10对数与对数函数题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕对数与对数函数专题，涵盖对数定义、运算性质、对数函数图象及性质、反函数等核心考点，按“定义-性质-运算-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法归纳、真题训练、分层练习四个环节，帮助学生构建知识网络，突破运算技巧与函数性质应用难点。 讲义采用题型分类突破与核心素养导向设计，如通过归纳对数不等式解法培养数学思维，结合视力测量实例渗透数学眼光，设置基础夯实与能力提升分层练习。配套详细解析与方法总结，助力学生高效掌握解题规律，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

对数与对数函数 一、知识梳理 考点 1 对数及其运算1. 对数的定义 一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记作 ,其中 叫做对数的底数, 叫做真数.2. 对数的性质与运算法则 性质 换底公式 相关结论: 运算法则 条件 且 结论 考点 2 对数函数3. 对数函数的定义一般地，函数 叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是 .① 提醒 对数函数的 3 个特征:(1) 底数 ,且 ; (2)自变量 ; (3) 系数为 1 . 4. 对数函数的图象及性质 底数 图象 性质 定义域: 值域:R 图象过定点 ,即恒有 当 时,恒有 ; 当 时,恒有 当 时,恒有 ; 当 时,恒有 在 上是增函数 在 上是减函数 5. 反函数 一般地，指数函数 ( ,且 ) 与对数函数 互为反函数,它们的定义域与值域正好互换, 图象关于直线 对称. 6. 知识拓展——对数函数底数大小的比较 如图，作直线 ，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 . 由此可得到:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 二、练习题 1. 判断正误. (对的打“√”，错的打“✗”) (1)若 ，则 . ( ) (2) . ( ) (3)若 ，且 ， ， ，则 ( ) (4)对数函数的图象都过定点 . ( ) 2. 已知 ,那么 等于 ___. 3. 已知 ,则 的大小关系为___ 4. 设 ，则 ___. 题型一 对数函数的图象及应用 5. 在同一平面直角坐标系中,函数 , 的图象可能是 ( ) A B C D 6. 关键元素变式 若不等式 对任意 恒成立,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 题型三 对数函数的性质及应用 角度 1 解对数方程、不等式 7. 满足不等式 的 的取值集合为___. 归纳总结 1. 对数不等式的类型及解法 不等式 2. 对数方程的类型及解法 方程 解法 8. 设问条件变式 已知函数 ,若 ,且 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 角度 2 对数型函数的性质及应用 9. 已知关于 的函数 在 上单调递增,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 10. 命题推广变式 (多选) 关于函数 ,下列结论正确的是 ( ) A. 定义域为 B. 是偶函数 C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递增 题型四 指数式、对数式大小的比较 方法 1 比较指数式大小的常用方法 一是单调性法, 不同底的指数式化同底后应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化为同底的尽可能化为同底; 二是取中间值法, 不同底、不同指数的指数式比较大小时,先与中间值(特别是 0,1 )比较大小，然后得出大小关系； 三是图解法, 根据指数式的特征, 在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象, 借助图象比较大小. 方法 2 比较对数式大小的类型及相应方法 11. 已知 , ,则 ( ) A. B. C. D. 考点 1 对数及其运算 12. 若 ，则 ( ) A. -1 B. lg 7 C. 1 D. 13. 已知 ， ，则 ( ) A. 25 B. 5 C. D. 14. 青少年视力是社会普遍关注的问题, 视力情况可借助视力表测量. 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据 和小数记录法的数据 满足 . 已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9 ，则其视力的小数记录法的数据约为 ( ) A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 15. 已知 且 ,则 ___. 考点 2 对数函数 16. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为( ) A. B. C. D. 17. 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 18. 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 19. 已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点,则( ) A. B. C. D. 20. 在同一直角坐标系中， 函数 的图象可能是 ( ) A B C D 21. 已知 ， . 设 ,则( ) A. B. C. D. 22. 设函数 ,则 ( ) A. 是偶函数，且在 单调递增 B. 是奇函数，且在 单调递减 C. 是偶函数，且在 单调递增 D. 是奇函数，且在 单调递减 基础夯实 23. 已知对数函数 是减函数,若 ,则 的大小关系是( ) A. B. C. D. 24. 已知 ， 函数 在 上没有零点,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 25. 已知 , ,则 ( ) A. B. C. D. 26. 函数 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 27. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 28. 设 ,则 ( ) A. B. C. D. 29. 若 为偶函数，则 ( ) A. -1 B. 0 C. D. 1 30. 已知定义在实数集 上的奇函数 ,当 时, ，则集合 可表示为 ( ) A. B. C. D. 31. 已知 ， 且 ， 函数 在 上单调，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 32. 则 ___. 33. 函数 的单调递减区间是___. 34. 已知 ,且 . (1)求 的值及 的定义域； (2)求 在 上的值域. 能力提升 35. 已知函数 与函数 互为反函数， 为奇函数，且当 时， ，则 ( ) A. -5 B. -6 C. 5 D. 6 36. 已知函数 ,则 的解集为 ( ) A. B. C. D. 37. 已知函数 的图象关于原点对称,且满足 ,且当 时, ,若 ,则 等于( ) A. B. C. D. 38. 我们知道当 或 时， . 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 39. 已知函数 ,若不等式 的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 40. 已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ,则下列结论错误的是 ( ) A. B. C. D. 41. (多选) 已知 R,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 42. (多选) 已知函数 ，则以下说法正确的是 ( ) A. ,使得 为偶函数 B. 若 的定义域为 ,则 C. 若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 D. 若 的值域是 ,则 43. (多选) 已知正数 满足 ，则( ) A. B. C. D. 44. 已知函数 . (1)若对于任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围； (2)在(1)的条件下，是否存在 ,使 在区间 上的值域是 ? 若存在,求实数 的取值范围; 若不存在, 说明理由. 参考答案与解析 1. 2. 8 3. 4. 5. 选 A. 对于 ,若 的图象正确,则 , 所以 单调递减,又 时, ,所以 正确、B 错误; 对于 C、D,若 的图象正确,则 , 所以 单调递增,所以 均错误. 故选 . 6. 选 B. 若 ,则当 时, ,又当 时, ,所以 无解; 若 ,则当 时, ,且当 时, ,令 ，画出两函数的图象，如图所示， 因为 对任意 恒成立，所以 ，所以 . 综上可得, 的取值范围为 . 故选 B. 7. 答案 解析 因为函数 在 上是增函数, 所以 解得 . 所以满足要求的 的取值集合为 . 8. 选 D. 若 且 ,则必有 ,(先确定 的范围) 则有 ,(由 的范围确定 的表达式) 又由 ,得 , 则 ,必有 , 则 在 上单调递减,所以 , 即 ,因此 的取值范围是 . 故选 D. 9. 选 D. 令 ,则函数 由函数 和 复合而成, 在定义域上单调递减， 在 上单调递减，在 上单调递增,则有 解得 . 故选 D. 10. 选 ACD. 对于 ,由 得 或 ,故定义域为 正确; 对于 ,因为定义域不关于原点对称,故 不是偶函数, 错误; 对于 ,因为 , 所以 的图象关于点 对称, 正确; 对于 , 因为函数 在区间 上单调递增,且 在 上单调递增,(同增异减) 所以 在 上单调递增, D 正确. 故选 ACD. 11. 选 B. 和 是其定义域上的增函数,而 是减函数, ,即 ,故 . 故选 B. 考点 1 对数及其运算 12. C 解法一: , . 解法二: 由题意可得 ①, ②,① ②可得 ,故 . 13. 由题意知 ,又 ,所以 , 故选 C. 14. C 将 代入 ，得 ， 即 , 其视力的小数记录法的数据约为 0.8 . 故选 C. 15. 答案 64 解析 , 即 ,设 , 则 ,整理得 ,即 , ,即 . 考点 2 对数函数 16. D 因为 在 上单调递增,且 , 所以 ,即 , 因为 在 上单调递增, 所以 ,即 ,所以 ,故选 D. 17. . 故选 C. 18. B , 令 ,则 , 又易知 在 上单调递增,所以 ,故选 B. 19. . 当且仅当 ,即 时 “=” 成立. 又 是函数 图象上不同的两点, . 故选 B. 20. D 对于函数 ,当 时,有 ,得 ,即 的图象恒过定点 ,排除选项 ; 函数 与 在各自定义域上单调性相反,排除选项 B, 故选 D. 21. ,则 . 又 ,两边同取以 13 为底的对数得 ,即 . 又 ,两边同取以 8 为底的对数得 ,即 . 综上所述, . 故选 A. 小题速解 利用糖水不等式: 设,则有求解 ,且 ,所以排除 . 故选 A. 22. 函数 的定义域为 ,关于原点对称, 又 是奇函数,排除 ; 当 时, ,则 在 上单调递增,排除 ; 当 时, , 则 在 上单调递减, 正确. 23. B 由对数函数 是减函数,得 , 则有 , 则 . 故选 B. 24. 时, 无解,则 或 时, 无解,则 ,故 ,故选 D. 25. D 设 , 则有 , 可得 ,即 , 解得 (舍负),所以 . 故选 D. 26. A 要使函数 有意义,则有 解得 ，故函数 的定义域为 . 故选 A. 27. D 因为 ,所以 ,所以 ,因此 ,故选 D. 28. , 又 ,即 ,故 . 故选 B. 29. 由 为偶函数,得 ,即 ,则 ,故 . 故选 B. 小题速解 因为 是偶函数, 是奇函数,所以 是奇函数，(奇 奇 偶) 所以 . 30. D 当 时, ,可得 , 因为 是 上的奇函数,所以 时, . 等价于 ,可得 , 当 时,由 ,解得 ; 当 时,由 ,解得 . 因此集合 . 故选 D. 31. D 当 时, ,因此 在 上不可能单调递增,从而有 在 上单调递减,所以 解得 32. 答案 解析 由题意,可得 , 又 ,故 . 33. 答案 解析 的定义域为 或 . 又函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 且 在 上单调递减,所以根据复合函数单调性法则可知, 的单调递减区间是 . 34. 解析 (1) 由 得 ,即 ,所以 ,解得 ,所以 , 由 解得 ,故 的定义域为 . (2)由(1)及条件知 , 设 , 则当 时， ，当 时， ；当 时， ,所以当 时, ,即 , 所以 , 所以 在 上的值域为 . 35. C 由函数 与函数 互为反函数,得 . 由题设,当 时, ,则 . 因为 为奇函数,所以 . 故选 C. 36. B 函数 的定义域为 , 当 时, ,得 在 上单调递减, 当 时, ,得 在 上单调递增, 又 ,故 为 上的偶函数, 故 等价于 , 即 ,两边平方解得 或 . 故选 B. 37. D 函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数， 因为 ,则 , 所以函数 的周期为 4 , 则 ,而 , 所以由 可得 ,而 ,则 ,所以 ,解得 . 38. B 因为 , 所以 ,所以 ,因为 ,所以 , 所以 ,所以 . 故选 B. 名师点睛 结合题中提示取 ,得到 ,比较 的大小. 39. C 函数 的定义域为 ,则不等式 化为 ,令 . 对 求导得 , 故函数 在 上单调递增,在 上单调递减. 而不等式 的解集中恰有两个不同的正整数解,故正整数解为 1,2 . 故 即 故 . 40. 画出 和 的图象,如图, 因为 与 互为反函数,所以它们的图象关于直线 对称. 直线 也关于直线 对称,所以交点 , 关于直线 对称,所以 , 又 在直线 上，所以 ,即 ,选项 A 正确; 因为 ,所以选项 正确; 由 得 ,设 ,则 单调递增, 因为 ,所以由零点存在定理知 的零点在 上,即 ,所以 , 由图得 ,(利用 进行放缩是变形的关键)选项 错误; 由 得 ,设 ,则 , ,所以 , 又因为 ,设 0,则 在 上单调递增, 所以 ,选项 D 正确. 故选 C. 41. . 在 上单调递增, ,故 正确; 错误; ,当且仅当 时等号成立,而 ,故 正确; 2,即 正确. 故选 ACD. 42. ABD 对于 A,当 时, , 此时函数的定义域为 ,且 ,即 为偶函数，因此 A 正确； 对于 ,因为 的定义域为 ,故 恒成立, 则有 ,解得 ,因此 正确; 对于 ,令 ,因为 在定义域上单调递减，故要使函数 在区间 上单调递增，则需 在 上单调递减且恒大于 0,故有 解得 ,因此 错误; 对于 ,因为 的值域是 ,所以 , 由复合函数的单调性可知,此时 , 由 知 ,解得 ,即 ,因此 正确. 故选 ABD. 43. AB 设 ,则 . (连等式设公共值为 ,求出 是解题的关键) 对于 正确; 对于 ,而 ,(底数大于 1,真数小于底数) 即有 ,则 , 又 ,即有 ,则 ,所以 , B 正确; 对于 ,由选项 知, ,得 , 则 错误; 对于 ,因此 错误. 故选 AB. 44. 解析(1)由题意可得对于任意的 . , 设 , 则 在 上是增函数, 当 时， 在 上单调递减， 则 ， (复合函数单调性法则)解得 当 时, 在 上单调递增, 则 ,解得 ,此时与 矛盾, 故舍去. 综上,可得实数 的取值范围为 . (2)因为 ，所以 在 上单调递减， 所以 可得 可得关于 的方程 在 上有两个不等的实根, 设 , 则 解得 . 综上,不存在这样的 满足条件. 学科网（北京）股份有限公司 $