13.2.1三角形的边（分层作业，11大题型）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到创新探究，覆盖三角形边的核心知识点，适配新授课巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|构成条件、第三边范围、等腰三角形等基础概念|基础题型为主，如选择、填空，巩固对三角形边关系的理解| |B组|三角形边的综合应用|整合多知识点，如三边关系与不等式、等腰三角形计算，提升推理能力| |C组|整数三角形计数、新定义问题|规律探究与创新应用，如“倍高三角形”，发展创新意识与模型观念|

分层作业 13.2.1 三角形的边 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 构成三角形的条件 题型02 确定第三边的取值范围 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 题型04 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 题型05 三角形三边关系求最值 题型06 利用三角形的三边关系化简绝对值 题型07 三角形三边关系的应用 题型08 三角形的稳定性及应用 题型09 三角形的稳定性及四边形的不稳定性 B组 能力进阶 题型 三角形的边·综合应用 C组 思维拔高 题型01 整数三角形的计数与规律 题型02 新定义问题 构成三角形的条件题型01 1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是(     ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得答案． 【详解】解：A．3＋4＝7＜8，不能组成三角形； B．5＋6＝11，不能组成三角形； C．5＋6＝11＞10，能够组成三角形； D．4＋4＝8，不能组成三角形． 故选：C 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数． 【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5； 根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5． 故选：C． 3．（2025·山东滨州·一模）满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三条边的关系．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：A、设a，b，c分别为，，，则有，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； B、当时，，，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形； C、当，，时，，符合三角形的三边关系，故能构成三角形； D、，即，不符合三角形的三边关系，故不能构成三角形． 故选：C． 4．长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 【答案】16或17##17或16 【分析】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得：5，6，，，不能组成三角形； ，11，16，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，，16，，能组成三角形，最长边长度为17； 6，11，，，不能组成三角形； 6，16，，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，11，，，不能组成三角形； 得到的三角形的最长边的长度为16或17． 故答案为：16或17． 5．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 【答案】(1)这个等腰三角形的周长是14 (2)另两边是3.5，3.5或5，2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想是解题的关键． （1）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； （2）分类讨论明确等腰三角形的腰与底边，并验证三边关系求解即可； 【详解】（1）解：①当腰长为2时，则三角形的三边长分别是， ，构不成三角形，故舍； ②当腰长为6时，则三角形的三边长分别是， ， ∴可构成三角形， ∴三角形的周长． 答：这个等腰三角形的周长是14； （2）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12， ∴当5为底时，其它两边都为3.5、3.5，5、3.5、3.5可以构成三角形； 当5为腰时，其它两边为5和2，5、5、2可以构成三角形． ∴另两边是或． 确定第三边的取值范围题型02 1．在△ABC中，三边长为9、10、x，则x的取值范围是（ ） A．1≤x＜19 B．1＜x≤19 C．1＜x＜19 D．1≤x≤19 【答案】C 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得10﹣9＜x＜10+9，求出x的取值范围即可. 【详解】解：由题意得：10﹣9＜x＜10+9， 解得：1＜x＜19， 故答案为C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，解题关键是熟记三角形三边关系定理. 2．（24-25上·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴x为8、9、10， ∴这样的三角形个数为3． 故选：C． 3．（24-25八年级上·黑龙江富锦·月考）如图，数轴上，两点到原点的距离分别是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 直接利用数轴得出三角形的两边长，进而得出第三边取值范围，进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得：A到原点距离为2，B到原点距离为5， ∵数轴上A、B两点到原点的距离是三角形两边的长， ∴设该三角形第三边长为x， 则x的取值范围是：， ∴． 故选：B． 4．已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值，即可求出周长． 【详解】解：∵a，b满足， ∴，， 解得， ∵，， ∴， 又∵c为奇数， ∴或或 ∴当时， 当时， 当时， 的周长为或或． 故答案为：或或． 5．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 三角形的三边关系与等腰三角形题型03 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的一边长是5，则另两边长不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构成三角形的条件，根据任意两边之和必须大于第三边，对于等腰三角形的一边为5，另两边需满足此条件，逐一判断，即可求解． 【详解】解：选项A：，不满足两边之和大于第三边，∴ 不能组成三角形； 选项B：，且，成立； 选项C：，且，成立； 选项D：，成立； 故选：A． 2．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 3．已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ____________． 【答案】10或11 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，由于未说明两边哪个是腰，故分情况讨论，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3，底为4时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 等腰三角形的腰长为4时，底为3时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：10或11． 4．（24-25上·辽宁葫芦岛·月考）已知中，，，且的长为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)16 (2) 等腰三角形，理由如下： 由（1）可知， 为等腰三角形． 【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和． （1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据ACAC为奇数，确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：在中，根据三角形三边关系得： 即． 的长是奇数 ． 的周长为16． （2）略 5．在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边，等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系列出关于m的不等式，然后求解作答即可； （2）分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． （2）解：∵是等腰三角形， ∴或（舍去）， ∴的周长为， 故答案为：． 根据三角形的三边关系求字母的取值范围题型04 1．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个． 【详解】解： 解不等式①，可得x＜2a， 解不等式②，可得x≥4， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴a＞， 又∵存在以3，a，5为边的三角形， ∴2＜a＜8， ∴a的取值范围是3＜a＜8， ∴a的整数解有4、5、6、7共4个， 故选：B． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）若在中，，，．则的取值范围是_________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于a的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为： 3．一个三角形的3条边长分别为，，，它的周长不超过39cm，则的取值范围________． 【答案】 【分析】将三条边长对应的代数式加在一起，和小于等于39，同时三角形两边之和应大于第三边，列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题可得 分别解两个不等式得到x≤14，x＞3 ∴x的取值范围是 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题关键在于利用好三角形三边关系这个隐含条件． 4．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值． 【答案】的值为或或 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进而确定的值即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，且x为奇数， ∴，即：， 则的值为或或． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解决问题． 例题：解一元二次不等式． 解：∵， ∴． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①解不等式组①，得， ②解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或； 问题： （）求关于x的两个多项式的商组成的不等式的解集； （）若，是（）中解集x的整数解，以a，b，c为为边长，c是中的最长的边长，①求c的取值范围：②若c为整数，求这个等腰的周长． 【答案】（）； （）①或；②10或11或13或14或15． 【分析】（1）利用不等式得到①，②，进而求出即可； （2）根据（1）中所求，得出a，b的值，再求c，进而求出这个等腰△ABC的周长即可． 【详解】（）∵， ∴由“两数相除，异号得负”，有： ①解不等式组①得：； ②解不等式组②得：无解； ∴原不等式的解集为； （）①的解集的整数解， ∴或或； ∵是的最大边， 当时，； 当时，； 当时，； ②当时， ∴或， ∴或； 当时，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴； 当时 ∴， ∴， ∴或或． 综上所述，等腰的周长为10或11或13或14或15． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和三角形三边关系等知识，利用已知得出分式中分子与分母的关系是解题关键．解第（2）问时注意分类讨论． 三角形三边关系求最值题型05 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）一个三角形的两条边长分别是和，则另一条边最长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，注意第三边必须满足严格不等式，不能取等号； 根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【详解】解：设第三边长为 ∵ 三角形两边之和大于第三边， ∴ ∴ 又∵ 两边之差小于第三边， ∴ ∴ ∴ 的取值范围为 因此， 最大小于 13，故最长边为 故选：C. 2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框形状不限，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为，，，，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．本题考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键． 【详解】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7； ①选、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7； ②选、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9； ③选、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而，不能构成三角形，此种情况不成立； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9． 故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西延安·月考）如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形三边的关系求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边的关系可得， ∵，， ∴，即， ∵A、B间的距离长度为偶数， ∴A、B间的最大距离是， 故答案为：10． 4．已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 【答案】（1）等边三角形；（2）最大值13，最小值11 【分析】（1）根据完全平方式的非负性即可得出结果； （2）根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵a＝5，b＝2，且c为整数， ∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7， ∴c＝4，5，6， ∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5＋2＋4＝11； 当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5＋2＋6＝13． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，三角形三边关系等知识点，熟知相关知识是解题的关键． 5．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 【答案】(1)的最大值是25，最小值是5 (2) 【分析】此题考查了三角形的三边关系及不等式的应用，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件． (1)最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长； (2)当x大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据(1)中的最大值和最小值即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为A、、、． ， 要求的最小值，即将绕点顺时针方向旋转，使其与共线； 将绕点逆时针方向旋转，使其与共线， 即四点从左到右依次为、A、、． ． 综上，的最大值是25，最小值是5． （2）解：由（1）可知，要围成四边形，则的取值范围为． 利用三角形的三边关系化简绝对值题型06 1．若a、b、c是三角形的三边，则____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系、绝对值化简，根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质进行求解即可． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 2．已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝___． 【答案】8 【分析】根据三边关系得到x的取值范围，再化简. 【详解】∵三角形的三边长分别是3、x、9， ∴6<x<12， ∴x−5>0，x−13<0， ∴|x−5|+|x−13|=x−5+13−x=8， 故答案为8. 【点睛】本题考查三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．（24-25七年级下·宁夏·期中）若、、分别为三边，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 【详解】解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：． 【答案】 【分析】本题主要查了三角形的三边关系，绝对值的化简，整式的加减运算．根据三角形的三边关系，可得，，，再根据绝对值的性质，整式的加减运算解答，即可求解． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴，，， ∴ 5．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)的周长为11或13 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， 由于c是偶数，则或6， 当时，的周长为， 当时，的周长为． 综上所述，的周长为11或13． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 三角形三边关系的应用题型07 1．（24-25八年级上·新疆·期末）学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（   ） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； B、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； C、，，能构成三角形，则此项能搭建一个三角形木架，符合题意； D、，不能构成三角形，则此项不能搭建一个三角形木架，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·期末）学校手工社团要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 设第三边长为，根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵已有两根长度和的木条， 设第三边长为， 根据题意得， ∴ ∴可选用的是． 故选：C． 3．若的周长为16，则的长可能为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系、求不等式的解集，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 由题意得，再利用三角形两边之和大于第三边，确定的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵的周长为16， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长可能为7． 故选：A． 4．如图湖泊对岸的凉亭和到大门的距离分别是30m和20m，则的长可能是________m（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：由题意得：，即； 在区间内， ∴的长可能是， 5．（24-25七年级下·河南驻马店·联考）某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 【答案】(1)有三种规格的钢管可供选择 (2)元 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，有理数四则混合运算的应用，熟记：“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系即可求解； （2）根据等腰三角形定义以及三角形三边关系求出第三边长，进而可求解． 【详解】（1）解：已经购买的两根钢管的长度是和，根据三角形的任意两边之和大于第三边， ，即， 有三种规格的钢管可供选择； （2）三角形底座为等腰三角形， （不符合题意，舍去），， 总费用为（元）． 三角形的稳定性及应用题型08 1．（25-26八年级上·云南昆明·月考）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由题意，应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形， 由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列设计中，没有利用三角形稳定性的是（   ） A．伸缩晾衣架 B．三角形房架 C．自行车的三角形车架 D．长方形门框的斜拉条 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．利用三角形的稳定性求解，即可解题． 【详解】解：伸缩晾衣架是利用了四边形的不稳定性，B、C、D都是利用了三角形的稳定性． 故选：A． 4．如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】学校门口设置的移动拒马做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案． 【详解】解：学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，掌握“三角形具有稳定性”是解本题的关键． 5．如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性“如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性”，熟练掌握三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性求解即可得． 【详解】解：工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．这样做的道理是三角形具有稳定性． 三角形的稳定性及四边形的不稳定性题型09 1．要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 2．（25-26七年级下·河南南阳·月考）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出图形只被分割成了三角形的选项即可． 【详解】解：对于选项A，两个四边形不具有稳定性，所以A选项符合题意； 对于B选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以B选项不符合题意； 对于C选项，如下图，三角形将原四边形的两条邻边,固定住，所以,,三点也是相对固定的，所以C选项不符合题意； 对于D选项，如下图，四边形分成了两个三角形，所以它具有稳定性，所以D选项不符合题意． 3．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上_____根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 4．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．    【答案】 如图所示： 【详解】试题分析：根据三角形具有稳定性进行画图即可．    5．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 三角形的边·综合应用题型 1．已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、三角形三边关系等知识点，确定第三边的范围是解本题的关键． 根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，再表示在数轴上即可． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为，即，表示在数轴上为： ． 故选C． 2．有4根细木棒，长度分别为1，2，3，4，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是______． 【答案】 【分析】首先利用列举法求得从中任取3根的所有等可能的情况与从中任取3根恰好能搭成一个三角形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：从1，2，3，4的四根木棒任取3根的所有可能性有：1，2，3；1，2，4；1，3，4；2，3，4共4种情况； 从中任取4根恰好能搭成一个三角形的有：2，3，4共1种情况； 从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 3．（24-25七年级下·上海·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南 信阳·月考）已知的三边长均为整数，的周长为奇数． (1)若，，求的长； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)7或9 (2)6 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系确定的取值范围，再结合周长为奇数这一条件确定的具体值． （2）先根据已知条件得出和的奇偶性，再结合三角形三边关系以及周长为奇数的条件确定的最小值． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴ ，即， ∵ 的三边长均为整数，周长为奇数，（偶数），（偶数）， ∴ 为奇数， ∴ 或； （2）解：∵ （奇数），的三边长均为整数， ∴ 与一个是奇数，一个是偶数， ∵为奇数， ∴ 为偶数， ∵，， ∴ ， ∴ 的最小值为6． 5．（24-25八年级上·重庆·月考）已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为______． 【答案】30 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、一元一次不等式组的整数解等知识点，由不等式组解集的条件和三角形的三边关系得到a的范围是解题的关键． 由不等式组至少有2个整数解和三角形的三边关系得到a的范围，进而确定所有符合条件a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∵不等式组至少有2个整数解 ∴，即 ∵存在以，，为边的三角形 ，即 ∴满足条件的a的整数解是， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：30． 6．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 先求方程组的解，再分腰长为2，底边长为4时，腰长为4，底边长为2时，两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当腰长为2，底边长为4时，则三角形三边为2，2，4，不能组成三角形，不符合题意； 当腰长为4，底边长为2时，则三角形三边为4，4，2，能组成三角形，符合题意， ∴三角形的周长为， 故选B． 整数三角形的计数与规律题型01 1．（三角形三边长）三边长都是整数且周长为10的三角形共有__________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 先确定三边取的值为，再根据周长为10，且满足三角形三边关系那么只有2个． 【详解】解：由题意得三角形的各边必定小于5， 则能取的值为， 满足周长为10， 则符合三角形三边关系的只有和，共2个， 故答案为：2． 2．如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有______个 【答案】5 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，则，再分，，和四种情况，求出对应情况下a的值，进而求出对应的周长即可得到答案． 【详解】解：∵a、b、c是一个三角形的三边长，， ∴， 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7或8， ∴此时该三角形的周长为或或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值可以为6或7， ∴此时该三角形的周长为或； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴a的值为6， ∴此时该三角形的周长为； 当时，， ∴， 又∵a是正整数， ∴此时不符合题意； 综上所述，该三角形的周长可以为13或14或15或16或17，共有5个不同的值， 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 4．（2025·安徽滁州·三模）问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 【答案】探究二（2）1，2，2；问题解决：，，，；问题应用： 【分析】探究二（2）仿照探究一中的方法，将木棒分成相等的两部分和另一部分，利用三角形成立的条件进行判断即可； 问题解决：从两个表格中总结出规律填表即可 问题应用：用2025和4的倍数关系，结合问题解决中的规律即可解答． 【详解】解：探究二（2）①用8根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成1种等腰三角形， 当时，． ②用9根相同的木棒搭一个三角形， 即分成1根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． ③用10根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． 填表如下： 7 8 9 10 2 1 2 2 问题解决：由规律可知， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、6、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 填表如下： 问题应用：， 用2025根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是基本作图及等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及三角形成立的条件． 5．问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 _______ _____ 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有___________个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有__________个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个． 【答案】 问题探究： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 3 ，， 3 3个3 问题解决： 问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295 【分析】问题探究： 根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可； 问题解决： （1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数； （2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可； （3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案； 拓展延伸： 分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案. 【详解】解：问题探究： 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 3 ，， 3 3个3 问题解决： （1）最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以最长边长为6的三角形有：个， 故答案为： （2）由（1）得： 最长边长为1的三角形有：个， 最长边长为3的三角形有：个， 最长边长为5的三角形有：个， 所以当为奇数时，整数边三角形个数为； 最长边长为2的三角形有：个， 最长边长为4的三角形有：个， 最长边长为6的三角形有：个， 所以当为偶数时，整数边三角形个数为. （3）当最长边长时，为偶数， 可得此时的三角形个数为： 故答案为： 拓展延伸： 当9是底边的棱长时， 最长边长为9的三角形个数有：个， 而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9， 所以这样的直三棱柱共有：个， 当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8， 底边三角形共有：个， 所以这样的直三棱柱共有：个， 综上，满足条件的直三棱柱共有个. 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生的阅读理解能力，探究规律的方法，并运用规律解决问题，同时考查了立体图形的含义，三角形的三边关系，弄懂题意，掌握探究方法，运用规律的能力都是解题的关键. 新定义问题题型02 1．我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数”________；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为________． 【答案】 2或3 36 【分析】本题主要考查三角形三边关系的知识点，解答本题的关键是理解题干条件：倍高三角形的概念， 根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析；设，，，得，，，得出即当时的周长有最小值，据此求出即可得到答案． 【详解】根据倍高三角形的定义和三角形的三边关系得： 是周长为13， 最长边小于， 各边互不相等且均为整数， 最长边为6，较短两边为2和5或3和4， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， ，或即或3； 设，，， ， ，，， ，， 分子的变化比分母的变化要快， 随着k的增大则随着k的增大周长在增大，周长在增大， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， 当时的周长有最小值， ∴， 周长最小值为， 故答案为： 2或3；36． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 【答案】(1)D (2)22 (3) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）用z表示，，根据三角形三边关系构造不等式组，求得解集，结合定义，求得正整数解即可； （3）根据定义，不等式组的整数解，三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解：A．中，三个数都不是正整数，不符合要求；   B．2，5，8中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求； C．3，3，6中，三个数都是正整数，但是，构不成三角形，不符合要求；       D．2，3，4中，三个数都是正整数，且，构成三角形，符合要求； （2）解： 得，， 得，，即， ∴， 解得 ∵，，构成“和雅三角形”， ∴， ∴， 解得， 又，为正整数， ∴正整数， ∴， ∴， ∴“和雅三角形”的周长为22； （3）解： 由①解得， 由②解得，， ∴， ∵所有整数解中存在“和雅三数组”， ∴不等式组的整数解中必包含5，6，7 ∴， ∴ ∵它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，又， ∴不等式组的最大整数解必小于11， ∴ ∴ ∴的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 13.2.1 三角形的边 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 构成三角形的条件 题型02 确定第三边的取值范围 题型03 三角形的三边关系与等腰三角形 题型04 根据三角形的三边关系求字母的取值范围 题型05 三角形三边关系求最值 题型06 利用三角形的三边关系化简绝对值 题型07 三角形三边关系的应用 题型08 三角形的稳定性及应用 题型09 三角形的稳定性及四边形的不稳定性 B组 能力进阶 题型 三角形的边·综合应用 C组 思维拔高 题型01 整数三角形的计数与规律 题型02 新定义问题 构成三角形的条件题型01 1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是(     ) A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 3．（2025·山东滨州·一模）满足下列条件的三条线段a，b，c能组成三角形的是（   ） A． B．， C．，， D．，， 4．长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 5．（24-25八年级上·广东汕尾·期中）解答下面两个小题： (1)已知等腰三角形的两边长是2和6，求这个等腰三角形的周长． (2)已知等腰三角形的周长是12，一边长为5，求它的另外两边的长． 确定第三边的取值范围题型02 1．在△ABC中，三边长为9、10、x，则x的取值范围是（ ） A．1≤x＜19 B．1＜x≤19 C．1＜x＜19 D．1≤x≤19 2．（24-25上·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·黑龙江富锦·月考）如图，数轴上，两点到原点的距离分别是三角形两边的长，则该三角形第三边的长可能是（   ） A．1 B．4 C．7 D．8 4．已知，，是的三边长，满足，为奇数，则的周长为_____． 5．（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 三角形的三边关系与等腰三角形题型03 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知等腰三角形的一边长是5，则另两边长不可以是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 3．已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ____________． 4．（24-25上·辽宁葫芦岛·月考）已知中，，，且的长为奇数． (1)求的周长． (2)判断的形状，并说明理由． 5．在中，． (1)求m的取值范围． (2)若是等腰三角形，则的周长为 ． 根据三角形的三边关系求字母的取值范围题型04 1．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）若在中，，，．则的取值范围是_________． 3．一个三角形的3条边长分别为，，，它的周长不超过39cm，则的取值范围________． 4．已知三角形的三边长分别为6，10，，且为奇数，试求的值． 5．先阅读理解下面的例题，再按要求解决问题． 例题：解一元二次不等式． 解：∵， ∴． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①解不等式组①，得， ②解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或； 问题： （）求关于x的两个多项式的商组成的不等式的解集； （）若，是（）中解集x的整数解，以a，b，c为为边长，c是中的最长的边长，①求c的取值范围：②若c为整数，求这个等腰的周长． 三角形三边关系求最值题型05 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）一个三角形的两条边长分别是和，则另一条边最长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框形状不限，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为，，，，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西延安·月考）如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取了一点P．分别测得，，若A、B间的距离长度为偶数（单位：），那么A、B间的最大距离是________． 4．已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 5．（24-25八年级上·河南周口·月考）如图、用钉子把木棒和分别在端点、处连接起来，、可以转动．用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是． (1)若，试求的最大值和最小值； (2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出的取值范围吗？ 利用三角形的三边关系化简绝对值题型06 1．若a、b、c是三角形的三边，则____________． 2．已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝___． 3．（24-25七年级下·宁夏·期中）若、、分别为三边，化简：． 4．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：． 5．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为偶数．求的周长． (2)化简：． 三角形三边关系的应用题型07 1．（24-25八年级上·新疆·期末）学校马师傅为了绿化校园工作，需要搭建一个三角形木架，他去库房取了三根木条，请你帮他选择以下选项中哪三根木条能够完成搭建工作（   ） A．3，10，6 B．2，5，8 C．3，4，5 D．1，5，6 2．（25-26八年级上·期末）学校手工社团要制作三角形相框，已有两根长度和的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（    ） A． B． C． D． 3．若的周长为16，则的长可能为（   ） A．7 B．8 C．10 D．11 4．如图湖泊对岸的凉亭和到大门的距离分别是30m和20m，则的长可能是________m（写出一个即可） 5．（24-25七年级下·河南驻马店·联考）某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 三角形的稳定性及应用题型08 1．（25-26八年级上·云南昆明·月考）如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会应用这种三角形支架，原理是（ ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 2．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列设计中，没有利用三角形稳定性的是（   ） A．伸缩晾衣架 B．三角形房架 C．自行车的三角形车架 D．长方形门框的斜拉条 4．如图，学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形，这样做的数学原理是________． 5．如图，工人师傅在安装木制门框时，为了防止门框变形，常常先在门框上钉上两个斜拉的木条．请说明这样做的道理 三角形的稳定性及四边形的不稳定性题型09 1．要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·月考）劳动实践课上，小明用4根木棒钉成一个四边形木架，它容易变形，现需增加一根木棒，使其具有稳定性，则下列做法不能使其具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上_____根木条． 4．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．    5．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 三角形的边·综合应用题型 1．已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有4根细木棒，长度分别为1，2，3，4，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是______． 3．（24-25七年级下·上海·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 4．（25-26八年级上·河南 信阳·月考）已知的三边长均为整数，的周长为奇数． (1)若，，求的长； (2)若，求的最小值． 5．（24-25八年级上·重庆·月考）已知关于的不等式组至少有2个整数解，且存在边长为，，的三角形，则所有满足条件的整数的值之和为______． 6．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．6或12 整数三角形的计数与规律题型01 1．（三角形三边长）三边长都是整数且周长为10的三角形共有__________个． 2．如果三角形三边长分别是正整数a，b，c，且，则满足条件且周长彼此不同的三角形共有______个 3．（24-25七年级下·四川成都·期末）从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 4．（2025·安徽滁州·三模）问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 5．问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．） 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 1 2个1 2 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 1 2个2 2 ， 2 3 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 1 3个2 2 ， 2 3 ， 2 4 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 1 ___ ___ 2 ， 2 3 _______ _____ 4 ， 2 5 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有___________个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有__________个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个． 新定义问题题型02 1．我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数”________；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为________． 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）若三个正整数，，恰好能够构成一个三角形的三条边，则称这三个正整数，，构成“和雅三数组”，构成的三角形叫做“和雅三角形”． (1)下列各组数中，能构成“和雅三角形”的是（    ） A．       B．2，5，8        C．3，3，6        D．2，3，4 (2)已知，，构成“和雅三数组”，且满足，试求构成“和雅三角形”的周长； (3)已知关于的不等式组的所有整数解中存在“和雅三数组”，且它的任意三个整数解都能够构成“和雅三数组”，试求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $