次方程？ （三）例题与辨析（约12分钟） 例1　判断一元二次方程——“一看二化三满足”。例2　化一般形式并写系数（注意符号）。例3　根的概念与整体代入求值（结合2024深圳、2024南充真题），渗透“整体思想”；例题讲评在课堂现场完成，不另附答案页。 （四）巩固练习（约5分钟） 完成学案“学习检测”第1–5题，巡视订正。 （五）课堂小结与作业（约5分钟） 小结：概念三要素、一般形式、、根的概念。 三、作业要求 必做：学案“学习检测”第6–8题；整理本课错题本。 选做（拓展）：已知方程 的一个根为0，求 的值，并判断方程类型。 分层：C层完成必做并订正；B层加做选做；A层另自拟一道“实际问题→一元二次方程”的应用题。 四、板书设计 25.1 一元二次方程的概念 一、定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，最高次为2。 二、一般形式： ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 二次项 ax²(a) 一次项 bx(b) 常数项 c 三、判断三步：一看(整式) 二化(一般形式) 三满足(一元、二次) 四、根：使方程左右两边相等的未知数的值 例题：① 4x² = 81 → 4x² - 81 = 0 ② x² - 4x + a = 0，已知 x = 1 是根（代入求 a） 学科网（北京）股份有限公司 $