第05讲 有理数的乘除法 复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘除法核心知识点，系统梳理乘法法则、符号判定、运算律、倒数及除法运算，衔接有理数加减法，为后续混合运算构建从基础到综合的学习支架。 资料以运算能力、推理意识、应用意识为核心，设计基础计算、实际应用（如核酸行程、水费问题）等题型，课中助力教师系统授课，课后通过查缺补漏与作业巩固，提升学生解决问题能力。

第5讲：有理数的乘除法 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与0相乘，都得0． 知识点二、多个有理数相乘的符号判定 1.几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数． 2.几个数相乘，如果其中有一个因数为0，那么积等于0． 知识点三、有理数的乘法运算律 1.  乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变.即：. 2.  乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 即：. 3.  分配律： 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 即：. 知识点四、倒数 1.倒数的定义： 乘积是1的两个数互为倒数．即，则、互为倒数；反之亦然. 2.倒数的结论： ①若、互为倒数，则． ②0没有倒数． ③1的倒数是本身． 3. 负倒数的定义： 若，则、互为负倒数． 三、常考的题型 考点一、倒数 1．下列计算不正确的是(   ) A． B． C． D． 2．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 3．的倒数是________． 4．一个数与它倒数的和是8.125，这个数一定是8．( ) 5．甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 考点二、两个有理数的乘法运算 6．根据下表每行中的已知数，填写该行中其他的数： 原数 原数的相反数 原数的绝对值 原数的倒数 0 7．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三、多个有理数的乘法运算 11．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 12．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 13．秒是多长时间？（   ） A．30天 B．40天 C．4周 D．5周 E．6周 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 考点四、有理数乘法运算律 16．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 17．请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．计算： (1)； (2)． 考点五、有理数的除法运算 21．计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 22．计算得（　　） A． B．8 C． D． 23．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点六、有理数的乘除法实际应用 26．在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 27．社区通知：2022年11月30日下午，辖区范围内所有在泰人员（包括常住人口、暂住人口、流动人口、外籍人员等）开展一轮区域性规模核酸检测，在家的中小学生及幼儿园学龄前儿童由家长带领参加社区组织的核酸检测．当天下午，妈妈突然想起这件事，立即用电动车从家里送小明和小华去核酸检测点做核酸，核酸检测点距家，小明和小华步行的平均速度为，电动车的平均速度为，妈妈用电动车一次只能带一人． (1)若妈妈先把小明送到核酸检测点，再回头接小华，小华一直在家里等妈妈来接，那么妈妈能否在前把两个孩子送到核酸检测点？答：_________（填能或不能）． (2)为了能尽快把两孩子送到核酸检测点，聪明的小明想出了一个办法：小华先乘妈妈的电动车去核酸检测点，小明先步行，他们同时出发，妈妈把小华送到核酸检测点后立即回头接小明，小明和小华能在核酸检测结束前到达核酸检测点吗？（请写出完整的解答过程）． 28．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 29．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 30．阅读材料 随着全社会生态环保意识不断提升，绿色、低碳、节能的生活方式已经成为城市发展的主流趋势．为持续推进节能减排工作，有效降低机动车尾气污染，减少城市温室气体排放量，各大城市全面推行绿色通勤政策，积极引导广大市民在日常上下班过程中，主动放弃传统燃油私家车，优先选择地铁、新能源代步车等低能耗、零排放的公共交通和绿色交通工具． 材料一：相关环境监测部门经过长期的数据跟踪与统计分析得出：传统燃油汽车在行驶过程中会产生大量二氧化碳，对空气质量和生态环境造成较大影响．经精准测算，燃油汽车每行驶1千米，将排放150克二氧化碳，长期高频次的私家车通勤出行，是城市碳排放居高不下的重要原因之一． 材料二：某市民日常需要自驾通勤上班，其居住地与工作单位之间的单程固定路程为18千米．为积极响应低碳号召，该市民计划更换绿色出行方式．城市地铁运行稳定、速度较快，全程平均行驶速度为36千米/时；新能源电动车灵活便捷、不受拥堵影响，全程平均行驶速度为24千米/时，两种出行方式均不会产生二氧化碳排放，属于纯绿色通勤方式．该市民所在单位全年常规上班月份，每月固定按照22个工作日执行，每日均需完成早晚往返一次通勤路程． 材料三：为进一步鼓励全民参与低碳出行、普及绿色通勤习惯，当地交通集团联合出行平台，面向市民推出绿色出行月卡优惠活动与低碳积分激励政策．其中地铁专属通勤月卡原价每张90元，新能源电动车通勤月卡原价每张120元．市民在日常通勤中产生的绿色出行次数可自动累积低碳积分，积分可直接抵扣现金费用，并且积分抵扣权益能够与官方打折优惠叠加使用，最大程度降低市民通勤成本． 请同学们根据上面相关材料回答下列问题： (1)分别求出该市民乘坐地铁、驾驶新能源电动车完成单程通勤各需要多少小时？ (2)若该市民整月工作日全部选择新能源电动车通勤，完全替代燃油汽车出行，请计算相比燃油通勤，全月一共减少多少千克二氧化碳排放？ (3)官方优惠规则如下： ①地铁月卡享受原价七五折优惠； ②新能源电动车月卡先在原价基础上降价，再打八折； ③绿色出行乘坐一次可获得低碳积分2分，每8个积分可抵扣1元现金； ④只能从地铁月卡与新能源电动车月卡中选择一种绿色出行月卡． 请分别计算两种月卡的最终实际花费，并通过计算说明办理哪一种出行月卡更加划算． 考点七、有理数的乘除法的混合计算 31．计算：_____． 32．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 34．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 四、查缺补漏 1．的倒数是________，0.5的倒数是________，的倒数是________． 2．对于实数，若则下列四个数中，一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，则“”内应填的实数是（   ） A． B． C． D． 4．用“”定义新运算：对于任意有理数a，b，当时，都有；当时，都有．那么，______，_______． 5．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 6．已知与互为相反数，互为倒数，，求的值． 解：与互为相反数， ______． 互为倒数， ______． ， ______． ______． (1)数学离不开推理，请把上面推理的空白部分补充完整； (2)请用推理的方式解决下面的问题：已知是三个有理数，若，，且，试判断的符号并且说明理由 7．将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24． 8．有箱苹果，以每箱千克为标准，超过千克的数记为正数，不足千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 （1）最重的一箱比最轻的一箱重 千克； （2）求这20箱苹果的总质量； （3）若这批苹果的批发价是元/千克，售价是元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这箱苹果能盈利多少元？ 9．小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）： 请通过计算说明： （1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？ （2）每套儿童服装的平均售价是多少元？ （3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75元，按他的预计第二次售价可获利多少元？ 五、课后作业 1．实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 2．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法交换律 3．将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 5．在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 6．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0 C．a、b同号 D．a、b异号，且正数的绝对值较大 7．计算： (1)； (2) (3) 8．计算下面各题，要写出主要计算过程，能用简便方法的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) (5) 9．一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 10．小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 11．办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲：有理数的乘除法 一、考点梳理 二、知识点总结 知识点一、乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与0相乘，都得0． 知识点二、多个有理数相乘的符号判定 1.几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数． 2.几个数相乘，如果其中有一个因数为0，那么积等于0． 知识点三、有理数的乘法运算律 1.  乘法交换律： 两个数相乘，交换因数的位置，积不变.即：. 2.  乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 即：. 3.  分配律： 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 即：. 知识点四、倒数 1.倒数的定义： 乘积是1的两个数互为倒数．即，则、互为倒数；反之亦然. 2.倒数的结论： ①若、互为倒数，则． ②0没有倒数． ③1的倒数是本身． 3. 负倒数的定义： 若，则、互为负倒数． 三、常考的题型 考点一、倒数 1．下列计算不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算 【解析】略 2．的倒数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 3．的倒数是________． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】根据倒数定义，找到乘积为的数即可得到结果． 【详解】解：， 的倒数是． 4．一个数与它倒数的和是8.125，这个数一定是8．( ) 【答案】× 【知识点】倒数、有理数加法运算 【分析】判断和为时，符合条件的数是否只有． 【详解】解：将化为带分数得， ∵的倒数是，，的倒数是，， ∴这个数可以是，也可以是， 因此这个数不一定是， 故答案为×． 5．甲、乙都是正整数，若甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲、乙两个数的大小关系是（     ） A．乙甲 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 【答案】A 【知识点】倒数、有理数大小比较 【详解】解：甲、乙都是正整数，如果甲数的倒数大于乙数的倒数，那么甲数小于乙数，即乙数大于甲数． 考点二、两个有理数的乘法运算 6．根据下表每行中的已知数，填写该行中其他的数： 原数 原数的相反数 原数的绝对值 原数的倒数 0 【答案】 原数 原数的相反数 原数的绝对值 原数的倒数 2 2 0 0 0 不存在 【知识点】倒数、求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此结合表格中的数据求解即可． 【详解】解：的相反数为，绝对值为，倒数为； 的相反数为，的绝对值为，倒数为； 0的相反数是0，0的绝对值是0，0没有倒数； 的倒数为，的相反数为，绝对值为； 填表见答案． 7．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 8．有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、有理数的减法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、两个有理数的乘法运算 【详解】解：由数轴可知，，， 则，，，， 只有C选项正确 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数乘法法则逐个计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 考点三、多个有理数的乘法运算 11．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 12．下列结论：①两数之积为正，这两数同为正；②三数相乘，积为负，这三个数都是负数；③两数之积为负，这两数为异号；④几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．正确的有（     ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：①两数之积为正，这两数同为正或同为负，原说法错误； ②三数相乘，积为负，这三个数都是负数或一个数是负数，两个数是正数，原说法错误； ③两数之积为负，这两数为异号，原说法正确； ④几个数相乘，若因数中没有0，则积的符号由负因数的个数决定，若因数中有0，则积为0，原说法错误； ∴说法正确的只有③，共1个． 13．秒是多长时间？（   ） A．30天 B．40天 C．4周 D．5周 E．6周 【答案】E 【知识点】单位的认识和换算、多个有理数的乘法运算 【分析】先计算乘积得到总秒数，再根据时间单位换算关系，将秒逐步换算为周，对比选项得到结果． 【详解】∵秒， 又∵1天小时，1小时分，1分秒， ∴1天的总秒数为 秒， ∴总天数为 天， ∵ 1周天， ∴总周数为 周． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】根据有理数乘法的运算法则，结合乘法交换律、结合律、分配律简化运算，多个有理数相乘时，若有一个因数为，积直接为，小数可先转化为分数再约分计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． （6）解：原式． （7）解：原式． （8）解：原式． 考点四、有理数乘法运算律 16．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 17．请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 【答案】 乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】根据每一步运算的变形形式，对应有理数乘法的运算律判断填空即可. 【详解】略 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数乘法运算律 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、两个有理数的乘法运算 【分析】（1）根据有理数的四则运算法则，算式中有括号要先计算括号里面的值，再计算括号外面的乘法的值，即可得到答案． （2）根据有理数的四则运算法则，算式中有括号要先计算括号里面的值，再计算括号外面的乘法的值，即可得到答案． （3）式子中数字较大，将改写成，再根据有理数的乘法运算律进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1680 (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 考点五、有理数的除法运算 21．计算的结果为（     ） A． B．2 C． D．8 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算 【详解】解：． 22．计算得（　　） A． B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 23．甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 24．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】（1）除以非数等于； （2）同号两数相除得正，除法转化为乘倒数计算； （3）小数化为分数，除法改乘法，直接约分； （4）异号相除取负，分数乘倒数，约分化简； （5）有理数连除，先判断符号，除法全部换成乘法计算； （6）多个数连除，小数转分数，负负为正，约分求值； （7）小数改写成分数，除以分数变为乘倒数，约分求值； （8）小数转换分数，除法变乘法，约分求值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 25．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 考点六、有理数的乘除法实际应用 26．在体育课上，六（1）班男生进行一分钟仰卧起坐测试，李老师以做个为优秀的标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．其中第一小队名男生的成绩记录如下：，，，，，，，．该小队男生的平均成绩是( )个，优秀率为( )． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、有理数除法的应用 【分析】以个为优秀标准，正数表示超过标准的个数，负数表示不足标准的个数，先计算偏差总和得到平均成绩，再统计优秀人数计算优秀率. 【详解】解：首先计算8名男生成绩与标准的偏差和：， 平均偏差为 ， 因此平均成绩为 个． 成绩记录大于等于即为达到优秀标准，符合条件的共有人． 优秀率为 ． 27．社区通知：2022年11月30日下午，辖区范围内所有在泰人员（包括常住人口、暂住人口、流动人口、外籍人员等）开展一轮区域性规模核酸检测，在家的中小学生及幼儿园学龄前儿童由家长带领参加社区组织的核酸检测．当天下午，妈妈突然想起这件事，立即用电动车从家里送小明和小华去核酸检测点做核酸，核酸检测点距家，小明和小华步行的平均速度为，电动车的平均速度为，妈妈用电动车一次只能带一人． (1)若妈妈先把小明送到核酸检测点，再回头接小华，小华一直在家里等妈妈来接，那么妈妈能否在前把两个孩子送到核酸检测点？答：_________（填能或不能）． (2)为了能尽快把两孩子送到核酸检测点，聪明的小明想出了一个办法：小华先乘妈妈的电动车去核酸检测点，小明先步行，他们同时出发，妈妈把小华送到核酸检测点后立即回头接小明，小明和小华能在核酸检测结束前到达核酸检测点吗？（请写出完整的解答过程）． 【答案】(1)不能 (2)第一阶段：妈妈送小华到检测点，所需时间为，这段时间小明步行的路程为，此时妈妈和小明的距离为， 第二阶段：妈妈回头接小明，两人相向而行，速度和为，相遇所需时间， 第三阶段：相遇后妈妈带小明前往检测点，小明一共步行了，剩余路程为，走剩余路程所需时间 总用时， 因为，所以小明能在核酸检测结束前到达． 综上所述，小明和小华能在核酸检测结束前到达． 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】（1）根据路程和速度计算妈妈全程的总用时，与到的可用时间比较即可得到结论， （2）将行程分为三个阶段计算总用时，先计算妈妈送小华到达检测点的时间和小明步行的路程，再计算妈妈回头接小明的相遇时间，最后计算妈妈带小明到检测点的时间，总用时与可用时间比较得到结论． 【详解】（1）解：从到的可用时间为． 小华在家等妈妈时，妈妈的行程为：家→检测点送小明→回家接小华→检测点送小华，总路程为， 总用时为， 因为，所以妈妈不能在6∶00前把两个孩子送到． （2）略 28．我国是水资源比较贫乏的国家之一，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段来达到节约用水的目的，规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过20立方米时，水费按“基本价”收费；超过20平方米时，不超过的部分仍按“基本价”收费，超过部分按“调节价”收费．某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示： 月份 用水量（立方米） 水费（元） 4 16 33.60 5 28 70.80 (1)请你算一算该市水费的“调节价”每立方米多少钱？ (2)若该户居民6月份用水量为32立方米，请你第一算，6月份的水费是多少元？ 【答案】(1)3.6元； (2)元． 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】（1）先求出基本价，然后再求出调节价即可； （2）根据基本价和调节价列式计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式，准确计算． 【详解】（1）解： “基本价”： （元； “调节价”： （元 答：该市水费的“调节价”每立方米3.6元； （2）解：依题意 （元； 答：6月份的水费是元． 29．快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 30．阅读材料 随着全社会生态环保意识不断提升，绿色、低碳、节能的生活方式已经成为城市发展的主流趋势．为持续推进节能减排工作，有效降低机动车尾气污染，减少城市温室气体排放量，各大城市全面推行绿色通勤政策，积极引导广大市民在日常上下班过程中，主动放弃传统燃油私家车，优先选择地铁、新能源代步车等低能耗、零排放的公共交通和绿色交通工具． 材料一：相关环境监测部门经过长期的数据跟踪与统计分析得出：传统燃油汽车在行驶过程中会产生大量二氧化碳，对空气质量和生态环境造成较大影响．经精准测算，燃油汽车每行驶1千米，将排放150克二氧化碳，长期高频次的私家车通勤出行，是城市碳排放居高不下的重要原因之一． 材料二：某市民日常需要自驾通勤上班，其居住地与工作单位之间的单程固定路程为18千米．为积极响应低碳号召，该市民计划更换绿色出行方式．城市地铁运行稳定、速度较快，全程平均行驶速度为36千米/时；新能源电动车灵活便捷、不受拥堵影响，全程平均行驶速度为24千米/时，两种出行方式均不会产生二氧化碳排放，属于纯绿色通勤方式．该市民所在单位全年常规上班月份，每月固定按照22个工作日执行，每日均需完成早晚往返一次通勤路程． 材料三：为进一步鼓励全民参与低碳出行、普及绿色通勤习惯，当地交通集团联合出行平台，面向市民推出绿色出行月卡优惠活动与低碳积分激励政策．其中地铁专属通勤月卡原价每张90元，新能源电动车通勤月卡原价每张120元．市民在日常通勤中产生的绿色出行次数可自动累积低碳积分，积分可直接抵扣现金费用，并且积分抵扣权益能够与官方打折优惠叠加使用，最大程度降低市民通勤成本． 请同学们根据上面相关材料回答下列问题： (1)分别求出该市民乘坐地铁、驾驶新能源电动车完成单程通勤各需要多少小时？ (2)若该市民整月工作日全部选择新能源电动车通勤，完全替代燃油汽车出行，请计算相比燃油通勤，全月一共减少多少千克二氧化碳排放？ (3)官方优惠规则如下： ①地铁月卡享受原价七五折优惠； ②新能源电动车月卡先在原价基础上降价，再打八折； ③绿色出行乘坐一次可获得低碳积分2分，每8个积分可抵扣1元现金； ④只能从地铁月卡与新能源电动车月卡中选择一种绿色出行月卡． 请分别计算两种月卡的最终实际花费，并通过计算说明办理哪一种出行月卡更加划算． 【答案】(1)地铁单程用时0.5小时，新能源电动车单程用时0.75小时 (2)全月一共减少118.8千克二氧化碳排放 (3)解：办理地铁月卡更划算，理由如下： 积分抵扣：（元） 地铁出行：（元） 新能源电动车出行：（元） 因为，所以办理地铁月卡更划算 答：地铁月卡实际花费56.5元，新能源电动车月卡实际花费61元，办理地铁月卡更划算． 【知识点】有理数除法的应用、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）该市民上班单程固定路程为18千米．根据地铁的行驶速度以及新能源电动车行驶的速度求解时间即可； （2）先计算出该市民全月通勤的千米数，再由每行驶1千米，将排放150克二氧化碳，求解即可； （3）先求解积分可以抵扣11元，再计算乘坐地铁和新能源电动车的实际花费，比较大小即可得到哪种方式更划算． 【详解】（1）解：（小时），（小时） 答：地铁单程用时0.5小时，新能源电动车单程用时0.75小时； （2）解：该市民全月共通勤千米， ∵每行驶1千米，将排放150克二氧化碳， ∴（千克） 答：全月一共减少118.8千克二氧化碳排放； （3）略 考点七、有理数的乘除法的混合计算 31．计算：_____． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】先将除法转化为乘法，再按顺序从左到右计算即可． 【详解】解： ． 32．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 【答案】 解：不正确. 错误之处：乘除为同级运算，应从左到右依次计算，原解法错误地先计算后两个数的乘法，违背了同级运算的顺序． 正确解答： ． 【知识点】有理数乘除混合运算 【详解】略 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)8 (2)5 (3)0 (4) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算∶ （1）根据有理数的乘法、除法法则处理； （2）运用乘法分配律处理； （3）反用乘法分配律处理； （4）带分数拆项，化为减法，运用乘法分配律运算处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： ． 34．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)1 (4) 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数的除法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据0除以任何一个不等于0的数，都得0可得答案； （2）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （3）首先确定结果的符号，再统一化成乘法，先约分，再相乘即可； （4）先化成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 35．计算下列各题，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)40 (3)2023 (4)15 (5)1 (6)13 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法公式运算，有理数加减混合运算，有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）化为分数是，把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律可进行简算； （2）根据除法的性质，把算式改写成连除形式可进行简算； （3）根据积不变的规律统一将其中一个因数转换为，再根据乘法分配律进行简算． （4），先根据带符号搬家，将算式变为，然后把化为，根据减法的性质和括号的应用，将算式变为进行简算即可； （5）仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中可变形为，同时发现，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算； （6）在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把和的和作为一个数来参与运算，会使计算简便很多． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 四、查缺补漏 1．的倒数是________，0.5的倒数是________，的倒数是________． 【答案】 4 2 【知识点】 倒数的认识 【分析】本题考查倒数的定义，注意带分数先要化为假分数才能求倒数．根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数可得答案． 【详解】解：的倒数是4； 0.5的倒数是2； 因为， 所以的倒数是． 故答案为：4，2，． 2．对于实数，若则下列四个数中，一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】根据有理数的加减乘除运算法则即可判定符号进而求解． 【详解】解：选项A：当b=-5，a=1时，a+b<0，故选项A错误； 选项B：∵，故，故选项B正确； 选项C：根据两数相乘，同号得正，异号得负可知，选项C错误； 选项D：根据两数相除(分母不为0时)，同号得正，异号得负可知，选项D错误； 故选：B． 【点睛】考查有理数四则运算的符号法则，掌握有理数的加、减、乘、除的符号法则，是正确解答的关键． 3．如果，则“”内应填的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】倒数、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和倒数，根据乘积是1的两个数互为倒数解答． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填的实数是． 故选：D． 4．用“”定义新运算：对于任意有理数a，b，当时，都有；当时，都有．那么，______，_______． 【答案】 24 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】先判断两个数的大小，再根据题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵2＜6， ∴22×6 =4×6 =24； ∵＞， ∴ × =×9 =， 故答案为：24；． 【点睛】此题主要考查了求代数式的值，解题的关键是正确理解题目规定的运算法则，然后把数据代入其中计算即可． 5．计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2)16 (3)5 (4) (5) (6)12 【知识点】分数的乘、除法的混合运算、分数的四则混合运算 【分析】本题主要考查了分数的乘、除法的混合运算、分数的四则混合运算、分数的连除运算、整数乘法运算定律推广到分数乘法等知识． （1）把除法换算成乘法，再按照运算顺序，再进行计算； （2）根据乘法分配律进行计算； （3）根据乘法分配律进行计算； （4）把除法换算成乘法再进行计算； （5）先计算小括号里的加法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外的除法； （6）把小数化成分数，再把除法换算成乘法，再根据乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 6．已知与互为相反数，互为倒数，，求的值． 解：与互为相反数， ______． 互为倒数， ______． ， ______． ______． (1)数学离不开推理，请把上面推理的空白部分补充完整； (2)请用推理的方式解决下面的问题：已知是三个有理数，若，，且，试判断的符号并且说明理由 【答案】(1) 与互为相反数， ． 互为倒数， ． ， ． ； (2) ∵ ， ∴互为相反数， ∵， ∴，，且异号，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】有理数加法运算、倒数、多个有理数的乘法运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】（1）由相反数的定义可得，由倒数的含义可得，由绝对值的含义可得，再计算即可． （2）先判断互为相反数，结合，可得，，且异号，，，，结合，再进一步解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，绝对值的含义，有理数的加法，乘法运算的含义，求解代数式的值，掌握以上基础知识是解本题的关键． 7．将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24． 【答案】2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）． 【知识点】算“24”点 【分析】根据有理数的运算法则求解． 【详解】解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）] ＝2×（4+3+5） ＝2×12 ＝24， 故答案为：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． 8．有箱苹果，以每箱千克为标准，超过千克的数记为正数，不足千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 0 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 （1）最重的一箱比最轻的一箱重 千克； （2）求这20箱苹果的总质量； （3）若这批苹果的批发价是元/千克，售价是元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这箱苹果能盈利多少元？ 【答案】（1）；（2）千克；（3）元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查正数与负数，解题的关键是正确理解正数与负数的意义以及熟练运用有理数的混合运算； （1）用最重的一箱的质量减去最轻的一箱的质量即可； （2）计算出总的出入量，再加上20箱的总标准量即可； （3）用总重量乘以未腐烂的百分比，再乘以每千克的利润，最后减去腐烂掉的成本． 【详解】解：（1）（千克）， 即最重的一箱比最轻的一箱重千克， 故答案为：； （2）根据题意可知：（千克）， 箱苹果的总重量为：（千克）； （3）（元）， （元） （元） 答：出售这箱苹果能盈利元． 9．小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）： 请通过计算说明： （1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？ （2）每套儿童服装的平均售价是多少元？ （3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75元，按他的预计第二次售价可获利多少元？ 【答案】（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了元；（2）每套儿童服装的平均售价是元；（3）按他的预计第二次售价可获利元. 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数除法的应用 【分析】（1）把所得的正负数相加，再同以55元售价售出的总价相加，求出买出的钱数，再同400元进行比较，可知赚了还是亏了，进而求出赚或亏的钱数； （2）用售出的总价除以8可求出平均售价是多少元，据此解答． （3）根据利润=售价-进价即可求得. 【详解】(1)(+12)+(−13)+(+15)+(+11)+(−17)+(-11)+0+(−13)= −16. 80×8 −16=640−16=624(元) 624>180，所以赚钱 624−180=444(元) 答：当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了元； (2)624÷8=78(元) 答：每套儿童服装的平均售价是78元. (3)每套衣服的进价为：180÷8=22.5元, 第二次可以购进服装900÷22.5=40套， 答：按他的预计第二次售价可获利元. 【点睛】考查了正数与负数的应用，得到总售价是解决问题的关键. 五、课后作业 1．实数的倒数是，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键． 根据乘积是1的两个数互为倒数求出a即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， 解得：， 故选：C． 2．对式子进行简便计算，如图所示，运用到的运算律①是（   ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．加法交换律 【答案】C 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据计算过程结合有理数的乘法运算律进行判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘法运算律是解此题的关键． 【详解】解：，上面的计算中运用到的运算律是乘法结合律， 故选：C． 3．将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，根据有理数的乘除法法则求解即可． 【详解】解：把统一为加法运算为， 故选：B． 4．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解本题的关键．根据有理数的乘法运算法则分别计算可得结果． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：C． 5．在弹性范围内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．若一根弹簧挂上物体时长，挂上物体时长，则挂上物体时长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出物体增重，弹簧长度增加多少，再根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意得：物体增重，弹簧长度增加， 挂上物体时长， 故选：B． 6．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么(   ) A．a＞0，b＞0 B．a＜0 C．a、b同号 D．a、b异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】根据有理数加法和乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵ab＜0， ∴a、b异号， ∵a+b＞0， ∴a、b两个数中正数的绝对值大， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法和有理数的乘法，熟知两个有理数相乘同号为正，异号为负是解题的关键． 7．计算： (1)； (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3)30 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数的运算律 （1）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）逆用乘法的分配律，进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 8．计算下面各题，要写出主要计算过程，能用简便方法的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数四则混合运算．熟练掌握人理数四则混合运算法则与顺序是银题的关键． （1）按照乘法分配律计算； （2）先算除法，再算减法； （3）先算除法和乘法，再按照减法的性质计算； （4）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的加法，最后算括号外面的乘法； （5）按照减法的性质计算中括号里面的减法，然后再算中括号外面的乘法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 9．一辆国产新能源汽车的标价是22万元．今年“618”商家搞促销活动：购车立减2万元，在此基础上一次性付款再打九八折． (1)湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款多少万元？ (2)《中华人民共和国车辆购置税法》规定：在中华人民共和国境内购置汽车应当缴纳车辆购置税（购置税购车款）．为支持新能源车的发展，国家对购置日期在2024年1月1日至2025年12月31日期间的新能源汽车免征车辆购置税．请你算一算，湛湛家又可以节省多少万元？（得数保留两位小数） 【答案】(1)万元 (2)万元 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用： （1）根据所给优惠方案列式计算即可； （2）根据购置税计算公式列式计算即可． 【详解】（1）解：万元， 答：湛湛家一次性付款购得这辆汽车，实际支付购车款万元； （2）解：万元， 答：湛湛家又可以节省万元． 10．小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 11．办理加油卡的好处除了可以自助加油，方便个人使用外，同时也给消费者提供了一定的优惠．如某加油站推出持加油卡加油每升优惠元，另外若加油这天的日期的个位数字恰好是5（比如某月5日，某月15日等）再优惠折后价的（规定每天最多只能加1次油）；小张2月15日在这个加油站办理了一张4088元的加油卡，计划在3月31日前加油10次，每次加元，已知现阶段95号汽油价格为元/L． (1)小张的这张加油卡，在计划日期内至少优惠了多少元？（提示：要求出最少优惠，那么就要避开特殊日子） (2)如果小张合理规划加油日期，从2月15日至3月31日期间，总共最多可以加_________升油．（直接写出答案） 【答案】(1)元 (2) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的算式求解是解题的关键． （1）先求出总加油数，则可求出按照原价加油的费用，再减去办卡的费用即可得到答案； （2）根据题意可得个位数字是5的日期有5天，那么分别求出5天普通日子的加油数和5天特殊日子加油的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：元， 答：在计划日期内至少优惠了元； （2）解：2月15日至3月31日期间，个位数字是5的日期有2月15日，2月25日，3月5日，3月15日，3月25日，一共五天特殊日期， 升， ∴总共最多可以加升油． 学科网（北京）股份有限公司 $