25.1 一元二次方程的概念学案-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的概念，通过人体雕像、无盖方盒等实际问题情境导入，结合预习自测中一元一次方程的知识链接，构建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解概念、掌握一般形式及解的含义。 以实际问题驱动概念抽象，发展模型观念与抽象能力，通过议一议辨析a≠0的必要性培养推理意识，分层作业（必做、选做、综合拓展）融入历史问题，助力学生提升知识应用与创新意识，落实数学核心素养的培养。

学案 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1. 借助人体雕像、无盖方盒、排球邀请赛等实际问题情境，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，理解一元二次方程的概念，发展符号意识与模型观念。 2. 掌握一元二次方程的一般形式 ，能准确识别二次项、一次项、常数项及其系数，理解 a≠0 的必要性，形成运算能力与推理意识。 3. 能将具体方程化为一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的解（根）的概念，能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，提升知识应用意识。 学习重点：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为一般形式并准确指出二次项系数、一次项系数和常数项。 学习难点：理解一元二次方程一般形式中 a≠0 的必要性，准确辨析各项系数（含符号），从实际问题中抽象出一元二次方程模型。 ► 预习自测 一、知识链接 1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 2. 一元一次方程的一般形式：，其中 ax 是一次项，a 是一次项系数，b 是常数项。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 4. 整式的乘法：如 ， 等运算是本节课化简方程的基础。 自学自测 1. 方程 中，未知数是______，未知数的最高次数是______。 2. 只含有______个未知数，并且含有未知数的式子都是______式，未知数的最高次数是______的方程，叫做一元二次方程。 3. 一元二次方程的一般形式是____________，其中______是二次项，______是二次项系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项。 4. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的______，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______。 ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 【章引言问题】 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 分析：设雕像腰部以下的身长 BC 为 m，则腰部以上 AC=(5-x) m。 由 AC:BC = BC:5，得 BC² = 5·AC，即 。 整理得：。 ① 【思考】这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？它含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 二、合作交流、新知探究 探究一：一元二次方程的概念 【问题1】如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 cm，则盒底的长为 (100-2x) cm，宽为 (50-2x) cm。 根据方盒的底面积为 3600 cm²，可列得方程： 整理并化简，得：。 ② 【问题2】要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）。根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 支球队参赛，每支球队要与其他 (x-1) 支球队各赛 1 场，则此次邀请赛共需进行 场，所以可列得方程： 整理并化简，得：。 ③ 【思考】方程① 、② 、③ 有什么共同点？ 归纳： （1）都只含有一个未知数； （2）含有未知数的式子都是整式； （3）未知数的最高次数都是 2。 【定义】一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。 探究二：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是： 其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。 【议一议】为什么规定 a≠0？如果 a=0，方程变成什么？还是一元二次方程吗？ 提示：若 a=0，则方程变为 ，当 b≠0 时是一元一次方程，不再是一元二次方程。因此必须规定 a≠0。 【例】将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号，得 。 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式： 它的二次项系数为 3，一次项系数为 -8，常数项为 -10。 【注意】各项系数要连同前面的符号一起说！如一次项系数是 -8，不是 8。 探究三：一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 例如：对于方程 ，当 x=8 时，左边=64-8-56=0=右边，所以 x=8 是这个方程的根（也是排球邀请赛问题的答案）。 三、课堂练习、巩固提高 【知识技能类作业】必做题： 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. 2x + y = 3 C. D. 2. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）。 3. 若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是______。 【知识技能类作业】选做题： 1. 下列说法正确的是（ ） A. 方程 是一元二次方程 B. 方程 的常数项是 4 C. 若一元二次方程的二次项系数为 1，则一次项系数和常数项可以都为 0 D. 方程 是一元二次方程 2. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4 个完全相同的正方形面积之和是 25，求正方形的边长 ； （2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x。 3. 若 x=2 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，求 m 的值。 【综合拓展类作业】 1. 某小区计划在一块长 30 m、宽 20 m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路（两条纵向、一条横向，道路互相垂直），剩余部分种植花草。若要使种植花草的面积为 468 m²，求道路的宽 x（只列方程，不求解，并化为一般形式）。 总结反思、拓展升华 【课堂总结】 1. 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2 的方程。三个要素缺一不可：一元、整式、最高次数为 2。 2. 一元二次方程的一般形式：。其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。特别注意 a≠0 是一元二次方程的前提条件，各项系数要带符号。 3. 化一般形式的步骤：去括号 → 移项 → 合并同类项 → 按未知数降幂排列（等号右边为 0）。 4. 一元二次方程的解（根）：使方程左右两边相等的未知数的值。代入检验是判断一个数是否为方程根的基本方法。 5. 模型思想：从实际问题中抽象出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，为后续学习解法和应用奠定基础。 五、【作业布置】 【知识技能类作业】必做题： 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. x + y = 5 2. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并分别指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）； （4）。 3. 下列哪些数是一元二次方程 的根？为什么？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。 4. 若关于 x 的方程 是一元二次方程，求 k 的取值范围。 【知识技能类作业】选做题 1. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）一个圆的面积是 2π，求半径 ； （2）一个直角三角形的两条直角边的长相差 3，面积为 9，求较长直角边的长 x； （3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的 2 倍，斜边长为 5，求较短直角边的长 x。 2. 已知关于 x 的一元二次方程 的一个根是 0，求 a 的值。 3. 南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步。根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式（设长为 x 步）。 【综合拓展类作业】 1. 如果 2 是方程 的一个根，求解如下问题： （1）常数 c 是多少？ （2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根。 （3）通过本题，你对一元二次方程的根的个数有什么猜想？ 答案 自学自测： 1. x；2 2. 一；整；2 3. ；ax²；a；bx；b；c 4. 解；根 【课堂练习】 【知识技能类作业】必做题 1. A 【解析】A 符合一元二次方程的定义；B 含两个未知数，是二元一次方程；C 含分式，不是整式方程；D 展开后 x² 消去，变为 -x-2=0，是一元一次方程。故选 A。 2.（1），二次项系数 5，一次项系数 -4，常数项 -1； （2），二次项系数 4，一次项系数 8，常数项 -25； （3），二次项系数 3，一次项系数 -4，常数项 0。 3. m≠1 【知识技能类作业】选做题 1. D 【解析】A 未说明 a≠0，不一定是一元二次方程；B 一般形式为 3x²-4=0，常数项是 -4；C 若一次项系数和常数项都为 0，则方程为 x²=0，仍是一元二次方程；D 符合定义。故选 D。 2.（1） → ； （2） → 。 3. m=3【解析】将 x=2 代入方程：，解得 m=3。 【综合拓展类作业】 1. → （或 ） 【作业布置】 【知识技能类作业】必做题 1. C 【解析】A 化简后 2x=-1，是一元一次方程；B 含分式，不是整式方程；C 符合一元二次方程定义；D 含两个未知数。故选 C。 2.（1），二次项系数 4，一次项系数 5，常数项 -81； （2），二次项系数 1，一次项系数 ½，常数项 0； （3），二次项系数 2，一次项系数 -5，常数项 3； （4），二次项系数 1，一次项系数 2，常数项 -2。 3. -4 和 3 是方程的根。 【解析】将各数代入 ：x=-4 时，16-4-12=0；x=3 时，9+3-12=0。其余各数代入均不为 0，故 -4 和 3 是方程的根。 4. k≠2 【知识技能类作业】选做题 1.（1） → ； （2） → ； （3） → 。 2. a=-1 【解析】将 x=0 代入方程得 ，解得 a=±1。又因为方程是一元二次方程，二次项系数 a-1≠0，即 a≠1，所以 a=-1。 3. 设长为 x 步，则宽为 (x-12) 步， → 。 【综合拓展类作业】 1.（1）将 x=2 代入 ，得 4-c=0，所以 c=4。 （2）方程为 ，即 ，所以另一个根是 x=-2。 （3）猜想：一元二次方程可能有两个根（可为相等或不相等的实数根），具体情况将在后续学习中探究。 2 学科网（北京）股份有限公司 $