专题2.9 对数与对数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦对数与对数函数专题，涵盖对数概念、运算、换底公式及对数函数的定义域、值域、图象、单调性等10个高考核心考点，按“概念-运算-性质-应用”逻辑构建知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统突破重点难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用分层练习设计，每个考点配置基础题、综合题及高考真题，结合数学思维与数学语言培养。如在单调性分析中引导学生通过复合函数法则推理单调区间，在应用问题中建立对数模型解决pH值、半衰期等实际问题，有效提升学生逻辑推理与模型应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

专题2.9 对数与对数函数 【考点1：对数的概念】 2 【考点2：对数的运算】 3 【考点3：换底公式】 6 【考点4：对数函数的概念】 8 【考点5：对数函数的定义域】 10 【考点6：对数函数的值域】 12 【考点7：对数函数的图象】 14 【考点8：对数函数的单调性与最值】 17 【考点9：反函数】 19 【考点10：对数函数的应用】 22 【考点1：对数的概念】 1．（第02讲对数（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 2．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 3．（25-26高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是________________. 【答案】 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【详解】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知实数，满足：，且，则_______． 【答案】 【分析】化成对数式后根据对数的运算法则计算即可. 【详解】由题， 所以. 5．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 【答案】 【分析】列举法列出所有取法，再根据对数的意义判断，最后由古典概率求值. 【详解】根据题意，从集合中随机抽取2个不同元素作为， 有共6种， 其中只有，即有意义， 所以使得 有意义的概率为. 故答案为： 【考点2：对数的运算】 1．（25-26高二下·河北邢台·期末）________． 【答案】 【详解】由题意得 . 2．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对数运算的相关公式和性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D错误． 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对原式两边取以为底的对数，得到的对数表达式，再通过对数的运算性质（乘积的对数等于对数的和、对数的幂运算）对表达式进行变形，逐项验证即可. 【详解】已知，两边取以为底的对数，可得： ，， ， 则， 因此. 选项A，，，， 乘积为：，A错误. 选项B，左边， 右边， ，B错误. 选项C，由(1)(2)(3)得：，，， 因此： ，C正确. 选项D， ，D错误. 4．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 5．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 【考点3：换底公式】 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 2．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段检测）求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值即可. （2）根据对数运算性质及换底公式化简计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 3．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）计算下列各式的值 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根式以及指数幂运算求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式的结论运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 【答案】(1)0 (2)7 【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，即可求解. 【详解】（1）解：由指数幂的运算公式得：原式； （2）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得. 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 由，得，. 所以，， 则，故. 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）略 【考点4：对数函数的概念】 1．（25-26高一上·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 【答案】 【分析】利用对数函数的性质结合已知条件求出，再结合指数、对数的关系化简求解． 【详解】已知函数是对数函数，则，且，， 解方程得， ，且， ， ，故， ． 故答案为：． 2．（24-25高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【答案】1 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 3．（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，则的值是 _____. 【答案】/ 【分析】由分段函数解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】由解析式有， 所以． 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为对数函数，，则_______，_______． 【答案】 【分析】设且，根据求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，即，解得， 所以， 所以． 故答案为：， 5．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为偶函数． 【分析】（1）代入点，即得答案. （2）代入，得到的解析式，由奇偶性的定义即可得到答案. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 【考点5：对数函数的定义域】 1．（第01讲函数的概念及其表示（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的定义域为_____________. 【答案】 【详解】由题意得，则，因为在上单调递增， 所以，则的定义域为. 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使函数有意义，需满足真数大于0，即，解得， 因此函数定义域为. 4．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，，再应用补集及交集定义计算求解即可. 【详解】对于，由得，故，， 对于，由得，故， 则，故D正确. 5．（25-26高二下·重庆璧山·期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．求： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据对数的真数大于0求集合，根据偶次根式被开方数非负求集合. （2）根据交集、并集的概念求解. 【详解】（1），解得：或，所以 ，解得：，所以. （2） . 【考点6：对数函数的值域】 1．（2026·安徽合肥·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数有意义，即,则， 又因的值域为,则，故. 2．（25-26高一上·安徽淮北·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出复合函数中内层函数的值域，再根据对数函数的单调性可得复合函数的值域. 【详解】因为函数的值域为. 对于函数，真数为正数，即真数的范围是， 令，则函数的值域等价于函数的值域， 根据对数函数的性质知是增函数， 由对数函数的图象和性质知的值域为， 即函数的值域为. 3．（2026高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 【答案】D 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则________． 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性计算可得. 【详解】若，则在上单调递增， 则，解得； 若，则在上单调递减， 又当时，所以函数在上的值域不可能为，故舍去； 综上可得. 故答案为： 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【答案】(1)，偶函数 (2) 【分析】（1）解不等式得定义域，再根据奇偶性的定义判断即可； （2）由题知，令，再结合复合函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以函数的定义域为． 所以函数定义域关于原点对称， 又． 为偶函数． （2），， 令，，则， 又函数为增函数，的最大值为0． 所以函数的值域为． 【考点7：对数函数的图象】 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 2．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】通过函数的定义域、对称性和单调性即可求解，得到答案. 【详解】由可知，，函数图象关于直线对称，B、C错误. 因为外层函数是减函数，内层函数在上单调递减，在上单调递增. 根据“同增异减”原则，函数在上单调递增，在上单调递减，A错误，D正确. 故选：D 3．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 5．（第四章对数运算与对数函数考点考题点点通）已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【答案】④ 【分析】根据对数函数的图象确定单调性，得，再由对应函数值符号得，即可得. 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时，，所以． 故答案为：④ 【考点8：对数函数的单调性与最值】 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 2．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）三个数，，之间的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数性质可得，，即可判断. 【详解】即，即， 即，故，即. 4．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 5．（25-26高一上·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)， (2)最小值为，最大值为2 【分析】（1）利用代入法，结合对数型函数的定义域性质进行求解即可； （2）利用换元法，结合二次函数的最值性质、对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 由题意可得，解得，故函数定义域为； （2）由（1）可得， 令，对称轴为， 当时，， 则，，故， 故函数的最小值为，最大值为2. 【考点9：反函数】 1．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（且）的反函数图像经过点，则________． 【答案】1 【分析】由反函数的定义可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由函数（且）的反函数图像经过点， 可得原函数的图像经过点， 代入可得，且，即， 则. 故答案为： 2．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 3．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，的零点分别是，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，和的函数图象的交点的横坐标，利用反函数的对称性可求. 【详解】由题意可知，分别是，和的函数图象的交点的横坐标， 而和互为反函数，所以其函数图象关于对称， 因为和垂直，所以两个交点也关于对称， 联立、，得，故. 故选：D 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 【答案】， 【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解. 【详解】因为的图像过点，所以．① 又因为的反函数图像过点，所以点在原函数的图像上． 所以．② 联立①②得，． 5．（2026高三·全国·专题练习）写出下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）的底数为10，它的反函数为指数函数． （2）由，得，所以反函数为． （3）的底数为，它的反函数为对数函数． （4）由得．因为，所以．所以反函数为． 【考点10：对数函数的应用】 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 2．（25-26高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用消元，再结合对数运算，即可得解. 【详解】根据题意，，，两式相除可得，， 所以，可得， 故选:D． 3．（25-26高二下·浙江绍兴·阶段检测）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、，利用对数的运算可求得的值. 【详解】设喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度分别为、， 则，， 上述两个等式作差可得，解得， 因此，喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的倍. 故选：B. 5．（25-26高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 【答案】4 【分析】根据题意得，即，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可. 【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为， 由题意得，即，得. 因为， 所以,故. 故答案为：4 一、单选题 1．（25-26高一·全国·课后作业）化简：（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用换底公式可化简运算. 【详解】原式 . 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·贵州毕节·期中）,则的值为（    ） A．6 B．7 C．12 D．18 【答案】C 【分析】对数转化为指数形式，再利用同底数的幂和幂的乘方运算求得结果 【详解】， 故选：C 【点睛】本题考查指对数互化解决指数幂运算问题.将真数化为底数的指数幂的形式进行运算是解题关键，属于基础题． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D． 【答案】C 【分析】易知a>1，将当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，转化为函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方，然后在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象，利用数形结合法求解， 【详解】由题意，易知a>1. 在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.    若y＝logax过点(2，1)，则loga2＝1， 解得a＝2. 因为当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立， 所以函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 如图所示：a的取值范围是(1，2]. 故选：C 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 5．（25-26高二下·福建福州·期末）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于是上递减的偶函数，故只需要比较选项中自变量的绝对值的大小，结合指数函数，对数函数的单调性即可比较. 【详解】由，即，注意到，由，故，即，又根据指数函数性质，是上的减函数，故，即，于是，又是上递减的偶函数，则. 故选：B 6．（2024·湖南·高考真题）已知两条直线：y=m和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)， 图像如下图， 由= m，得， = ，得 . 依照题意得. ， . 【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m＞0)，图像，结合图像可解得. 二、多选题 7．（25-26高一·全国·课前预习）(多选)下列式子中成立的是(假定各式均有意义)（    ） A．logax·logay＝loga(x＋y) B． C．＝loga D．＝logax－logay 【答案】BC 【分析】利用对数的运算性质逐一判断即可. 【详解】A，由对数的运算可得logax·logayloga(x＋y)，错误； B，根据换底公式可得，正确； C，由对数的运算可得＝loga，正确； D，，错误. 故选：BC 8．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（    ） A．天狼星的星等大约是南极星星等的倍 B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是 C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是 D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是 【答案】AC 【分析】根据题意，利用对数与指数的关系式即可求解，判断各选项的正误. 【详解】解：设太阳的星等与亮度为、，天狼星的星等与亮度为、，南极星的星等与亮度为、，由题意可知，，， 对于A，，则A选项正确； 对于B，由得，， 所以，即太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是，则B选项错误； 对于C，由得，， 所以，即天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，则C选项正确； 对于D，由得，， 所以，即天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，则D选项错误； 故选：AC. 三、填空题 9．（25-26高一·江苏·课前预习）计算___________. 【答案】0 【分析】根据对数的性质及指对数的关系，即可求值. 【详解】由对数的基本性质、指对数的关系，知：. 故答案为：0. 10．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 【答案】/ 【分析】先根据是奇函数，得到其定义域关于原点对称，且，从而得到，的值，即可得到的解析式，再根据复合函数的单调性即可判断的单调性，进而即可求出在某区间的最大值． 【详解】由， 则x应满足为，即， 又是奇函数，则其定义域关于原点对称，且， 则，即，解得， 所以， 又是奇函数，且其定义域为， 则，解得， 所以， 又在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为． 四、解答题 11．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 12．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，，其中实数且． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】(1)代入值后求解不等式. (2)通过导数求解单调性. (3)通过化简后两函数关于对称这一性质求解范围. 【详解】（1）当时，，， ，∴函数在上单调递增， 又， 的解集为． （2）函数 ，定义域为，， 令，得，又，解得； 令，解得； 函数在上单调递减，在上单调递增． （3）由题意，化简得，此不等式对恒成立． 指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称， 要使对恒成立，只需指数函数的图象完全位于直线的上方， 即对恒成立， 对两边取自然对数得，， 因为，所以对恒成立， 令，只需即可， 显然：，令得， 当时，，递增；当时，，递减； 故在处取得最大值，只需，即， 因此的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.9 对数与对数函数 【考点1：对数的概念】 2 【考点2：对数的运算】 2 【考点3：换底公式】 3 【考点4：对数函数的概念】 4 【考点5：对数函数的定义域】 5 【考点6：对数函数的值域】 6 【考点7：对数函数的图象】 7 【考点8：对数函数的单调性与最值】 8 【考点9：反函数】 9 【考点10：对数函数的应用】 10 【考点1：对数的概念】 1．（第02讲对数（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 3．（25-26高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是________________. 4．（25-26高二下·天津滨海新区·期末）已知实数，满足：，且，则_______． 5．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 【考点2：对数的运算】 1．（25-26高二下·河北邢台·期末）________． 2．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）（多选）下列结论正确的有（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）计算： (1)； (2)已知，求的值． 5．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【考点3：换底公式】 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段检测）求值： (1)； (2)． 3．（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）计算下列各式的值 (1)； (2). 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）化简求值（需要写出计算过程）. (1)； (2). 5．（25-26高一上·辽宁丹东·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【考点4：对数函数的概念】 1．（25-26高一上·江西上饶·期末）已知函数是对数函数，则__________． 2．（24-25高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 3．（23-24高一上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，则的值是 _____. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为对数函数，，则_______，_______． 5．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【考点5：对数函数的定义域】 1．（第01讲函数的概念及其表示（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）函数的定义域为_____________. 2．（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 3．（25-26高二下·山东青岛·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆璧山·期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合．求： (1)，； (2)，． 【考点6：对数函数的值域】 1．（2026·安徽合肥·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽淮北·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·陕西西安·学业考试）若函数的值域为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．] 4．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知常数且，若函数的定义域和值域都是，则________． 5．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)求函数的值域． 【考点7：对数函数的图象】 1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的大致图象为（） A．B． C．D． 3．（25-26高一上·广东东莞·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 5．（第四章对数运算与对数函数考点考题点点通）已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 【考点8：对数函数的单调性与最值】 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津红桥·期末）三个数，，之间的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 5．（25-26高一上·安徽宿州·期末）设（，且），且. (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最值. 【考点9：反函数】 1．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数（且）的反函数图像经过点，则________． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽滁州·期末）已知函数，的零点分别是，则满足（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 5．（2026高三·全国·专题练习）写出下列函数的反函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点10：对数函数的应用】 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北·期末）已知某一指数（其中数据M为常数，且）可以用来检测某一特殊海域的水质情况，其中指数d的值越大，水质越好．若数据N由变化为，对应的指数d由2.15提高到3.225，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·浙江绍兴·阶段检测）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 4．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知强度为的声音对应的等级为时，有，喷气式飞机起飞时，声音约为；一般说话时，声音约为.计算喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（    ）倍. A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西汉中·期末）“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为5m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的，若石片接触水面时的速度低于2m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为_____________．（参考数据：） 一、单选题 1．（25-26高一·全国·课后作业）化简：（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州毕节·期中）,则的值为（    ） A．6 B．7 C．12 D．18 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D． 5．（25-26高二下·福建福州·期末）设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南·高考真题）已知两条直线：y=m和： y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为 A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一·全国·课前预习）(多选)下列式子中成立的是(假定各式均有意义)（    ） A．logax·logay＝loga(x＋y) B． C．＝loga D．＝logax－logay 8．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（    ） A．天狼星的星等大约是南极星星等的倍 B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是 C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是 D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是 三、填空题 9．（25-26高一·江苏·课前预习）计算___________. 10．（25-26高一下·湖南·期末）若函数是奇函数，则在上的最大值等于________． 四、解答题 11．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 12．（25-26高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，，其中实数且． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $