第1章 4 正方形的性质与判定（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

课堂训练 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等，并且有一个角是直角两四 针对训练 1.D2.A3.C4.矩形5.75 6.解：，四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=8,BC=AD=15.,∠ABC=90°，∴.AC= √AB+BC=17.:0是AC的中点，M是AD的中点.∴0C=2AC=8.5,DM= 之AD=7.5,OM是△ACD的中位线.0M=合CD=.:四边形0MDC的周长为 OM+DM+CD+OC=4+7.5+8+8.5=28. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 相等垂直 针对训练 1.C2.B3.B4.C5.35 6.解：(1)5030(2)四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BD=2OB.在Rt△AOB 中，AB=50,OA=30,∴.OB=√AB2-OA2=40.∴.BD=2OB=80. 第2课时菱形的判定 知识梳理 相等相等垂直 针对训练 1.D2.C3.OA=OC(答案不唯一)4.四边相等的四边形是菱形 5.证明：，AE⊥BC,CF⊥AB,∴.SOABCD=BC·AE=AB·CF.AE=CF,∴.BC= AB.,.□ABCD是菱形 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BD平 分∠ABC,∠ABD=∠CBD.∠ABD=∠ADB..AB=AD.□ABCD是菱形. (2)口ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BO=DO.,EC=BC,.OC是△BDE的中位线. ∴.OC∥DE..DE⊥BD.∴∠BDE=90. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 直角相等一半 针对训练 1.C2.C3.D4.A5.56.35° 7.证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.，PB=PC, ∴.∠PBC=∠PCB.∴.∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,即∠ABP=∠DCP. ∴.△ABP≌△DCP(SAS).∴.PA=PD. 第2课时矩形的判定 知识梳理 平行四边形直角相等 针对训练 1.D2.C3.C4.有三个角是直角的四边形是矩形5.90° 6.(1)证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形..AC=2OA,BD= 2OD.,OA=OD,∴AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：由(1)可知四边形 ABCD是矩形，.∠BAD=90°.，OA=OD,∠AOD=60°，.△AOD是等边三角形 ∴.OD=AD=5.∴.BD=2OD=10.∴.AB=√BD2-AD=5W3. —43 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 直角相等相等垂直平分 针对训练 1.B2.B3.B4.D5.(-2,2)6.2 7.证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°.∠ADE+∠CDF= 90°.AE⊥DP,CF⊥DP,.∠AED=∠DFC=90°..∠CDF+∠DCF=90°. ∠AED=∠DFC, ∴.∠ADE-∠DCF.在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF,∴.△ADE≌△DCF(AAS) AD-DC, 第2课时正方形的判定 知识梳理 邻边直角矩形垂直直角菱形 针对训练 1.D2.D3.正方形4.∠ABC=90(答案不唯一) 5.(1)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD为菱形，∴AO=CO,BO=DO,AC ⊥BD.BE=DF,BO+BE=DO+DF,即EO=FO..四边形AECF是菱形.∴AE =AF...∠AFE=∠AEF=45°..∠EAF=180°-∠AFE-∠AEF=90°..四边形 AECF为正方形.(2)解：20 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 一整式常数项二次项系数一次项系数 针对训练 1.A2.B3.C4.-115.-1(答案不唯一，k≠1即可) 6.解：(1)设其中一个数为x.根据题意，可列方程为x(5一x)=6.(2)设长方体铁盒底 面的宽为xcm.根据题意，可列方程为6x(x十5)=750. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 相等 针对训练 1.C2.A3.B4.-2<x<-15.2 6.解：(1)3-1120.36-0.011.61.7(2)x的值约为1.7. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 知识梳理 完全平方式一半 针对训练 1.A2.A3.m≤14.534 5.解：(1)移项，得5x2=80.两边都除以5，得x2=16.两边开平方，得x=士4..x1=4, x2=一4.(2)两边都除以2，得(x一1)2=9.两边开平方，得x一1=士3..x1=4,x2= -2.(3)配方，得x2+6x十32=6+32，即(x+3)2=15.两边开平方，得x+3=士√15. ∴x1=-3十√15，x2=-3-√15.(4)移项，得x2-3x=一2.配方，得x2-3x十 (号)》”=-2+（号）广，即(x一号）广=子两边开平方，得x一多=土分=26=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 知识梳理 一半 44 针对训练 1.D2.B3.x2-4x-2=02222262+√62-√6 4.解：1)两边都除以2，得x+受=子配方，得2+受+（什）°=合+（分），即 (红+号)°-6两边开平方，得x+子=士是.函=号函=-1.(2)两边都除以3， 得x-2x+号=0.移项，得2-2x=-子配方，得2-2x+1=-号+1，即(x 1少-导两边开平方，得一1=士9=1+号=1-怎（3)丙边都除以，得 2-号-是=0，移项得2-号x=是配方，得-是+(）°=是+()月， 即（一）广=器两边开平方，得x一是=士=3+，=3二区 4 4 (④)整理，得2：十7x=7.两边都乘2，得2十14x=14.配方，得x+14x+7-14+ 72,即(x+7)2=63.两边开平方，得x十7=士3√7..x1=一7+3V7,x2=-7-3V7. 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识梳理 不相等相等一品设有 针对训练 1.B2.B3.B4.5二35-3255.8 2 2 6.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2一3x十3=0.这里a=1,b=一3，c=3.,b2- 4ac=(-3)2-4X1×3=-3<0.原方程没有实数根.(2)这里a=2,b=-√2，c= 1.0-4ac=(-②2-4X合×1=0，x--《②±0-，即西=4=E. 2x 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 00 针对训练 1.C2.C3.B4.0或2 5.解：1)原方程可变形为x(5x+3)-0.x-0,或5x十3-0.=0，=-号 (2)原方程可变形为x(x一2)一3(x一2)=0.'.(x一2)(x一3)=0.∴.x一2=0，或x一3 =0..x1=2,x2=3.(3)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0..(x-1)(x-1-2) =0,即(x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0.∴.x1=1,x2=3.(4)原方程可变形 为3(x-5)2-(x十5)(x-5)=0..(x-5)(3.x-15-x-5)=0,即(x-5)(2x-20)= 0..x-5=0,或2x-20=0.∴x1=5,x2=10. 3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 -台 针对训练 1.D2.D3.A4.12 5.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2-√2x-3=0.这里a=1,b=一√2，c=-3.4 =b-4ac=(-√2)2-4×1×(-3)=14>0，.方程有两个实数根.∴.x1十x2=√2， x1x2=一3.(2)将原方程化为一般形式，得x2-x-5=0.这里a=1,b=一1，c=-5. △=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根.∴.x+x2=1, x2=-5. 6.解：(1)：方程x2-3x+2m=0有两个不相等的实数根，△=（-3)2-4×2m>0, 454正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 √知识梳理 正方形的四个角都是 ,四条边 正方形的性质 定理 正方形的对角线 且互相 正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，且一条对角线把正方形分成 解题策略 两个全等的等腰直角三角形 针对训练 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) 0 A.对角线互相垂直B.对角线相等 B B C.对角相等 D.邻边相等 (第5题图) (第6题图) 2.已知某正方形的面积为36，则该正方形 6.如图，在正方形ABCD中，E为对角线 的对角线长为 ( ) BD上一点，连接AE,CE.若AE=2,则 A.6 B.62C.9 D.9√2 CE的长为· 3.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相 7.如图，在正方形ABCD中，点P在边AB 交于点O,下列说法不正确的是( 上，AE⊥DP于点E,CF⊥DP于点F, A.AC⊥BD B.AD-AO 求证：△ADE≌△DCF. C.DO=CO D.∠DAO=∠BAC D (第3题图) (第4题图)》 4.如图，四边形ABCD是正方形，△ADE 是等边三角形，连接BD,BE,则∠DBE 的度数为 A.15° B.20°C.25° D.30° 5.如图，以正方形ABCD的中心O为原点 建立平面直角坐标系，已知点A的坐标 为(2,2)，则点D的坐标为 。6· 第2课时 正方形的判定 √知识梳理 定义 有一组 相等，并且有一个角是 的平行四边形是正方形 有一组邻边相等的 是正方形 正方形 对角线互相 的矩形是正方形 的判定 定理 有一个角是 的菱形是正方形 对角线相等的 是正方形 解题策略 判定正方形时，一般要先证得已知图形是平行四边形或矩形或菱形 √针对训练 1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B= (只填一个即可) ∠C=90°.如果添加一个条件即可判定 5.如图，在菱形ABCD中，E,F是对角线 该四边形是正方形，那么所添加的条件 BD所在直线上的两点，且∠AED= 可以是 ( 45°，DF=BE=3,连接CE,AF,CF A.∠D=90° (1)求证：四边形AECF是正方形； B.AB-CD (2)若BD=4,则菱形ABCD的面积为 C.AD=BC B D.BC-CD 2.对角线相等，并且互相垂直平分的四边 形是 ( A.等腰梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.将两个完全相同的含45°角的直角三角 尺按如图所示的方式摆放，所得的四边 形的形状是 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,要使菱形ABCD是正方 形，还需添加的条件是 7。