第二十六章 二次函数 小结与复习 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计为九年级上册二次函数小结与复习，采用“学·融”课时设计，系统梳理概念、图象、性质、三种解析式及与方程关系，通过知识网络图从“概念→图象→性质→形式→方程→应用”六个维度构建完整知识体系，体现知识点内在逻辑联系。 其亮点在于任务驱学与合作探究结合，如引导学生自主构建知识网络、整理解析式互化方法，典例精析（如例1求顶点和区间最值、例3抛物线与三角形面积）培养数学抽象、逻辑推理和直观想象能力，分层作业与课堂检测实现个性化复习，帮助学生巩固知识，教师可通过评价体系精准把握学情。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 第二十六章 二次函数 小结与复习 课 型 新授课 教学 目标 1.系统梳理二次函数的概念、图象、性质、三种解析式形式及其与一元二次方程的关系，构建完整的本章知识网络。 2.熟练掌握二次函数图象与性质的综合运用，能灵活进行三种形式的互化，解决图象判断、最值、方程根、实际应用等典型问题。 3.在复习中深化数形结合、转化化归、分类讨论、函数建模等数学思想，提升综合分析问题和解决问题的能力。 ★核心素养：数学抽象（概念与形式）、逻辑推理（性质推导与综合判断）、数学建模（实际应用）、直观想象（数形结合） 重点 二次函数图象与性质的灵活运用，三种解析式形式的互化，以及二次函数与一元二次方程关系的综合应用。 ★关键：抓住"图象"这个核心——开口方向由a定，对称轴由a、b定，截距由c定，交点由Δ定，最值看顶点 难点 综合运用二次函数知识解决图象信息判断、与几何图形结合的面积问题、以及含参数的分类讨论问题。 ★突破策略：①数形结合——看到式子想图象，看到图象想性质；②化归转化——一般式↔顶点式↔交点式互化；③分类讨论——含参数问题按开口、对称轴位置、Δ符号分类 教学 方法 知识网络构建法、典例精析法、变式训练法、数形结合法、小组互测法 ★学法指导：画知识网络图→梳理题型方法→典型例题精析→变式巩固→易错点排查 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.知识回顾情境： ①本章我们学习了什么是二次函数，你能说出二次函数的定义和一般形式吗？ ②二次函数的图象是什么形状？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别由什么决定？ ③二次函数有哪三种解析式形式？它们之间如何互化？ ④二次函数与一元二次方程有什么关系？如何用图象法解方程？ 2.互动提问：如果给你一条抛物线的图象，你能从图中读出哪些信息？（a、b、c的符号，对称轴，顶点，与坐标轴交点，最值，方程的根……） 3.揭示课题：今天我们对第二十六章二次函数进行系统的小结与复习，构建知识网络，攻克综合题型。 任务驱学 任务1：构建本章知识网络图，从"概念→图象→性质→形式→方程→应用"六个维度梳理，每个维度列出2-3个核心知识点。 任务2：整理二次函数三种解析式形式（一般式y=ax²+bx+c、顶点式y=a(x-h)²+k、交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)）的互化方法，各举一例。 任务3：归纳本章典型题型（图象信息判断题、求解析式、最值问题、与方程关系、实际应用、与几何结合），每种题型写出解题关键步骤。 【设计意图】通过三个任务引导学生自主梳理知识体系，从零散知识点到结构化网络，再到题型方法归纳，实现由"知"到"能"的提升 二次备课 二、合作探究 探究1 知识结构梳理 ①概念：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，自变量最高次数为2。 ②图象：抛物线，轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a。 ③性质：a>0开口向上，有最小值；a<0开口向下，有最大值。|a|越大开口越窄。 ④三种形式： 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0），对称轴x=-b/2a，顶点(-b/2a, 4ac-b²/4a) 顶点式：y=a(x-h)²+k，顶点(h,k)，对称轴x=h 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)，与x轴交点(x₁,0)、(x₂,0)，对称轴x=x₁+x₂/2 ⑤与方程关系：抛物线与x轴交点的横坐标是方程ax²+bx+c=0的根；Δ>0两交点，Δ=0一个交点，Δ<0无交点。 ⑥实际应用：最值问题（面积最大、利润最大）、建模问题（刹车距离、抛体运动）。 ★深度剖析： ①a的双重作用：既决定开口方向（符号），又决定开口大小（绝对值）； ②b的作用：与a共同决定对称轴位置——"左同右异"（对称轴在y轴左侧时a、b同号，右侧时异号）； ③c的作用：抛物线与y轴交点的纵坐标，c>0交y轴正半轴，c<0交负半轴； ④三种形式各有优势：一般式便于读系数，顶点式便于求最值，交点式便于求方程根。 探究2 数学思想方法 ①数形结合：函数图象与代数性质相互转化——由式想图，由图读性； ②转化化归：三种形式互化，实际问题转化为函数问题，方程问题转化为图象交点问题； ③分类讨论：含参数的二次函数问题，按a的符号、对称轴位置、Δ的符号分类； ④函数建模：将实际问题中的变量关系抽象为二次函数模型。 ★易错点提示： ①求二次函数最值时忽略自变量取值范围，顶点不一定在范围内； ②用交点式时忘记前提是抛物线与x轴有交点（Δ≥0）； ③"左同右异"判断b的符号时，要结合a的符号和对称轴位置，不能只看一个； ④实际问题中单位不统一，导致函数式列错； ⑤平移规律"左加右减、上加下减"容易记反，要结合顶点坐标变化来理解。 ★数学思想渗透： 本章是数形结合思想的集大成者——每一个代数特征都对应图象特征，每一个图象特征都反映代数性质，复习时要反复在"数"与"形"之间切换。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 已知二次函数y=x²-4x+3。 （1）将其化为顶点式，写出顶点坐标和对称轴； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时y有最小值？最小值是多少？ （4）当1≤x≤4时，求y的取值范围。 解：（1）y=x²-4x+3=(x-2)²-1，顶点(2,-1)，对称轴x=2。 （2）令y=0，x²-4x+3=0，(x-1)(x-3)=0，x=1或x=3，与x轴交点(1,0)、(3,0)； 令x=0，y=3，与y轴交点(0,3)。 （3）因为a=1>0，对称轴x=2，所以当x>2时y随x增大而增大；当x=2时y最小=-1。 （4）当1≤x≤4时，x=2在范围内，y最小=-1；端点x=1时y=0，x=4时y=3，所以y最大=3。 故y的取值范围是-1≤y≤3。 【方法总结】求闭区间上的最值：先看顶点是否在区间内，在则顶点为一个最值点，另一个最值在离对称轴较远的端点；不在则最值在两个端点。 例2 如图1，抛物线y=x²-4x+3的图象如图所示。根据图象判断下列结论是否正确，并说明理由： ①a>0，b<0，c>0；②b²-4ac>0；③2a+b=0；④a+b+c<0；⑤当x>2时，y随x增大而增大。 解：①正确。开口向上→a>0；对称轴x=2在y轴右侧，a>0→b<0（左同右异）；与y轴交于正半轴→c>0。 ②正确。抛物线与x轴有两个交点(1,0)、(3,0)→Δ=b²-4ac>0。 ③正确。对称轴x=-b/2a=2→-b=4a→b=-4a→2a+b=2a-4a=-2a≠0。 （注：此处③应为2a+b≠0，原判断"2a+b=0"错误。正确结论：对称轴x=2→b=-4a→4a+b=0） 修正③：4a+b=0（由x=-b/2a=2得b=-4a），所以"2a+b=0"错误。 ④错误。当x=1时y=a+b+c=0（因为(1,0)在抛物线上），不是<0。 ⑤正确。a>0，对称轴x=2，所以x>2时y随x增大而增大。 【方法总结】图象信息判断题技巧：a看开口，c看y轴交点，b看对称轴（左同右异），Δ看x轴交点个数，a+b+c看x=1时的函数值，a-b+c看x=-1时的函数值，2a+b看对称轴与x=1的关系。 图1 抛物线综合判断题 例3 如图2，抛物线y=-x²+4x与x轴交于O(0,0)、A(4,0)两点，顶点为B(2,4)，点P(1,3)在抛物线上。 （1）求△OAB的面积； （2）求△PAB的面积； （3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于△OAB面积的一半？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由。 解：（1）OA=4，B到x轴距离（高）=4，S△OAB=½×4×4=8。 （2）方法：割补法。直线AB的方程：过A(4,0)、B(2,4)，斜率k=4-0/2-4=-2，方程y=-2(x-4)=-2x+8。 P(1,3)到直线AB：2x+y-8=0的距离d=|2×1+3-8|/√5=3/√5。 AB长度=√((4-2)²+(0-4)²)=√(4+16)=√20=2√5。 S△PAB=½×2√5×3/√5=3。 （3）设Q(x, -x²+4x)，△QAB的面积=½×AB×d_Q=½×2√5×|2x+(-x²+4x)-8|/√5=|-x²+6x-8|。 令|-x²+6x-8|=4（△OAB面积的一半）。 当-x²+6x-8=4时，x²-6x+12=0，Δ=36-48<0，无解； 当-x²+6x-8=-4时，x²-6x+4=0，x=6±√(36-16)/2=6±√20/2=3±√5。 此时y=-x²+4x，代入x=3+√5：y=-(3+√5)²+4(3+√5)=-(14+6√5)+12+4√5=-2-2√5； x=3-√5：y=-(3-√5)²+4(3-√5)=-(14-6√5)+12-4√5=-2+2√5。 所以存在Q(3+√5, -2-2√5)和Q(3-√5, -2+2√5)。 【方法总结】抛物线与三角形面积问题：①已知三点求面积用割补法或坐标公式；②动点面积问题先设动点坐标，用面积公式列方程，注意绝对值带来的分类讨论。 ★拓展思考：若将△QAB面积改为等于△OAB面积，会有几个解？（提示：此时|-x²+6x-8|=8，可能有3个解，其中一个是顶点） 图2 抛物线与三角形面积 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生活动：各小组展示知识网络图，一组讲解三种形式互化，二组讲解图象信息判断题技巧，三组板演例3面积问题，四组分享易错点排查清单。 2.讨论问题： ①二次函数y=ax²+bx+c中，a、b、c、Δ各自决定图象的什么特征？看到图象如何快速判断它们的符号？ ②三种解析式形式在什么情况下使用最方便？（已知顶点用顶点式，已知与x轴交点用交点式，已知任意三点用一般式） ③求二次函数最值时，什么情况下顶点不是最值点？（顶点不在自变量取值范围内时） ④例3中为什么面积方程会有绝对值？去掉绝对值后为什么要分两种情况讨论？ 3.教师强调： ①复习课要建立知识之间的联系，不能孤立记忆知识点，要形成"概念→图象→性质→应用"的完整链条； ②数形结合是本章的灵魂，每道题都要尝试"由式想图、由图读性"； ③综合题要学会拆解——把复杂问题分解为若干基本问题（求交点、求顶点、求面积、解方程）。 ★拓展思考：你能编一道二次函数与几何图形结合的综合题吗？可以结合三角形、四边形、圆等图形。 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：抛物线y=x²+2x-3的顶点坐标为____，对称轴为____，最小值为____。 （答案：(-1,-4)，x=-1，-4） 2.填空：抛物线y=-2(x-3)²+1的开口向____，顶点坐标为____，当x=____时y有最____值____。 （答案：下，(3,1)，3，大，1） 3.选择：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图1所示，则下列结论正确的是（　） A.a<0 B.b>0 C.c<0 D.b²-4ac>0 （答案：D，开口向上a>0，对称轴在右b<0，交y轴正半轴c>0，两交点Δ>0） 4.解答：已知抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)，且过点(0,3)，求抛物线的解析式。 （答案：设交点式y=a(x-1)(x-3)，代入(0,3)得3=3a，a=1，所以y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3） 5.拓展：如图2，抛物线y=-x²+4x，点M在抛物线上，若△MAB的面积为6（A(4,0)、B(2,4)），求M点坐标。 （答案：S△MAB=|-x²+6x-8|=6，当-x²+6x-8=6时x²-6x+14=0无解；当-x²+6x-8=-6时x²-6x+2=0，x=3±√7，对应y值，M(3+√7,-2-2√7)或(3-√7,-2+2√7)） 【分层设计】1-2题为基础题（性质与形式），3题为中档题（图象信息判断），4题为中档题（求解析式），5题为稍难题（动点面积） 二次备课 课 堂 小 结 1.概念：y=ax²+bx+c（a≠0），自变量最高次数为2，a≠0是关键。 2.图象：抛物线，轴对称图形，对称轴x=-b/2a，顶点(-b/2a, 4ac-b²/4a)。 3.性质：a定开口和最值，|a|定开口大小，b与a定对称轴（左同右异），c定y轴截距，Δ定x轴交点数。 4.三种形式：一般式y=ax²+bx+c、顶点式y=a(x-h)²+k、交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，根据条件灵活选用。 5.与方程关系：抛物线与x轴交点↔方程的根，Δ>0两交点/两不等实根，Δ=0一切点/两等根，Δ<0无交点/无实根。 6.实际应用：最值问题（面积、利润）、建模问题（刹车距离、抛体），注意自变量取值范围。 7.数学思想：数形结合、转化化归、分类讨论、函数建模。 ★知识网络： 概念(y=ax²+bx+c,a≠0)→图象(抛物线)→性质(开口、对称轴、顶点、最值、增减性) →三种形式(一般、顶点、交点)→与方程关系(Δ/交点/根)→实际应用(最值、建模) 课后 作业 1.必做： ①课本复习题26第1-7题； ②画出y=-2x²+4x+1的图象，并标注顶点、对称轴、与坐标轴交点； ③将y=2x²-8x+5化为顶点式和交点式（若有交点）。 2.选做： ①已知抛物线y=ax²+bx+c过(-1,0)、(3,0)、(0,-3)，求解析式并求顶点坐标； ②某商品进价40元，售价50元时可卖500件，每涨价1元少卖10件，求售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？ ③画一张本章思维导图，要求涵盖所有知识点和典型题型。 3.预习：预习第二十七章"相似"的引言部分，思考生活中有哪些相似图形的例子。 板 书 设 计 第二十六章 二次函数 小结与复习 一、知识网络 概念→图象(抛物线)→性质→三种形式→与方程→应用 二、核心公式 对称轴：x=-b/2a 顶点：(-b/2a, 4ac-b²/4a) 顶点式：y=a(x-h)²+k 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 三、图象信息判断 a→开口 c→y轴交点 b→左同右异 Δ→x轴交点数 a+b+c→x=1时y值 2a+b→对称轴与x=1关系 四、典型题型 例1 求顶点、交点、最值、区间值域 例2 图象信息综合判断（如图1） 例3 抛物线与三角形面积（如图2） 五、数学思想：数形结合、转化化归、分类讨论、建模 课 后 反 思 教学反思 1.复习课以知识网络构建为主线，从概念到应用系统梳理，学生对本章知识体系的整体把握较好，能说出各知识点之间的联系。 2.例2的图象信息判断题信息量大，涵盖了a、b、c、Δ、特殊点函数值等多个考点，是复习课的重点题型，学生通过这道题能系统掌握"由图读性"的方法。 3.例3的抛物线与三角形面积综合题难度较大，涉及动点、绝对值方程、分类讨论，部分学生在面积公式的推导和绝对值方程的求解上遇到困难，需要在后续练习中加强。 4.三种解析式形式的互化是基础，但部分学生在配方法上仍有出错，尤其是一次项系数为奇数时的配方，需要个别辅导。 5.数形结合思想的渗透贯穿始终，但学生主动画图辅助解题的意识还不够强，很多题明明可以画图快速判断，学生却选择纯代数计算，需要继续强化"由式想图"的习惯。 6.改进方向：①可增加学生自主编题环节，让学生在编题中深化对知识的理解；②针对含参数的分类讨论问题可设计专题突破；③利用信息技术（几何画板）动态演示抛物线随参数变化的过程，增强直观性；④对学有余力的学生可拓展二次函数与圆、与四边形的更复杂综合题。 学科网（北京）股份有限公司 $