25.3 课时2 传播问题与平均增长率问题 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦实际问题与一元二次方程，核心涵盖传染病传播、植物分枝模型及平均增长率问题。通过KWL预习法衔接已学的方程解法与应用题步骤，搭建旧知到新知的学习支架，对比两种传播模型助学生理解公式差异。 以真实问题为载体，KWL预习法激发探究欲培养数学眼光，对比表格与探究活动引导辨析模型培养推理意识，病毒传播、商品降价等案例强化模型观念提升数学语言表达。助力学生掌握实际问题解决，为教师提供结构化教学方案，提升课堂效率。

25.3 实际问题与一元二次方程（课时2 传播问题与平均增长率问题） 学案 人教版 九年级 数学 班级________ 姓名________ 学号________ 一、学习目标 1. 掌握传染病传播模型：理解「传染源每轮都在传染」的递推逻辑，能用(1+x)ⁿ=b解决问题。 2. 掌握植物分枝模型：理解「每级只分化一次」，能区分两种传播模型的公式。 3. 掌握平均增长率/下降率公式a(1±x)²=b，能辨析「下降额」与「下降率」的区别。 4. 能根据实际意义合理舍去不符合的根（负数、>100%的下降率等）。 二、课前预习 【KWL预习法】 我已知道（K）：我已知道：一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法）。一元一次方程应用题的六步骤。百分数的基本运算。 我想知道（W）：_____________________________________________________________ 【预习思考】 1. 如果1个人传染2个人，第一轮后共______人患病。这3人每人再传染2人，第二轮新增______人，两轮后共______人患病。 2. 某商品原价100元，降价10%后售价______元。再降价10%后售价______元。两次降价的平均降价率就是10%吗？ 我的疑问：__________________________________________________________________ 三、课堂探究 【传染病模型 vs 植物分枝模型对比】 对比项 传染病模型 植物分枝模型 传染源行为 ____________ ____________ 第二轮新增 ____________ ____________ 两轮后总数 ____________ ____________ 通项公式 ____________ ____________ 【探究1】传染病传播问题：1人患病，两轮后共121人。 设每轮传染中平均每人传染____人。 初始患病人数：______。 第1轮：新增______人→第1轮后共有________________=______人患病。 第2轮：此时______名患者每人传染____人→新增________________人→第2轮后共有________________=______人患病。 方程：________________=121。 解得：1+x=______→x₁=____，x₂=________（舍去，人数不能为负）。 答：每轮平均每人传染______人。 思考：三轮后共有______人患病。 【探究2】植物分枝问题：主干+支干+小分支=91。 设主干长出____个支干，则每个支干长出____个小分支。 主干：______个。 支干：______个。 小分支：______个（每个支干出____个×____个支干）。 方程：________________=91。 整理得：________________=0。 解得x₁=____，x₂=________（舍去）。 答：每个支干长出______个小分支。 【探究3】食品成本下降率：甲从10000→6000，乙从12000→7200。 甲下降额=(________-________)÷2=______元/年。 乙下降额=(________-________)÷2=______元/年。 ______下降额更大。 设甲下降率为x：10000(________)²=6000。 (________)²=0.6。 解得x₁≈______=______%，x₂≈______（舍去，下降率不能>______%）。 甲下降率≈______%。 设乙下降率为y：________(1-y)²=________。 解得y≈______=______%。 结论：下降额大的食品，下降率______（一定/不一定）大。 四、课堂练习 1. 2人患甲肝，一天一人传染x人，两天后128人患病。x=______。 方程：2(________)²=128→(1+x)²=______→1+x=______→x=______。 2. 一月份产量500吨，三月720吨，月增长率x，列方程（ ） A. 500(1+2x)=720 B. 500(1+x)²=720 C. 500(1+x²)=720 D. 720(1+x)²=500 选______。1月→3月经过______个增长周期，指数为______。 3. 6台电脑感染病毒，两轮后共2400台。每轮每台感染几台？ 解：设每轮每台感染x台。 初始：______台。 两轮后：________________=2400。 (1+x)²=______→1+x=±______。 x₁=____（符合），x₂=________（舍去）。 答：________________。 4. 售价从25元→36元（两月），求月增长率。后降价，每降0.5元多卖1件，利润目标1800元，求降价额。 （1）设月增长率为x。25(________)²=36→x=______=______%。 （2）设降价y元，每件利润=________-y-____=________元。 每月销量=160+____·y/0.5=160+____y件。 方程：(________)(160+2y)=1800。 解得y=______（y=______舍去）。答：降价______元。 五、课堂小结 1. 传染病模型（传染源每轮都传染）：n轮后总人数=____________。 2. 植物分枝模型（每级只分化一次）：n级后总数=________________________。 3. 平均增长率公式：____________；平均下降率公式：____________。 4. 下降额是______量，下降率是______量。下降额大≠下降率______。 5. 检验舍根规则：①______数舍去；②下降率>______%舍去。 【自我评价】 本节课我学会了：_____________________________________________________________ 我还不太理解的地方：_________________________________________________________ 我觉得这节课最有意思的是：___________________________________________________ 六、课后作业 1. 教材P22 习题21.3 第4题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后有多少台电脑被感染？ 2. 教材P22 习题21.3 第7题：青山村种的水稻2010年平均每公顷产8000kg，2012年平均每公顷产9680kg。求该村水稻每公顷产量的年平均增长率。 3. 思考：如果传染病模型中初始有m人患病（m>1），公式如何修改？试推导m(1+x)²=b的正确性。 参考答案 二、课前预习 KWL已知：我已知道：一元二次方程的解法（直接开平方法、因式分解法、公式法）。一元一次方程应用题的六步骤。百分数的基本运算。 KWL想知：我想知道：传染病是怎么用数学公式描述的？为什么第二轮传染人数不是1×x而是(1+x)×x？下降额和下降率有什么区别？增长率公式里的指数为什么是2？ 预习1：3人；6人（3人×2）；9人。预习2：90元；81元。不是。实际上从100→81，设平均降价率x：100(1-x)²=81，(1-x)²=0.81，x=0.1=10%，恰好两次都是10%。 三、课堂探究 【探究1】答案：x、1、x、1+x、(1+x)、(1+x)、x、(1+x)x、(1+x)+(1+x)x=(1+x)²、(1+x)、(1+x)²、±11、10、-12、10、1331 【探究2】答案：x、x、1、x、x²、x、x、1+x+x²、x²+x-90、9、-10、9 【探究3】答案：10000、6000、2000、12000、7200、2400、乙、1-x、1-x、0.225、22.5、1.775、100、22.5、12000、7200、0.225、22.5、不一定 【对比表】答案 传染源行为：每轮都参与传染 / 每级只分化一次。 第二轮新增：(1+x)x人 / x·x=x²个。 两轮后总数：(1+x)² / 1+x+x²。 通项公式：(1+x)ⁿ / 1+x+x²+...+xⁿ。 四、课堂练习 1. 答案：7 解析：2(1+x)²=128→(1+x)²=64→1+x=8→x=7。 2. 答案：B 解析：1月到3月经过2个月（两个增长周期），指数为2。选B。A表示2倍而不是平方，C和D明显错误。 3. 答案：19 解析：6(1+x)²=2400→(1+x)²=400→x=19（-21舍去）。 4. 答案：（1）20% （2）10元 解析：（1）25(1+x)²=36→(1+x)²=1.44→x=0.2=20%。 （2）设降价y元。售价36-y，每件利润(36-y-16)=20-y元。每降0.5元多卖1件→降价y元多卖y/0.5=2y件→销量160+2y件。(20-y)(160+2y)=1800→整理得y²+60y-700=0→(y+70)(y-10)=0→y=10（-70舍去）。降价10元。 五、课堂小结 1. (1+x)ⁿ。2. 1+x+x²+...+xⁿ。3. a(1+x)²=b；a(1-x)²=b。4. 绝对量；相对量（百分数）；大。5. 负；100。 六、课后作业 1. 设每轮感染x台。(1+x)²=81→x=8（-10舍去）。三轮后：(1+8)³=9³=729台。 2. 设年增长率为x。8000(1+x)²=9680→(1+x)²=1.21→x=0.1=10%。 3. 初始m人，第一轮后：m+mx=m(1+x)。第二轮：m(1+x)+m(1+x)x=m(1+x)²。∴m(1+x)²=b。初始人数只是前面的系数，公式结构不变。 学科网（北京）股份有限公司 $