25.1 一元二次方程的概念学案-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十五章  一元二次方程

25.1  一元二次方程的概念

► 学习目标与重难点

学习目标：

1. 借助人体雕像、无盖方盒、排球邀请赛等实际问题情境，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，理解一元二次方程的概念，发展符号意识与模型观念。

2. 掌握一元二次方程的一般形式 ，能准确识别二次项、一次项、常数项及其系数，理解 a≠0 的必要性，形成运算能力与推理意识。

3. 能将具体方程化为一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的解（根）的概念，能根据实际问题中的数量关系列出一元二次方程，提升知识应用意识。

学习重点：理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能将方程化为一般形式并准确指出二次项系数、一次项系数和常数项。

学习难点：理解一元二次方程一般形式中 a≠0 的必要性，准确辨析各项系数（含符号），从实际问题中抽象出一元二次方程模型。

► 预习自测

一、知识链接

1. 一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

2. 一元一次方程的一般形式：，其中 ax 是一次项，a 是一次项系数，b 是常数项。

3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

4. 整式的乘法：如 ， 等运算是本节课化简方程的基础。

自学自测

1. 方程 中，未知数是______，未知数的最高次数是______。

2. 只含有______个未知数，并且含有未知数的式子都是______式，未知数的最高次数是______的方程，叫做一元二次方程。

3. 一元二次方程的一般形式是____________，其中______是二次项，______是二次项系数；______是一次项，______是一次项系数；______是常数项。

4. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的______，一元二次方程的解也叫做一元

二次方程的______。

► 教学过程

一、创设情境、导入新课

【章引言问题】

在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？

分析：设雕像腰部以下的身长 BC 为 m，则腰部以上 AC=(5-x) m。

由 AC:BC = BC:5，得 BC² = 5·AC，即 。

整理得：。  ①

【思考】这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？它含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？

二、合作交流、新知探究

探究一：一元二次方程的概念

【问题1】如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？

解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 cm，则盒底的长为 (100-2x) cm，宽为 (50-2x) cm。

根据方盒的底面积为 3600 cm²，可列得方程：

整理并化简，得：。  ②

【问题2】要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）。根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

解：设应邀请 支球队参赛，每支球队要与其他 (x-1) 支球队各赛 1 场，则此次邀请赛共需进行 场，所以可列得方程：

整理并化简，得：。  ③

【思考】方程① 、② 、③ 有什么共同点？

归纳：

（1）都只含有一个未知数；

（2）含有未知数的式子都是整式；

（3）未知数的最高次数都是 2。

【定义】一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2，这样的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。

探究二：一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是：

其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项。

【议一议】为什么规定 a≠0？如果 a=0，方程变成什么？还是一元二次方程吗？

提示：若 a=0，则方程变为 ，当 b≠0 时是一元一次方程，不再是一元二次方程。因此必须规定 a≠0。

【例】将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

解：去括号，得  。

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：

它的二次项系数为 3，一次项系数为 -8，常数项为 -10。

【注意】各项系数要连同前面的符号一起说！如一次项系数是 -8，不是 8。

探究三：一元二次方程的解（根）

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

例如：对于方程 ，当 x=8 时，左边=64-8-56=0=右边，所以 x=8 是这个方程的根（也是排球邀请赛问题的答案）。

三、课堂练习、巩固提高

【知识技能类作业】必做题：

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ）

A.       B. 2x + y = 3      C.       D.

2. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）；        （2）；

（3）。

3. 若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是______。