精品解析：浙江省名校协作体2027届高三9月开学考数学试题

高三年级数学学科练习 考生须知： 1.本练习满分150分，练习时长120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校､班级､姓名､试场号､座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在练习纸上的无效； 4.练习结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知同向向量，，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若 的展开式中的系数为，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 6. 已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，离心率为，点为第一象限内一点，且，，线段交双曲线于点，设，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义阶矩阵.设为个矩阵构成的集合.从中随机取一个矩阵，定义随机变量如下：对于中的每个矩阵，令，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 10. 已知函数，其中，，，为图象上的两点，且的最小值为.是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是奇函数 D. 方程在区间上存在3个不同的解 11. 如图，点，，，在水平放置的以为球心的半球面上，半球的半径为3，，，两两垂直，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 六面体体积的最大值为 D. 当平面与水平面不平行时，平面与水平面所成的锐二面角的大小可取遍区间 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______． 14. 在，，，中随机选取三个不同的数，则这三个数构成等差数列的概率为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 16. 某商店在2026年上半年前5个月的销售额如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售额（万元） 8.2 12.9 17 21.5 25.4 （1）求销售额（万元）关于月份的一元线性回归方程； （2）若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差平方和的大小，判断该非线性回归模型与（1）中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，. 17. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，正方形的面积为6，.对椭圆上不与，重合的任意点，定义其对应的“对偶直线”如下：设直线交直线于点，直线交直线于点，直线定义为. （1）求椭圆的方程； （2）记点，，到直线的距离分别为，，，求的最大值； （3）平面上是否存在一个定点，满足：对正方形边界上的任一点，总存在椭圆上的两个不同的点，使得直线经过点，且对偶直线与相交于定点.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学学科练习 考生须知： 1.本练习满分150分，练习时长120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校､班级､姓名､试场号､座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在练习纸上的无效； 4.练习结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解即可. 【详解】由可得， ，不属于B； 属于B； ，不属于B. 因此同时属于A和B的元素为，即. 2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知等式，两边同乘得： ， 故 ，故  . 3. 已知同向向量，，则（ ） A. 10 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量，为同向向量可得，再利用平面向量数量积坐标运算计算求解即可. 【详解】因为向量，为同向向量， 所以且， 则，即，解得或（不符合题意舍去）， 所以向量，，. 4. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【详解】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，且，故为的中位线， 所以，同理可得， 因为四边形是边长为的正方形，故， 所以是边长为的等边三角形， 设，由正四棱锥的结构可知：平面，且， 故正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 5. 若 的展开式中的系数为，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由. 其中展开式中的系数为， 展开式中项的系数为 则原式展开式中的系数为， . 6. 已知函数，关于的不等式有且只有两个正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导判断函数的单调性,再计算正整数点的函数值,满足有且只有两个正整数解，根据正整数解的个数推导a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 求导：， 所以当时，，故，函数在上单调递增， 当时，，故，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， . 因为时单调递减，所以所有正整数点的函数值满足： ， 代入计算得： ，，， 因为有且只有两个正整数解,结合时单调递减， 可知这两个正整数解只能是和，因此需要满足： ， 所以. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，，离心率为，点为第一象限内一点，且，，线段交双曲线于点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用离心率可简化双曲线参数,判断为等轴双曲线,简化计算.再处理向量条件得到点P的坐标特征,再用定比分点表示Q点坐标,最后将Q点坐标代入双曲线方程求解参数. 【详解】双曲线离心率,得, 结合,得, 所以双曲线方程为, 焦点坐标为,. 设点P坐标, 因为, 所以有, 将，代入向量关系中, 有, , , 点积等式展开： , 左边：, 右边：, 所以有 因为, 所以, 展开得：, 所以有, , 解得点的横坐标,纵坐标满足, 由, 根据分点坐标公式,得点Q的坐标为：, 将Q代入双曲线方程, 消去参数a后整理得：, 结合,解得. 8. 定义阶矩阵.设为个矩阵构成的集合.从中随机取一个矩阵，定义随机变量如下：对于中的每个矩阵，令，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、、的取值分别为随机变量、、，则、、两两相互独立，求出、、的值，即可得出的值. 【详解】设、、的取值分别为随机变量、、，则、、两两相互独立， 且的可能取值为、、，根据题意可知取每个值的概率均为， 即随机变量的分布列如下表所示： 所以， 同理可知，随机变量的分布列如下表所示： 所以， 随机变量的分布列如下表所示： 所以， 则. 二､选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，是一次随机试验中的两个事件，，，，则下列结论正确的有（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件，判断选项A；利用的关系，判断选项B；根据概率加法公式计算，判断选项C；利用条件概率公式，判断选项D. 【详解】对于选项A：根据条件概率公式， 而，满足事件相互独立的定义， 因此与相互独立，A正确. 对于选项B：由且两部分互斥， 得，B正确. 对于选项C：根据和事件概率公式可得： ，C错误. 对于选项D：由条件概率的定义可得，，D正确. 10. 已知函数，其中，，，为图象上的两点，且的最小值为.是的对称中心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是奇函数 D. 方程在区间上存在3个不同的解 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，根据三角函数解析式的求法可得，可判断A；根据正弦函数的单调性可判断B；根据诱导公式化简可得，结合余弦函数的奇偶性可判断C；由题可得，结合正弦函数的图象性质可判断D. 【详解】对于A：，为图象上的两点，且的最小值为， 可得周期为，解得，故A正确； 对于B：是的对称中心，所以， 即，所以， 又因为，所以，所以， ，解得， 当时，单调递增区间为， 区间不完全包含在该增区间内，故B错误； 对于C：， 所以是偶函数，故C错误； 对于D：，即， ，可得， 在区间内，的解为，共3个解， 对应3个不同的,故D正确. 11. 如图，点，，，在水平放置的以为球心的半球面上，半球的半径为3，，，两两垂直，则（ ） A. 直线平面 B. 平面平面 C. 六面体体积的最大值为 D. 当平面与水平面不平行时，平面与水平面所成的锐二面角的大小可取遍区间 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.利用球截面性质得到两条同垂直于平面的直线互相平行，使用线面平行判定定理得证；B. 把四面体补成长方体，球心是长方体中心，则平面、平面对应长方体的两个对角面，只有当长方体是正方体时对角面才垂直，一般长方体的对角面不垂直；C.六面体体积拆分为三个三棱锥求和，借助三元均值不等式求取体积最大值；D.研究锐二面角范围，分析两个极限边界，结合几何连续性得到角度可取区间. 【详解】对于A，取中点，连接，则是的外心， 则由球的截面性质（垂径定理）有平面， 因为，，两两垂直，所以平面， 则，又平面，平面，故平面； 对于B，把四面体补成长方体，球心是长方体中心，则平面、平面对应长方体的两个对角面，即平面，平面， 只有当长方体是正方体时对角面才垂直，一般长方体的对角面不垂直，所以平面、平面不一定垂直，故B错误； 对于C， ， 由均值不等式，得，当且仅当时取等号， 所以体积最大值，故C正确； 对于D，当三点均向半球底面（水平面）的大圆靠近时，平面趋近于与水平面平行， 因此平面与水平面所成的锐二面角趋近于，题目限定平面与水平面不平行，故取不到； 取特殊位置：令位于水平面的大圆圆周上，使平面垂直于水平面.在保持两两垂直的约束下，令的长度无限趋近于，即点无限趋近于点，此时平面无限趋近于平面， 而平面垂直于水平面，因此锐二面角趋近于（即），与只能无限靠近，不能重合，因此平面无法完全竖直，故取不到， 由于点的位置连续变化，锐二面角的大小连续取值，因此平面与水平面所成的锐二面角可取遍区间. 非选择题部分 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由点在圆上，且， 则，解得． 所以圆的半径为． 13. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则的最小值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，设出直线方程与抛物线方程联立消元，求出韦达定理即可求解. 【详解】依题意， 因为抛物线的焦点为，所以， ①当斜率存在时：因为直线交抛物线于，两点，所以， 设过的直线的直线方程为：，， 由抛物线定义得：， 由消整理得：， 所以，即， 所以； ②当不存在时，直线为，此时， 所以； 综上可知，的最小值为：9. 故答案为：9. 14. 在，，，中随机选取三个不同的数，则这三个数构成等差数列的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件确定在个数字中随机选取三个不同数的组合数，再根据等差数列项的范围确定公差范围，进而确定构成等差数列的三元组个数，即可得解. 【详解】由已知在，，，中随机选取三个不同的数，其组合数为， 设构成等差数列的三个数从小到大依次为，，，其中，，， 且， 则对于每个公差，的取法有种， 的最大值满足，即， 所以，，，， 因此满足题意的组合共有， 所以满足题意的概率为. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，平分且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，化简并结合同角的三角函数关系即可求得答案； （2）根据等面积法可推出，利用基本不等式可得，即可求得答案. 【小问1详解】 由可知，得，于是， 即，则为锐角，所以 【小问2详解】 即得， ， ，当且仅当时取等号， ，故面积的最小值为 16. 某商店在2026年上半年前5个月的销售额如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售额（万元） 8.2 12.9 17 21.5 25.4 （1）求销售额（万元）关于月份的一元线性回归方程； （2）若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差平方和的大小，判断该非线性回归模型与（1）中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，，. 【答案】（1） （2）记（1）中线性回归方程的残差平方和为， 则， 因为，所以（1）中所求的线性经验回归方程拟合效果更好. 【解析】 【分析】（1）利用题目所给数据和公式代入求得回归方程；（2）计算线性回归方程的残差平方和，并与非线性回归模型的进行比较，残差平方和小的拟合效果好 【小问1详解】 ， ， ， 故销售额关于月份的回归直线方程为 【小问2详解】 略 17. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 【答案】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在等边中，，则. 由（1）知，平面，因为平面，所以. 在中，，则. 在中，，所以. 如图，以为坐标原点，为轴，轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，.，. 设，则，， 所以，即 设为平面的一个法向量， 因为，， 由，得，取，得. 记直线与平面所成角为，则， 所以， 整理得，解得或. 18. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义及导数的运算求解即可. （2）通过参变分离，得到存在，使得成立；构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. （3）通过参变分离，构造函数，，，根据导数与单调性及最值的关系得到；令，结合，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【小问1详解】 当时，，于是. ，于是， 所以函数在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 存在，使得成立，即存在，使得， 也即存在，使得成立. 令，则. 令，则， 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得， 而. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 于是 令，则. 当时，，单调递增，而， 故，则. 令，则，于是，，且. 故. 令，则. 令，则，故单调递增， 于是，故，在单调递增. 又，于是. 综上，. 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，正方形的面积为6，.对椭圆上不与，重合的任意点，定义其对应的“对偶直线”如下：设直线交直线于点，直线交直线于点，直线定义为. （1）求椭圆的方程； （2）记点，，到直线的距离分别为，，，求的最大值； （3）平面上是否存在一个定点，满足：对正方形边界上的任一点，总存在椭圆上的两个不同的点，使得直线经过点，且对偶直线与相交于定点.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在， 假设存在定点，满足题目要求； 对于椭圆上异于点的另一点，则， 记直线与的交点坐标为，则， 因此直线同时经过点，此即为直线方程. 对于线段上的任一点，因为直线经过点，所以， 故对给定的点S，直线与的交点一定落在直线上，该直线方程变形得， 令，因此该直线一定经过点， 因此若存在定点，则点坐标只可能为 同理，对于线段上的任一点，可得此时直线与的交点一定落在直线， 但点不一定落在该直线上，与假设矛盾，故不存在. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆和正方形的性质建立方程求解； （2）利用点表示出，，，注意利用点是线段的中点，计算，并根据最终代数式求得最大值； （3）利用反证法，假设存在定点，分别讨论在正方形各边上时点的坐标，推出矛盾 【小问1详解】 因为椭圆长轴，所以， 因为正方形的面积为，所以其边长为，则其对角线，所以， 所以，故椭圆的方程为 【小问2详解】 设点，因为点是椭圆上异于，的点，所以，且，； 直线的方程为，可得； 直线的方程为，可得； 故直线的斜率， 由得，故， 故直线的方程为，化简得， 故 所以， 设原点 到直线距离为，则 因为点是线段的中点，所以， 因此，当时取到最大值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $