第一章 特殊平行四边形 单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学特殊平行四边形单元复习卷，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过基础辨析、几何计算及综合证明，培养几何直观与推理能力，适配单元知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形判定（第2题门框测量方案）、菱形性质（第3题对角线计算）、正方形性质（第5题中点周长问题）|结合生活情境，基础概念辨析与图形计算结合| |填空题|6/18|菱形角度（第11题中点连线）、正方形综合（第13题形外等腰直角三角形）|聚焦性质延伸，渗透转化思想（第14题菱形面积与高关系）| |解答题|8/72|矩形证明（第19题平行四边形转化）、模型应用（第24题正方形线段关系迁移）|分层设计，从判定证明到跨情境模型迁移，发展推理能力与创新意识|

第一章 特殊平行四边形（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法不正确的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边相等的四边形是菱形 2、在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量各顶点到对角线交点距离是否相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量两组对边是否分别相等 3、如图，在菱形中，，，则对角线等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 4、如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的一个条件是（　　） A． B． C． D．与互相平分 5、如图，正方形中，对角线，相交于，为边上一点，，为的中点，的周长为18，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6、如图所示，矩形中，平分交于，，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 7、如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，下列结论正确的是（  ） A．当平行四边形是矩形时， B．当平行四边形是正方形时， C．当平行四边形是菱形时， D．当平行四边形是矩形时， 8、顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是（    ） A．对角线相等且平分 B．对角线相等 C．对角线垂直 D．对角线相等且垂直 9、如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 10、如图，正方形中，点分别是的中点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，在菱形中，，对角线交于点，为的中点，连接，则的度数为________． 12、如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ． 13、如图，在正方形中．若以为底边向其形外作等腰直角，连接，则的长为______． 14、如图，菱形中，对角线交于点，过点作于点，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则___． 15、如图，是△ABC的高，，是，的中点，若，，则四边形的周长为 ． 16、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在学完矩形的判定后，善于钻研的小赵、小刘和小王同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形中，，对角线、相交于点O，． 小赵说：若，则四边形为矩形； 小刘说：若，则四边形为矩形． 小王说：若，则四边形为矩形． 请对三人的说法任选其一进行判断并证明． 18、如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 19、 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC，BE ；若∠AFC＝2∠D，AB＝2，BC＝4． （1）求证：四边形ABEC是矩形； （2）求BE的长． 20、如图所示，四边形是矩形，过其两对角线的交点且与、的延长线分别交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，那么四边形能是菱形吗？若能，请求出此时的大小；若不能，请说明理由． 21、已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 22、【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，交点为．求证：四边形是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点．求证：四边形是矩形． 23、如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 24、【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上的一点，且．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，若点E，G分别在边，上，且，连接，求证：． 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，E是上一点，且，，求的长． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列说法不正确的是（) A.矩形的对角线相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法正确，不符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误，符合题意； 2、在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某学习小组的四位同 学拟订的方案，其中正确的是() A.测量对角线是否互相平分， B.测量各顶，点到对角线交点距离是否相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量两组对边是否分别相等 【答案】B 【详解】解：A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据对角线互相平分且相等，可得出此四边形是矩形，故本选项符合题意； C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、测量两组对边是否分别相等只能得出四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 3、如图，在菱形ABCD中，AB=5,∠BCD=120°，则对角线AC等于() D A.20 B.15 c.10 D.5 【答案】D 【详解】四边形ABCD是菱形 1 ×120°=60° ∴.∠BCA2∠BCD=2 AB=BC △ABC为等边三角形 ∴.AC=AB=5 4、如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是(） 0 A· B A.AB=BC B.AC=BD C.∠ABC=90° D.AC与BD互相平分 【答案】A 【详解】解：A、:四边形ABCD是平行四边形，AB=BC, ·平行四边形 BCD 是菱形，故本选项正确； B、四边形ABCD是平行四边形，AC=BD, ABCD 平行四边形 是矩形，故本选项错误； C、四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°， ABCD 四边形 是矩形， 不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误； D、四边形ABCD是平行四边形， 2 必有1C与BD互相平分， ‘四边形不一定是菱形； 5、如图，正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于O,E为BC边上一点，CE=5,F为DE 的中，点，△CEF的周长为18，则OF的长为() 0 7 9 A.3 B.2 C.4 D.2 【答案】B 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ∠DCE=90·,OD=OB, ..DF-FE, ∴.CF=FE-FD, :EC+EF+C℉=18，EC=5, .EF+FC-13, .DC=DE2-EC2=12 .BC-CD=12, ∴.BE=BC-EC7, ..OD=OB,DF=FE, OF=1BE=7 7 2 2」 6、如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC 是等边三角形；②BC=2AB;③SA40s=S△0C;④S4oe=ScE,其中正确的有（) —3— D B E A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.AD/IBC,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，OA=OC,OD=OB,AC=BD, ..OA=OD=OC=OB, ,AE平分∠BAD, .∠DAE=45°， ,∠CAE=15°， .∠DAC=45°-15°=30°， .∠ACD=90°-∠DAC=90°-30°=60°， .0D=0C, △ODC是等边三角形，故①正确； .AD//BC, .∠ACB=∠DAC=30°， ∠ABC=90°， ∴.AC=2AB, .2AB>BC,故②错误； ..0A=OC, .S△40s=S0c,SA0E=ScoE,故③④正确； 7、如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于，点O,下列结论正确的是() —4 D A.当平行四边形ABCD是矩形时，AO=BO B.当平行四边形ABCD是正方形时，AC=BC C.当平行四边形ABCD是菱形时，∠ABC=90° D.当平行四边形ABCD是矩形时，AC⊥BD 【答案】A 【详解】解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，AO=BO,结论正确，符合题意； B、当平行四边形ABCD是正方形时，AB=BC,而AC=√2BC,原结论错误，不符合题意； C、当平行四边形ABCD是正方形时，∠ABC=90°，原结论错误，不符合题意； D、当平行四边形ABCD是矩形时，对角线不垂直，原结论错误，不符合题意； 8、顺次连接某四边形四边中，点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是(） A.对角线相等且平分 B.对角线相等 C.对角线垂直 D.对角线相等且垂直 【答案】C 【详解】解：如下图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中，点， 4 证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中，点， 根据三角形中位线定理得：EHFG‖BD,EF‖AC‖HG, —5 ∴.四边形HEFG是平行四边形 .当AC⊥BD时，HE⊥HG .四边形HEFG是矩形. ‘顺次连接某四边形四边中点得到的四边形是矩形，则该四边形应满足的条件是对角线垂直 9、如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB,以，点A为圆心，AB为半径画孤与AD交于点F, LBF 然后以大于2为半径，分别以B,F为圆心画孤交于点G,连接AG交BC于，点E,若BF=6 ,AB=4,则AE的长为() A D F G A. 8.2V C.5 D.10 【答案】B 【详解】设AE,BF交于点H,连接EF, A D H B E 由作图可知，AB=AF,∠EAF=∠EAB “四边形 ABCD 是平行四边形， ∴.AFI∥BE —6 ∴.∠AEB=∠FAE .∠EAB=∠AEB .'.AB=BE, .AF BE ABEF 四边形 是平行四边形， 又AB=AF, ABEF 四边形 是菱形， .AH=HEAH⊥BFBH=HF .BF=6 1 ∴.BH=三BF=3 2 在Rt△ABIH中，AB=4, .AH=√AB2-BH2=V42-32=√万 .AE=2AH=27 10、如图，正方形ABCD中，点E,F,H分别是AB,BC,CD的中，点，CE,DF交于，点G,连接 HG=AD AG,HG.下列结论：①CE⊥DF；②AG=AD;③∠CHG=∠DAG;④ 2 ,其中正确的有 () D E B F A.①② B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 【答案】D -7 【详解】解：四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°， 点E,F,H分别是AB,BC,CD的中点， ..BE=CF, BE=CF ∠B=∠DCF 在△BCE与△CDF中， BC=CD .△BCE≌aCDF(SAS) .∠ECB=∠CDF, .:∠BCE+∠ECD=90° .∠ECD+LCDF=90°， ∴.∠CGD=90°， .CE⊥DF, 故①正确； 在Rt△CGD中，H是CD边的中点， cc0-40 故④正确； 连接AH, A D G B F 同理可得：AH⊥DF, —8 1 HG=HD= CD 2 .DK=GK, .AH垂直平分DG ..AG=AD, 故②正确； .∠DAG=2∠DAH, 同理：△ADH≌△DCF .∠DAH=∠CDF, ·GH=DH, .∠HDG=∠HGD, .∠GHHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF, .∠CHG=∠DAG, 故③正确； 综上可知，正确的有①②③④. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=64°，对角线AC,BD交于，点O,E为CD的中点，连接OE, 则∠AOE的度数为 A E 【答案】122° 【详解】解：.在菱形ABCD中，∠ABC=64°， —9 ∠DBC=号∠ABC=32°，∠A0D=90,0为BD的中，点， 2 ,E为CD的中，点， .OE是△DBC的中位线， ∴.OE‖BC, .∠DOE=∠DBC=32°， .∠A0E=90°+32°=122°， 故答案为：122° l2、如图，口ABCD的四个内角的平分线相交，如能构成四边形EFGH,则这个四边形EFGH是 【答案】矩形 【详解】四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD ·.∠DAB+∠ADC=180° :AE,DE分别平分LDAB∠ADC, :.∠EAD+∠EDA=90°，即∠HEF=90° 同理可证∠GHE=∠EFG=∠FGH=90° ∴.四边形EFGH是矩形. 故答案为：矩形. 13、如图，在正方形ABCD中AB=4,若以CD为底边向其形外作等腰直角△DCE,连接BE, 则BE的长为一 -10— D E B C 【答案】2W10 【详解】如图，过点E作EF⊥BC的延长线于，点F,过E作EG⊥CD于G, A D G E B △DCE 是等腰直角三角形， 1 ∠DCE=45°， EG-CD “四边形 ABCD 是正方形， ∴.∠BCD=∠DCF=90°AB=CD CFEG “四边形 是矩形， ∴.∠ECF=45° ∴.EF=CF CFEG 四边形 是正方形， CF-EF=DG=LDC=14B-2 2 2 在Rt△EBF中， BE=VBF2+EF2=V62+22=210 —11 故答案为：2W10. 14、如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD交于，点O,过，点A作AH⊥BC于点H,已知 B0=4,S菱希A8m=24,则AH=一 24 【答案】5 【详解】四边形ABCD是菱形， ..BO=DO=4,AO=CO,AC LBD, BD=8, 1 St能m-24C×BD=24 .AC=6 1 0c=24C=3 ..BC=OB2+0C2=5 .S菱形HCn=BC×AH=24 :h=24 ; 24 故答案为5. 15、如图，AD是△ABC的高，E，F是AB,AC的中，点，若AB=12,AC=10,则四边形AEDF 的周长为」 —12— B D 【答案】22 【详解】解：AD是△ABC的高， .∠ADB=∠ADC=90°， :E、F分别是AB、AC的中点， nE=号8=60F-4c-5E-48=64R=4C=5 ∴.四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=22, 故答案为：22. 16、如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的顶点C坐标为(3,2)，则点B的坐标为 V本 C3,2) 【答案】（山，5） 【详解】解：点B作BF⊥x轴于F,过，点C作CE⊥x轴于E,CH⊥BF于H,如图， y个 B A Hr-C3,2) 则四边形CEFH为矩形， —13 ∴.CE=HFCH=EF∠ECH=∠CEO=∠CHF=90° ∴.∠CEO=∠CHB=90° OABC 四边形 为正方形， ∴.OC=CB∠OCB=90° 点c32) ∴.CE=2OE=3 ..CE=HF=2 ·.·∠ECH=90°∠OCB=90° .∴∠OCE+∠OCH=90°∠BCH+∠OCH=90° ∴.∠OCE=∠BCH :.△OCE≌△BCH(AAS) ∴.CE=CH=2OE=BH=3 ∴EF=CH=2 ..OF=OE-EF=3-2=1 BF=BH+HF=3+2=5 六点B的坐标为 1,5) 故答案为：（但，5）」 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分，22-24，每题10分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在学完矩形的判定后，善于钻研的小赵、小刘和小王同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,OA=OC. 小赵说：若OA=OB，则四边形ABCD为矩形； 小刘说：若∠ABC=∠BCD,则四边形ABCD为矩形. 小王说：若∠I=2∠2，则四边形ABCD为矩形. -14- 请对三人的说法任选其一送行判断并证明. D 【答案】小赵的说法是正确的（三人的观，点都正确，可任选其一判断），理由见详解 【详解】解：小赵的说法是正确的（三人的观，点都正确，可任选其一判断），理由如下： 证明：AD∥BC, :.∠DAC=∠2，∠ADB=∠CBD 又OA=OC ·.△AOD≌△COB, OD=OB=BD 又0A=0C=2 .四边形ABCD为平行四边形. ·.OA=OB .AC=BD .四边形ABCD是矩形. 若选择小刘： D O 2 C 证明：AD∥BC, .∠DAC=∠2，∠ADB=∠CBD 又.0A=OC .△AOD≌△COB —15 ..OD=OB ∴.四边形ABCD为平行四边形， .AB∥CD .LABC+LBCD=180°， ·.∠ABC=∠BCD .2,∠ABC=180°， .∠ABC=90°， 四边形ABCD为矩形； 若选择小王： D 20 C 证明：AD∥BC, .∠DAC=∠2，∠ADB=∠CBD, 又OA=OC, ∴.△AOD≌△COB ..OD=OB, .四边形ABCD为平行四边形， ·∠1=∠2+∠0BD,∠1=2∠2， .∠2=∠OBD」 ..OB=OC. ..OA=OD ..OA+OC=OB+OD —16 ..AC=BD ∴.四边形ABCD为矩形. 18、如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E,∠ABC的平分线交AD于F,求证：四 边形ABEF是正方形. F D 【答案】见详解 【详解】证明：如下图， A F D 以2 3 E .四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAF=90°，AD‖BC, .∠2=∠3 .'AE平分∠BAF, .∠1=∠2， ∴.∠1=∠3， ∴AB=BE; 同理可得AB=AF, ∴.BE=AF, .AD‖BC, 17 .AF‖BE, ∴四边形ABEF是平行四边形， ∠BAF=90°， ∴四边形ABEF是矩形， AB=AF, ∴四边形ABEF是正方形. I9、如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到，点E,使CE=DC,连接AE交BC于点F,连接 AC,BE;若∠AFC=2∠D,AB=2,BC=4 D 9 (1)求证：四边形ABEC是矩形； (2)求BE的长. 【答案】(1)见详解；(2)2V3 【详解】(I)四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD.∠ABC=∠D ..CE=CD .AB=CE .四边形ABEC是平行四边形， .BC=2BF AE=2AF, :∠AFC=∠ABC+∠BAE=2∠D .∠ABC=∠BAE. :AF =BF, 18- :.AE=BC, ∴.平行四边形ABEC是矩形， (2)四边形ABEC是矩形， .AB=EC=2.∠AEC=90° :.BE=VBC2-EC2=V42-2=2V3 故答案为2V5 20、如图所示，四边形ABCD是矩形，EF过其两对角线的交点O且与BA、DC的延长线分别交 于点E,F (I)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若AB=1,BC=V3,那么四边形EBFD能是菱形吗？若能，请求出此时AE的大小；若不 能，请说明理由. C 【答案】(1)见详解；(2)能，AE=1 【详解】(1)连接BD,如图， B “四边形 ABCD 是矩形， .AB//CD —19— ∴.∠EBO=∠FDO∠BEO=∠DFO “点O是矩 ABCD 对角线的交点， ..BO=OD ∴.△EBO≌△FDO ∴.EB=FD EB//FD EBFD 四边形 是平行四边形； (2)四边形EBFD能是菱形， 连接BD,如图， “四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90° AB=1 BC=3 .BD=VAD+4B=+()=2 0B=0=1 D=6 .∠ADB=30° .∠ABD=60° —20 若四边形EBFD是菱形， 则ED⊥BD, .∠BE0=30° ∴.BE=2BO=2 ∴.AE=BE-AB=2-1=1 六当ME=1 EBFD 时，四边形 是菱形 21、已知：如图，平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中，点，连接 CG,CG的延长线交BA的延长线于，点F,连接FD, (1)求证：AB=AF; (2)若AG=AB,∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论. G D 【答案】(I)证明见详解；(2)结论：四边形ACDF是矩形.理由见详解 【详解】解：(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB‖CD,AB=CD, .∠AFC=∠DCG, ∴.GA=GD,∠AGF=∠CGD, .△AGF≌△DGC, .'.AF-CD, .∴.AB=AF (2)解：结论：四边形ACDF是矩形 21- 理由：AF=CD,AF CD, .四边形ACDF是平行四边形， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠BAD=∠BCD=120°， ∴.∠FAG=60°， .AB=AG=AF, .△AFG是等边三角形， .'.AG=GF, ,△AGF≌△DGC, ..FG=CG,AG-GD, .'.AD=CF, ∴.四边形ACDF是矩形. 22、【课本再现】 思考：我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可以发现并证 明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形， 定理证明 (1)为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩 形的定义出发完成证明过程. 已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC=BD,交点为O.求证：四边形ABCD是矩形 -22 D B 图1 图2 图3 应用定理 (2)如图2，在菱形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中，点.求证：四边 形EFGH是矩形. 【答案】(1)见详解；(2)见详解； 【详解】解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD 在△ABC与△DCB中， BC=CB AC=DB AB=CD' .△ABC≌aDCB(SSS), .∠ABC=∠DCB ·AB∥CD, .∠ABC+∠DCB=180° ∠ABC=∠DCB=2X180°=90° ∴.ABCD是矩形； (2)证明：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,∠B=∠D, E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点， .AE=BE=BF=CF=CG=DG=AH DH 23 .△AHE≌aCGF(SAS)」 :HE=GF, 同理，△DHG≌ABEF，则HG=EF, ∴.四边形EFGH是平行四边形， 连接HF,EG, D B 在菱形ABCD中，AD∥BC,则AH∥BF, ∴.四边形ABFH是平行四边形，则AB=HF, 同理，四边形ADGE是平行四边形，则AD=EG, .'HF=EG, .四边形EFGH是矩形； 23、如图1，BD是菱形ABCD的对角线，E是BD上一个动，点，连接AE,CE G F B B 图1 图2 图3 (1)求证：△ABE△CBE; (2)如图2，F是直线BC上一，点，连接EF,且AE=EF. (i)求证：∠AEF=∠BAD; (ⅱ)当∠BAD=90°时，如图3，延长FE交CD的延长线于点G,探索DG和BF之间的数量关系并 加以证明. 24 【答案】(1)证明见详解 (2)(i)证明见详解；（ⅱ)DG=BF，证明见详解 【详解】(1)证明：四边形ABCD是菱形， .AB=BC,∠ABE=∠CBE 又BE=BE, .△ABE≌aCBE(SAS)； (2)解：(i)延长AE交BC于，点G, ,四边形ABCD是菱形， .AD∥BC, .∠DAE=∠EGF 由(1)可知△ABE=ACBE .∠BAE=∠BCE,AE=CE AE=EF, .EF=CE, .∠BCE=∠BFE ∠AEF是△EFG的外角， ∴.∠AEF=∠BFE+∠FGE=LBAE+∠EAD=∠BAD； E M F (i)BF=DG,证明如下： 如图所示，连接AF,AG ,四边形ABCD是菱形，且∠BAD=90° 25— .四边形ABCD是正方形， :.∠BCD=∠ABC=∠ADC=90,AB=AD 由(2)（i）可知∠AEF=∠BAD=90°，CE=EF, .∠CFE=∠ECF .·∠CFE+∠CGE=∠ECF+∠ECG=90° .ZECG=ZEGC, .EG=CE EG=EF, .AE是线段FG的垂直平分线， .AF=AG .AB=AD, .RtAABF≌RtAADG(HL) .BF=DG G E 24、 【模型建立】 D F G D G A A E E E B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，且BE=DF.求证： 26— CE=CF 【模型应用】 (2)如图2，若，点E,G分别在边AB,AD上，且∠ECG=45°，连接EG,求证：乙=BE+GD 【模型迁移】 (3)如图3，在四边形ABCG中，AG‖BC,∠B=90°，AB=BC=6,E是AB上一，点，且 ∠GCE=45,BE=2:求GE的长. 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)乙=5 【详解】解：(1)四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠B=∠CDF=90°，DF=BE, ∴.△CBE≌△CDF, ∴.CE=CF; (2)如图2， G D F 图2 延长AD至F,使DF=BE.连接CF, ,:四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠B=∠CDF=90°， .DF=BE ∴.△CBE≌△CDF, ∴.∠BCE=∠DCF, ∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°， 又，'∠GCE=45°，则∠BCE+∠DCG=45°， 27 ∴.∠GCF=∠DCG+∠DCF=∠DCG+∠BCE=∠GCE=45°， .CE=CPF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, ∴.△ECG≌△FCG, ..=GF, ∴.C=GF=DF+GD=BE+GD; (3)如图3，过C作CD⊥AG,交AG延长线于D, G D E 图3 '在直角梯形ABCG中，AD‖BC, .·.∠A=∠B=90°， 又.∠CDA=90°， ∴.四边形ABCD为矩形， .AB=BC, .四边形ABCD为正方形， ..AD=BC, .:∠GCE=45°， ∴.AD=BC=6, .AE=AB-BE=6-2=4, 设DG=X, .∴.AG=6-x, 根据(1)(2)可知，EG=BE+DG=2+x, 28— 在Rt△AEG中，GE2=AG+AE2, 即x+22=6-x2+42, 得：X=3, ∴.EG=2+3=5 -29