浙江省杭州第二中学2026-2027学年第一学期开学适应性检测高三数学试卷

杭二中高三年级2026学年第一学期开学适应性检测 数学试卷 命题：高三数学备课组 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数满足，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 2．设全集，，则（ ） A． B． C． D． 3．若，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知是函数的极值点，则（ ） A．2 B． C．1 D． 5．已知向量，，则“”是“向量，共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D． 8．已知正数，，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．为偶函数 B．，有 C．的值域为 D．，不等式恒成立 10．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为菱形，，分别是，的中点，在上，且，则在四棱锥中，下列说法正确的是（ ） A． B． C．平面 D．若上一点在平面内，则 11．已知曲线：，下列结论正确的是（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线构成的封闭图形面积小于的面积 C．曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2 D．曲线的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列是等比数列，若，，则 ． 13．已知，，若且，则 ． 14．对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 在中，角、、所对的边分别为，，，满足． （1）求； （2）若，，求的周长． 16．(15分) 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且． （1）求证：直线 （2）若，且三棱锥的体积为．求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17．(15分) 已知椭圆，点为椭圆的右焦点，过点作直线交曲线于、两点，当直线与轴垂直时，． （1）求曲线的方程； （2）若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ii）若，求的面积． 18．(17分) 甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”， 败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （1）求丙获得第四名的概率； （2）求甲获得冠军的概率； （3）求乙参与对阵的比赛场数的分布列． 19．(17分) 已知整数数列满足，且对于任意的，均有，其中为的 平均数． （1）求的所有可能取值； （2）若正整数，满足，证明：； （3）在所有满足要求的数列中，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $