四川自贡市蜀光中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

高2026级高一开学考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 3．若全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．若，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知a，，关于的不等式的解集为，则（ ） A．3 B． C．1 D． 6．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为1，，则正方形的面积为（ ） A．25 B．36 C．49 D．64 7．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．如图，一条直线与反比例函数的图象交于、两点，分别与轴、轴交于、两点．若，，则的值是（ ） A．3 B． C．7 D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知集合，集合．，则（ ） A． B． C． D． 10．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A．10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B．9月体育测试中学生的不及格率为18% C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若关于的分式方程无解，则________． 13．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则________． 14．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15．（本小题满分13分）已知，，， （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分）阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 示例：当时，求的最小值． 解：，当，即时，的最小值为6． （1）尝试：当时，求的最小值． （2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用）？最少年平均费用为多少万元？ 17．（本小题满分15分）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 18．（本小题满分17分）如图，是的直径，点、在圆上，是的中点，于点，交于点，、交于点，在延长线上且． （1）求证：为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 19．（本小题满分17分）如图，抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，． （1）求抛物线表达式； （2）点是第三象限内抛物线上一点，过作轴交直线于．求的最大值； （3）抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $高2026级高一开学考试数学试题答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.B2.D3.D4.D5.C6.C7.C8.B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.CD 10.BCD 11,AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.-113.514.24 四、解答题：本大题共5小题，共77分， 15.【解】(1)由x2-2x-3≤0解得：-1≤x≤3，故A={x1≤x≤3} 当a=1时，B={0≤x≤3}. 所以4UB={1≤x≤3}，CB={<0或x>3} A∩B=B (2)因为 B∈A ,所以 ②时，a-1>2a+1 当B- 解得0<-2 BCA ，满足 a-1≤2a+1 当 时， -1≤a-1 ，解得 B≠☑ 2a+1≤3 0≤a≤1 所以实数a的取值范围为0≤a≤1或a<-2. -110y==x+-+1≥2x.二+1=3 x 1 .当x,即x=1时，y的最小值为3： (2)年平均费用气10 2+n+0.4n+10÷n +101、2n101 -≥2 =2+0.5=2.5 10n2-V10n2 n10 ∴.当10n,即n=10时，最少年平均费用为2.5万元. 17.【解1()因为y=ar+(1-a)r+a-22-2对-切实数x恒成立， 所以ar+1-a)r+a≥0对一切实数x恒成立， 所以，当a=0时，x≥0，不满足成立： a>0 a>0 当a≠0时，而满足4=1-aP-4a2≤0：即A=-302-2a+1s0:解得a≥ 3, [10 综上，实数的取值范用为3切 (2)解：ar+(1-)x+a-2<a-l(a<0)台ar2+1-a)x-1<0(a<0) 台(ax+0x-)0(a<0,因为ac+:-刂-0a<0e的实5根为=日，名=l, .当君1，a-1时(ar+r-<a<0的群日U+四。 11 当a,即a=-1时，(ar+l(x-)<0(a<0)的解集为(o,1U(1,+o）: 当日>1.即-1<a<0时.(ar+100-<0a<0)的解安-，u云+n 1 综Lac-1时，那袋dU0) a=-l时，解集为xr≠， 当-1ca<0.解来为Uam】 18.【解】(1)证明：连接OC,如图所示： 0的直径，∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90 .AB。⊙O 是 .∠BCH=∠CAB∴.∠BCH+∠ABC=90° :OC=OB∴.∠OCB=∠OBC∴.∠BCH+∠OCB=90°∠OCH=90°.OC⊥CH ，即 0C是o0的半径.CH为o0f 为的切线。 (2)证明：：D是AC的中点，AD=CD,“∠ABD=∠DAC, DE14B,4B是O0的直路，∠ADB=∠AED=90 ∴.∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°∴.∠ADE=∠ABD=∠DAC.AF=DF (3)DG=2,GB=3,.DB=DG+BG=5, AD DB :∠ABD=∠GAD,∠ADB=∠GDA,△ABD∽△GAD,“GDDA, ∴.AD2=DG·DB=10..AD=10 19.【解】(1)“y=r+br-6与y轴交于点C,C(0,-6),∴0C=6. 0A0C,04=3,÷43,0.将4-3,0)代入y=r+br-6中，得b=1 ·抛物线的表达式为y=x+x-6 (2)解：由1)知：A(-3,0),C(0,6) 设直线4C:y=r+ak≠0)，将1(-3,0），C0,6)代入， -3k+a=0 k=-2 得a=-6,解得a=-6.∴y=-2x-6: 设D(m,m+m-6),则E(m,-2m-6). .DE=-2m-6-（m2+m-6)=-m2-3m 过点E作EF1OC于点F,则EF10A,F(0,-2m-6), ∴.△CFE∽△C0A,CF=-2m-6-(-6)=-2m CF CE COCA,CA=V04+0C2=3+6=35. 2mCE 635,CE=-V5m, DEt56c=m-+5(5m=-m2-m-m=-m2-4烟=-a+2+4 5 1c0.-3cm<0:当m=-2时.05+ EC有最大值，最大值是4， ts-I (3)解：存在，y=x+x-6,“抛物线的对称轴是直线一2， :1(-3,0）,:点A关于对称轴的对称点为B(2,0) 1 ①如图1，由∠PBA=∠BAC,可知点C关于X=2的对称点为点P,P(-山，6). 角 A 图1 ②如图2，设P(m,n+n-6),作PG⊥x轴，则PG=n+n-6,BG=2-n. 图2 rtan∠BAC=OC」 OM2.∠PB4=∠B1C,tm∠P84=n6-2 -n+2 3解得”=2（合），%=-5 m+m-6=（-5)-5-6=14,P(-5,14)综上所述，P点坐标为(-1，-6)或(-5,14)