2027届高考数学一轮复习----§3.7 对数与对数函数·复习讲义人教A版

该高中数学高考复习讲义围绕对数与对数函数核心考点，按对数式化简求值、函数概念、图像性质到综合应用等10大题型系统展开，通过考点梳理构建知识网络，结合方法提炼与真题训练，帮助学生形成从概念到应用的完整解题思路，体现复习的系统性与针对性。 资料突出数学思维与数学语言培养，如在单调性题型中指导学生用“同增异减”原则推理复合函数单调区间，在比较大小中训练符号化表达。设置分层练习与即时方法总结，确保学生高效突破难点，为教师精准把控复习进度、提升学生应考能力提供有力支持。

§3.7 对数与对数函数·复习讲义 目录 题型1：对数式的化简与求值 4 题型2：对数函数的概念 6 题型3：对数型函数过定点问题 8 题型4：对数函数的图像及应用 9 题型5：对数函数的单调性 11 题型6：对数函数的最值（值域） 14 题型7：比较对数值的大小 17 题型8：对数型方程、不等式的求解 21 题型9：指数式与对数式的综合应用 26 题型10：对数式的实际应用 28 1. 对数与对数的运算 (1) 对数的概念： 如果，那么叫做以为底的对数，记做，其中叫做对数的底数，叫做真数． 提醒 对数式与指数式的互化：. (2) 常用对数：以10为底的对数，记做. 自然对数：以为底的对数，记做. (e=2.71828…) (3) 对数的基本性质： ①; ②； ③对数恒等式： (N>0). (4) 对数的运算性质： 如果，那么： ① . ②. ③． (5) 换底公式及其变形： ①. ②. ③ . 2. 对数函数 (1) 对数函数的定义 函数(,且)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 提醒 对数函数的3个特征：①底数，且；②自变量；③系数为1. (2) 对数函数的图像与性质 底数 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 (3) 对数常用结论 ①函数与的图像关于轴对称. ②如图，作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故，即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 3. 反函数 (1) 指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． (2) 由得到，则是的反函数，记做. (3) 题型1：对数式的化简与求值 方法提炼 对数运算的一般思路 (1) 拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； (2) 合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 【例1.1.】 已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 【例1.2.】 计算：__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质结合换底公式的结论运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 【例1.3.】 已知正数满足，则__________. 【答案】16 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为：16 【例1.4.】 设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 【例1.5.】 若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】对数的运算性质的应用、倒序相加法求和 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 题型2：对数函数的概念 【例2.1.】 （多选）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【详解】要使有意义，则解得或． 【例2.2.】 函数 的定义域为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数，根式的性质得，再解不等式即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为 【例2.3.】 已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数定义域关于原点对称求解，再利用奇函数的性质求解，最终计算. 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内， 代入分子得，解得， 求参数： 将代入得： ， 由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得， 此时函数，， 则 ， 即，则是奇函数，满足题意， 故 . 题型3：对数型函数过定点问题 【例3.1.】 若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题、求反函数 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 【例3.2.】 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ 【答案】 【难度】0.94 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 【例3.3.】 （多选）已知且，则函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题、对数函数图象的应用 【分析】根据对数函数图象性质判断即可. 【详解】由，且， 则， 即函数过点, 当时，函数单调递增，过第一、二、三象限； 当时，函数单调递减，过第一、二、四象限． 故选：AB． 题型4：对数函数的图像及应用 【例4.1.】 函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可． 【详解】解：，定义域为， ，解得或， 过和，故CD不符合题意； 又时，， 所以A不符合题意，B符合题意． 【例4.2.】 （多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、对数函数图象的应用 【分析】根据题意单调递减，且，结合复合函数单调性求出答案. 【详解】的图象经过第二、三、四象限， 故单调递减，且，解得， 根据复合函数单调性可知，单调递减，故. 故选：BD 【例4.3.】 （多选）若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.6 【知识点】判断对数型函数的图象形状 【分析】对进行分类讨论，结合特殊值排除法来确定正确答案. 【详解】当时，， 即，解得， 对于函数，即是增函数， ，排除C选项，D选项符合. 当时，， 所以，所以， 所以，解得， 对于函数，是减函数， ，排除A选项，B选项符合. 题型5：对数函数的单调性 方法提炼 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 【例5.1.】 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数（型）的单调性求参数、求对数型复合函数的定义域 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 【例5.2.】 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再结合对数复合函数的单调性结合奇函数定义判断求解. 【详解】因为，所以函数的定义域是， 因为在上都单调递增， 所以单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数是奇函数， 所以函数在上单调递增， 函数的单调递增区间是. 【例5.3.】 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、研究对数函数的单调性 【分析】分和两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于的不等式即可求解. 【详解】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 题型6：对数函数的最值（值域） 【例6.1.】 若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 【例6.2.】 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数的运算性质的应用 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 【例6.3.】 已知函数，当时，函数的值域为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数型复合函数的值域、对数的运算性质的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先利用对数的运算法则，把原函数化成，再利用换元法结合二次函数的值域求法求出的范围，最后利用对数函数的单调性求函数值域. 【详解】因为. 设，，则， 因为，所以， 所以，所以， 又. 所以. 因为函数在上单调递增， 所以. 故答案为： 【例6.4.】 的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的值域、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 【例6.5.】 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求对数函数在区间上的值域、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由对数函数可得函数在上的值域，根据一次函数以及二次函数的性质，建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，易知， 当时，设在的值域为，由题意可得， 当时，，即，不符合题意； 当时，由不等式化简可得，解得 由不等式组，解得. 综上可得. 故选：C. 【例6.6.】 已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、由对数（型）的单调性求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围、利用函数单调性求最值或值域 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 题型7：比较对数值的大小 方法提炼 比较对数值大小的方法 【例7.1.】 （2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 【例7.2.】 若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】方法一：化简后根据函数单调性得到，进而比较出，比较出，得到结论； 方法二：比较出，得到答案. 【详解】方法一：，， 在上单调递增，且， 可排除AC， ，， 底数都大于，所以都是增函数，，又， ， ，故可以排除B. 方法二：由题意，，，， 即， ， 而， ， ， 而，即， 又，， 而，则，即， 同理，， 而，则，即， 综上得：， . 故选：D. 【例7.3.】 设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、对数的运算性质的应用 【详解】，故， ， ，即， ． 【例7.4.】 已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】比较对数式的大小、对数函数单调性的应用 【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断. 【详解】函数， 因为是减函数，是增函数，所以是减函数， 又因为，所以，故，即. 【例7.5.】 已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.56 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【详解】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 【例7.6.】 已知，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】根据已知条件和的性质，结合换底公式以及指数、对数函数的性质，找到相应参照基准，比较大小，最终得出. 【详解】， ， 又， . 根据换底公式： ， 已知， ，由于底数，且真数，底数越大，对数值越小, 因此， 所以. 综上，，即. 故选：C. 题型8：对数型方程、不等式的求解 方法提炼 (1) 对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. (2) 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可对不等式变形，不等号两边对应两函数,在同一坐标系中作出两函数图像，根据当在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数，来确定参数的取值或不等式解的情况. 【例8.1.】 若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【详解】满足底数且， 由，可得或，结合且，可得， 故由，可得，即，解得或， 故实数的取值范围是. 【例8.2.】 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据分式和对数函数定义域的基本要求可求得的定义域，采用换元法可构造偶函数，将所求不等式化为，根据对数型复合函数和一次函数单调性可确定当时不等式的解，结合奇偶性可求得最终结果. 【详解】由得：或，的定义域为； 设，则，其中， ，为定义在的偶函数， 当时，由得：， 在上单调递减，在上单调递增， 又当时，， 当时，，即， 又为定义在上的偶函数，当时，； 当或，即时，， 不等式的解集为. 【例8.3.】 已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】先用定义确定函数的奇偶性，根据对数函数和二次函数的性质确定复合函数的单调性，然后利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为，则定义域关于原点对称，且，所以为偶函数， 当时，令其为单调递增函数，而是单调递减函数，所以在区间上是单调递减函数， 根据对称性知，函数在区间上是单调递增函数， 所以函数的函数值随着的增大而减小， 因为，所以，即，或， 当时；当时； 所以实数的取值范围为. 故选：A 【例8.4.】 已知函数，若，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】先写出的定义域，再证明其为偶函数，且在单调递增，利用的奇偶性，可将转化为，再利用的单调性，可将其转化为，即可得解. 【详解】易知， ， 故函数的定义域为， 又因为，故是偶函数， 又易知与的对称轴分别为与， 因此与均在上单调递增， 故易知也在上单调递增. 由是偶函数可知，即， 又因为，，在上单调递增， 故由， 可得，解得 故答案为：. 【例8.5.】 若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据指数型函数图象判断参数的范围 【详解】要使不等式在时恒成立. 即函数的图像在内恒在函数图像的上方，而的图像过点. 由图可知，，显然这里， 所以函数递减. 又，所以，又，所以. 所以所求实数的取值范围为. 【例8.6.】 若实数满足，则_________． 【答案】243 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据及将原式进行化简， 求出的值，再进行指对互化即求得的值. 【详解】，即，解得 由题知， 即，解得， 所以． 故答案为：243 【例8.7.】 已知，则______． 【答案】16 【难度】0.72 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【详解】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 题型9：指数式与对数式的综合应用 方法提炼 (1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. (2) 指数函数与对数函数是互为反函数的关系，由反函数的定义，知指数函数与对数函数的定义域和值域互换，它们的图像关于直线对称.解决与指数函数、对数函数有关的问题，要注意数形结合. 【例9.1.】 已知，则____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用指数和对数的互化、换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】由已知可得，，， 因此，. 故答案为：. 【例9.2.】 若非零实数满足且，则的值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】首先根据指对互换可得：，，然后将原式转化为，代入并根据对数运算性质进行求解即可. 【详解】， 由，可得：， 解得：. 故答案为：. 【例9.3.】 若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.43 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化、指数函数图像应用 【分析】将问题化为在时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析判断. 【详解】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 【例9.4.】 已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】指数式与对数式的互化、判断指数函数的单调性、指数幂的化简、求值 【详解】左右两边同时乘以得， 左右两边同时加得， 设，则单调递增， 又，， 所以， 所以，所以. 题型10：对数式的实际应用 【例10.1.】 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）可由公式（k为正常数）求得．若，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为______min． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】指数函数模型的应用（1）、对数的运算性质的应用 【分析】将，，，，代入公式，得到，解方程即可得解. 【详解】将，，，, 代入，得， 所以，所以，所以，即min. 故答案为： 【例10.2.】 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】指数式与对数式的互化、利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算 【详解】，将代入， 得， 整理得：， 两边取自然对数：， 解得：， 所以， 由，得， 即芯片投入量至少为4万片. 【例10.3.】 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】根据每日最大涨幅列出个交易日后股票价格满足的不等式，两边取常用对数后结合给定参考数据计算，得到的最小正整数值. 【详解】要让最小，需要每个交易日都涨停（每天价格变为原来的倍）， 因此天后的价格满足不等式化简得， 两边取常用对数，得 因为， ， 所以， 因为是正整数，所以的最小值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.7 对数与对数函数·复习讲义 目录 题型1：对数式的化简与求值 4 题型2：对数函数的概念 4 题型3：对数型函数过定点问题 5 题型4：对数函数的图像及应用 5 题型5：对数函数的单调性 6 题型6：对数函数的最值（值域） 7 题型7：比较对数值的大小 7 题型8：对数型方程、不等式的求解 8 题型9：指数式与对数式的综合应用 9 题型10：对数式的实际应用 10 1. 对数与对数的运算 (1) 对数的概念： 如果，那么叫做以为底的对数，记做，其中叫做对数的底数，叫做真数． 提醒 对数式与指数式的互化：. (2) 常用对数：以10为底的对数，记做. 自然对数：以为底的对数，记做. (e=2.71828…) (3) 对数的基本性质： ①; ②； ③对数恒等式： (N>0). (4) 对数的运算性质： 如果，那么： ① . ②. ③． (5) 换底公式及其变形： ①. ②. ③ . 2. 对数函数 (1) 对数函数的定义 函数(,且)叫做对数函数，其中是自变量，定义域是. 提醒 对数函数的3个特征：①底数，且；②自变量；③系数为1. (2) 对数函数的图像与性质 底数 图象 定义域 值域 定点 过定点 函数值的变化情况 当 时，； 当 时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 (3) 对数常用结论 ①函数与的图像关于轴对称. ②如图，作直线，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故，即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 3. 反函数 (1) 指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． (2) 由得到，则是的反函数，记做. (3) 题型1：对数式的化简与求值 方法提炼 对数运算的一般思路 (1) 拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； (2) 合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 【例1.1.】 已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【例1.2.】 计算：__________. 【例1.3.】 已知正数满足，则__________. 【例1.4.】 设、为正数，若，且，则________． 【例1.5.】 若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 题型2：对数函数的概念 【例2.1.】 （多选）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【例2.2.】 函数 的定义域为_____． 【例2.3.】 已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 题型3：对数型函数过定点问题 【例3.1.】 若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为____ 【例3.3.】 （多选）已知且，则函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型4：对数函数的图像及应用 【例4.1.】 函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 （多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 （多选）若（，且），则函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 题型5：对数函数的单调性 方法提炼 解决与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 【例5.1.】 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型6：对数函数的最值（值域） 【例6.1.】 若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知函数，当时，函数的值域为______． 【例6.4.】 的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例6.6.】 已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 题型7：比较对数值的大小 方法提炼 比较对数值大小的方法 【例7.1.】 （2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【例7.2.】 若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例7.3.】 设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【例7.4.】 已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例7.5.】 已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【例7.6.】 已知，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型8：对数型方程、不等式的求解 方法提炼 (1) 对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. (2) 对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可对不等式变形，不等号两边对应两函数,在同一坐标系中作出两函数图像，根据当在某一范围内取值时图像的上下位置及交点的个数，来确定参数的取值或不等式解的情况. 【例8.1.】 若，则实数的取值范围是__________. 【例8.2.】 已知函数，则不等式的解集为__________. 【例8.3.】 已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8.4.】 已知函数，若，则实数a的取值范围为______. 【例8.5.】 若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 【例8.6.】 若实数满足，则_________． 【例8.7.】 已知，则______． 题型9：指数式与对数式的综合应用 方法提炼 (1) 是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. (2) 指数函数与对数函数是互为反函数的关系，由反函数的定义，知指数函数与对数函数的定义域和值域互换，它们的图像关于直线对称.解决与指数函数、对数函数有关的问题，要注意数形结合. 【例9.1.】 已知，则____． 【例9.2.】 若非零实数满足且，则的值为__________. 【例9.3.】 若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【例9.4.】 已知，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型10：对数式的实际应用 【例10.1.】 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t min后物体的温度（单位：℃）可由公式（k为正常数）求得．若，将55℃的物体放在15℃的空气中冷却，则物体冷却到35℃所需要的时间为______min． 【例10.2.】 已知某数据中心的算力（单位：EFLOPS）与芯片投入量（单位：万片）满足饱和增长模型：，其中为该中心最大理论算力.已知投入2万片芯片时，算力，若要求算力，则芯片投入量至少为（   ） A．3万片 B．4万片 C．5万片 D．6万片 【例10.3.】 股票是一种有价证券，代表持有者对股份公司的所有权，股票交易是一种重要的金融市场行为．已知某支股票的当前价格为12元每股，交易所规定每个交易日该股票价格的最大涨幅为20%（达到最大涨幅时称为“涨停板”），最大跌幅也为20%（达到最大跌幅时称为“跌停板”），现在不考虑其他限制，设个交易日后该股票价格达到60元每股，则的最小值为（  ）（参考数据：，） A．7 B．8 C．9 D．10 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $