25.2 解一元二次方程 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案围绕解一元二次方程展开，课堂导入通过回顾七上解一元一次方程、七下解二元一次方程组、八上解分式方程及平方根计算，搭建前后知识脉络的学习支架。 资料特色在于分考点系统设计，涵盖直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合填空、例题及中考真题练一练，帮助学生夯实基础，提升运算能力与推理意识，培养应用意识，适合自主学习与教师教学评估。

解一元二次方程 考点铺垫 1.【七上】解一元一次方程x+2=3 2.【七下】解二元一次方程组x-y=3① 3x-8y=14② 3.【八上】解分式方程2=3 x-3 x 4.求下列各数的平方根 (1)64;(2)9;(3)0.01 100 考点二、直接开平方法 1.解方程(1)x=4: (2)y-9=0: (3) 2.解方程 (1)(x+22-9-0: (2)(x+6)-9=0: (3)3(x-12-6=0: (4)x2-4x+4=5 1 2x2-8=0: (4)9x-5=3 考点二、配方法 1.填空 (1)x2+10x+----=(x+ (3)X2+5x+--=(x+ 2.用配方法解方程 (1)x2+6x=.4; (3)X-10x+9=0: 3.解下列方程（配方法） (1)2x+1=3x; (3)3x2+6x-4=0: -2；(2)x2-12x+ ;(4)x-x+- 3 (2)x-8x+1=0: (4)X-x-4 0 (2)3x-6x+4=0: (4)4x2-6x-3=0 2 --=(X----2 =(x----2 4.练一练，用配方法解方程 (1)x2+4x-9=2x-11;(2)xx+4)=8x+4 考点三、公式法 1.填空 (1)一元二次方程的一般式 (2)b2-4ac的值有三种情况，分别是： ①当b-4ac>0时，b-4ac>0,方程有 4a2 X ②当62-4ac0时，B2-4ac=0,方程有 4a2 X1=X2= 3 的实根 的实根 ③当，2-4ac<0时，5-4c<0,方程无实根 4a2 2.用公式法解方程 (1)x2-4x-7=0: (2)2x2-2V2x+1=0;(3)x2+17=8x (4)2x2-3x=0;(5)x2+4x+8=4x+11;(6)x(2x-4=5-8x 考点四、因式分解法 1.填空 (1)平方差公式 (2)完全平方公式 2.【提公因式法】用因式分解法解下列方程 (1)x(x-2)+x-2=0; (2)x+x=0: 4 (3)x2-23x=0: (4)3x(2x+1)=4x+2 3.【平方差公式】用因式分解法解下列方程 0D5x-2x-}父-2x+是：(2》4x-81=0 (3)4x2-144=0: (4)（x-42=(5-2x)2: (5)x2-6x+9=5-2x2 5 4.【完全平方公式】用因式分解法解下列方程 (1)3x2-6x=-3: (2)3x2-12x=-12: 练一练 1.【2025·南宁二中期中】解方程x2-2x-3=0 2.【2024武鸣期中】解方程x2-6x-16=0 3.【2025武鸣期中】解方程x-9=0 6 4.【2025·南宁三美】x+2x=3解一元二次方程 考点铺垫 1.【七上】解一元一次方程x+2=3 x+2=3 解：x=3-2 X=1 2.【七下】解二元一次方程组。-y=3① 3x-8y=14② 解：由①得x=y+3③ 把③代入②，得3(y+3)-8y=14 解得 y=-1 把y=1代入③，得x=2 所以这个方程的解是x=2 (y=-1 3.【八上】解分式方程2=3 X-3x 解：方程两边乘x(x-3）,得 2x=3x-9 解得x=9 检验：当x=9时，x(x-3)0 所以，原方程的解为x=9 4.求下列各数的平方根 1 (1)64;(2)9;(3)0.01 100 解答：(1)±648；(2)±9 V100 考点一、直接开平方法 1.解方程(1)x=4: (2)y2-9=0: (1)x2=4 (2)y29=0 解：x=±V4 解：y2=9 y=±Vg X=±2 y=±3 .∴.y1=3,y2=-3 .X1=2,X2=-2 2.解方程 (1)(x+22-9=0: (2)(x+6-9=0: (1)(x+22-9-0 解：(x+22=9 x+2=±3 X=±3-2 ∴.X1=1,X2=.5 (2)(x+62-9=0 解：(x+6P=9 x+6=±3 x=±3-6 ±3；(3)±V0.01 Γ10 (3)2x-8=0: (3)2x-8=0 解：2x=8 x2=4 x=±V4 x=±2 .∴.X1=2,X2=-2 (3)3(x-1-6=0: 2 ±0.1 (4)9x2-5=3 (4)9x2-5=3 解：9x-8 2V2 X=土 3 2V2 2V2 .x=3,X2=.3 (4)x2-4x+4=5 .X1=.3,X2=9 (3)3(x-12-6=0 解：(x-1)2=2 x-1=±V2 x=±V2+1 ∴.x1=2+1,x2=.V2+1 (4)x2-4x+4=5 解：x2-4x+22=5 (x-22=5 x-2=±5 x=±V5+2 ∴.x1=/5+2,x2=5+2 考点二、配方法 1.填空 (1)x2+10x+--=(x+--2;(2)x2-12x+--=(x---2 (3》x+5x+-x+--};(4)x2-号x+-=(x---尸 3 解答D255:2)366:3》空号；（4日言 2.用配方法解方程 （1Dx46x-4;（2)-8x+10:(3)x-10x+90:（④×-x子-0 (1)x+6x=-4 解：x+6x+9=.4+9 3 (x+32=5 x+3=±V5 x=±V5-3 ∴.1=V5.3,x2=V5-3 (2)x2-8x+1=0 解：x2-8x=-1 x2-8x+42=-1+42 (x-42=15 x-4=±V15 x=±715+4 .x=5+4,x2=5+4 (3)x2-10x+9=0 解：x2-10x=-9 x2-10x+52=-9+52 (x+5)2=16 X+5=±4 x=±4-5 ∴.X1=-1,X2=9 (4丈-x-2=0 解：X-x=4 7 4 -x 1号2 x=±2号 1222号12 3.解下列方程（配方法） (1)2x+1=3x;(2)3x2-6x+4=0; (1)2x+1=3x 解：2x2-3x=-1 x23 1 X=-2 2x+4 2之+(< 31 =土 4 1+3 x=±44 x1x昌 (2)3x2-6x+4=0 解：3x2-6x=-4 X-2x=含 -2x+1-专+1 (x-1=3 (3)3x2+6x-4=0;(4)4x-6x-3=0 5 .(x-1)2≥0，∴.方程无实根 (3)3x+6x-4=0 解：3x2+6x=4 +2x青 父+2x+124+12 3 （x+12=7 3 1±得 3 ∴x24-1,x24-1 3 (4)4x2-6x-3=0 解：4x2-6x=3 x-3±2 41 4 x±23 44 :. x21+3,飞，3-2 4 4 4练一练，用配方法解方程 (1)x2+4x-9=2x-11:(2) x(x+4)=8x+4 6 (1)x2+4x-9=2x-11 解：x2+2x+2=0 X2+2X=-2 x2+2x+12=-2+12 （x+12=-1 (x+1≥0，.方程无实根 (2)x(x+4=8x+4 解：x2-4x-4=0 x2-4x=4 x2-4X+22=4+22 （x-2)2=8 x-2=±2V2 x=±2V2+2 .x1=2/2+2,X2=-2V2+2 考点三、公式法 1.填空 (1)一元二次方程的一般式 (2)b2-4ac的值有三种情况，分别是： ①当b-4ac>0时，6-4ac>0,方程有 4a2 7 的实根 ②当b2-4ac0时，b-4ac-0,方程有 的实根 4a2 X1=X2= ③当b-4ac<0时，B-4ac<0,方程无实根 4a2 (1)ax2+bx+c=0 (2)①两个不相等， -b 1b2-4ac,-b 3b2-4ac 2a 2a ②两个相等，-b 2a 2.用公式法解方程 (1)x2-4x-7=0: (2)2x2-2/2x+1=0:(3)x2+17=8x (4)2x2-3x=0; (5)x+4x+8=4x+11;(6)x(2x.4)=5 (1)x2-4x-7=0 解.a=1,b=-4,c=-7 .:△=b2-4ac=(-4)2.4×1×(-7)=44>0 X=-b±b2-4ac=--4)±4=2士/ 2a 2×1 .:x1=2+11,x2=2.9/11 (2)2x2-2V2x+1=0 解.a=2,b=-2V/2,c=1 A-=B-4c=-224×2×1=0 水22- 2×22 :x1=2+11,x2=2-V11 6 5 (3)x2+17=8x 解：x2-8x+17=0 .a=1,b=-8,c=17 △=(-8}24×1×17=4K0 :方程无实数根 (4)X1=0,x22 =3 (5)x=3,x2=-3 (6)x=4+1,-4+1 2 2 考点四、因式分解法 1.填空 (1)平方差公式 (2)完全平方公式 (1)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)a±2ab+b2=(a±b2 2.【提公因式法】用因式分解法解下列方程 (1)x(x-2)+x-2=0;(2)x2+x=0;(3)x2 (1)x(x-2)+x-2=0 解：(x-2(x+1)=0 ∴.x-2=0,x+1=0 9 Z+xt=(I+xZ)XE (t)0=xEZ .X1=2,X2=-1 (2)x2+x=0 解：x(x+1)=0 .∴.x=0,x+1=0 .∴.X1=0,X2=-1 (3)x2-23x=0 解：x(x-23)=0 ∴.x=0,x-23=0 ∴.x1=0，X2=23 (4)3x(2x+1)=4x+2 解：3x(2x+1)-2(2x+1)=0 (2x+1)(3x-2)=0 ∴.2x+1=0,3x-2=0 3.【平方差公式】用因式分解法解下列方程 1)52-2x-是7-2x+是；2)4f-81-0（3) 4 (4)(x-42=(5-2x)2;(5)x2-6x+9=(5-2x 1D5x-2x-京-2x+星 4 解：5×-2x-}2+2x-寻-0 10 4x2-144=05 4x2-1=0 （2x+1)(2x-1)=0 2x+1=0,2x-1=0 ,=1 (2)4x2-81=0 解：(2x2-92=0 (2x+9)(2x-9)=0 =9 (3)4x2-144=0 解：x2-36=0 (x+6)(x-6)=0 .X1=6,X2=-6 (4)(x-42-(5-2x2 解：（x-42(5-2x2-0 [(x-4)+5-2x)][(x-4)-( -x+1=0,3x-9=0 ,.X1=1,X2=3 (5)x2-6x+9=5-2x)2 解：（x-32=(5-2x2 [(x-3)+(5-2x)][(x-3)-( -x+2=0,3x-8=0 x=2,为号 5-2x)]=0 5-2x)]=0 11 4.【完全平方公式】用因式分解法解下列方程 (1)3x2-6x=-3: (2)3x2-12x=-12: (1)3x2-6x=-3 解：3x2-6x+3=0 x2-2x+1=0 （x-1)2=0 ..X1=X2=1 (2)3x2-12x=-12 解：3x2-12x+12=0 x2-4X+4=0 （x-22=0 .∴.X1=X2=2 练一练 1.【2025南宁二中期中】解方程x2-2x-3=0 解：（x-3)(x+1)=0 .∴.x-3=0x+1=0 ∴.X1=3,X2=-1 2.【2024武鸣期中】解方程x2-6x-16=0 解：(x-8(x+2)=0 12 ∴.X-8=0X+2=0 .X1=8,X2=-2 3.【2025·武鸣期中】解方程x2-9=0 x2-9=0 解：x2=9 x=±Vg X=±3 ..X1=3,X2=.3 4.【2025·南宁三美】x2+2x=3 解：x2+2x+1=3+1 (x+1)2=4 x+1=±2 .X1=1,X2=.3 13