1.1 认识特殊平行四边形【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 同步练聚焦特殊平行四边形，以“前置梳理-基础巩固-能力提升-素养探究-中考衔接”分层设计，实现从概念到综合应用的知识进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识梳理|核心概念（定义、性质）|填空梳理前置认知，夯实基础| |基础达标|单一图形性质计算|选择/填空/解答巩固菱形、矩形、正方形基础考点| |能力提升|综合关系与证明|特殊平行四边形关系判断、对角线性质证明提升逻辑推理| |素养探究|动手操作与对称性|操作题发展空间观念，体现数学眼光| |中考链接|中考题型综合应用|选择/填空/解答对接中考，培养应用意识|

1.1 认识特殊平行四边形【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】特殊平行四边形的识别与定义 2 【题型2】菱形的性质与计算 2 【题型3】矩形的性质与计算 3 【题型4】正方形的性质与计算 5 三.能力提升 6 【题型1】特殊平行四边形的关系与综合判断 6 【题型2】对角线性质与证明 6 四.素养探究 8 【题型】动手操作与对称性探究 8 五.中考链接 8 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做________；有一个角是直角的平行四边形叫做________；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做________。 （2）菱形、矩形、正方形都是特殊的________，它们都具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 （3）菱形是轴对称图形，有________条对称轴；矩形有________条对称轴；正方形有________条对称轴。 （4）正方形绕它的中心旋转________°后能够与原正方形重合。 （5）用"包含"或"包含于"填空：平行四边形________菱形（矩形）；菱形（矩形）________正方形。 二.基础达标 【题型1】特殊平行四边形的识别与定义 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）有一组邻边________并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形．正方形的四条边都相等，四个角都是直角．因此，____既是矩形，又是菱形． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（     ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【题型2】菱形的性质与计算 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 3．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 4．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：．（2）若，且，求的长． 【题型3】矩形的性质与计算 1．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 3．（25-26八年级下·重庆永川·期末）已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． （1）求的度数； （2）求矩形纸片的面积． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 【题型4】正方形的性质与计算 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正方形．求的大小． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形的外侧作等边三角形． （1）求证：； （2）求的度数． 三.能力提升 【题型1】特殊平行四边形的关系与综合判断 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（   ） A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形 C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型2】对角线性质与证明 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某兴趣小组需要在正方形上剪下机翼角（阴影部分），点在对角线上，若裁剪过程中满足，则“机翼角”的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形是菱形，点在对角线上（不与点，重合）． （1）求证：； （2）若，求证：． 四.素养探究 【题型】动手操作与对称性探究 1．（2026·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论 ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是______． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的中点，作于点，连接，，则下列结论中一定成立的是___________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③； ④ 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·二模）按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·一模）如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·广东肇庆·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 4．（2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 三、解答题 5．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 6．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 认识特殊平行四边形【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】特殊平行四边形的识别与定义 2 【题型2】菱形的性质与计算 3 【题型3】矩形的性质与计算 6 【题型4】正方形的性质与计算 10 三.能力提升 14 【题型1】特殊平行四边形的关系与综合判断 14 【题型2】对角线性质与证明 15 四.素养探究 19 【题型】动手操作与对称性探究 19 五.中考链接 22 六.自我评价 27 一.知识梳理（前置作业） 请自主梳理本节核心知识点，完成基础填空，夯实课前认知： （1）有一组邻边相等的平行四边形叫做________；有一个角是直角的平行四边形叫做________；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做________。 （2）菱形、矩形、正方形都是特殊的________，它们都具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分。 （3）菱形是轴对称图形，有________条对称轴；矩形有________条对称轴；正方形有________条对称轴。 （4）正方形绕它的中心旋转________°后能够与原正方形重合。 （5）用“包含”或“包含于”填空：平行四边形________菱形（矩形）；菱形（矩形）________正方形。 【参考答案】 （1）菱形；矩形；正方形 （2）平行四边形 （3）2；2；4。 （4）90。 （5）包含；包含于。 二.基础达标 【题型1】特殊平行四边形的识别与定义 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）有一组邻边________并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形． 正方形的四条边都相等，四个角都是直角．因此，________既是矩形，又是菱形． 【答案】 相等 直角 正方形 【解析】略 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（     ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】用举反例法判断错误选项，结合特殊四边形判定定理验证其余选项． 解：根据菱形、矩形、正方形的判定规则，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故A、B、C说法均正确，不符合题意；一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D说法错误,符合题意． 【题型2】菱形的性质与计算 1．（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】首先根据菱形的性质得到，，推出轴，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在轴上， ∴轴，即轴， ∵点的坐标为， ∴，点B的横坐标为3， ∴点B的纵坐标为， ∴点的坐标为． 3．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，点分别在菱形的边上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据菱形的性质可得，，再证明，继而得出，即可得证． 解：略 4．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，且，求的长． 【答案】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 解：（1）略 （2）解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 【题型3】矩形的性质与计算 1．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 【答案】5 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 解：，，， ． 3．（25-26八年级下·重庆永川·期末）已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． （1）求的度数； （2）求矩形纸片的面积． 【答案】（1）的度数为，的度数为；（2） 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等，结合折叠前后对应角相等的性质，可推导的度数，再利用平角为的性质计算的度数． （2）先在直角三角形中，结合的度数与的长度，利用直角三角形的边角关系求出和的长度．然后根据折叠的性质得到对应边相等，可知与长度相等，再求出的长度，再根据矩形面积公式计算矩形的面积． （1）解：∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴． 根据折叠性质，折叠前后对应角相等， ∴． ∴． 在中，． （2）解：∵，，， ∴． 由勾股定理得：​． 根据折叠性质，得， ∴． ∴矩形面积​． 4．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． （1） ， ； （2）求的长． 【答案】（1）6，4；（2） 【分析】（1）由矩形的性质及勾股定理可得出答案； （2）设，由勾股定理可得，则可得出答案． （1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【题型4】正方形的性质与计算 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 解：如图，连接， ∵在正方形中，点E在边上，若，， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的对角线的长为4． 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 【答案】5 【分析】由的面积求出正方形的边长，在中，应用勾股定理即可． 解：过点M作交于点E， 则四边形是矩形， ． 正方形中，， ， 的面积等于8， ． ， 在正方形中，， ，根据勾股定理可得 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知正方形．求的大小． 【答案】， ， 【分析】正方形的四个内角都是直角，对角线互相垂直，且对角线平分正方形的内角． 解：∵正方形的四个内角都是直角，对角线互相垂直，且对角线平分正方形的内角， ∴，，． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在正方形的外侧作等边三角形． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）根据正方形性质得出，根据等边三角形性质得出，即可证明结论； （2）根据等边三角形性质得出，推出，结合，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 三.能力提升 【题型1】特殊平行四边形的关系与综合判断 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）已知四边形不是平行四边形，那么下列说法不一定正确的是（   ） A．四边形不是梯形 B．四边形不是菱形 C．四边形不是矩形 D．四边形不是正方形 【答案】A 【分析】本题根据特殊四边形的从属关系结合定义判断各选项，明确不同四边形的分类即可得到结论． 解：∵菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形， ∴若四边形不是平行四边形，则一定不是菱形、矩形、正方形，因此选项B、C、D都一定正确． ∵梯形是只有一组对边平行的四边形，不属于平行四边形， ∴不是平行四边形的四边形可能是梯形，也可能是其他四边形， 因此“四边形不是梯形”的说法不一定正确． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，已知 中， ，、分别是斜边上的高和中线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质及面积公式；利用直角三角形面积公式的两种表示方法即可判断选项D；选项A、B、C均需特定角度条件才成立，不具备普遍性． 解：， 是斜边 上的高， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项D正确； ∵ 是斜边 上的中线， ∴ ， 只有当时， ，， 题目未给出角度条件，故选项A、B、C不一定正确． 故选：D． 【题型2】对角线性质与证明 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）如图，某兴趣小组需要在正方形上剪下机翼角（阴影部分），点在对角线上，若裁剪过程中满足，则“机翼角”的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据角的和差即可解答． 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形是菱形，点在对角线上（不与点，重合）． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵点在对角线上， ∴． （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，得出垂直平分，由此即可得证； （2）先得出，再得出，进而可得，由此即可得证． 解：（1）略． （2）略． 四.素养探究 【题型】动手操作与对称性探究 1．（2026·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 解：①存在无数个平行四边形，故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确； ④存在无数个平行四边形ABEF，故④正确； 【点拨】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，熟记各定理是解题的关键． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的中点，作于点，连接，，则下列结论中一定成立的是___________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③； ④ 【答案】①②③ 【分析】先证明，延长，交延长线于M，证明，则，由直角三角形的斜边上中线的性质即可判断③；利用角之间的关系得到，，即可判断①；由得，可得，即可判断②；证明，由得到，即可判断④． 解：∵F是的中点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长，交延长线于M，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③成立； ∴， ∵，， ∴，， 故①成立； ∵， ∴， ∴， 即，故②成立； ∵， ， ∴， ∵， ∴， 故④不成立， 故答案为：①②③． 【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，证出是解题关键． 五.中考链接 一、单选题 1．（2026·河南平顶山·二模）按如图方式，将矩形木板截去一个直角三角形木板，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点F，利用平行线的性质得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 解：如图， 延长交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（2026·河南·一模）如图，莹莹将一个直角三角尺与矩形纸片按如图所示放置，与交于点，，，莹莹通过测量发现恰好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质和角平分线的定义可得，，利用矩形的性质可得，再根据平角的定义解答即可求解． 解：∵，，平分， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 3．（2026·广东肇庆·一模）如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 【答案】13 【分析】根据矩形的性质和中点的定义得到，，，，根据勾股定理即可求出答案． 解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵E为中点， ∴， ∴． 4．（2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 【答案】75 【分析】根据矩形性质可得，进而求出，，再根据三角形内角和求出． 解：∵，四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴. 三、解答题 5．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ． ， ， ． 【分析】先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，即可证明． 解：略 6．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形是矩形，点、分别是左侧、右侧的点，连接、、、，延长、交于点，，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】通过论证来证明结论即可. 解：略 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $