浙江嘉兴市2026-2027学年高三上学期9月基础测试数学试题

2026年高三基础测试 数学试题卷 (2026.9) 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试 题卷和答题纸上规定的位置， 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 3 1.己知集合A={yy=sinx,B={片<x<,则A∩B= A. B. c.-1,2 D.← 2.已知C2=28,则n= A.5 B.6 C.7 D.8 3.函数f()=sin(ox+(o>0)的图象关于点M(2元，0)中心对称，则o的最小值为 31 A司 B. 6 c月 4.某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共9层，每层层高相同且都有檐廊.塔身 由底向上逐层收小，可近似地看成一个正八棱台.记第n层的檐廊外沿周长为α，（单位： 米)，若4=25.6，a。=20.8,则a= A.22.6 B.23.2 C.23.8 D.24.2 5.己知a=1og32,b=cos5,c=22,则 3 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 数学试题第1页（共6页） 6.若x=3是函数f)=alnx-3 +x+1的极小值点，则函数f(x)的极大值为 1 A.-5 B.3-4ln3 C.-1 D.1 2 7。某质点在数轴上从原点开始运动，每次运动时原地弹跳的概率为了，向右移动一个单 位的概率为；若X表示质点第一次到达4华标为3的点所需的运动次数，则E(X)= 十电 k=1 (-p2 A.12 B.9 C.6 D.3 8.在三棱锥P-ABC中，AP=2,点B,C到棱AP所在直线的距离均为1，点H为棱BC 上一点，满足PH⊥平面ABC,且PH=1,则棱BC的长度不可能为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z=1-i,则 A.z=1+i B.z4>0 C.23+(2)3为实数 D.|z+z以z-z 10.己知平面向量a,b满足la=b=1,|2a-bKV2,c是b在a上的投影向量，则 A.ab的取值范围为[匠，山 B.存在a,b,使得b⊥(b-2a) c.ie D.cos<a,a+b>的最小值为网 数学试题第2页（共6页） .已知椭圆C:名十I和曲线D:y=0在x轴上方的两个交点为AC力利 B(x2,y,),动点Mm,n)在椭圆C上，且x<m<x,n>0.若直线l与C相切于点M, 与D交于P,Q两点，则 A.tan∠AOB= 3 B.OPOQ的最小值为5 C.SOM+SBOM=S2AOB D.四边形OAMB的面积的取值范围为(L,√2] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知圆C:x2+(y-1)2=1,圆C2:(x-2)2+y2=4,则C与C,的公共弦所在的直线 方程为 13.己知数据，2，x3,x4的平均数为1，方差为2；数据y1,y2,3,y4,5,y6的平均数为2， 方差为1.现将两组数据合并，则数据，x2,x3,x4,1,2,y3,y4,y,y6的平均数为 ，方差为 14.在△ABC中，若sin Asin C+sin Bsin C=sin Asin B,则cosC的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等比数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且a,=2,S3=26. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=log3(Sn+1),求数列{ 1)的前n项和T: b.b 数学试题第3页（共6页） 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD,BC⊥CD,PA=PD=AD=2,BC=1, AB=2. (1)求证：PB⊥AD: (2)若PB=2,求PD与面PAB所成角的正弦值， D B y 第16题图 17.(15分) 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入 2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次 (1)求第2次操作取到的是白球的概率？： (2)求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率P: (3)记连续操作3次后箱子中白球的个数为X,求X的分布列和期望. 数学试题第4页（共6页） 18.(17分) 己知双曲线C手片1a>0,b>0的左顶点4(20到其有近线的面皮为2 5 (1)求C的方程； (2)斜率为k且不过原点的直线I与双曲线C的右支交于M,N两点，线段MW的中 点为S,射线Os分别与曲线C和直线，：x-45交于点P,Q,且1OPPH001H10s1 5 (i)求证：直线l过定点T,并求出点T的坐标： (iⅱ)设直线AM,AN与l2分别交于点D,E,求∠DTE的大小. 数学试题第5页（共6页） 19.(17分) 曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯 曲程度.曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大.光滑连续的曲线C:y=∫(x)在 点P(x,f(x)处的曲率K的计算公式为K= If"() 其中f'(x)为f(x)的导函 1+(f',P]月 数，f"(x)为f'(x)的导函数. (1)求曲线f()=nx在点(5，n3)处的曲率： (2)设函数g)=(x-2-￡+ 32 (m+1-2ln),若g(x)在点A(x,8(x), B(x2,8(x2)(x≠x)处的曲率均为0. (i)求实数m的取值范围； (ii)求证：x+x2>m. 数学试题第6页（共6页） 2026年高三基础测试 数学参考答案(2026.9) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1-8 BDCB ACBD 8.【解析】如图，一方面，由题意可知点B,C在以AP所在直线为 轴，半径为1的圆柱侧面上；另一方面，由点H是线段BC上一点， 满足PH⊥平面ABC,可知PH⊥AH,AH=√V5,并且点B,C在 平面ABC与圆柱的交线上. 设直线AH与圆柱侧面的交点为E,F,计算可得EF=4, 所以平面ABC与圆柱的交线是以EF=4为长轴，圆柱底面直径2为 短轴的椭圆，点H恰好为该椭圆的焦点，因此线段BC为该椭圆的 焦点弦（除长轴EF),即BC∈l,4).故选D, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.AC 10.ACD 11.BCD 11.【解析】设M(m,n) 对选项A:记直线OA的倾斜角为a,则tana=号且∠AOB=兀-2a, 所以an∠A0B=tan(元-2a）=-tan2a=,-2tane 2x1 =2 4 ,所以A错误： 1-tan2a1-(} 3 对选项B:切线PQ:匹+四=1，联立方程y2=0, 4 4 解得P( 2042 4 m+2n'm+2n m-2n'm-2n 2v5 2W5 20 10 OP -100F1m2nl m2m25 又-√2<m<√2，所以0P川005，当且仅当m=0时，等号成立. 2 另解： 1=m+2m+gm-2m-m2+4n_2 OPF+100F 30 2010 5-IOP‖OQ 所以|OP|OQ25,当且仅当m=0时，等号成立. 所以B正确： 数学试题参考答案第1页（共10页） 对选项C:由 [x2+4y2=4 x2-4y2=01 不妨取A,5.5,5,则AB叶25， 所以5m点-205-1. 22 5wodw号四，恤别限-2剑， 2 5 4 5od =1×0×m+2m-2m+2ml Γ225 4 所以品o心+5四-2+四+2-r-1-5ie,所以c正确： 8 8 4 对选项D: Sow-auw+mn (2n-m+m+2n)=√2n, 4 又ne(2,所以SowB=V2ne,,所以D正预 另解5um=5w-5aw=分2x9±×25×a-马-n. 2 综上所述，选BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2x-y=0 13.1.6:1.64 14. 1 8 14.【解析】由正弦定理得ac+bc=ab,所以c=心，又由余弦定理得cosC-。+-c2 atb 2ab a2+b2-(ab2 所以cosC= a+b 1a2+b2 ab 1a2+b2 1 2ab 2 ab +2ab+b)=2 ab a2+b2 -+2 ab 令1-a+6得1≥2，所以cosC=-,L)在2，+)单调递增， ab 2t+2 所以c0sC≥？，当且仅当a=b时，等号成立.所以c0sC的最小值是 8 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等比数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，且a=2,S3=26. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若，=1og,(S,+,求数列{1)的前n项和7： 数学试题参考答案第2页（共10页） 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,则q>0,由题意知 4=2 4+a9+4q=26’ 所以q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍去)，所以q=3,所以an=2×3-1. (2)S.-41-g2.20-30）=3-1,所以.=10g6,+》=1og,3”=n, 1-q1-3 所以，1=1=11 bb n(n+1)nn+1 以虹=1+1 ,1=1-+}1++.1=1-1n 十…十 一十 十十一 bb:b.b b,bon 22 3 nn+1n+1n+1 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，BC∥AD, BCLCD,PA=AD=DP=2,BC=1, AB=2. (1)求证：PB⊥AD; (2)若PB=2,求PD与面PAB所成角的正弦值. 【解析】(1)证明：取AD中点O,连接PO,BO, 由PA=AD=DP=2可知：PO=√3，PO⊥AD 在底面ABCD中，由题意可知， BCI/OD,BC=OD,BC⊥CD 所以四边形BCDO是矩形，于是AO=BO=1,BO⊥AD 又由PO∩BO=O可得：AD⊥面POB,由PBC面POB可知，PB⊥AD (2)若PB=2,由P0=√5，BO=1知PO2+B02=PB2 即PO⊥BO,又PO⊥AD,BO⊥AD, 【方法一】以O为原点，OA,OB,OP分别为x,y,3轴正方向建立空间直角坐标系， 如图所示.易知： 00,0,0,A1,0,0),B(0,1,0,D(-1,0,0),P0,0,V3) 则有DP=1,0,N3),AB=(-1,1,0,AP=(-1,0,V5) n.AB=0, 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则由 n.AP=0, 数学试题参考答案第3页（共10页） 可得n=(3,√3，I),设PD与面PAB所成角为a, DP 2W5√2 则sina= 27 7 【方法二】 设PD与面PAB所成角为a,点D到面PAB的距离为h,则sina= PD' 由PO⊥BO,POL AD,BO∩AD=O可知，PO⊥面ABCD 白a=%e,0-5可得：mP0=心，即h=5 计算可得：SABD=2 ×2×1=1, 在aP中，P=阳=2份=,所以写-月 所以h= w 万，sina= 25√2i 2万7 【方法三】 延长AB交DC的延长线于点M,取PA的中点N,连接MN,则有PA⊥DW 由PO⊥BO,PO⊥AD,BO∩AD=O可知，PO⊥面ABCD,故PO⊥DM 又AD⊥DM,AD∩PO=O,故DM⊥面PAD,于是有PA⊥DM 由DM∩DN=D,可得PA⊥面DMN 过D作DH⊥MN,交MN于点H,则由DHC面DMN知PA⊥DH, 因为PA∩MN=N,所以DH⊥面PAB, 所以∠DPH是PD与面PAB所成角，在Rt△DMN中，DM=2,DN=√3， 则MN=√DM2+DW2=√万， DH=DM DN23213 MN √77 所以在RtAPDH中， sin∠DPH=DH_V2i PD 7 数学试题参考答案第4页（共10页） 17.(15分) 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入 2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次 (1)求第2次操作取到的是白球的概率P: (2)求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率P: (3)记连续操作3次后箱子中白球的个数为X,求X的分布列和期望. 【解析】(1)设第k次取到白球为事件A(k=1,2,3),则取到黑球为事件A, 所以B=P44D+P44=PA)-PAAD+PA)-P(AA)=G合+号G-子 2结合可知：A)房网A)名 记第1次取到白球且第2次取到照球为事件B,则PB=PA石)=PA)-P网A)号 因为PAB所以B=PBA)=PB-PAB (3)X的可能取值为3,4,5,6，于是有： X=3表示3次操作均取到黑球，故：P(X=3)=2×2×4=4, 56735 X=4表示3次操作中只有一次取到白球，另外两次均取到黑球， P(X=4)=C×3x2x3=9 5×6×735 X=5表示3次操作中有两次取到白球，一次取到黑球，P(X=5)=C×4= 3535 X=6表示3次操作均取到白球，P(X=6)= 3×4×5_2 5×6×77 分布列为： 3 4 5 6 4 P 9 12 2 35 35 35 所以E(X)=3× +4x9 4 +5×12+6×2-168_24 35353507355 18.(17分) 已如双电线C号-去as0.b>纱的顶右A20到状新行线的陆高为25 (1)求C的方程： (2)设斜率为k且不过原点的直线l与双曲线C的右支交于M,N两点，线段MW的中 数学试题参考答案第5页（共10页） 点为5，射线OS分别与曲线C和直线，：x=45交于点P,0,且10PPHO01OS1 5 (i)求证：直线l过定点T,并求出点T的坐标； (ⅱ)若直线AM,AN与l2分别交于点D,E,求∠DTE的大小 【解析】(1)由A(-2,0)是左顶点可得：a=2,渐近线方程为：bx-2y=0, 所以 -2b2 V4+b2√⑤·解得：b=1,所以双曲线C的方程为：x-y2=1 (2)(i）(方法一)设l:y=x+m,M(x,y),N(x2,y2),S(x,%) X-y2=1三0-4k2)x2-8mkx-4m2-4=0 y=kx+m 4k2<m2+1, △=64m2k2+161-4k2)0m2+1）>0, mk<0, 所以+ 8mk →%=k0+m=, m 1-42>0 →4k2>1, 1-4k2 与=4m24 1-4k2>0 城 所以直线OS的方程为：y= 1 t, 气=1联粒可得：4秋-=162→2 4k2-1 由|oPPo0os1可得： [V安+安+g 化简整理可得：m=-√k,即直线l:4:y=x-V5k, 所以直线4过定点T(W5,0) (方法二)：设l:y=kx+m,M(x,,N(x2,y2,S(o,%) 4k2E-8r-4m-40 y=kx+m 4k2<m2+1, △=64m2k2+161-4k2)(m2+1）>0, mk<0, 所以{x+3= 8mk 142>0, → 4k2>1, -4m2-4 4mk 龙= 1~4k2>0 0=1-4k2 [x-4y2=4 同时，由点M,N在双曲线上可得： x号-4号=4 数学试题参考答案第6页（共10页） 作差得：(x1-x2)(x+x2)-4(y-2)0y1+y2)=0① 由于点S为线段MW的中点，所以x+2=2xo,+y2=2% 所以0化简：尊号高，即直线s附翻幸为女所以0心方泥为：y=衣 与-y2=1联立可得：4k=x2=16→22=169 4k2-1 由1oPo01os1可得： +安-+-定w 化简整理可得：m=-5k,即直线l:4:y=x-⑤k,所以直线4过定点T(W5,0) (方法三)设l1:y=kx+m,M(,y),N(x2,y2),S(xo,yo) -y2=1s0-4k2)x2-8mkx-4m2-4=0 y=kx+m △=64m2k2+161-4k2)(m2+1)>0, 所以+=8mk 4mk 14k2>0, →0=1-4k2 -4m2-4 为为=1-42 >0 1 由kaykos=e2-1可得kas=4k,所以直线OS的方程为：y=认， 4y=1联立可得：(42-r2=16k2→2=162 4k2-1 由|oPP=oQoS1可得： 化简整理可得：m=-5k,即直线：4：y=x-√5， 所以直线4过定点T(5,0) +5=二8⑤2 (i)【方法一】当m=-5k时， 1-42>0, -20k2-4 ·5= >0 1-4k2 4w:y=42(x+2) 女+2 4 在 中，令x= awy=22x+2) ,并两式相乘可得： x+2 oy=方2 无·店+2)2=店+2)、V5) 4 (x+2)(x+2) 数学试题参考答案第7页（共10页） r2g5 人4 x2+2(x1+2)+4 +2)2.k[-20k2-4-√5(-85k2)+5(1-4k2)] -20k2-4+2(-8V5k2)+41-4k2) 4 42 =(店+236-10N5g方 1 mm=有5w有a 5+%ye=0 于是有TD LTE,所以∠DTE的大小为90°. 【方法二】不妨设点M在第一象限，则点N在第四象限， 设直线DT的倾斜角为α，直线ET的倾斜角为P,则有为钝角，B为锐角， H.kor=Yo--5yo-tana,ker=-5ye=tamB XD-XT XE-XT 因为∠DTE=元-a+B,所以有：tan∠DTE=tan(π-a&+B)=tan(B-a -8V5k2 X+X5= 当m=-√5k时， 1-4k2>0, -20k2-4 ·= 1-4k2>0 4M:y=12+2) 七+2 在 4N:y=.22x+2 中，令x=4 ,并两式相乘可得： 龙3+2 %yE=-24 22+22《子2)25空5) (x+2)(x2+2) 店*25 5+2(x1+)+4 ≈(4+2)2k[-20k2-4-√5(-8W5k2)+50=4k2)】 -20k2-4+2(-85k2)+41-4k2) 104+2)2.2 1 =( （-36-165k2=5 所以1+5ypyE=0,即l+tan ctanB=0, 所以tan∠DTE=tan(B-)不存在，故∠DTE=90°. 数学试题参考答案第8页（共10页） 19.(17分) 曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯 曲程度.曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大.光滑连续的曲线C:y=(x)在 点P(x,f(x)处的曲率K的计算公式为K= If"(x) ,其中f'(x)为f(x)的导函 1+(f'x下 数，"(x)为f'(x)的导函数 (1)求曲线f(x)=nx在点(W5,ln3)处的曲率； (2)设函数g)=x-2c-￡+上 32 (m+1-2lnx),若g(x)在点A(x,g(x),B(x2,8(x2) (x≠x2)处的曲率均为0： (i)求实数m的取值范围；(i)求证：x+x2>m. 【解折】①因为f闭-(x>0,则了()了'()-子， 所以K= If"(x) 明0所以=6时.-号 另解：百，f()-有 (列 1 1 3 3 所以K= - 448 3V3 2(i)因为g(创=k-2e-号+号m+1-2x>0. 所以g'(x)=(x-1)e*-x2+mx-2xlnx, g"(x)=xe*-2(Inx+x)+m-2=emxt*-2(Inx+x)+m-2(x>0), 因为g(x)在两个不同的点处曲率为0， 所以g"(x)=0在(0，+∞)内有两个不同的实数解， 即g"(x)=e+r-2(nx+x)+m-2有两个不同的正零点. 令t()=nx+xx>0),因为'(x)=+1>0, 数学试题参考答案第9页（共10页） 所以t(x)在(0，+o)上单调递增，且值域为R, 所以m=2-en++2(nx+x)有两个大于0的实数解， 等价于m=2+2t-e'(t∈R)有两个不同的实数解 令p()=2+2t-e',则p'(t)=2-e,令p'(t)=0得t=n2, 当te(-n,ln2)时，p'(t)>0,p(t)单调递增： 当t∈(h2,+∞)时，p'(t)<0,p(t)单调递减；所以p(t)s=p(h2)=2ln2, 又因为当t→-0时，p()→-0；当t→+0时，p(t)→-0： 由题意知me(-o,2ln2),所以m的取值范围为(-m,2ln2), (i)由(i)知m=2+2t-e',所以e'=2+2t-m≥t+1,所以t≥m-1, 又4=x+hx,t2=x3+hx2,不妨设0<x<x3,则t<t2, 所以t+t2=(x+lnx)+(x2+lnx2)>2(m-1), +Inx+Inx 2(m-1), 又由x-1≥lnx知x≥1+lnx,所以x+x2>nx+lnx2+2, 所以2(x1+x2)>x+x2+lnx+lnx2+2>2m-2+2=2m, 所以x+x2>m. 部分试题改编来源： T2选择性必修三 P38复习参考题T3(1) T6选择性必修二 P105复习参考题T9 T8选择性必修三 P81习题T3 T12选择性必修一 P98练习T2 T13必修二 P213例6 T15选择性必修二 P32例5 T16选择性必修一 P49复习参考题T12 T19选择性必修二 P87练习T1P94练习T2P99T12 数学试题参考答案第10页（共10页）