第一章 特殊平行四边形 单元基础自测卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 适用于北师大版九年级特殊平行四边形单元复习，以基础自测为主，融合实际应用与数学文化，覆盖矩形、菱形、正方形性质判定及计算，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形菱形性质对比、判定条件等|第6题结合千斤顶情境考查菱形性质，体现应用意识| |填空题|6/24|菱形边长计算、函数解析式等|第16题以勾股树为背景，渗透数学文化| |解答题|7/66|折叠证明、平移探究等|第21题矩形折叠证菱形，第23题平移与菱形综合，发展推理能力|

第一章 特殊平行四边形【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：使用北师大版地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（24-25九年级上·全国·阶段检测）下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对边平行 【答案】C 【分析】本题主要考查对矩形的性质， 菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键． 根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案． 解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：C． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半和正方形面积公式求解即可． 解：在中，D是斜边的中点，， ， 正方形的面积为． 4．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用矩形的性质得出和它们的长度，根据条件判定四边形为菱形，即可求出四边形的周长． 解：∵四边形是矩形，且 ， 又，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为8． 故选：C． 5．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 7．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 【答案】D 【分析】本题考查求四边形面积，涉及正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识，熟记正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识是解决问题的关键． 先由正方形性质得到，，在中，由勾股定理求出正方形边长，最后由梯形面积公式代值计算即可得到答案． 解：在正方形中，，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 四边形的面积为， 故选：D． 8．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：延长交于点N， ∵， ∴， ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴ 9．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）小红在一张正方形 的纸上进行折纸创作．她在对角线 上标记了一点，使得线段 的长度等于正方形的边长．连接 后，她想知道 的大小是多少度，以便进行下一步裁剪．（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质与等腰三角形的性质求解即可． 解：如图所示， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴； ∵, ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，点是边的中点，点是上的一点，连接，，点是中点，连接，要求长，只需知道以下线段（     ）的长． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理证明且，从而证得四边形为平行四边形，得出，再利用直角三角形斜边中线定理即可求解． 解：取的中点，连接， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， 四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，是斜边的中点， ， ， 要求长，只需知道的长． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在菱形中，，是对角线，若，，则边的长度为________． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，再用勾股定理计算边长． 解：设，交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，由勾股定理得． 12．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 【答案】60 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 13．（2026九年级·吉林·专题练习）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 14．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，则对角线的长为_______． 【答案】 【分析】过点作轴，轴，根据B的坐标求出，，再根据勾股定理求出即可． 解：如图， 过点作轴，轴， ∵B的坐标为， ∴，， ∴， ∴对角线的长为． 15．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】根据题意可知绳子长度为正方形的周长， 先由周长求出正方形的边长，再根据正方形面积公式得到与的函数解析式，结合实际意义确定自变量的取值范围． 解：由题意可得，正方形的周长为， 根据正方形周长公式，正方形的边长为， 根据正方形面积公式，得 ， 因为表示绳子长度， 所以， y与x的函数解析式为：． 16．（25-26八年级下·广东珠海·期末）勾股树，是一个基于勾股定理构造出的经典分形几何图形．它看起来像一棵不断生长、由正方形和直角三角形组成的“数学树”．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形，再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．如图若正方形，正方形的面积分别为9，4，且点、、三点共线，连接、，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据题意得出，，勾股定理求出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 解：∵正方形，正方形的面积分别为9，4， ∴，， ∴在中，， ∵四边形，，是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，与的度数之比为，周长为．求菱形对角线的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，再结合，可得，于是可证得是等边三角形，则，由菱形的周长可得，再根据即可求出对角线的长． 解：四边形是菱形， ，， ， 又， ， 是等边三角形， ， 菱形的周长 ， ， ． 18．（8分）（专题03平行四边形（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）证四边形是平行四边形，得，结合题意，得，即可求解； （2）根据题意可证得，则，再由矩形的性质得，则，即可求解． 解：（1）略 （2）解：由（1）得：，四边形是矩形， ∴， ∵， 设，则， ，解得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）在正方形中，，， （1）________，________； （2）证明：为直角三角形． 【答案】（1）20；5；（2）证明：，， ， ∵， ， 是直角三角形． 【分析】（1）对运用勾股定理求解即可； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理逆定理求解． 解：（1）四边形是正方形， ， ∵， ， ， ； （2）略 20．（10分）（2026·北京海淀·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，即可证明平行四边形是菱形． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟知菱形的判定定理和平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． 21．（10分）（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求折痕的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质，可得：， ， ， ， ∴ 四边形为菱形． （2） 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，，进而得出，即可得证； （2）设，则，由折叠可得，在中，，求得，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质得出，在中，勾股定理求得，根据菱形的性质即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图所示，连接，交于点O，    ， 设，则， 由折叠可得， 在中，， ， 解得，， ， 在中， 四边形为菱形， ， 在中，， 【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠问题，菱形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，已知，，与交于点，且． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，且，，求的长． 【答案】（1）解：四边形是菱形，理由： ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； （2） 【分析】（1）四边形是菱形，由，，，得出，加上，得出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形； （2）由四边形是菱形，得出，，利用勾股定理得出，由得出，加上得出平行四边形，即可求出． 解：（1）略 （2）解：菱形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形， ，， ， ， ． 【点拨】本题考查平行四边形的性质与判定，菱形的判定和性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质与判定，菱形的判定和性质是解题关键． 23．（12分）（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 【答案】（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2） 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形判定与性质是解题的关键． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， △平移的过程中，四边形能成为菱形， 四边形能成为菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形【单元基础自测卷】 考试时间：120分钟　　满分：120分 适用：使用北师大版地区九年级单元基础测试 1、 选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分。请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1．（24-25九年级上·全国·阶段检测）下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对边平行 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 5．（26-27九年级上·云南曲靖·开学考试）如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（   ） A．146 B．76 C．84 D．60 8．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，一束光线射入一块透明的矩形玻璃砖发生折射现象，光的传播路径会发生改变，光线路径为（不在同一条直线上），射入光线与射出光线平行，即．若射入光线与玻璃砖边的夹角度数为，那么射出光线与玻璃砖边夹角度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山西阳泉·期末）小红在一张正方形 的纸上进行折纸创作．她在对角线 上标记了一点，使得线段 的长度等于正方形的边长．连接 后，她想知道 的大小是多少度，以便进行下一步裁剪．（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，点是边的中点，点是上的一点，连接，，点是中点，连接，要求长，只需知道以下线段（     ）的长． A． B． C． D． 2、 填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）在菱形中，，是对角线，若，，则边的长度为________． 12．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 13．（2026九年级·吉林·专题练习）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 14．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，则对角线的长为_______． 15．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）用长度为x的绳子围成一个正方形（接头处忽略不计且绳子无剩余），设正方形的面积为y，写出y与x的函数解析式为______． 16．（25-26八年级下·广东珠海·期末）勾股树，是一个基于勾股定理构造出的经典分形几何图形．它看起来像一棵不断生长、由正方形和直角三角形组成的“数学树”．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形，再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．如图若正方形，正方形的面积分别为9，4，且点、、三点共线，连接、，则的长为_____________． 三、解答题（本大题有7小题，第17题6分，第18~19题每题8分，第20~21题每题10分，第22~23题每题12分，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（6分）（24-25八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，与的度数之比为，周长为．求菱形对角线的长． 18．（8分）（专题03平行四边形（广西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期中真题分类汇编）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）垂足为点，交于点，若，则的度数是多少？ 19．（8分）（25-26七年级下·河北张家口·期末）在正方形中，，， （1）________，________； （2）证明：为直角三角形． 20．（10分）（2026·北京海淀·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点，分别是，上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，求证：四边形是菱形． 21．（10分）（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，将矩形沿直线折叠，使点C与点A重合，折痕交于点E、交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求折痕的长． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，已知，，与交于点，且． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，且，，求的长． 23．（12分）（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $