1.2 菱形的性质与判定【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习以“分层递进+素养融合”为特色，通过五级设计构建从知识梳理到中考应用的完整路径，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|菱形性质、判定、面积等基础概念|填空式前置梳理，夯实认知基础| |基础达标|性质（边/角/对角线）、判定及初步综合|分题型巩固，对接课后基础应用| |能力提升|动态计算、判定证明、最值与折叠综合|含动点/折叠问题，发展逻辑推理| |素养探究|动手操作与几何探究|三角板平移、单尺作图等，培养创新意识| |中考链接|中考真题（选择/填空/解答）|对接中考考点，提升综合应用能力|

1.2 菱形的性质与判定【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】菱形的性质——边与角 2 【题型2】菱形的性质——对角线与面积 5 【题型3】菱形的判定 11 【题型4】菱形性质与判定综合 15 三.能力提升 20 【题型1】菱形中的角度与线段计算 20 【题型2】菱形的判定与证明 25 【题型3】菱形中的动点与最值问题 31 【题型4】菱形与折叠综合 38 四.素养探究 46 【题型】动手操作与探究 46 五.中考链接 59 六.自我评价 69 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： （1）菱形的四条边________；菱形的对角线互相________。 （2）菱形的面积等于_____的一半，即S=____（设两条对角线长分别为a、b）。 （3）菱形的判定方法：①一组邻边________的平行四边形是菱形；②四条边________的四边形是菱形；③对角线互相________的平行四边形是菱形。 （4）菱形是轴对称图形，有______条对称轴；菱形________（填“是”或“不是”）中心对称图形。 （5）菱形的对角线平分一组________，即在菱形ABCD中，AC平分∠_____和∠______，BD平分∠_______和∠______。 【参考答案】 （1）相等；垂直。 （2）对角线乘积； ab。 （3）相等；相等；垂直。 （4）2；是。 （5）对角；BAD；BCD；ABC；ADC。 二.基础达标 【题型1】菱形的性质——边与角 1.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，，垂足为E．求的长． 【答案】 【分析】由菱形的性质得菱形的面积为，，，，由勾股定理得，再结合菱形的面积公式计算即可得出结果． 解：∵四边形为菱形，对角线，相交于点O，且，， ∴菱形的面积为，，，， ∴， ∵， ∴菱形的面积为， ∴． 2.（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3.（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）如图，菱形中，若，则______． 【答案】 【分析】设交于点，首先根据菱形的性质可得，，然后在中，由勾股定理求解即可． 解：如下图，设交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴在中，． 4.（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，． （1）求的度数；（2）求对角线的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）根据菱形的性质得，平分，再由平行线的性质得，即可求出的度数； （）由菱形性质得，然后利用含角的直角三角形的性质，求得的长，进而求得的长； 此题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 解：（1）∵四边形是菱形， ∴，平分， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 由（）得， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴． 【题型2】菱形的性质——对角线与面积 1.（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：， ， 在和中 ∴ , 又四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形 （2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，则，再结合四边形是平行四边形，即可作答． （2）先得出然后，根据勾股定理列式，代入数值进行计算，得出，运用菱形的面积公式计算，即可作答． 解：（1）略 （2）解：， 在中，，， ∴菱形的面积 2.（25-26八年级下·河南周口·期末）菱形ABCD边长为5，一条对角线长6，则该菱形面积为（     ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】由菱形的性质得，，，，由勾股定理得，由即可求解． 解：如图，设， 四边形是菱形，且边长为5， ，，，， ， ， ． 3.（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）菱形的面积为28平方厘米，一条对角线长为8厘米，则它的另一条对角线的长为_______． 【答案】厘米 【分析】本题利用菱形的面积公式求解，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知菱形面积和其中一条对角线的长，代入公式即可求出另一条对角线的长． 解：设菱形的另一条对角线的长为厘米 根据菱形面积公式可得： 解得. 故另一条对角线的长为厘米． 4.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为18，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：设与交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）24 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，根据等腰三角形的判定得出，证明，得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，再根据的周长为18，得出，根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵的周长为18， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积为． 【题型3】菱形的判定 1.（25-26八年级下·山东威海·期中）如图，点，分别是的边，的中点，，交的延长线于点，连接，．当与满足什么条件时，四边形是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 【答案】． 理由如下： ，        ，． 点是的中点，． ． ． ， 四边形是平行四边形． ，点是的中点， ． 四边形是菱形． 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的斜边中线性质，先证明，得出，结合，即可证明四边形是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； 解：略 2.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 3.（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 4.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）四边形是菱形，O为中点，点E在上，点F在上． （1）添加一个条件，使得，并证明； （2）补充什么条件，能让四边形为菱形？写出条件并证明． 【答案】（1）添加条件：． 证明：四边形是菱形， ∴，， 在和中， ； （2）补充条件：为中点，为中点， 证明：四边形是菱形，是中点，分别为中点， 分别是的中位线， ，， 四边形是平行四边形， 又 菱形中， ， 平行四边形是菱形． 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，进而根据全等三角形的判定添加条件即可； （2）可以补充条件：为中点，为中点，利用三角形的中位线定理以及菱形的判定可求解． 解：（1）略 （2）略 【题型4】菱形性质与判定综合 1.（24-25八年级下·北京朝阳·期末）在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形； （2） 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论； （2）由菱形的性质得到，然后利用勾股定理求得即可求解． 解：（1）略 （2）解：四边形是菱形， ， ． 在中，， 根据勾股定理，得， ． 2.（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 解：∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 3.（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 【答案】10 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 4.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）求线段的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ． 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． （2） 【分析】（1）由平行四边形得，，又，满足，由勾股定理逆定理得，故四边形为菱形． （2）由菱形性质得．菱形面积可用底乘高和对角线乘积两种方式表示，列方程，解得． 解：（1）略 （2）解：四边形为菱形， ． ， 菱形的面积，即， ． 三.能力提升 【题型1】菱形中的角度与线段计算 1.（25-26八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 解：（1）略． （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 2.（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，是等边三角形，求得，，再求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 3.（新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025-2026学年八年级第二学期数学期末达标测试试题）如图，在中，按如下步骤操作：①以点为圆心，长为半径画弧交于点；②再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点；③连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】8 【分析】先由作图得出平分，，再证明是菱形，然后根据菱形的性质及勾股定理求解． 解：依题意可知平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 4.（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，与交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． （2） 【分析】（1）根据题意，得，证明，先证明四边形是平行四边形，结合已知证明四边形是菱形即可； （2）根据菱形的性质，结合已知证明，利用勾股定理，求得，利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ． ． ， ， 解得． ． ， ． ． ． ． 【题型2】菱形的判定与证明 1.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求的长． 【答案】（1）证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）5 【分析】（1）连接交于点O，推导出是的中位线，是的中位线，得到，，继而推导出，则平行四边形是菱形，即可解答； （2）设，，得到，推导出，根据菱形的面积公式，得到，求出，继而根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，代入求解即可． 解：（1）略 （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 2.（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形，证明出，得到，即可求解． 解：根据题意，，， ∴四边形是平行四边形， 如图所示，连接， ∵点恰好在的平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即， 故选：B ． 3.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，射线交于点E．若，，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，设与相交于点，先由作图得，平分，结合平行四边形证出四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分和勾股定理求解即可． 解：如图，连接，设与相交于点， 由题意得，平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， 在中，， ． 4.（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，且，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2） 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 解：（1）略． （2）解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形的面积为：． 【题型3】菱形中的动点与最值问题 1.（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角的性质，连接，过P作于H，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由三角形的外角性质得到，由菱形的性质推出，得到，于是，当时，，由角平分线的性质得到，因此 解：连接，过P作于H， 垂直平分， ， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， 的长的最小值为， 时，， 平分，， 此时， 2.（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称﹣最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接，此时，的值最小． 解：如图在上取一点E，使得，作，作点C关于的对称点，交于G，连接交于P，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴此时，，的值最小． 则的最小值， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3.（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 解：如图，连接，，与交于点， ∵菱形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 4.（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，点是线段上一动点，连接，，求的最小值并在图中画出取得最小值时点的位置． 【答案】（1）证明：点是的中点，， 四边形为平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， 四边形为菱形； （2）， 取得最小值时点的位置如图所示： 【分析】（1）首先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，继而通过证明为的中位线，得到，继而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形为菱形． （2）根据菱形的性质得到为线段的垂直平分线，继而得到当点为线段和线段的交点时，取得最小值，为的长，根据的直角三角形的性质以及菱形的性质得到，，过点作交的延长线于，通过证明，根据勾股定理以及的直角三角形的性质得，即的最小值． 解：（1）略； （2）解：由（1）可知，在菱形中，为线段的垂直平分线，而点在线段上运动， ， ， 当点为线段和线段的交点时，取得最小值，为的长，如图所示，    在中，，，， ， 点是的中点， ， 又在菱形中，，， ，， 如图，过点作交的延长线于， ， ， 在中，， ，， 又在中，， ， 的最小值为． 【题型4】菱形与折叠综合 1.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．某数学社团活动以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【探索发现】在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，当点恰好落在边上时，四边形的形状是 ． （2）【探究证明】如图2，当，，三点在同一条直线上时，求证：． （3）【解决问题】如图3，，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为，，求线段的长． 【答案】（1）菱形；（2）证明：由折叠的性质，可得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵，，三点在同一条直线上， ∴． （3） 【分析】（1）由折叠可得，，，结合可得，从而得到，因此四边形是菱形； （2）由折叠和可得，因此； （3）如图，延长交于点，容易判断和是等腰直角三角形，由平行四边形的面积公式可得，则，使用勾股定理计算出和，再求和即可． （1）解：由折叠的性质可得，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）略 （3）解：如图，延长交于点， 由折叠的性质可得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴． 2.（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的性质得到相关边和角的关系，由折叠的性质，结合等边对等角可得，根据三角形的内角和定理求出的度数． 解：∵四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又， ． 3.（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处，折痕为，若，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】过点作于点，先得出是等边三角形，则，进而可得，再设，则，利用将，，，表示出来，在中，利用勾股定理求出的值，据此即可得． 解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴，， 由折叠的性质得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 即点到的距离为． 4.（25-26八年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么? （1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD（AD>AB），将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上． 求证：四边形ABEF是正方形．（请完成以下填空） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°， ∵折叠，∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形（    ） ∵折叠，∴AB＝（    ）， ∴四边形ABEF是正方形（    ） （2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD（AD>AB），将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上． ①求证：四边形ABEF是菱形． ②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积． 【答案】（1）有三个角是直角的四边形是矩形；AF；一组邻边相等的矩形是正方形；（2）①证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA， 由折叠的性质得：AF=AB，∠BAE=∠FAE， ∴∠BEA=∠BAE， ∴AB=BE， ∴AF=BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， 又∵AF=AB， ∴平行四边形ABEF是菱形； ②菱形ABEF的面积为25 【分析】（1）由矩形的性质得∠BAD=∠B=90°，再由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°，AB=AF，则四边形ABEF是矩形，然后由AB=AF，即可得出结论； （2）①由平行四边形的性质得AD∥BC，则∠FAE=∠BEA，再证AB=BE，则AF=BE，得四边形ABEF是平行四边形，然后由AF=AB即可得出结论； ②由菱形面积公式得S菱形ABEF=AE•BF，即可得出答案． （1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠B=90°， 由折叠的性质得：∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形 （有三个角是直角的四边形为矩形）， 由折叠的性质得：AB=AF， ∴四边形ABEF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形；AF；有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）①略 ②解：如图， ∵四边形ABEF是菱形，AE=5，BF=10， ∴S菱形ABEF=AE•BF=×5×10=25， 故菱形ABEF的面积为25． 【点拨】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 四.素养探究 【题型】动手操作与探究 1.（2026·河南南阳·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是______； ②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______． （2）迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． （3）拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______． 【答案】（1）①正方形；②，平行四边形；（2）可以是菱形，；（3）的长为或 【分析】（1）①根据，都是等腰直角三角形，及正方形的判定即可求解；②运用全等三角形的判断和性质，平行四边形的判定方法即可求解； （2）根据菱形的判定方法即可求证； （3）根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，分类讨论，图形结合即可求解． （1）解：①∵，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形是正方形； 故答案为：正方形； ②根据平移的性质可得，， 如图所示，连接，，    ∵，都是等腰直角三角形， ∴， ∵将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）， ∴，，且， ∴在中， ， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形． （2）解：可以是菱形，理由如下： 如图所示，连接，，    ∵，，， ∴，， ∵将三角板沿方向平移， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵含角的直角三角板，即，边长为， ∴， ①当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴点是的中点， ∴； ②当时，为等腰三角形，如图所示，    ∵，，， ∴在中，， ∵为等腰三角形，， ∴； ③当时，为等腰三角形，如图所示，    与“将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）”矛盾， ∴不存在； 综上所示，当为等腰三角形时， 的长为或． 【点拨】本题主要考查几何图形的变换，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 2.（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）【操作探究】：在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形的形状（） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据折叠的性质、线段垂直平分线的性质得到，证明，根据菱形的判定定理证明结论； 本题考查的是菱形的判定，线段垂直平分线的性质． 解：连接、， 由折叠可知，是的平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故选：C． 3.（24-25九年级下·河北沧州·期中）邻边长分别为，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值 ________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等是解题关键． 根据题意，进行分类讨论，再根据菱形的性质，列出方程求解即可． 解：①如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ，即， 解得：； ②如图，经历三次折叠后，四边形为菱形， 四边形为菱形， ， ， ， ∵四边形，，都为菱形， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 4.（25-26九年级上·山西太原·期中）阅读与理解 下面是一篇数学科普读物的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 有趣的单尺作图 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下： 如图2，第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法 ．．．．．． 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）类比操作：如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； （2）拓展探究：①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使；②如图5，四边形中，的平分线交边于点．求作线段的中点． 【答案】（1）如图， （2）如图， 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握无刻度直尺作图的方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）连接， 交于点， 连接并延长交于点，则结论可得； ②连接，交于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接交于点，则结论可得． （1）解：.连接， 交于点， .连接并延长交于点， .连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 为所求； （2）解：①.连接， 交于点， 2.连接并延长交于点， 由作图可得，，， ∴， ∴， 则点为所求； ②.延长，交于点， .连接交于点， .连接并延长交于点， .连接交于点， 则点为线段的中点． ∵，平分， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：A． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 5．（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的性质求解即可． 解：∵点是正五边形的中心， ，． ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． ∴，. 6．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 【答案】 【分析】设菱形的边长为，根据中点定义和已知条件表示出和；过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，设，利用勾股定理分别表示出和，建立关于和的方程组，求解即可． 解：设菱形的边长为， 四边形是菱形， ，， 点为边的中点， ， ， ， 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，∵， ， ， ， 在中，∵， ， ， ∴， ∴， 将代入①得， 即， 解得（负值舍去）． 三、解答题 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2） 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 8．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中线， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由中线的性质及平行线的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形三线合一的性质得，即可证明四边形是菱形． 解：（1）证明：略； （2）证明：略． 9．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，．求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【分析】（1）由题意得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由题意证出四边形为菱形，则有，然后可得，进而问题可求解． 解：（1）略 （2）解：∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 菱形的性质与判定【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】菱形的性质——边与角 2 【题型2】菱形的性质——对角线与面积 3 【题型3】菱形的判定 4 【题型4】菱形性质与判定综合 5 三.能力提升 7 【题型1】菱形中的角度与线段计算 7 【题型2】菱形的判定与证明 8 【题型3】菱形中的动点与最值问题 10 【题型4】菱形与折叠综合 11 四.素养探究 13 【题型】动手操作与探究 13 五.中考链接 17 六.自我评价 20 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： （1）菱形的四条边________；菱形的对角线互相________。 （2）菱形的面积等于_____的一半，即S=____（设两条对角线长分别为a、b）。 （3）菱形的判定方法：①一组邻边_____的平行四边形是菱形；②四条边______的四边形是菱形；③对角线互相________的平行四边形是菱形。 （4）菱形是轴对称图形，有______条对称轴；菱形________（填“是”或“不是”）中心对称图形。 （5）菱形的对角线平分一组________，即在菱形ABCD中，AC平分∠_____和∠______，BD平分∠_______和∠______。 二.基础达标 【题型1】菱形的性质——边与角 1.（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，，垂足为E．求的长． 2.（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）如图，菱形中，若，则______． 4.（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，． （1）求的度数；（2）求对角线的长． 【题型2】菱形的性质——对角线与面积 1.（25-26八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 2.（25-26八年级下·河南周口·期末）菱形ABCD边长为5，一条对角线长6，则该菱形面积为（     ） A．12 B．24 C．30 D．48 3.（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）菱形的面积为28平方厘米，一条对角线长为8厘米，则它的另一条对角线的长为_______． 4.（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在四边形中，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为18，求菱形的面积． 【题型3】菱形的判定 1.（25-26八年级下·山东威海·期中）如图，点，分别是的边，的中点，，交的延长线于点，连接，．当与满足什么条件时，四边形是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 2.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 4.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）四边形是菱形，O为中点，点E在上，点F在上． （1）添加一个条件，使得，并证明； （2）补充什么条件，能让四边形为菱形？写出条件并证明． 【题型4】菱形性质与判定综合 1.（24-25八年级下·北京朝阳·期末）在四边形中，，点在边上，，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点，若，求的长． 2.（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为______． 4.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）求线段的长． 三.能力提升 【题型1】菱形中的角度与线段计算 1.（25-26八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 2.（2026·山东潍坊·模拟预测）如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 3.（新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025-2026学年八年级第二学期数学期末达标测试试题）如图，在中，按如下步骤操作：①以点为圆心，长为半径画弧交于点；②再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点；③连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 4.（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，与交于点，若，，，求的长． 【题型2】菱形的判定与证明 1.（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求的长． 2.（24-25八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，两张长方形纸条叠放在一起，若点恰好在的平分线上，则两张纸条的宽与的关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 3.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点F，再分别以点B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，射线交于点E．若，，则的长为__________． 4.（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，且，，求四边形的面积． 【题型3】菱形中的动点与最值问题 1.（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 2.（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，，点是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 4.（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，中，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，点是线段上一动点，连接，，求的最小值并在图中画出取得最小值时点的位置． 【题型4】菱形与折叠综合 1.（25-26八年级下·贵州安顺·期末）折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．某数学社团活动以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【探索发现】在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． （1）如图1，当点恰好落在边上时，四边形的形状是 ． （2）【探究证明】如图2，当，，三点在同一条直线上时，求证：． （3）【解决问题】如图3，，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为，，求线段的长． 2.（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处，折痕为，若，则点到的距离为____________． 4.（25-26八年级下·河南新乡·期中）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么? （1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片ABCD（AD>AB），将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在BC上． 求证：四边形ABEF是正方形．（请完成以下填空） 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°， ∵折叠，∠AFE=∠B=90°， ∴四边形ABEF是矩形（    ） ∵折叠，∴AB＝（    ）， ∴四边形ABEF是正方形（    ） （2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片ABCD（AD>AB），将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在边AD上，点B的对应点为F，折痕为AE，点E在边 BC上． ①求证：四边形ABEF是菱形． ②连结BF，若AE＝5，BF＝10，求菱形ABEF的面积． 四.素养探究 【题型】动手操作与探究 1.（2026·河南南阳·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． 根据以上操作，填空： ①图1中四边形的形状是______； ②图2中与的数量关系是______；四边形的形状是______． （2）迁移探究 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为，过程如下：将三角板按（1）中方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由，若能，请求出的长． （3）拓展应用 在（2）的探究过程中：当为等腰三角形时，请直接写出的长为______． 2.（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）【操作探究】：在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形的形状（） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3.（24-25九年级下·河北沧州·期中）邻边长分别为，的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则的值 ________． 4.（25-26九年级上·山西太原·期中）阅读与理解 下面是一篇数学科普读物的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 有趣的单尺作图 单尺作图，是指仅用无刻度直尺进行几何作图．由于其作图工具是一把没有刻度的直尺，所以只能进行如下操作：过已知两点作一条直线、延长已知线段、连接已知两点．解决单尺作图问题，需要在分析已知图形性质的基础上，借助直尺不断构造新的线段与点，进而作出所求图形． 如图1，已知菱形中，点是边上的一点．现要用单尺作图，在边上求作一点，使．作法如下： 如图2，第1步：连接； 第2步：连接交于点； 第3步：作射线交于点．点即为所求作的点． 上述作法可以用菱形的轴对称性来理解——即菱形关于对角线所在直线对称，所求作的点与点也关于直线对称，由此可自然得到上述作法 ．．．．．． 任务：请用单尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）类比操作：如图3，点是菱形边上的一点，连接．求作，使，且点在边上； （2）拓展探究：①如图4，点是菱形边上的一点．求作边上的点，使；②如图5，四边形中，的平分线交边于点．求作线段的中点． 五.中考链接 一、单选题 1．（2025·湖南·中考真题）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 5．（2026·山东青岛·中考真题）如图，点是正五边形的中心，，，连接，则的度数为__________． 6．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在菱形中，点为边的中点，连接，．若，且，则菱形的边长为________． 三、解答题 7．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 8．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的中线，点E，F分别在及其延长线上，，连接，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 9．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，O为中点，过点O的直线分别交、于点E、F，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，．求的度数． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $