25.3 课时2 传播问题与平均增长率问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.3 实际问题与一元二次方程（课时2 传播问题与平均增长率问题） 学案

人教版  九年级  数学

班级________  姓名________  学号________

一、学习目标

1. 掌握传染病传播模型：理解「传染源每轮都在传染」的递推逻辑，能用(1+x)ⁿ=b解决问题。

2. 掌握植物分枝模型：理解「每级只分化一次」，能区分两种传播模型的公式。

3. 掌握平均增长率/下降率公式a(1±x)²=b，能辨析「下降额」与「下降率」的区别。

4. 能根据实际意义合理舍去不符合的根（负数、>100%的下降率等）。

二、课前预习

【KWL预习法】

我已知道（K）：我已知道：一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法）。一元一次方程应用题的六步骤。百分数的基本运算。

我想知道（W）：_____________________________________________________________

【预习思考】

1. 如果1个人传染2个人，第一轮后共______人患病。这3人每人再传染2人，第二轮新增______人，两轮后共______人患病。

2. 某商品原价100元，降价10%后售价______元。再降价10%后售价______元。两次降价的平均降价率就是10%吗？

我的疑问：__________________________________________________________________

三、课堂探究

【传染病模型 vs 植物分枝模型对比】

【探究1】传染病传播问题：1人患病，两轮后共121人。

设每轮传染中平均每人传染____人。

初始患病人数：______。

第1轮：新增______人→第1轮后共有________________=______人患病。

第2轮：此时______名患者每人传染____人→新增________________人→第2轮后共有________________=______人患病。

方程：________________=121。

解得：1+x=______→x₁=____，x₂=________（舍去，人数不能为负）。

答：每轮平均每人传染______人。

思考：三轮后共有______人患病。

【探究2】植物分枝问题：主干+支干+小分支=91。

设主干长出____个支干，则每个支干长出____个小分支。

主干：______个。

支干：______个。

小分支：______个（每个支干出____个×____个支干）。

方程：________________=91。

整理得：________________=0。

解得x₁=____，x₂=________（舍去）。

答：每个支干长出______个小分支。

【探究3】食品成本下降率：甲从10000→6000，乙从12000→7200。

甲下降额=(________-________)÷2=______元/年。

乙下降额=(________-________)÷2=______元/年。

______下降额更大。

 

设甲下降率为x：10000(________)²=6000。

(________)²=0.6。

解得x₁≈______=______%，x₂≈______（舍去，下降率不能>______%）。

甲下降率≈______%。

 

设乙下降率为y：________(1-y)²=________。

解得y≈______=______%。

结论：下降额大的食品，下降率______（一定/不一定）大。

四、课堂练习

1. 2人患甲肝，一天一人传染x人，两天后128人患病。x=______。

方程：2(________)²=128→(1+x)²=______→1+x=______→x=______。

2. 一月份产量500吨，三月720吨，月增长率x，列方程（  ）

A. 500(1+2x)=720

B. 500(1+x)²=720

C. 500(1+x²)=720

D. 720(1+x)²=500

选______。1月→3月经过______个增长周期，指数为______。

3. 6台电脑感染病毒，两轮后共2400台。每轮每台感染几台？

解：设每轮每台感染x台。

初始：______台。

两轮后：________________=2400。

(1+x)²=______→1+x=±______。

x₁=____（符合），x₂=________（舍去）。

答：________________。

4. 售价从25元→36元（两月），求月增长率。后降价，每降0.5元多卖1件，利润目标1800元，求降价额。

（1）设月增长率为x。25(________)²=36→x=______=______%。

（2）设降价y元，每件利润=________-y-____=________元。

每月销量=160+____·y/0.5=160+____y件。

方程：(________)(160+2y)=1800。

解得y=______（y=______舍去）。答：降价______元。

五、课堂小结

1. 传染病模型（传染源每轮都传染）：n轮后总人数=____________。

2. 植物分枝模型（每级只分化一次）：n级后总数=________________________。

3. 平均增长率公式：____________；平均下降率公式：____________。

4. 下降额是______量，下降率是______量。下降额大≠下降率______。