25.3(2) 实际问题·传播与增长率（学案教案） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦一元二次方程在传播问题与增长率问题中的实际应用，通过传染病传播、成本变化等现实情境导入，衔接方程解法前备知识，搭建从理论到实践的学习支架。 以问题驱动探究，通过传染示意图抽象数量关系培养数学眼光，推导增长率公式发展推理意识，结合中考真题分层练习强化模型应用，提升学生解决实际问题能力，为教师提供结构化教学资源。

25.3(2) 实际问题·传播与增长率 教学设计（教案） 一、教学基本信息 课 题：25.3(2) 实际问题与一元二次方程——传播与增长率 课 型：新授课 课 时：1 课时 年 级：九年级 教 材：人教版九年级上册 第二十五章 总 课 时：45 分钟 二、教学目标 知识与技能： 能解决“传播（传染）”类问题，列出 a(1+x)ⁿ 型方程； 能解决平均增长率（下降率）问题，建立 (1±x)ⁿ=终值/初值 的模型； 理解指数 n 的实际含义（经过的轮数/期数）。 过程与方法： 在“探究一 传播、探究二 增长率”中自主抽象模型，体会建模； 通过对比，区分“传播倍数”与“平均变化率”两种模型。 情感态度与价值观： 感受方程在公共卫生、经济领域的应用； 在小组建模中提升交流与合作能力。 三、教学重难点 教学重点： 传播模型 a(1+x)ⁿ 与平均变化率模型 (1±x)ⁿ 教学难点： n 的含义（轮数/期数）的准确理解； 等量关系的正确抽象与检验。 四、教学准备 学生课前完成的预习学案 多媒体课件（传播树状图） 课堂学案（含【学习检测】） 五、教学过程（学生自学为主，师生点拨互动） 环节1 目标导学·预习自学（5分钟） 【学生活动】阅读学案【知识回顾】，独立回顾列一元一次方程解应用题、平均数的概念；明确本课学习目标，带着问题进入自学。 【教师点拨】课前发放学案，课堂伊始出示学习目标与自学提纲，引导学生聚焦核心问题，提醒自学的方法与时间。 【设计意图】以目标驱动自学，唤醒旧知，为新知建构铺垫，落实“先学后教”。 环节2 合作探究·新知建构（15分钟） 【学生活动】依据学案【新知学习】中的“探究一 流感传播、探究二 药品成本增长率”独立尝试，再同桌或小组合议；记录困惑与不同解法。 【教师点拨】巡视各组探究过程，捕捉典型思路与误区；针对核心难点“区分传播倍数模型与平均变化率模型；n 的含义”组织全班交流，在关键处点拨、追问、提炼，引导学生自主概括规律（如传播：a(1+x)ⁿ；增长率：(1+x)ⁿ=终/初；下降率：(1-x)ⁿ=终/初）。 【设计意图】把课堂还给学生：自学—互学—展学—点拨，在师生互动中突破重难点，形成方法。 环节3 跟踪练习·巩固内化（12分钟） 【学生活动】独立完成学案【跟踪练习/巩固】题目，规范书写步骤并自我核对。 【教师点拨】巡视批阅，标记共性问题；选取典型错例投影，组织学生“找错—析因—纠错”，针对性点拨易错点。 【设计意图】在练习中内化方法，教师以学定教、精准点拨，避免“一讲到底”。 环节4 学习检测·评价反馈（10分钟） 【学生活动】完成学案【学习检测】自测，先自查再同桌互评，红笔订正。 【教师点拨】利用投影或实物展台讲评重点题，师生共同归纳解题通法；对学困生个别辅导。 【设计意图】以测促学、以评导学，及时反馈，确保目标达成。 环节5 归纳小结·分层作业（3分钟） 【学生活动】自主梳理本课知识与方法（可借助学案小结栏），提出仍存疑问。 【教师点拨】引导学生构建知识网络，升华思想方法（如降次、转化），布置分层作业（基础+提升）。 【设计意图】促进元认知，形成结构；分层作业兼顾全体与个体差异。 （本课时合计约 45 分钟） 六、板书设计 25.3(2) 传播与增长率 传播：基数×(1+每轮倍增率)^轮数 平均变化率：(1±x)ⁿ = 终值/初值 n = 经过的轮数/期数 七、作业布置 完成学案【学习检测】题目 对比传播与增长率模型各写 1 句要点 八、教学反思 （课后填写：学生自学达成度、师生互动有效性、难点突破情况、改进措施） 学科网（北京）股份有限公司 $25.3实际问题与与一元二次方程(2) 【新知学习】 探究一传播问题 第2轮 1.例题：某种传染病的传染速度 第1轮 很快.如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121 人被传染，那么每轮传染中平 均1个人传染了多少人？ 分析：设每轮传染中平均一个 人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下： 小明 ①被传染的这个人在第一轮 中传染了一人，第一轮后共有」 一人被传染； ②第二轮传染中，这些人中 注意：不要 忽视小明的 的每个人又传染了一人，第二轮后共有」 一人被 二次传染 )小明 传染。 思路：后一轮的传染源=前一轮总人数 第一轮传播后的量=传播前的量×(1+传播速度) 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+传播速度) =传播前的量×(1+传播速度)2 解题方案： 设设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： 解这个方程，得 检验： 答：每轮传染中平均一个人传染了一个人 思考1：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？ 第一轮传染 第二轮传染 第三轮传染 后的人数 后的人数 后的人数 思考2：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？ 新增患 本轮结束 传染源 者人数 患者总人数 第一轮 第二轮 第三轮 第n轮 2.练一练： (1)(2020黔西南)有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了一一 个人 (2)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 91,每个支干长出多少小分支？ 探究二增长率问题 3.填空： (1)小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考 又增长了10%，问他第三次数学成绩是 (2)前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4000元， 则下降率是 如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元. 注意：下降率下降前的量.下降后的量 下降前的量 (3)前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品 的成本是元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是元. 4例题：前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3200 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解题方案： 设甲种药品成本的年平均下降率为x, (1)用含x的代数式表示： ①一年后甲种药品成本为 元； ②两年后甲种药品成本为元： (②)根据题意，列出相应方程： (3)解这个方程，得」 (4)检验：根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约 练习：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3840 元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 计算：例题及练习中： 甲种药品成本的年平均下降额为： 乙种药品成本的年平均下降额为： 问题1：比较甲、乙两种药品年平均下降额，和年平均下降率（百分数），能说明成本下降额大的下降率就大 吗？ 结论：成本下降额较大的药品，下降率 较大，成本下降额表示变化量，成本下降率表示 变化量（填“绝对”或“相对”）. 问题2：你能总结出有关变化率的有关数量关系吗？ 结论：在平均变化率保持不变的前提下： 两年后：变化后的量=变化前的量(1±变化率)？ 思路：若平均增长（或降低）百分率为x,增长（或降低）前的是a,增长（或降低）n次后的量是b,则它们的数 量关系可表示为a(1士x)=b(其中增长取“+”，降低取“-”). 变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的0.64.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率 变式2：某药品两次升价，零售价升为原来的1.21倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率 5.练一练： (1)(2024牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价 的百分率为() A20% B.22% C.25% D.28% (2)(2025重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到 36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为() A10%B.20% C.22%D.44% 【学习检测】 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数 目的小分支，主干.支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是() A4 B.5 c.6 D.7 2.(2023衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得 到方程() Ax+(1+x)=36 B.2(1+x)=36 C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+x=36 3.(2025云南)某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x根据题 意，下列方程正确的是() A6000(1+x2=6200B.6000(1-)2=6200 C.6000(1+2x)=6200D.6000x2=6200 4.(2025凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平 均增长率为x,那么可列出的方程是( ) A560(1+x)2=1860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1860 C.560+560(1++560(1+x)2=1860 D.560+560(1+2x)2=1860 5.(2024重庆)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第 三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据 题意，可列方程为 6.(2020通辽)有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了 人 7.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会 有多少人患甲型流感？ 8.(2025泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降 低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.求乙种商品每件进价的年 平均下降率：25.3实际问题与与一元二次方程(2) 【新知学习】 探究一传播问题 第2轮 1.例题：某种传染病的传染速度 第1轮 很快.如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121 人被传染，那么每轮传染中平 均1个人传染了多少人？ 分析：设每轮传染中平均一个 人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下： 小期 ①被传染的这个人在第一轮 中传染了x人，第一轮后共有+1人被传染： ②第二轮传染中，这些人中 注意：不要 忽视小明的 二次传染 4 的每个人又传染了x人，第二轮后共有(x+1)人被传染。 )小明 思路：后一轮的传染源=前一轮 总人数 第一轮传播后的量=传播前的量×(1+传播速度) 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×(1+传播速度) =传播前的量×(1+传播速度)2 解题方案： 设设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：(1+x)=121(或1+x+x(1+x)=121)· 解这个方程，得x1=10,x2=-12(不合题意，舍去). 检验：x=-12不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人， 思考1：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？ 【答案】(1+x=113=1331人 第一轮传染 第二轮传染 第三轮传染 后的人数 后的人数 后的人数 思考2：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？ 【答案】(1+x人 新增患 本轮结束 传染源 者人数 患者总人数 第一轮 第二轮 第三轮 第n轮 2.练一练： (1)2020黔西南)有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了10个 人 (2)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是 91,每个支干长出多少小分支？ 设每个支干长出x个小分支. 依题意：1+x+x2-91. 即x2+x-90=0. 解得x=9,x2=10(不合题意，舍去). 答：每个支干长出9个小分支 探究二增长率问题 3.填空： (1)小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月 考又增长了10%，问他第三次数学成绩是96.8. (2)前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4000元， 则下降率是20%.如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是3200元. 注意：下降率下降前的量。下降后的昼 下降前的量 (3)前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是50001一x元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是5000(1-x元. 4例题：前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3200 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解题方案： 设甲种药品成本的年平均下降率为x (1)用含x的代数式表示： ①一年后甲种药品成本为50001-x)元： ②两年后甲种药品成本为50001-x)元； (2)根据题意，列出相应方程：5000(1-x)?=3200. (3)解这个方程，得x1=1.80(舍去)，x2=0.2=20% (4)检验：根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约20% 练习：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3840 元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 设乙种药品成本的年平均下降率为y. 由题意：6000(1-y)2-3840 解得y1=1.80(舍去)，y20.2=20%. 答：乙种药品成本的年平均下降率约为20%. 计算：例题及练习中： 甲种药品成本的年平均下降额为：900 乙种药品成本的年平均下降额为：1080 问题1：比较甲、乙两种药品年平均下降额，和年平均下降率（百分数），能说明成本下降额大的下降率就大 吗？ 结论：成本下降额较大的药品，下降率不一定较大，成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变 化量（填“绝对”或“相对”）. 问题2：你能总结出有关变化率的有关数量关系吗？ 结论：在平均变化率保持不变的前提下： ±两年后：变化后的量=变化前的量(1变化率)2 思路：若平均增长（或降低）百分率为x,增长（或降低）前的是a,增长（或降低）n次后的量是b,则它们的数 量关系可表示为a(1士x)=b(其中增长取“+”，降低取“-”). 变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的0.64.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率 设每次降价的百分率为x 由题意：(1-x=0.64, 解得x1=1.8（舍去)，x2=0.2=20%. 答：每次降价的百分率为20%. 变式2：某药品两次升价，零售价升为原来的1.21倍，己知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率 设每次升价的百分率为x. 由题意：(1+x2=1.21. 解得x=-2.1(舍去)，x=0.1=10%. 答：每次升价的百分率为10%. 5.练一练： (1)(2024牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价 的百分率为() A20% B.22% C.25% D.28% 【答案】C 【解析】48(1-x)=27→(1-x=9/16→1-x0.75→x=25%,选C. (2)(2025重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到 36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为() A10%B.20% C.22%D.44% 【答案】B 【解析】25(1+x=36→(1+x=1.44→X=20%,选B. 【学习检测】 1.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数 目的小分支，主干.支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是() A4 B.5C.6D.7 【答案】C 【解析】设每个支干长x小分支，1+x+x2-43→2+x-420→x=6,选C. 2.(2023衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得 到方程() Ax+(1+x)=36 B.2(1+x)=36 C.1+x+x(1+x)=36 D.1+x+x=36 【答案】C 【解析】两轮后共1+x+x(1+x)=(1+x)=36,选C 3.(2025云南)某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x根据题 意，下列方程正确的是() A6000(1+x)2=6200B.6000(1-2=6200 【答案】A 【解析】3月到5月隔2个月，6000(1+x)=6200,选A. C.6000(1+2x)=6200D.6000x=6200 4.(2025凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平 均增长率为x那么可列出的方程是() A560(1+x)2=1860 B.560+560(1+x+560(1+2)=1860 C.560+560(1+)+560(1+x)2=1860 【答案】C 【解析】Q1=1月+2月+3月=560+560(1+x)+560(1+x)=1860,选C. D.560+560(1+2x2=1860 5.(2024重庆)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第 三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据 题意，可列方程为200(1+x)=401· 6.(2020通辽)有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了 12人. 7.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了 甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会 有多少人患甲型流感？ 设每天平均一个人传染了x人. 由题意：1+x+x(1+x尸9，即(1+x)=9. 解得X1=-4(舍去)，x2=2. 每天平均一个人传染2人 再经过5天，共7天：(1+x)=37=2187. 或91+x)=9×3=2187. 答：每天平均传染2人，共2187人患甲型流感. 8.(2025泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降 低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.求乙种商品每件进价的年 平均下降率： 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x. 由题意：125(1-x)=80. 解得-=1.8（舍去），20.2=20%. 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%