2026-2027学年广东省惠州市惠阳区八年级上学期数学月考模拟练习

**基本信息** 以三角形与多边形为核心，融合智能生产线、海洋牧场等真实情境，通过基础巩固与综合探究的梯度设计，考查几何直观、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形高、全等判定、多边形内角和|结合荡秋千情境（第9题）考查几何应用| |填空题|5/15|角平分线性质、等腰三角形周长|智能生产线零件角度计算（第11题）| |解答题|8/75|全等证明、内外角平分线夹角探究|三问递进式几何证明（第22题），综合考查推理与创新|

2026-2027广东省惠州市惠阳区八年级（上）月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 2．（3分）如果一个三角形的两条边长分别为2cm和5cm，则此三角形的第三边长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm 3．（3分）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且△BDE≌△CDA，其中点B与点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是（　　） ①∠CBE＝∠CAE； ②CE＝ED； ③BE⊥AC； ④AE⊥BC． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 4．（3分）下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． （2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M． （3）作射线OM．OM就是∠AOB的平分线． 上述方法通过判定△OMC≌△OMD得到∠COM＝∠DOM，其中判定△OMC≌△OMD的依据是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 5．（3分）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 6．（3分）某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 7．（3分）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B 8．（3分）如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 10．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论： ①BG＝CF； ②BG⊥CF； ③∠EAF＝∠ABC； ④EF＝EG； ⑤S△AFG＝S△ABC． 其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1＝20°，∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为　 　 °． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为　 　 ． 13．（3分）若|4﹣a|0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是　 　 ． 14．（3分）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝　 　 ． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，且PQ＝AB，要使△ABC和△APQ全等，则AP的长为　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16．（8分）一个多边形的各个内角都相等，其中一个外角等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．并求出从一个顶点出发有多少条对角线． 17．（8分）如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF． 18．（8分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴， ∴； 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴　 　 ①　 　 ； ∴∠BOC＝180°﹣　 　 ②　 　 ． 请完成探究1的填空，①＝　 　 ，②＝　 　 ； 探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：　 　 ． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，点F是线段DE的中点，过点D作DG∥BC，交BF的延长线于点G，连接CG． （1）求证：DG＝BE； （2）若BD＝5，DG＝3，AD＝2，求△ABC的面积． 20．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是BC中点，连接DG，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，且BE＝CF． （1）求证：DG⊥BC； （2）若AB＝5，AC＝3，求BE的长． 21．（9分）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22．（12分）如图，在五边形ABCDE中， （1）已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F是CD中点，求证：AF⊥CD． （2）已知AB＝AE，BC＝ED，∠C＝∠D，F是CD中点，求证：AF⊥CD． （3）已知∠B＝∠E，BC＝ED，∠C＝∠D，F是CD中点，求证：AF⊥CD． 23．（12分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中画出面积为5的正方形； （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，且矩形的边不与网格线平行，该矩形的面积为　 　 ． 2026-2027广东省惠州市惠阳区八年级（上）月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 【分析】此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【解答】解：在△ABC中，BC边上的高为AF； 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键． 2．（3分）如果一个三角形的两条边长分别为2cm和5cm，则此三角形的第三边长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm 【分析】设第三边长为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：设第三边长为xcm， 则5﹣2＜x＜5+2， 即3＜x＜7， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 3．（3分）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点，点E是线段CD上一点，且△BDE≌△CDA，其中点B与点C、点D与点D、点E与点A分别是对应顶点，下列结论中正确的是（　　） ①∠CBE＝∠CAE； ②CE＝ED； ③BE⊥AC； ④AE⊥BC． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【分析】由全等三角形的性质推出∠CAD＝∠BED，DE＝DA，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，判定△ADE和△BDC是等腰直角三角形，得到∠DAE＝∠BCD＝45°，由三角形的外角性质得到∠CBE＝∠CAE，CE和ED不一定相等，延长BE交AC于M，由三角形内角和定理得到∠CME＝∠BDE＝90°，判定BE⊥AC，延长AE交BC于N，由△ADE是等腰直角三角形，得到∠AED＝45°，求出∠CNE＝90°，判定AE⊥BC． 【解答】解：∵△BDE≌△CDA， ∴∠CAD＝∠BED，DE＝DA，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE， ∵∠ADC+∠BDE＝180°， ∴∠ADC＝∠BDE＝90°， ∴△ADE和△BDC是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠BCD＝45°， ∵∠CAE+∠DAE＝∠CBE+∠BCD， ∴∠CBE＝∠CAE， 故①符合题意； ∵E不一定是CD的中点， ∴CE和ED不一定相等， 故②不符合题意； 延长BE交AC于M， ∵△BDE≌△CDA， ∴∠MCE＝∠DBE， ∵∠CEM＝∠BED， ∴∠CME＝∠BDE＝90°， ∴BE⊥AC， 故③符合题意； 延长AE交BC于N， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED＝45°， ∴∠CEN＝∠AED＝45°， ∵∠ECN＝45°， ∴∠CNE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴AE⊥BC， 故④符合题意． ∴结论正确的是①③④． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出△ADE和△BDC是等腰直角三角形． 4．（3分）下面是“作∠AOB的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D． （2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M． （3）作射线OM．OM就是∠AOB的平分线． 上述方法通过判定△OMC≌△OMD得到∠COM＝∠DOM，其中判定△OMC≌△OMD的依据是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【分析】由作图过程可知，OC＝OD，CM＝DM，结合全等三角形的判定可得答案． 【解答】解：由作图过程可知，OC＝OD，CM＝DM， ∵OM＝OM， ∴△OMC≌△OMD（SSS）， ∴判定△OMC≌△OMD的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：D． 【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 5．（3分）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断． 【解答】解：A、B、C中的两块玻璃只能知道三角形玻璃的一个角的大小，不能订制和原来一样的大小的玻璃，故A、B、C不符合题意； D、由ASA判定能订制和原来一样的大小的玻璃，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：ASA． 6．（3分）某海洋牧场网箱采用了六边形流线型结构．如图，六边形的内角和为（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【分析】直接利用公式（n﹣2）×180°，代入边数 n＝6 计算即可． 【解答】解：六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， 故选：D． 【点评】本题考查了多边形内角和，掌握多边形内角和是解题的关键． 7．（3分）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（　　） A．∠A＝∠E B．∠C＝∠E C．∠B＝∠E+∠F D．∠D＝∠A+∠B 【分析】根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可． 【解答】解：根据图形可知：∠A≠∠E，∠C≠∠E，∠B≠∠E+∠F， ∵∠D相当于△ABC的外角， ∴∠D＝∠A+∠B，故选项A、B、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角性质是关键． 8．（3分）如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC，通过证明△CEG≌△CBH就可以得出CG＝CH，GE＝HB，可以得出△GCH是等边三角形，就可以得出∠GHC＝60°，就可以得出GH∥AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，根据∠AFD＝∠EAB+∠CBD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°，进而得出结论． 【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°． ∵∠ACB＝180°， ∴∠DCE＝60°． ∴∠DCE＝∠BCE． ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， ∴∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中， ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC． 在△CEG和△CBH中， ， ∴△CEG≌△CBH（ASA）， ∴CG＝CH，GE＝HB， ∴△CGH为等边三角形， ∴∠GHC＝60°， ∴∠GHC＝∠BCH， ∴GH∥AB． ∵∠AFD＝∠EAB+∠CBD， ∴∠AFD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°． ∵∠DHC＝∠HCB+∠HBC＝60°+∠HBC，∠DCH＝60° ∴∠DCH≠∠DHC， ∴CD≠DH， ∴AD≠DH． 综上所述，正确的有：①②④⑤． 故选：C． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角之间的关系的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键． 9．（3分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m 【分析】证明△OBD≌△COE（AAS），得OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m，即可解决问题． 【解答】解：∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 由题意可知，OB＝CO，DA＝1m，BD⊥OA，CE⊥OA， ∵∠BDO＝∠OEC＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°， ∴∠COE＝∠OBD， 在△OBD和△COE中， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.4m，OD＝CE＝1.8m， ∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）， 即小丽距离地面的高度是1.4m， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF＝∠CAG＝90°，AB＝AF，AC＝AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF，则下列结论： ①BG＝CF； ②BG⊥CF； ③∠EAF＝∠ABC； ④EF＝EG； ⑤S△AFG＝S△ABC． 其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】①先证明∠FAC＝∠BAG，进而依据“SAS”判定△BAG和△FAC全等得BG＝CF，∠BGA＝∠FCA，由此可对结论①进行判断； ②设BG与CF交于点P，BH与AC交于点H，根据三角形内角和定理得∠CPH＝∠CAG＝90°，由此可对结论②进行判断； ③根据∠EAF+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°得∠EAF＝∠ABC，由此可对结论③进行判断； ④过点F作FK∥AG交AE的延长线于点K，证明△AFK和△BAC全等得FK＝AC＝AG，进而再证明△EFK和△EGA全等得EF＝EG；由此可对结论④进行判断； ⑤由△EFK和△EGA全等得S△EFK＝S△EGA，进而得S△AFK＝S△AFG，再由△AFK和△BAC全等得S△AFK＝S△BAC，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵∠BAF＝∠CAG＝90°， ∴∠BAF+∠BAC＝∠CAG+∠BAC， ∴∠FAC＝∠BAG， 在△BAG和△FAC中， ， ∴△BAG≌△FAC（SAS）， ∴BG＝CF，∠BGA＝∠FCA， 故结论①正确； ②设BG与CF交于点P，BH与AC交于点H，如图1所示： 在△AGH中，∠BGA+∠AHG+∠CAG＝180°， 在△PCH中，∠FCA+∠PHC+∠CPH＝180°， ∵∠BGA＝∠FCA，∠AHG＝∠PHC，∠CAG＝90°， ∴∠CPH＝∠CAG＝90°， ∴BG⊥CF， 故结论②正确； ③∵∠BAF＝90°， ∴∠EAF+∠BAD＝90°， 在△ABC中，AD是BC边上的高， ∴∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠EAF＝∠ABC， 故结论③正确； ④过点F作FK∥AG交AE的延长线于点K，如图2所示： ∴∠AFK+∠FAG＝180°，∠K＝∠EAG，∠EFK＝∠EGA， ∵∠BAF＝∠CAG＝90°， ∴∠BAC+∠FAG＝180°， ∴∠AFK＝∠BAC， 在△AFK和△BAC中， ， ∴△AFK≌△BAC（ASA）， ∴FK＝AC， ∵AC＝AG， ∴FK＝AG， 在△EFK和△EGA中， ， ∴△EFK≌△EGA（ASA）， ∴EF＝EG； 故结论④正确； ⑤∵△EFK≌△EGA， ∴S△EFK＝S△EGA， ∴S△EFK+S△AEF＝S△EGA+S△AEF， ∴S△AFK＝S△AFG， ∵△AFK≌△BAC， ∴S△AFK＝S△BAC， ∴S△AFG＝S△BAC， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③④⑤，共5个， 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）拼装智能生产线时，所需一个零件的形状如图所示，按规定∠1＝20°，∠2比∠3大10°，则∠4的度数应该为　30　 °． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠1+∠2＝∠3+∠4即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，且∠5＝∠6， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4， 则∠4＝∠1+∠2﹣∠3． ∵∠1＝20°，∠2比∠3大10°， ∴∠4＝20°+10°＝30°． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为　6　 ． 【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝CD＝2，于是得到△ABD的面积AB•DH＝6． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝CD＝2， ∵AB＝6， ∴△ABD的面积AB•DH6×2＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出DH＝CD． 13．（3分）若|4﹣a|0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是　22　 ． 【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可计算得到周长． 【解答】解：根据非负数的性质可知： ∵，且|4﹣a|≥0，， ∴4﹣a＝0，b﹣9＝0， 解得：a＝4，b＝9， 当等腰三角形的腰长为4，底边长为9时，三边长为4，4，9， ∵4+4＝8＜9，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为9，底边长为4时，三边长为4，9，9，满足三角形三边关系， 此时三角形的周长为4+9+9＝22． 故答案为：22． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 14．（3分）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝　150°　 ． 【分析】先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【解答】解：如图， 由条件可知，， ∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣90°﹣120°＝150°． ∵∠1＝α，∠2＝β， ∴α+β＝∠1+∠2＝150°． 故答案为：150°． 【点评】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和．熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键． 15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，且PQ＝AB，要使△ABC和△APQ全等，则AP的长为　6或12　 ． 【分析】因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：AP＝BC或AP＝AC即可得出． 【解答】解：∵PQ＝AB，∠C＝∠CAQ＝90°， ∴要使△ABC和△APQ全等，分两种情况： ①当AP＝BC＝6时，△ABC≌△QPA（HL）， ②当AP＝AC＝12时，△ABC≌△PQA（HL）． 综上所述，要使△ABC和△APQ全等，AP的长为6或12． 故答案为：6或12． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16．（8分）一个多边形的各个内角都相等，其中一个外角等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．并求出从一个顶点出发有多少条对角线． 【分析】设这个多边形的一个内角为x°，则与它相邻的外角为，由题意得出，求出这个多边形的外角为72°，从而即可得出边数，进而得出从一个顶点出发有多少条对角线． 【解答】解：设这个多边形的一个内角为x°，则与它相邻的外角为， 根据题意得：， 解得：x＝108， ∴这个多边形的外角为72°， ∴这个多边形的边数为360°÷72°＝5， ∴从一个顶点出发有5﹣3＝2条对角线， 故这个多边形的边数5，从一个顶点出发有2条对角线． 【点评】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线，熟练掌握多边形的内角和与外角和关系是解此题的关键． 17．（8分）如图，已知点C，D都在线段BF上，BD＝CF，AC∥DE，∠A＝∠E．求证：AB∥EF． 【分析】证明△ACB≌△FDE（AAS），得∠B＝∠F，再根据平行线的判定即可解决问题． 【解答】证明：∵BD＝CF， ∴BD+CD＝CF+CD， ∴BC＝FD， ∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠FDE， 在△ACB和△FDE中， ， ∴△ACB≌△FDE（AAS）， ∴∠B＝∠F， ∴AB∥EF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ACB≌△FDE． 18．（8分）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的角的探究片段，完成所提出的问题． 探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴， ∴； 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴　90°　 ①　　 ； ∴∠BOC＝180°﹣　∠1　 ②　∠2　 ． 请完成探究1的填空，①＝　90°　 ，②＝　∠1﹣∠2　 ； 探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系（只写结论，不需证明）？ 结论：　　 ． 【分析】探究1：根据步骤，三角形的内角和定理，进行作答即可； 探究2：根据角平分线的定义，三角形的外角的性质，进行推导即可； 探究3：根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行推导即可． 【解答】解：探究1：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴， ∴； ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴； ∴∠BOC＝180°﹣∠1﹣∠2． 故答案为：90°，；∠1，∠2； 探究2结论：， ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线， ∴， ∵∠ACD是△ABC的一外角， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴， ∵∠2是△BOC的一外角， ∴； 探究3：． ∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB ， 故答案为：． 【点评】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，点F是线段DE的中点，过点D作DG∥BC，交BF的延长线于点G，连接CG． （1）求证：DG＝BE； （2）若BD＝5，DG＝3，AD＝2，求△ABC的面积． 【分析】（1）证明△GDF≌△BEF，推出DG＝BE，由垂直平分线的性质求得BE＝CE，证明四边形DECG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）在Rt△BDE，由勾股定理求得DE的长，利用三角形面积公式求得S△BCD＝12，再利用等高的两个三角形面积的比等于底的比即可求解． 【解答】（1）证明：∵点F是DE的中点， ∴DF＝EF， ∵DG∥BC， ∴∠DGF＝∠EBF，∠GDF＝∠BEF， ∴△GDF≌△BEF（AAS）， ∴DG＝BE， ∵边BC的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E， ∴BE＝CE，∠BED＝90°， ∴DG＝CE， 又∵DG∥BC，即DG∥CE， ∴四边形DECG是平行四边形， ∴DG＝CE＝BE； （2）解：如图，连接CD． 由（1）得，DG＝BE＝CE， ∵BD＝5，DG＝3， ∴， ∴， ∵BD＝5，AD＝2， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．灵活运用各知识点是解答本题的关键． 20．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是BC中点，连接DG，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F，且BE＝CF． （1）求证：DG⊥BC； （2）若AB＝5，AC＝3，求BE的长． 【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE＝DF，借助△BDE≌△CDF（SAS），得到BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得证； （2）通过Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）证出AE＝AF，从而有AB﹣BE＝AC+CF，即可得出BE＝1． 【解答】（1）证明：连接BD，CD，如图， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于点F， ∴DE＝DF， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（SAS）， ∴BD＝CD， ∵G是BC中点， ∴DG⊥BC； （2）解：由（1）知：DE＝DF， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB﹣BE＝AC+CF， ∵BE＝CF，AB＝5，AC＝3， ∴5﹣BE＝3+BE， ∴BE＝1． 【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质和角平分线的性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． 21．（9分）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜c＜7，得到c＝5，即可求出△ABC的周长； （2）由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22．（12分）如图，在五边形ABCDE中， （1）已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F是CD中点，求证：AF⊥CD． （2）已知AB＝AE，BC＝ED，∠C＝∠D，F是CD中点，求证：AF⊥CD． （3）已知∠B＝∠E，BC＝ED，∠C＝∠D，F是CD中点，求证：AF⊥CD． 【分析】（1）连接AC，AD，根据全等三角形的判定和性质得出△ABC≌△AED，AC＝AD，再由等腰三角形三线合一即可证明； （2）连接BF，EF，根据全等三角形的判定和性质得出△BCF≌△EDF，△ABF≌△AEF，∠CFB＝∠DFE，∠AFB＝∠AFE，结合图形得出∠AFC＝∠AFD，即可证明； （3）连接BD，CE交于点G，根据全等三角形的判定和性质得出△BCD≌△EDC，△CGF≌△DGF，∠AFC＝∠AFD，结合图形即可证明． 【解答】解：（1）如图所示，连接AC，AD， 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC＝AD， ∵F是CD中点， ∴AF⊥CD； （2）如图所示，连接BF，EF， ∵F是CD中点， ∴CF＝FD， 在△BCF与△EDF中， ， ∴△BCF≌△EDF（SAS）， ∴BF＝EF，∠CFB＝∠DFE 在△ABF与△AEF中， ， ∴△ABF≌△AEF（SSS）， ∴∠AFB＝∠AFE， ∴∠AFB+∠CFB＝∠DFE+∠AFE，即∠AFC＝∠AFD， ∵∠AFC+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD； （3）如图所示，连接BD，CE交于点G， ∵F是CD中点， ∴CF＝FD， 在△BCD与△EDC中， ， ∴△BCD≌△EDC（SAS）， ∴∠CDB＝∠DCE， ∴CG＝DG， 在△CGF与△DGF中， ， ∴△CGF≌△DGF（SAS）， ∴∠AFC＝∠AFD， ∵∠AFC+∠AFD＝180°， ∴∠AFD＝90°， ∴AF⊥CD． 【点评】题目主要考查全等三角形的判定和性质，线段中点的性质及等腰三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 23．（12分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图： （1）在图①中画出面积为5的正方形； （2）在图②中以已知线段为对角线画出一个菱形（非正方形），使菱形的另外两个顶点也在格点上； （3）在图③中以已知线段为对角线画出一个矩形（非正方形），使矩形的另外两个顶点也在格点上，且矩形的边不与网格线平行，该矩形的面积为　6　 ． 【分析】（1）画出边长为的正方形，即可求解； （2）画出边长为的菱形，即可求解； （3）画出两边分别为的矩形，即可求解． 【解答】解：（1）面积为5的正方形，如图①即为所求； （2）以已知线段为对角线的一个菱形（非正方形），如图②即为所求； （3）以已知线段为对角线画出一个矩形，如图③即为所求； 矩形的边长分别为， 矩形的面积为， 故答案为：6． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查作图﹣应用与设计作图、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/8 10:24:09；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $