精品解析：浙江省名校协作体2027届高三9月开学考数学试题

6学科网 命组卷网 高三年级数学学科练习 考生须知： 1.本练习满分150分，练习时长120分钟： 2答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3所有答案必须写在答题卷上，写在练习纸上的无效： 4练习结束后，只需上交答题卷 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={-2,-1,01,2,B=[-V2,2], 则A∩B=() A.{0y B{0, c{-1,0, D.{-1,01,2} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解即可 【详解1由B=[V2,v2]可得， -2<-V2 不属于B: -1,01 属于B; 2>V ,不属于B 第1页/共30页 6学科网命组卷网 因此同时属于A和B的元素为，0,1，即1nB=,01 =1 2.已知i为虚数单位，若复数z满足1-i,则z·z=() 2 B.2 C.√2 D.2 【答案】B 【解析】 2 【详解】由已知等式1-i,两边同乘1-i得：z=i(1-)=i-=1+i, =1 故z=1-i,故z·z=1+i1-i=12-i12=1--1=2· 3.己知同向向量a=(,),b=(k,k+2）,则ā-6=() A.10 810 C.2 D.-2 【答案】A 【解析】 【分析】由向量=(L,),6=(化，k+2)为同向向量可得k=2,再利用平面向量数至积坐标运算计算求 解即可 【详解】因为向量=(，)，6=（任k+2)为同向向量， 所以a=b且2>0， [k=2 1=k 1或 k=-1 则(L)=(,0依+2)即k=k+2解得1=2政红=- (不符合题意舍去)， 所以向量ā=(2），6=(2,4)，a-6=1×2+2×4=10 第2页/共30页 学科网 命组卷网 4已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为2V ,则该四棱台的体积为(） 20V6 28V6 20N7 28v7 A.3 B.3 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可 得 【详解】依题意将正四棱台 BCD-4B,CD补全为正四棱锥P-ABCD,如下图所示： D B 4B-2_1 因为AB42,且ABAB,故AC为△PAC的中位线， 所以PA=2A4=4N5,同理可得PC=4N2, 因为四边形MBCD是边长为4的正方形，故4C=V5AB=4W2 所以△PAC是边长为45的等边三角形， 设AC∩BD=O,由正四棱锥的结构可知：PO⊥平面ABCD,且 P0=PA-sn60=4N2x5=26 2 第3页/共30页 6学科网6组卷网 h=1PO=6 故正四棱台ABCD-AB,CD,的高为”2 所以正四棱台4BCD-4BCD的体积为'=3×(2+4+V2x④x6-286 3 5.若(x-a(x+l°的展开式中x的系数为6，则a=() A.10 B.15 D.12 【答案】A 【解析】 【详解】由(x-a(x+°=x2(x+”-a(x+1 其中(x+辰开式中x的系数为C巧， -a(x+}'展开式中项的系数为uC 则原式展开式中的系数为C9-Ca=84-9a=-6 a=10 6已知函数f()-血r+ ,关于x的不等式(，)>“有且只有两个正整数解，则实数a的取值范围是 () [2e[[4 ln4+1ln3+1 A.[0,1) 【答案】C 【解析】 【分析】先求导判断函数的单调性，再计算正整数点的函数值，满足()>·有且只有两个正整数解，根据 正整数解的个数推导a的取值范围. 第4页/共30页 6学科网 命组卷网 【详解】函数 f(x)-Ix+1 x 的定义域为(0，+o）, 求绿，f"()=hx x2 所以当0<x<1时，hx<0,故f(>0,函数f()在@，1)上单调递蹈， 当x>1时，hx>0,故'()<0，函数f(在，+)上单调递减， 所以(x)在x=1处取得最大值。 f()= nl+1=1 1 因为x>1时()单调递减，所以所有正整数点的函数值满足： f)>f(2)>f(3)>f(4)>… 代入计算得： ah21f0h1.fa=b4 2 3 因为()>0有且贝有两个正整数解，结合x>1时f()单调递减。 可知这两个正整数解只能是x=1和x=2,因此需要满足： f(3)≤a<f(2) h3+l≤a<h2+l 所以3 2. x2y 7.已知双曲线云左=1(a>0,b>0)的左.右焦点分别为5,5，离心率为2，点P为第一象限内 第5页/共30页 命学科网组卷网 -点，且lPE=a,FP-P听=P听，我段P交双曲线于点e,设P=05(a>0),则2= () 1 A支 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用离心率可简化双曲线参数，判断为等轴双曲线，简化计算.再处理向量条件得到点P的坐标特 征，再用定比分点表示Q点坐标，最后将Q点坐标代入双曲线方程求解参数九. 【详解1双自线背心辛e=。5相c=2a, c2=a2+b2b=a 结合 ,得 所以双曲线方程为-y2=d2 焦点坐标为F(v2a,0),E(V2a,0) 设点P坐标（p,n)】 因为FPPE=EE·PE 所以有PF(FP-E)=0. 将(-v2a,0,B(V2a,0)代入向量关系中， 有PF=(N2a-x,-), FP=(xp+v2a,yp). EE=（-22a,0) 第6页/共30页 可学科网命组卷网 点积等式展开： (x+2a(2a-xr)+y(-yn)=(-22a2a-x)+0-(-yr）, 左边： 2a2-x场-呢 右边：-4a+2V2am. 所以有20-号-片=-4a2+22。 因为P5=a 所以(p-V2a+呢=d2, 展开得：+片=2√2an-d, 所以有2a2-(2V2ap-a）=-4a2+22ax. 7d =4V2axp. 解得点P的横坐标，= 8级坐标满足片-3 1 32, 由P0=205(1>0), x+九x5y+yE 根据分点坐标公式，得点Q的坐标为： 1+21+2 将0代入双曲线方程t-y=a 消去参数a后整理得.161+241-7=0 结合2>0，解得4. 第7页/共30页 6学科网 命组卷网 an a a21 a22 8.定义 阶矩阵 设 nxn an an2 a12 U= a22a23 a,∈{-1,0,1，a,∈{0,12,4，∈{红，2,3}，i=1,2,3}为个矩阵构成的集合从 as a32 a33 Po U 411 412 a13 中随机取一个矩阵，定义随机变量如下：对于中的每个矩阵4= az a22 a23 令 X U a31a2 a33 X(4)=a1+a:+a,则X(4的数学期望为() 1 1 A.39 B.3 C.1 D.3 【答案】D 【解析】 【分析】设41、、a3的取值分别为随机变量X、X、X,则X、X、X两两相互独立，求出 E(X)、E(X,)、E(X)的值，即可得出[X(4]=E(X)+E(X)+E(X)的值 【详解】设41、42、43的取值分别为随机变量X、X,、X,则X、X2、X两两相互独立， 且X1的可能取值为-1、0、1，根据题意可知X1取每个值的概率均为3， X 即随机变量 的分布列如下表所示： X -1 0 1 第8页/共30页 6学科网组卷网 P 1-3 3 1-3 所以E(X)=-1×3+0x+1x30 月理可知，随机交量X的分布列如下表所示： X2 0 1 2 3 3 3 所以E(X,)=0x3+1x+2x-1 1 33 3 随机变量X,的分布列如下表所不： X 2 J 1-3 1-3 1 则E[X(4]=E(X+X,+X)=E(X)+E(X)+E(X)=0+1+2=3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 ，者4，足-他中两个件.P(可-子.P-片.P4列-片，下论E 有() 第9页/共30页 6学科网6组卷网 A.A与B相互独立 B P(AB)=i cP+到- D.P(ABI(4+B))-g 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件P(MB)=P(P(B),判断选项A,利用PB)=P(B)-P(AB)的关系，判断选 P(A+B) 项B:根据概率加法公式计算 ，判断选项C;利用条件概率公式，判断选项D 【详1对于流A,根品条件公式Pr=Pa0子一 而P)-PA)=x 111 4312,满足事件相互独立的定义P(AB)=P(A)P(B) 因此A与B相互独立，A正确 B=ABUAB 对于选项B:由 且两部分互斥， 得PCAB)P®)-PAB)=3-2=4,B正E确 对于选项C:根据和事件概率公式可得： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =1+1117 4312212,C错误. 对于选项D:由条件概率的定义可得，P(AB|A+B)= P(AB)-12=1 P(A+B)16,D正确. 2 第10页/供30页 6学科网6组卷网 10只知两数f不)=s血(or+p+1,其中0>0，网水受，(G,2),么，2为y=图象上的丙点 自店一的最小值为是的对称中心，下列选项正确的是( A0=2 π兀 B.f(x)在区间4'6上单调递增 cfx- 5元 是奇函数 D方程倒 (5π13π 2在区间12’12上存在3个不同的解 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，根据三角函数解析式的求法可得)=sn(2x+孕+1，可判断A根据正弦 函数的单调性可新B,根据诱导公式化简可得了x-1三-c0s ，结合余弦函数的奇偶性可判断 C;由题可得 in(2.x+= 3 2,结合正弦函数的图象性质可判断D, 【详解】对于A:(,2）,(,2)为)=f(田图象上的两点，且：-的最小值为元， 2π T- 可得周期为@“，解得0=2，故A正确： 第11页/共30页 6学科网列组卷网 对于.（信利是付的对带中心.新1孕=2×号十p+1=1, 3 sin(+)=0 2+p=k(k∈Z) ,所以3 因为网受，防u育防x争 子+2血≤2x+号5经+2，解用音kss合+ate习 5元) 当k=0时，单调递增区间为12'12， 区间4’'6不完全包含在该增区间内，故B错误； 对于c.-语-1[2-0+引1=n2x-引-w2x 5元 是偶函数，故C错误： 对手D.f国=m2x+孕+1- 3 n sin(2x+)=I 2,即 32 π5π π5π13π 在区间22)内，5i血0=2的解为a=6:6:6,共3个解。 对应3个不同的x,故D正确. 11.如图，点P,A,B,C在水平放置的以O为球心的半球面上，半球的半径为3，PA,PB,PC两 第12页/供30页 6学科网命组卷网 两垂直，则() A.直线PBI∥平面OAC B.平面OAB⊥平面OAC C.六面体OABCP体积的最大值为6W5 面不平行时，平面BC与水废成的线 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用球截面性质得到两条同垂直于平面的直线互相平行，使用线面平行判定定理得证：B.把四 面体PABC补成长方体，球心O是长方体中心，则平面OAB、平面OAC对应长方体的两个对角面，只 有当长方体是正方体时对角面才垂直，一般长方体的对角面不垂直；C六面体体积拆分为三个三棱锥求和， 借助三元均值不等式求取体积最大值；D研究锐二面角范围，分析两个极限边界，结合几何连续性得到角 度可取区间 【详解】对于A,取AC中点M,连接OM,则M是Rt△APC的外心， 则由球的截面性质（垂径定理）有OM⊥平面PAC, 因为PA,PB,PC两两垂直，所以PB⊥平面PAC, 则PB∥OM,又OMC平面OAC,PBC平面OAC,故PB∥平面OAC: 第13页/共30页 命学科网命组卷网 对于B,把四面体PABC补成长方体，球心O是长方体中心，则平面OAB、平面OAC对应长方体的两 个对角面，即平面ABDF,平面ACDE,只有当长方体是正方体时对角面才垂直，一般长方体的对角面 不垂直，所以平面OAB、平面OAC不一定垂直，故B错误： D 对于C,'aMcn='o-Am+o-n+A =wGc5w传45e传e） bPA.PB-PC+PAPm-P+bPAPBc=PM-PB-C 防+管-（筒-区.*4m心45改 当PA=PB=PC=2N5时取等号， 所以体积技大位（化r=245=6 ， 故C正确： 附于D,当4B, 三点均向半球底面（水平面）的大圆靠近时，平面4BC 趋近于与水平面平行， 第14页/共30页 学科网 命组卷网 因此平面ABC与水平面所成的锐二面角趋近于0，题目限定平面ABC与水平面不平行，故取不到0： 取特殊位置：令 ,C位于水平面的大圆圆周上，使平面PBC垂直于水平面.在保持 B. A,PB,PC 两两垂直 的约束下，令PA的长度无限趋近于0，即点A无限趋近于点P,此时平面ABC无限趋近于平面PBC, 而平面PBC垂直于水平面，因此锐二面角趋近于90°（即2），A与P只能无限靠近，不能重合，因此 r 平面ABC无法完全竖直，故取不到2， 由于点的位置连续变化，锐二面角的大小连续取值，因此平面ABC与水平面所成的锐二面角可取遍区间 0 π →A(Po)← 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在答题卡中的横线上. 12.已知点A3,0)在圆C.(x-旷°+(-2y=r2(r>0)上，则圆C的￥径r为 【答案】2W2 【解析】 第15页/供30页 命学科网命组卷网 【详解1由点4(3,0)在因C上，且r>0, 则(3-+(0-2=8=r,解得r=22. 所以圆C的半径'为22 13.已知抛物线广=4r的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点，则M+4BF的最小值是 【答案】9 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解. 【详解】依题意， 因为抛物线广=4x的焦点为F,所以F(L,0),P=2 ①当k斜率存在时：因为直线交抛物线于A,B两点，所以k≠0， 设过F的直线的直线方程为：y=(x-),A(x,y),B(:,) 南胎物线定义得.4-+号BF=名+号. y=k(x-1) 由y2=4x消y整理得：2x2-(2k+4)x+k2=0, 所以51，即与= x, 所+4B=+4+g-=+号 +5≥2x×4+5=9 4 4 ②当k不存在时，直线为x=1,此时 AF=|BF=1+2=2 2 第16页/共30页 6学科网命组卷网 所以MF+4到BF=2+4×2=10 综上可知， AF+4BF的最小值为：9 故答案为：9. 14.在1,2，…，2026中随机选取三个不同的数，则这三个数构成等差数列的概率为 1 【答案】1350 【解析】 【分析】根据已知条件确定在2026个数字中随机选取三个不同数的组合数，再根据等差数列项的范围确 定公差范围，进而确定构成等差数列的三元组个数，即可得解. 样电配知年，2，，2026中腹机选取三个不洞的数，共组合救为C%=2024X2025x2026 1×2×3 设构成等差数列的三个数从小到大依次为0，a+d,a+2d,其中d≥l,a,d∈N】 a≥1 且a+2d≤2026， 则对于每个公差d,a的取法有2026-2d种， d d的最大值满足1+2d≤2026，即 2025=1012.5 2 所以d=1,2,…,1012, 1012 因此满足题意的组合共有， 2026-24-【2026-2×4）+(2026-2x1012]x1012-1012x1013,. 2 1012×1013 1 P= 2024×2025×20261350 所以满足题意的概率为 1×2×3 第17页供30页 命学科网命组卷网 四、解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 3c sinC 15.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且满足a cosA (1)求角A的大小： (2)若D为BC边上的一点，AD平分∠BAC且AD=2,求△ABC面积的最小值 【答案】(1)4=3 4V3 (2)3 【解析】 √3 sinC sinC 【分析】(1)利用正弦定理边化角可得si4 1cos4,化简并结合同角的三角函数关系即可求得答案； 16 bcz (2)根据等面积法可推出V3bc=2(b+C),利用基本不等式可得C二3，即可求得答案 【小问1详解】 √3c_sinC 由acos4可知7xr 3simC_sinC(sinC>0),于是3cosA=sinM, 2,得sinA cosA A、π 即tanA=V3,所以A=3' 【小问2详解】 :SAc=S.AD+S,Ac,∠BAD=∠CAD= 6 gcsn元- c~AD.sin+b4D.sin 3 62 6. 第18页/共30页 命学科网命组卷网 .V3bc=2(b+c)」 V3bc=2(b+c)≥4Wbc,bc≥ 4V3 3,当且仅当b=c= 3时取等号， .=bcsin π4v3 4v5 2 33,故△ABC面积的最小值为3 16.某商店在2026年上半年前5个月的销售额如下表所示： 月份x 1 2 3 4 5 销售额少 8.2 12.9 17 21.5 25.4 (万元) (1)求销售额y(万元)关于月份x的一元线性回归方程： (2)若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差 平方和的大小，判断该非线性回归模型与(1)中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由： 2xy-m四 6= 参考公式和数据：经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 =bx+a 2x-版2 a二-旅，y=17,∑2吸 【答案】(1) =4.3x+4.1 (2)记(1)中线性回归方程的残差平方和为Q, 则0=2-43x-41 =(-0.2)2+0.22+0+0.22+(-0.2)2=0.16 第19页/共30页 学科网命组卷网 因为0.16<0.56，所以(1)中所求的线性经验回归方程拟合效果更好. 【解析】 【分析】(1)利用题目所给数据和公式代入求得回归方程： (2)计算线性回归方程的残差平方和，并与非线性回归模型的进行比较，残差平方和小的拟合效果好 【小问1详解】 元=×0+2+3+4+5)=3 2=P+2+32+42+5=55 6=298-5×3x17 =4.3 55-5×32 a=-bx=17-4.3×3=4.1 故销售额'关于月份”的回归直线方程为 =4.3x+4.1 【小问2详解】 略 17.在三棱锥D-ABC中，已知△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面ABC,BC⊥AD B (1)求证：BC⊥AB: 3V5 (2)若AB=2,CD=3,CP=CD,且直线BP与平面ACD所成角的正弦值为8，试求实数1的 第20页/共30页 6学科网列组卷网 值 【答案】(I)取AB中点E,连接DE B 因为△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB 又平面ABD⊥平面ABC,平面ABDA平面ABC=AB,DEC平面ABD,所以DE⊥平面ABC 因为BCc平面ABC,所以DE⊥BC 又BCLAD,DE,1DC平面MBD,DEnD=D,月 以BCL平面ABD ,所 因为ABC平面ABD,所以BC⊥AB 17 九= (2)元=3或9 【解析】 【分析】(1)根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可 (2)建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在等边△ABD中，AB=2,则DE=V3 由(I)知，DE⊥平面ABC,因为CEC平面ABC,所以DE⊥CE 在Rt△DCE中，CD=3,则CE=VCD2-DE2=V6 第21页/共30页 6学科网命组卷网 在RtaBCE中，BE=AB=l,所以BC=VCE-BE=N5, 如图，以B为坐标原点， BC,BA为轴，'轴。以过点®且垂直于平面ABC的直线为2轴，建立空间直 B-xyz 角坐标系 则A(0,2,0),B(00,0),CV50,0.D0,1v5 设P(x,y,z),则CD=(5,l5.C=(x-5,y2=5,l5) 所yP5-5A,3),即BP=(5-52,元5A) 设i=(x,2)为平面ACD的一个法向量， 因为D=(0,-山5.Ac=(5,-2,0)」 AD=0y+3z=0 由m4C=0得5x-2y=0取y=5得i=(25,5,5) sin= n.BP 35 记直线BP与平面ACD所成角为g则 BP 8 123(5-V5)+15+1535 所以42√W5-V52}++32 8 第22页/共30页 6学科网6组卷网 2=17 整理得2722-302+7=0，解得3或9 1&已知函数f(x)=2e-r+2 xlnx--amr2(a∈R) （)若Q=0,求函数y=()在点.f)处的切线方程； (2)若存在x∈(0，+切），使得f()0成立，求实数a的取值范围， +x2 (3)若函数y=∫(x)有两个不同的零点七，，且x≤x2,求2的取值范围 【答案】(1)y=(2e-1)x [号-222 x+x2≥1+ 2 (3)2 -1 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义及导数的运算求解即可. 2)通过参变分离，得到存在x(0,,使得a≥2 *+2lnx 成立；构造函数 8()2e -x+2x,根据导数与单调性及最值的关系求解即可。 (3)通过参变分离，构滋西数8()-2汇 *+2ln=2e-(x-2Im).D(x)=x-ln, X2=元 G()=2e'-t,根据导数与单调性及最值的关系得到x-2血x=x2-2血x2;令x，结合x≤x, 构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可 第23页/共30页 6学科网6组卷网 【小问1详解】 当a=0时，f(d=2e-+2xix,于是f0=2e-l f'(x)=2e-3r+2x(2x+,于是f(0)=2e-l, 所以函数y=f(四在（f(》处的切线方程为y-(2e-)=(2e-(x-), 即y=(2e-1)x 【小问2详解】 存在xe(0,+o）,使得（冈≤0皮立，即存在x∈(0，+o）,使得2e-r+2x2nr-am2s0, 车在E0o）.体解e空-+2r立 令创-2g-+2m,则8网-2s日21+子-g-） 到-2g-1,则=2w日)-) =0.即-引-0.=2 当x∈(0,2)时，H()<0,h()单调道减：当x∈2，o)时，h()>0,h(单调速指。 黄4（到22）-号-0 所以当x∈(0,2)时，8'（因<0,8（单调递减：当xe(,+o)时，g()>0,8(女单调递增， 所u02g=8(Q)=号-2+2n2 第24页/共30页 6学科网列组卷网 故实数。的取值范围为 -2+2n2,+∞ 2 【小问3详解】 由f(x)=f(),得a=8(:)=8(x), 前8)-2g-x+2c=2g*-(K-2d) 6D=-2c.则P=1-是. 当x∈(0,2)时，D()0,D()单调递减：当×∈(2，+)时，D(>0,D()单调递增， 于是D()≥D(2)=2-2n2>0, 令G0=2e'-t.则G(0=2e-1 与e(02+)话.G030.G0举m路.前2-220> “2, 故G(x-2x)=G(x-2n),则￥-21x=x-2In X2二入 令x,则为=1x,于是=2-，七=2h1 -1,且元∈[e,+o) 舌+x-(a+l)ln2 故2-1· P小-a2.5W-a2-h- 令a)--2以-员则2)=1-是+京合≥0，收)网 于是H(a)≥H(e)>H()=0,故F(a)>0,F(A)在0，+o)单调递增 第25页/供30页 6学科网列组卷网 又eto),于是F(a)≥F(e)- e-1 +五≥e+ 1+2 综上，2e-1e-1. x2,y2 19如图，在平面直角坐标系x0中，已知椭圆T:一+方=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F,B, 左、右顶点分别为4,4，正方形FEFE,的面积为6,44=25对椭圆「上不与4,4重合的任 意点P,定义其对应的对偶直线L(P)如下：设直线P4交直线x=a于点R,直线PA交直线x=-a 于点2，直线R定义为(P) Y R F2A2x E (1)求椭圆「的方程： dd (2)记点Pp,E,E2到直线L(P)的距离分别为d,d,d2,求d,d,的最大值： （3)平面上是否存在一个定点了，满足：对正方形FB边界上的任一点S,总存在箱圆「上的两个 不同的点P,P使得直线PP经过点S,且对偶直线(P)与(P?相交于定点T,若存在，请求出点T 第26页/共30页 命学科网 命组卷网 的坐标；若不存在，请说明理由 +上= 【答案】(1)52 (2)5 (3)不存在， 假设存在定点T,满足题目要求： 对于椭圆上异于点P的另一点P(6,),则L(P):+=1 5 4 +=l,+=1 记直线L(P')与L(P)的交点坐标为(a,b),则5+4 ”54 因此直线54同时经过点P,P,此即为直线PP方程 对F受a任-s-同Hm品色s-,肉. 4 对给定的点8直线与心的交点一定落在直线：+Y少上，该直线方程变场 4 91-0 令+1=0，-5 54 。y-1=0,因此该直线定经过点)°，3V3D 国此若存在定点：则点坐标只可能为3，一33 同理，对于线段E,R上的任一点S(,+V3), 可得此时直线L(P)与L(P)的交点一定落在直线 第27页/供30页 6学科网命组卷网 (t+3)y 4 但点 5545 3, 不一 定落在该直线上，与假设矛盾，故不存在。 【解析】 【分析】(1)利用椭圆和正方形的性质建立方程求解： (2)利用点P(,%)表示出d,4,4,注意利用点0是线段，的中点，计算4+d,并根据最终 代数式求得最大值： (3)利用反证法，假设存在定点T,分别讨论S在正方形各边上时点T的坐标，推出矛盾 【小问1详解】 R F F E 因为椭圆长轴44=25，所以Q=V5 因为正方形EB,的面积为6，所以其边长为V6,则其对角线FB=6x√5=25，所以C=5 x2 y2 所以=2，故椭圆Γ的方程为5+之=山 【小问2详解】 设点P(xo,%),因为点P是椭圆上异于A,A的点，所以52 至+5-1，且5，%0： 第28页/共30页 6学科网列组卷网 4p5+同.52) 4pE为-问.w052 25%2-25% 故直线R的斜率m=+v5名-V5_2%, OR 2W5 x0-5 =2x山=-4x0 等+兰-1得-5=6，故 由52 5%, 放直线QR的方程为y=一 +可4兰10 54 +- 1-公+6-1 故d 54 2 4 4 +6 1 3 13 V2516 V5-80 V580 3y-1 3%-1 4 d ,d2= + V2516 1-36 1-3 13好 dd2=- 16 16 16=5 所以 +发 516 13y 2516 2 5 80 25 16 d3= 2 设原点。到直线QR距离为d,'则 6 0 V25'16 第29页/共30页 6学科网命组卷网 2 d1+d2=2d3= 因为点是线段的中点，所以 13 E E2 V580 d+=d4+4=8=8s8 35 因此4dd4,16-3616 当 =2时取到最大值 【小问3详解】 略 第30页/共30页 高三年级数学学科练习 考生须知： 1.本练习满分150分，练习时长120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校､班级､姓名､试场号､座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在练习纸上的无效； 4.练习结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知同向向量，，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若 的展开式中的系数为，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 6. 已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，离心率为，点为第一象限内一点，且，，线段交双曲线于点，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义阶矩阵.设为个矩阵构成的集合.从中随机取一个矩阵，定义随机变量如下：对于中的每个矩阵，令，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 10. 已知函数，其中，，，为图象上的两点，且的最小值为.是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是奇函数 D. 方程在区间上存在3个不同的解 11. 如图，点，，，在水平放置的以为球心的半球面上，半球的半径为3，，，两两垂直，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 六面体体积的最大值为 D. 当平面与水平面不平行时，平面与水平面所成的锐二面角的大小可取遍区间 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______． 14. 在，，，中随机选取三个不同的数，则这三个数构成等差数列的概率为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 16. 某商店在2026年上半年前5个月的销售额如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售额（万元） 8.2 12.9 17 21.5 25.4 （1）求销售额（万元）关于月份的一元线性回归方程； （2）若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差平方和的大小，判断该非线性回归模型与（1）中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，. 17. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，正方形的面积为6，.对椭圆上不与，重合的任意点，定义其对应的“对偶直线”如下：设直线交直线于点，直线交直线于点，直线定义为. （1）求椭圆的方程； （2）记点，，到直线的距离分别为，，，求的最大值； （3）平面上是否存在一个定点，满足：对正方形边界上的任一点，总存在椭圆上的两个不同的点，使得直线经过点，且对偶直线与相交于定点.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $