专题10 圆（5年汇编）（吉林专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦吉林中考圆专题，整合2022-2026年5年真题及1年模拟，覆盖圆周角、切线判定等4大核心考点，突出考情分析与命题规律。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|高频考点2-6分|圆周角定理、弧长公式|结合网格作图（如格点找D点）、实际情境（车轮转角求弧长）| |解答/证明|5-8分（切线判定为主）|切线性质、最小覆盖圆|探究性问题（如矩形最小覆盖圆）、综合几何证明（结合勾股定理）|

专题10 圆 5年真题1年模拟 考点分类 吉林考情（2022-2026） 命题规律 考点01圆周角 5 年 5 考；选择、填空、解答均有，分值 26 分。 圆板块核心高频考点；考查圆周角定理、同弧 / 等弧圆周角相等、直径所对圆周角为直角；常结合圆心角、三角形内角求角度，常与全等、勾股定理综合。 考点02 点、直线、圆的位置关系 5 年 4 考；以解答证明题为主，偶见填空，分值 58 分。 重点考查切线的判定与性质；切线证明两大思路：连半径证垂直、作垂直证半径；常结合勾股定理求线段长度；点与圆位置关系多为基础小题。 考点03 正多边形和圆 5 年 2 考；填空、选择题，分值 23 分。 属于基础小题；考查正多边形中心角、半径、边心距的计算；一般不考大题，常结合圆的半径求解边长，计算量不大。 考点04 弧长和扇形面积 5 年 4 考；填空、选择为主，分值 24 分。 直接套用弧长公式、扇形面积公式；部分考题会结合阴影面积计算，采用割补法；偶尔与旋转结合命题，公式记忆是得分关键。 考点01 圆周角 1．（2026·吉林·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 2．（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】(1) 如图，点即为所求： (2) 如图，即为所求： 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 3．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】解：如图：连接， ∵是的中点， ∴, ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 4．（2023·吉林·中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 5．（2022·吉林长春·中考真题）如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（    ）    A．138° B．121° C．118° D．112° 【答案】C 【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键 6．（2022·吉林·中考真题）如图，在半径为1的上顺次取点，，，，，连接，，，，，．若，，则与的长度之和为__________．（结果保留）．    【答案】/ 【分析】由圆周角定理得，根据弧长公式分别计算出与的长度，相减即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 又的半径为1， 的长度= 又， ∴的长度= ∴与的长度之和=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键． 考点02 点、直线、圆的位置关系 7．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． 【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：在上，证明如下： ∵，为的中点， ∴， ∴在上； 拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆， （2）； （3）； 【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案； 探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； 拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可； （2）结合矩形性质与勾股定理计算即可； （3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可. 【详解】解：探究一： 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边． 故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边； 探究二：略 拓展应用：（1）略 （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键. 8．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和． 【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D， ∴轴，轴， ∵半径为1， ∴， ∴A点的纵坐标为1， 把代入，求得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴第一象限中阴影的面积， 同理，第三象限中阴影的面积， ∴． 故答案为：． 9．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 10．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画出四边形的一条对称轴． (2)在图②中，画出经过点E的的切线． 【答案】(1)如图： (2)如图： 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等： （1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； （2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点； （2）解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求； 易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则． 11．（2023·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点， 依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设， ∴， 则， 又∵，， ∴ ∴（负值已舍去） 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 12．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 考点03 正多边形和圆 13．（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米． 【答案】54 【分析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解． 【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图， ∵六边形MNGHPO是正六边形， ∴∠GNM=∠NMO=120°， ∴∠FNM=∠FMN=60°， ∴△FMN是等边三角形， 同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形， ∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE， ∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE， ∵等边△ABC≌等边△DEF， ∴AB=DE， ∵AB=27cm， ∴DE=27cm， ∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm， 故答案为：54． 【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键． 14．（2022·吉林·中考真题）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身重合，则角可以为__________度．（写出一个即可） 【答案】60或120或180或240或300（写出一个即可） 【分析】如图（见解析），求出图中正六边形的中心角，再根据旋转的定义即可得． 【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角， ， 角可以为或或或或， 故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、图形的旋转，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 考点04 弧长和扇形面积 15．（2026·吉林·中考真题）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 16．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键． 由旋转的性质可得,即，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答． 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 17．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 18．（2023·吉林·中考真题）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为_________．（结果保留）    【答案】 【分析】利用弧长公式直接计算即可． 【详解】∵半径，圆心角， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键． 19．（2022·吉林长春·中考真题）将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点.若厘米，则的长度为________厘米．（结果保留） 【答案】/ 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，即，熟练掌握知识点是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 2．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 3．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 4．（2026·吉林·模拟预测）如图，的直径平分弦（不是直径）．若，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 5．（2026·吉林长春·一模）随着我国电子技术的高速发展，全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶．如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为__________平方米（结果保留）． 【答案】 【详解】解：该可视区域形成的扇形面积为（平方米）． 6．（2026·吉林延边·二模）如图，是苏州园林中一处花窗月洞的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，点、点、点在圆上，，垂足为点，月洞底部长为，已知此圆的半径为，则花窗月洞的最大高度________． 【答案】9 【分析】连接，则，由垂径定理求出，利用勾股定理求出长，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 是的半径、， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即花窗月洞的最大高度． 7．（2026·吉林松原·三模）自行车的示意图如图所示，其中，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积为_______________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出两个扇形的圆心角之和，再求出扇形的半径，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴ 两个扇形的圆心角之和为， ∵车轮直径为， ∴半径． ． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 9．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，是的直径，是的切线，点B为切点．连接交于点D，连接，若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】根据切线的性质得出，进而得到．在中利用直角三角形两锐角互余求出的度数，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：是的切线，是的直径， ， ． ， ， ∴． 10．（2026·吉林白山·二模）在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】/ 【分析】首先求出，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 11．（2026·吉林·模拟预测）如图， ，以的半径为边作矩形 ，且点B、C均在外．点B关于直线 的对称点为D，点D落在上，连接 ， ， ，与交于点E．给出下面四个结论： ① ；②弧的长度为；③；④的面积为． 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，可得 ， ， ，结合点 在 上可得 ，进而推导出 和 的形状及角度关系，求出 ，从而对四个结论逐一进行判断． 【详解】解：四边形 是矩形， ， ，， ， ． 点 关于直线 的对称点为 ， ， ，，，，． 结论①正确； 点 在 上， ． ， ． 设 ，则 ， ． ． ． ． 在中， ， ． ∵ ， ， ， 解得 ． ，． ． 弧 的长度为 ． 结论②正确； 在 中， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴结论③错； ∵， ∴是等边三角形， 的面积为， ∴结论④正确， 综上，正确的结论有①②④． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）如图， 中，，以AB为直径的交BC于D，OD的延长线交AC的延长线于E，， ．给出下面四个结论： ①； ② ； ③； ④点C是AE的中点． 上述结论中，正确的结论的序号有_________． 【答案】①②④ 【分析】根据余角的性质证明即可判断①；证明，得出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可判断②④；根据，得出，证明，得出，即可判断③ 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，故③错误； ∵， ∴； ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论为①②④． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，矩形的顶点 、在上，边和交于点 ，边和相切于点 ，为的直径，连接 、 、 ， 和交于点 ，给出下面四个结论： ①点是边的中点； ②平分 ； ③； ④当时，是等边三角形； 上述结论中，正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【分析】连接，根据切线的性质及矩形性质证明，结合为中点利用平行线分线段成比例定理判断①；由得，由平行线的性质及等量代换可判断②；利用及相似三角形对应边成比例计算判断③；利用相似三角形判定及性质证明，结合垂径定理及特殊角三角函数值判断④． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点 ， ， 四边形是矩形， ， ∴， ∴， 为的直径， 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 为的中点，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ， 即平分 ，故②正确； 为直径， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，③故错误； ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ，即， ∵是直径， ∴垂直平分， ， 在 中，， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 14．（2026·吉林长春·一模）如图，在中，，的平分线交于点，为边上的一点，，以点为圆心、的长为半径作．给出下面四个结论： ①； ②为的切线； ③； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①②③ 【分析】过点D作于F，根据和角平分线的性质可判断①正确；得到，从而证得是的切线，可判断②正确；证明，进而得证，再由，可知，可判断③正确；求得，即可得到，可判断④错误． 【详解】解：过点作于，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴，①正确； ∵， ∴， ∴是的切线，②正确； 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 即，③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，④错误． 15．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，为半圆的直径，、分别切于、两点，切于点，与相交于，与相交于，连接、，下列结论正确的是___________． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】利用切线长定理和等量代换即可求出①的答案；利用切线的性质得到条件证三角形全等；得到和，根据四个角之和为从而解出答案；直接套用梯形面积公式，进行等量代换求出答案；利用三角形相似对应边成比例进行求解． 【详解】解：∵、分别切于、两点，切于点， ∴， 又∵， ∴，①正确； 连接，如图所示： ， 在和中，， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴，②正确； ， ∵，， ∴，③正确； ∵切于点， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，④错误； 综上，正确的结论有①②③． 16．（2026·吉林松原·三模）如图，扇形纸片的半径，．将该扇形纸片对折，使得和完全重合，折痕与交于点C，然后展平纸片；再沿过点C的直线折叠扇形纸片，使点B与点O重合，折痕与交于点D，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】判断出阴影部分的面积与的面积是相同的，均为扇形减去弓形面积，得为等边三角形，由勾股定理求出的长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 观察图象，可知阴影部分的面积与的面积是相同的，均为扇形减去弓形面积， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（2026·吉林通化·模拟预测）如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，，于点，，，且点是弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】连接、，得，求出，，过点作于点，得四边形是矩形，分别求出，再根据求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 连接、，如图， ∵， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与半圆交于点，即是半圆的切线， ∴，即， 过点作于点，则， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴ 同理,是等腰直角三角形， ∴， ∴ ． 三、解答题 18．（2026·吉林松原·模拟预测）数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信息一 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线．    信息二 如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为．弦，过点O作于点K，连接．若，则以KB为半径的圆的周长是北纬纬线的长度． 信息三 参考数据：取3，，， 根据以上信息，求北纬的纬线的长度？（结果保留整数） 【答案】约为 【分析】由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解： ， ． ∵ ∴在中，，， ∴北纬纬线的半径： ∴ 答：纬线长度约为． 19．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，，以为直径作交于点．点为上一点，连接并延长与的延长线交于点，连接，．若，，解答下列问题． (1)直接写出的度数． (2)求证：直线是的切线． 【答案】(1) (2)证明：，， ∴． 又∵在中，， ∴． ∴，即． 又∵是直径， ∴直线是的切线． 【分析】（1）由圆周角定理可得，再由直角三角形锐角互余以及同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）由三角形的外角性质得到，再证明是等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）略 20．（2026·吉林·模拟预测）如图，在中，点分别是半径和的中点，点在上，连接，且． (1)求证：． (2)若，且，则劣弧的长为________．（结果保留） 【答案】(1)证明：∵分别是半径、的中点， ∴， ∵同圆中半径相等，即， ∴， 又∵，， ∴． (2) 【分析】（）利用同圆半径相等及中点定义得，结合已知与公共边，用证明两三角形全等； （）先利用垂直和中点条件，在直角三角形中求出圆心角的一半为，再结合全等三角形性质得到整个圆心角，最后代入弧长公式算出劣弧的长度． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵由是中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心角， ∴根据弧长公式，代入， 得劣弧长：． 21．（2026·吉林·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，过点A作直线交的延长线于点D，使得________，请从“①；②”中任选一个条件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： (1)题干横线上所填序号为：_______． (2)求证：为的切线； 【答案】(1)①（或②） (2)见解析 【分析】（1）任选其中一个条件即可； （2）选择条件①：利用直径所对的圆周角是直角这一性质，结合等腰三角形的性质进行角度转换，从而证明，从而得证结论；选择条件②：根据圆周角定理可得，从而得到，从而得证结论． 【详解】（1）解：①（或②）； （2）证明：选择条件①： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 选择条件②：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 22．（2026·吉林·二模）如图，是上两点，为延长线上一点，且．求证：直线与相切． 【答案】证明：， ，， ， ， 即， ， ∵点在圆上， ∴直线与圆相切. 【分析】根据等边对等角证明，，根据切线的判定定理证明，即，即可得证结论． 【详解】略 23．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图①中，画出的圆心O； (2)在图②中，画出直径； (3)在图③中，画出弦的中点M． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了圆周角为所对的弦为直径等知识． （1）根据网格直接选点作答即可； （2）连接，延长交于点D，问题得解； （3）根据网格直接选点作答即可． 【详解】（1）解：直接选取网格点O， 即点O是的圆心O； 证明：根据网格图可知：，即是直径，则的中点即为圆心． （2）连接，延长交于点D， 直径即为所作； （3）直接选取网格点M， 即点M是弦的中点． 24．（2026·吉林长春·模拟预测）【定理呈现】 如图①，在圆中，弦 相交于点，小明经过探究发现如下结论： ，我们称这个结论为相交弦定理， (1)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程． 证明：如图②，连接 【定理应用】 (2)如图③，在圆中，弦 相交于点，， ，，求线段的长； 【拓展提升】 (3)如图④，在圆中，，，过点作线段与圆交于点 ，直接写出的最小值 ___________． 【答案】(1)∵ ， ∴ ， ， ． (2) (3) 【分析】（1）连接，由同弧所对圆周角相等得 ，，证，利用相似三角形对应边成比例得 ． （2）设 ，则 ，由相交弦定理 ，代入 得，解得，故． （3）由相交弦定理得为定值，当时，即时最小，由得，故的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：设，由得， 由相交弦定理得，， 代入得，， 化简得： ，即， ， ∴ ， （3）解： ， ， 由相交弦定理得， ，即为定值， 如图，过作垂足为， 则， 为半径是定值， 当最大时，最小， 当点与点重合时，最大， 此时，即 时，最小， 由 且，得： ，解得， 的最小值为 ． 25．（2026·吉林长春·模拟预测）由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)图①中，画出的圆心O． (2)图②中，在边上找到一点D，使得平分； 【答案】(1)解：如图，点O即为所求： (2)解：如图，点D即为所求： 【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出中点即可得到圆心； （2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D． 【详解】（1）图略. 理由：∵为 ∴为直径， ∵ ∴点O为圆心； （2）图略． 理由：∵， ∴， ∴， ∴平分． 26．（2026·吉林长春·一模）【问题背景】如图①，、是⊙的半径，且，点、分别为、的中点，点为弧上的一个动点，连接、，若，求的最小值． 【问题探究】小明是这样考虑的：如图②，连接，再延长至点，使，连接，通过证明，将转化为，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 解：连接，再延长至点，使，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴． ， ． 解题过程缺失 ， 若使最小，只需最小， ∴当点、、共线时，最小，即最小． (1)请你帮助小明补全上述解题过程． (2)【问题解决】的最小值是________． (3)【拓展提升】如图③，在扇形中，，，，，点为弧上的一个动点，连接、，直接写出的最小值． 【答案】(1)， ， (2) (3)13 【分析】（1）由上文，写出对应线段成比例，得到； （2）因为，将转化为，当点、、共线时，最小，利用勾股定理求出的值； （3）构造相似三角形，使为公共角，且角的两边之比为，依据两个三角形相似得到，当点、、共线时，最小，即最小，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：∴， ∴， （2）解：的最小值，即的最小值， 当点、、共线时，最小， 此时的最小值； （3）解：延长至点，使，连接， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点、、共线时，最小，即最小， 此时， 即的最小值． 27．（2026·吉林长春·模拟预测）如图1，在中，，，，点O在边上，且．以点O为圆心，2为半径在的上方作半圆O，交于点D，E（点D在点E左侧），交于点P．随后，将半圆O沿射线向右平移，设点D平移的距离为x（）． (1)在图1中的长为________； (2)如图2，当边与半圆O相切于点P时，求x的值； (3)已知点M是半圆O上的动点，连接，当最小时，仅用圆规和无刻度的直尺，在图3中作出点O，并求出的最小值； (4)在半圆O沿射线向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)解：如图所示为所求： 最小值为 (4) 【分析】（1）找到劣弧所对的圆心角，在利用公式求解即可； （2）由切线的性质结合直角三角形的性质可得，即可解答； （3）连接，由，可得当且点在线段上时，有最小值，过点作的垂线，垂足为即可，设交半圆O于点，此时有最小值，利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，再求出，即可解答； （4）圆与三角形两条直角边分别相切时，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴； （2）解： 如图，连接， ∵边与半圆相切于点P， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴当且点在线段上时，有最小值， ∴过点作的垂线，垂足为， 作图略； 设交半圆O于点，此时有最小值， ∵，，， ∴， ∴， 由作图知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即两点重合， ∵， ∴，即的最小值为； （4）解：如图，半圆与相切，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得，即，解得， ∵， ∴， ∴半圆与的重叠部分是半圆时，的取值范围是． 28．（2026·吉林长春·模拟预测）如图①，在矩形中，，，连结．点O为射线上一动点（与C不重合），以O为圆心，长为半径作圆，交射线于点Q． (1)求线段的长； (2)当点A在上时，求线段的长； (3)如图②，连结，将沿折叠，得到，连结． ①当取最小值时，的长为______，此时与的位置关系是______； ②当为直角三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)5 (2) (3)①，相切；②或或4或 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）由条件可知当点A在上时，满足，据此借助勾股定理列方程即可求解； （3）①结合构成三角形的条件可得当三点共线时，取得最小值，进而可知与相切；然后由可求出； ②当为直角三角形时，由于直角顶点不确定，因此需要分三种情况进行讨论． 【详解】（1）解： 四边形为矩形，， ，． 在 中，，，由勾股定理，得 ； （2）解：如图1，连接，则 ，． 在 中，由勾股定理，得， ， 解得 ， 线段的长为 ； （3）① 解：，BD与相切．理由： 由沿折叠得到， ， ，． 如图2，连接． 四边形为矩形， ． 由三角形三边关系，可知． 当三点共线时，取得最小值1，如图3所示， 此时，故与相切． 在和中， ． ，即 ， 解得 ， ； ② 解：当为直角三角形时， 的值为或或4或． 理由：设 ，分三种情况讨论： ①当时，由①结论可知； ②当时， 如图4，此时点P在边上，点O在边上， 在中，， ． 在中，，，由勾股定理，得 ，解得． ； 如图5，此时点P在边的延长线上，点O在边的延长线上， 同图4的解题方法可知此时． 在中，，，由勾股定理，得 ，解得． ； ③当时，如图6． ， 四边形为矩形． ， 四边形为正方形， ． 综上，线段的长为或或4或. 【点睛】在动态问题中，说明一个三角形是直角三角形通常有两种方法，一种是利用勾股定理；另一种是利用相似．对于本题，同学们可以尝试一下哪种情况可以利用相似来求解． 29．（2026·吉林长春·二模）解答下列各题： (1)【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． (3)如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补，，． (2)①，② (3) 【分析】（1）根据翻折的性质以及圆内接四边形对角互补，完成填空； （2）①作线段的垂直平分线交于点； ②连接，根据勾股定理求得，进而求得，求得，进而求得的长； （3）过点作于点，连接，根据垂径定理，勾股定理求得的长，根据得出在为圆心，为半径的圆上运动，则的最小值为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）②如图，连接， 由（1）可得 ∵， ∴ ∵为直径 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中， 由（2）可得， ∴在为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最小值为 30．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，是半圆O的直径，．点C是半圆O上一动点，连结、、，过点A作直线的垂线，交直线于点D． (1)求的大小； (2)求证：； (3)当时，求的值； (4)当与相似时，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． 由（1）可知：， ， ． ， ， ． (3)或 (4)3或 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，直接得答案． （2）由、，同角余角相等得；再由等边对等角，等量代换证得结论． （3）设，分在上、在延长线两种位置，结合列方程求；用勾股定理算，正切定义求值． （4）由直径得，由垂线得，两角相等，两直角三角形相似．按相似字母分两类讨论，，再分点两种位置在和上在延长线，求． 【详解】（1）为半圆直径， ． （2）略 （3）设，分两种情况： ①在线段上： ∵， ∴， ∴， ， ， 解得． ， ， ， 在中， ， ． ②在延长线： ， ， ， 解得． ， 在中， ， ． 或． （4）是半圆的直径， ， 与相似，直角为对应角，分两种对应关系： 当时 ， ①点在线段上， 根据三角形外角定理， 可得，，不符合实际，舍去． ②点在延长线上， 设，则 在中， ， ， 在中， 故 ，即 在中，角所对直角边等于斜边一半 ； 当时 ， ①点在线段上，与重合， 为等边三角形， 在中 ； ②点在延长线上， 根据三角形外角定理， ，与矛盾，不符合实际，舍去． 综上，的长为或． 31．（2026·吉林长春·三模）定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边． (1)如图①，在中，，°，点O在边上，以为半径的恰好经过点B，求证：是的切圆； (2)如图②，在中，，，若是的切圆，当圆心O在边上，且另外两条边都是的切边时，求的半径； (3)如图③，在中，以为直径的恰好是的切圆，是的切边，与交于点F，取的中点D，连结交于点E，过点E作于点H，若，，直接写出和的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是圆的半径， ∴与相切， ∵圆心O在边上， ∴是的切圆． (2)的半径为 (3)， 【分析】（1）通过证明圆心到三角形一边的距离等于半径来证明圆是三角形的切圆； （2）连接，，，通过证明求解即可； （3）连接，由求出，再求出，，然后证明，再根据求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，， ∵，是的切线， ∴，，又， ∴平分， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵是的切圆，是的切边， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 解得． 32．（2026·吉林长春·一模）【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”． (1)【探究】如图①，已知是十字架四边形．求证：四边形是正方形．以下是小明的部分证明过程： 证明：是十字架四边形， ． ∴四边形是菱形． 为圆内接四边形， …… (2)【操作】已知是的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形，使为的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）． (3)【拓展】如图③，四边形为十字架四边形，连结、、、． （1）与的和为________度； （2）若时，则半径的最小值为_______． 【答案】(1)证明：是十字架四边形， ， ∴四边形是菱形． 为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． (2)作出十字架四边形，使为的直径，如图所示： (3)（1）；（2）半径的最小值为 【分析】探究：接着题目的证明过程证明，由圆内接四边形得到，由平行四边形对角相等得到，即可证明四边形是正方形． 操作：分别以、为圆心，大于长度为半径画弧，交于点，连接并两边延长与交于、两点，由作图可得，由圆半径相等得到，即可得到垂直平分，即，满足十字架四边形，使为的直径； 拓展：（1）由四边形为十字架四边形，得到，则，再结合圆周角定理得到； （2）过作于，于，则由垂径定理可得，，再证明，得到，，，设，则，，，最后根据求半径的最小值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：（1）设与交于点， ∵四边形为十字架四边形， ∴， ∴， 由圆周角定理可得，， ∴， 即与的和为度； （2）过作于，于，则由垂径定理可得，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，，， ∴， ∴当时，最小， ∴半径的最小值为． 33．（2026·吉林长春·模拟预测）【知识背景】 如图①，、都是等腰直角三角形，，只用无刻度的直尺作出以点为旋转中心、逆时针旋转后的三角形．        【方法探索】 (1)数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等腰直角，，点是外一点，连结、、，若，，，求的长． 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法．小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以为边作等腰直角，，连结．请你根据这个解题思路，完善解题过程． 【运用创新】 (2)如图④，为的直径，，点是弧上的一点，连结，，点是外一点，且，连结．若在点运动过程中，始终有，连结，则线段长度的最大值为________． 【答案】(1)解：以为边作等腰直角，，连结，如图③， 则， ， ， 等腰直角，， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得， ， ． (2)10 【分析】（1）先证明，得，再在中，由勾股定理，得，然后在中，由勾股定理，得，则，即可求解． （2）作的垂直平分线，垂足为E，交于F，证明在点运动过程中，始终有，则点D在以点F为圆心，为半径的圆上，所以当经过点F时，最大，即的最大值为的直径，则的最大值，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解∶如图，作的垂直平分线，垂足为E，交于F， 则， 是等边三角形， ，即， ， ， 是等腰三角形， ， 在与中， ， ， ， ， 在点运动过程中，始终有，则点D在以点F为圆心，为半径的圆上， 当经过点F时，最大，即的最大值为的直径， 的最大值． 34．（2026·吉林长春·一模）【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． (1)如图①，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则______； 【数学理解】 (2)如图②，在中，已知是弦，、是半径，过点O作，交于点D、C，连结．求证：四边形是垂等四边形； 【问题解决】 (3)如图③，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（点A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，直接写出弦的长度． 【答案】(1)5 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可； （2）连接并相交于点，证明，得到，证明，即可得到结果； （3）连接，根据已知条件求出，再根据相似三角形的性质列式计算即可； 【详解】（1）解：由垂等四边形的定义得， 又 ∵， ， ． （2）证明：如图 1，连接并相交于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ∴四边形是垂等四边形． （3）解：连接，由（2）可得等腰， ∵的半径为， ∴， ， 作， ∵点E到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则，即， 解得：（如图2），（如图3）， 或， 作，连接， ∴， ， ， 或， （如图2）或（如图3）． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 吉林考情(2022-2026) 命题规律 5年5考：选择、 圆板块核心高频考点；考查圆周角定理、同弧/ 考点01圆周角 等弧圆周角相等、直径所对圆周角为直角；常结合圆 填空、解答均有，分值 2-6分。 心角、三角形内角求角度，常与全等、勾股定理综 合。 考点02点、直 5年4考；以解答 重点考查切线的判定与性质；切线证明两大思 证明题为主，偶见填空， 路： 连半径证垂直、作垂直证半径；常结合勾股定理 线、圆的位置关系 分值5-8分。 求线段长度；点与圆位置关系多为基础小题。 考点03正多边形 5年2考；填空、 属于基础小题；考查正多边形中心角、半径、边 心距的计算；一般不考大题，常结合圆的半径求解边 和圆 选择题，分值2-3分。 长，计算量不大。 考点04弧长和扇 5年4考；填空、 直接套用弧长公式、扇形面积公式：部分考题会 选择为主，分值2-4 结合阴影面积计算，采用割补法：偶尔与旋转结合命 形面积 分。 题，公式记忆是得分关键。 五年真题分类园 考点01圆周角 1. (2026吉林.中考真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边AC上不与 点A,C重合的任意一点，连接BP.若∠BAC=60°，则∠ABP的度数可能为() 1/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.20° B.35° C.45 D.60° 2.(2025:吉林·中考真题)图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点△ABC内 接于⊙O,且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图. 图① 图② (I)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合)，画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB, (2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180° 3.(2024吉林长春.中考真题)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于 点E,交AC于点F,DB交AC于点G,连结AD.给出下面四个结论： ①∠ABD=∠DAC; ②AF=FG: ③当DG=2,GB=3时，FG=14 2 ④当BD=2AD,AB=6时，△DFG的面积是3. 上述结论中，正确结论的序号有 C D 4.(2023吉林.中考真题)如图，AB,AC是⊙O的弦，OB,OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点 (点P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC=70°，则∠BPC的度数可能是() A.70° B.105° C.125° D.155° 5.(2022吉林长春.中考真题)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠BCD=121°，则 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BOD的度数为() A D B A.138 B.121 C.118 D.112 6.(2022吉林中考真题)如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB, OC,OD,OE.若∠BAE=65°，∠COD=70°，则BC与DE的长度之和为 ·(结果保留π B A D 考点02点、直线、圆的位置关系 7.(2025·吉林长春.中考真题)数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的 覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆， 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆. 理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B.如图①，以AB为直径作⊙O,再过A、B两 点作⊙O(O与O不重合)，连结OA,OB.在△OAB中，有OA+OB>AB(▲)· .O A=O B, ∴.2OA>AB,即⊙O的直径大于⊙O的直径. ∴.⊙O是线段AB的最小覆盖圆.“▲”处应填写的推理依据为_， 3/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B 0 图① 图② 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题.这样就可以 先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三 角形的最小覆盖圆.如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.⊙O是以AB为直径的圆.请你判断点C 与⊙O的位置关系，并说明理由， 又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，⊙O是Rt△ABC的最小覆盖圆. 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形ABCD中，AB=1cm,BC=2cm A 图③ (1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确 定后必须用黑色字迹的签字笔描点) (2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为cm; (3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD.则这样的两个等圆的最小直径为cm 8.(2025吉林.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y= 3的图缘交 于A,B两点，分别以点A,点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B.当⊙A,⊙B分别与x轴相切时， 切点分别为点C和点D,连接AC,BD,则阴影部分图形的面积和为 (结果保留π) 4/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(2024吉林.中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙O,过点B作BE‖AD,交CD于点E.若 ∠BEC=50°，则∠ABC的度数是() D O. E 509 B A.50° B.100° C.130° D.150° 10.(2024吉林.中考真题)图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A, B,C,D,E,O均在格点上.图①中已画出四边形ABCD,图②中已画出以OE为半径的⊙O,只用无刻 度的直尺，在给定的网格中按要求画图， 图① 图② (1)在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴. (2)在图②中，画出经过点E的⊙O的切线， 1.(2023吉林长春中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=K(k>0,X>0)的图象 上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与X轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB,AB=32, 则k的值为() 5/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.3V2 C.4 D.6 12.(2022吉林.中考真题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=4.以点A为圆心，r为 半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是() B A.2 B.3 C.4 D.5 考点03正多边形和圆 13.(2022·吉林长春.中考真题)跳棋是一项传统的智力游戏.如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看 作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形.若AB=27 厘米，则这个正六边形的周长为 厘米 A 跳棋 D 14.(2022·吉林.中考真题)第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素. 如图，这个图案绕着它的中心旋转角a0°<a<360°后能够与它本身重合，则角a可以为 度. (写出一个即可) 6/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04弧长和扇形面积 15.(2026·吉林.中考真题)如图，车轮的半径OA=30cm,车轮边缘上一点A绕点O转过的角 ∠AOB=80°，则劣弧AB的长为 cm(结果保留π)· 80 16.(2024吉林长春.中考真题)一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，边AB与直线l 重合，AB=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C落在直线！上，则点A经过的路径 长至少为cm.(结果保留π) B 17.(2024吉林中考真题)某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图 如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A,D.OA=1m,OB=10m, ∠AOD=40°，则阴影部分的面积为m2(结果保留π). 7/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 18.(2023·吉林.中考真题)如图①，A,B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢.图②是其示意图，点O是 圆心，半径r为15m,点A,B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°，则AB的长为 m.(结果 保留π) B B 1209 图① 图② 19.(2022吉林长春.中考真题)将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶 点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于A、B两点若OA=5厘米，则 AB的长度为 厘米.（结果保留π） 一年模拟练测 一、单选题 1.(2026吉林长春.模拟预测)如图，在⊙O中，点A、B、C、D分别在圆上，若∠ABC=54°，则 ∠ADC的度数为() 8/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 D A.54 B.108° C.126° D.136° 2.(2026吉林松原·模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作⊙O的切线，所作切线与 BA的延长线交于点P,∠B=20°，则∠P=() B A.20° B.25° C.40 D.50° 3.(2026吉林长春·模拟预测)如图，点A、B、C、D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB 的度数是() C A B A.30° B.45° C.50° D.60° 4.(2026吉林·模拟预测)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)，若∠A=40°，则∠C的大 小是() A.40° B.50 C.90 D.60° 二、填空题 5.(2026吉林长春.一模)随着我国电子技术的高速发展，360°全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上 9/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 了一个新的台阶.如图是搭载了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为160° 的扇形，则该可视区域形成的扇形面积为 平方米（结果保留π）· 6.（2026吉林延边·二模)如图，是苏州园林中一处花窗月洞的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的 一部分，点A、点B、点C在圆上，CO⊥AB,垂足为点M,月洞底部AB长为6m,已知此圆的半径为 5m,则花窗月洞的最大高度CM=m, C 77777777 B 7.(2026吉林松原·三模)自行车的示意图如图所示，其中ABCD,∠DAB=110°，∠ABC=130°， 两车轮的直径均为60Cm,现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C,D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁 皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积为 cm.(结果保留π) 8.(2026吉林长春模拟预测)如图，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连接OA,②以点A为圆心， AO长为半径作弧，交⊙O于点B:③在射线OB上截取BC=OB;④连接AC.若OA=2,则AC的长为 9.(2026吉林长春.模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点.连接AC交 ⊙O于点D,连接OD,若∠C=55°，则∠BOD的度数是 10/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 10.(2026吉林白山二模)在如图所示的扇形AOB中，C为AB上一点，连接OC交AB于点P, OC⊥OB,若OP=2,∠AOB=120°，则阴影部分的面积为 （结果保留根号和π). C B 11.(2026吉林模拟预测)如图，BC=1,以⊙O的半径OA为边作矩形OABC,且点B、C均在⊙O 外.点B关于直线AC的对称点为D,点D落在⊙O上，连接AD,BD,CD,OC与AD交于点E. 给出下面四个结论： D∠BAC=∠DAC:②AD的长度为@BD-5CE:@△AD作积 33 4 上述结论中，正确结论的序号是 B 12.(2026·吉林长春.模拟预测)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于 D,OD的延长线交AC的延长线于E,OA=1,OE=3,给出下面四个结论： B 11/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①∠B=∠CAD: ②△EAD一△EDC: ③BD=ED AD AE ④点C是AE的中点. 上述结论中，正确的结论的序号有 13.(2026·吉林长春·模拟预测)如图，矩形ABCD的顶点A、B在⊙O上，边BC和⊙O交于点E,边 CD和⊙O相切于点F,AE为⊙O的直径，连接AF、BF、EF,BF和AE交于点G,给出下面四 个结论： ①点F是边CD的中点： ②AF平分∠EAD: ③AD·EC=} AB ④当AB2=AG·AE时，△ABF是等边三角形： 上述结论中，正确结论的序号是 14.(2026吉林长春一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,E 为边AB上的一点，DE=DC,以点D为圆心、DB的长为半径作⊙D.给出下面四个结论： DBAD∠BAC ②AC为⊙D的切线： ③AB+EB=AC: ④当∠BDE=30°时，∠BAC=60° 12123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上述结论中，正确结论的序号有 15.(2026·吉林长春·模拟预测)如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切 ⊙O于点E,AD与CD相交于D,BC与CD相交于C,连接OD、OC,下列结论正确的是 ①AD+BC=CD;②∠DOC=90°；③S榭形ABcD=CD·OA;④0D=DE·CE. B 16.(2026吉林松原·三模)如图，扇形纸片AOB的半径OA=OB=2,∠AOB=120°.将该扇形纸片 对折，使得OA和OB完全重合，折痕与AB交于点C,然后展平纸片；再沿过点C的直线折叠扇形纸片， 使点B与点O重合，折痕与OB交于点D,则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号). D B 17.(2026吉林通化模拟预测)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点O在AB上，以O为圆心，OA为 半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且点E是弧DF的中点，若CE=1,则图中阴影部分的 面积为 (结果保留π)· D B 三、解答题 18.(2026吉林松原·模拟预测)数学小组研究如下问题：吉林油田第十二中学的纬度约为北纬45°750， 求北纬45°750纬线的长度？为完成任务，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息： 信 在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行 息 的圆圈叫纬线. 13123 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km.弦 信 BC‖OA,过点O作OK⊥BC于点K,连接OB.若 息 B ∠AOB=45°7'50，则以B为半径的圆的周长是北纬45°7'50纬 线的长度. 信 参考数据：π取3，sin45°7'50≈0.709，c0s45°7'50≈0.706， 息 tan45°7'50≈1.004 三 根据以上信息，求北纬45°7'50的纬线的长度？（结果保留整数） 19.(2026·吉林模拟预测)如图，在△ABC中，AB=BC,以AB为直径作⊙O交AC于点D.点E为 ⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F,连接AE,BE.若∠BAE=60°，∠F=15°，解 答下列问题， (I)直接写出∠ADE的度数. (2)求证：直线FB是⊙O的切线. 20.(2026吉林.模拟预测)如图，在⊙O中，点D,E分别是半径OA和OB的中点，点C在AB上，连接 CD,CE,OC,且CD=CE 1)求证：△OCD≌△OCE, ②)若CD⊥OA,且OC=2,则劣弧AB的长为 (结果保留π) 21.(2026吉林模拟预测)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC是⊙O的直径，过点A作直线AD 交BC的延长线于点D,使得，请从“①∠DAC=∠B;②2∠B=90°-∠D”中任选一个条 件填在横线上（填序号“①”或“②”），并解决下列问题： 14123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)题干横线上所填序号为： (2)求证：AD为⊙O的切线： 22.(2026吉林·二模)如图，A，B是⊙O上两点，C为OB延长线上一点，且AB=BC=OB.求证： 直线AC与⊙O相切. 23.(2026吉林长春.模拟预测)如图，由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点. △ABC的顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不 写作法，保留作图痕迹)· B B 图① 图② 图③ (1)在图①中，画出⊙O的圆心O: (2)在图②中，画出直径CD: 3)在图③中，画出弦BC的中点M. 24.(2026·吉林长春模拟预测)【定理呈现】 如图①，在圆O中，弦AB,CD相交于点P,小明经过探究发现如下结论：AP·PB=CP·DP,我们称 这个结论为相交弦定理， 15123 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P 图① 图② 图③ 图④ (1)下面是小明证明定理的过程，请你帮助完成缺失部分的证明过程. 证明：如图②，连接AC、BD AP·PB=CP·DP 【定理应用】 (2)如图③，在圆O中，弦AB,CD相交于点P,AP=4,PB=6,PD=3PC,求线段CD的长： 【拓展提升】 3)如图④，在圆O中，AP=4,BP=6,过点P作线段CD与圆交于点C,D,直接写出CD的最小值= 25.(2026·吉林长春.模拟预测)由小正方形构成的6×6网格中，每个正方形的顶点叫做格点.△ABC的 顶点都在格点上，⊙O经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法， 保留作图痕迹) 图① 图② 1)图①中，画出⊙O的圆心0. (2)图②中，在BC边上找到一点D,使得AD平分∠BAC: 26.(2026吉林长春一模)【问题背景】如图①，OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB,点C、D分别 为OA、OB的中点，点P为弧AB上的一个动点，连接PC、PD,若OA=4,求2PD+PC的最小值， 【问题探究】小明是这样考虑的：如图②，连接OP,再延长OB至点E,使BE=OB,连接PE,通过证明 △OPD一△OEP,将2PD+PC转化为PE+PC,再依据“两点之间，线段最短”解决问题.具体做法 如下： 16123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：连接OP,再延长OB至点E,使BE=OB,连接PE, ,点D为OB的中点， 0D=0A3×4=2, 架咒 .∠POD=∠EOP, ∴.△OPD一△OEP」 解题过程缺失 ∴.2PD+PC=PE+PC, 若使2PD+PC最小，只需PE+PC最小， ∴当点C、P、E共线时，PE+PC最小，即2PD+PC最小. A D D =E D 图① 图② 图③ (1)请你帮助小明补全上述解题过程 (2)【问题解决】2PD+PC的最小值是 B)【拓展提升】如图③，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6,OD=3,OC=5,点P为弧AB上的 一个动点，连接PC、PD,直接写出2PD+PC的最小值. 27.(2026吉林长春.模拟预测)如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=4,点O在边 AB上，且OA=2.以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O,交AB于点D,E(点D在点E左侧)， 交AC于点P.随后，将半圆O沿射线AB向右平移，设点D平移的距离为x(x≥0)· A(D)O E A D 图1 图2 备用图 @)在图1中pE的长为 17/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，当边AC与半圆O相切于点P时，求x的值： 3)已知点M是半圆O上的动点，连接CM,当CM最小时，仅用圆规和无刻度的直尺，在图3中作出点 O,并求出CM的最小值： (4)在半圆O沿射线AB向右平移的过程中，当半圆O与△ABC的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取 值范围。 OP=OA∠BAC=30 B A(DO .∠POE=60°， :PE=60×πx2=2 180 π； D ∠OPB=90° B E AC‖OP, .∠BOP=∠BAC=30°， Bp-0B. 根据勾股定理得0B=BP2+0P,即0B2=0B2+4,解得OB=4 3 .OD=2, ·AD=AB-OD-OB=6-43 3 二半圆0与△ABC的重叠部分是半圆0时，X的取值范围是2≤X≤6-43 31 28.(2026·吉林长春·模拟预测)如图①，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,连结AC.点0为射线CB 上一动点（与C不重合），以O为圆心，OC长为半径作圆，交射线CB于点Q 18123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B Q B 图① 图② (1)求线段AC的长： (②)当点A在⊙O上时，求线段OC的长： 3)如图②，连结OD,将△ODC沿OD折叠，得到△ODP,连结BP,OP, ①当BP取最小值时，OC的长为，此时⊙O与BD的位置关系是_： ②当△OBP为直角三角形时，直接写出线段OC的长. 29.(2026吉林长春二模)解答下列各题： 1)【探究】如图1，在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在直线翻折，点C为劣弧AB上任意一点，翻折后点C 的对应点为D,连接AD并延长交⊙O于点E,连接BD、BE.探究BD与BE的数量关系，发现结论： BD=BE M M M B B C 图1 图2 图3 理由如下：如图1，连接AC、BC 由翻折可得 ∠ACB=∠ADB, :∠ACB+∠E=180°，（依据： ∠ADB+∠_ ---=1800°， ∴BD=BE. 19123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 补全上面的证明过程， (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在直线翻折，连接AO并延长交翻 折后的弧于点M,交⊙O于点N,连接BM ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出MN的中点H.(不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用 黑色的签字笔描黑) ②若AB=4,BM=2,则MN= 3)如图3，在⊙O中，OA=3,弦AB=5,将劣弧AB沿弦AB所在直线翻折，点M为翻折后的弧上任意一 点，连接AM并延长交⊙O于点N,H为MN中点.则OH的最小值为 30.(2026吉林长春·模拟预测)如图，AB是半圆0的直径，AB=6.点C是半圆0上一动点，连结AC、 BC、OC,过点A作直线OC的垂线，交直线OC于点D. 1)求∠ACB的大小： (2)求证：∠CAD=∠ABC: 3)当CD=3OD时，求tan∠AOD的值； (4)当△AOD与△ABC相似时，直接写出线段BC的长， 31.(2026吉林长春.三模)定义：圆心在三角形的一条边上，并与三角形的其中一边所在直线相切的圆 称为这个三角形的切圆，相切的边称为这个圆的切边， 图① 图② 图③ (1)如图①，在△ABC中，AB=CB,∠A=30,点O在AC边上，以OC为半径的⊙O恰好经过点B, 求证：⊙O是△ABC的切圆： (2)如图②，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,若⊙O是△ABC的切圆，当圆心O在BC边上，且另 外两条边都是⊙O的切边时，求⊙O的半径： 3)如图③，在△ABC中，以AB为直径的⊙O恰好是△ABC的切圆，AC是⊙O的切边，⊙O与BC交于 20/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点F,取BF的中点D,连结AD交BC于点E,过点E作EH⊥AB于点H,若CF=8,BF=IO,直接写 出AC和EH的长 32.(2026·吉林长春.一模)【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”. A D 0 图① 图② 图③ (I)【探究】如图①，己知口ABCD是十字架四边形.求证：四边形ABCD是正方形.以下是小明的部分 证明过程： 证明：口ABCD是十字架四边形， ∴.AC⊥BD ∴.四边形ABCD是菱形 口ABCD为圆内接四边形， (2)【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD,使 BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）· 3)【拓展】如图③，四边形ABCD为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD (1)∠BOC与∠AOD的和为度： (2)若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为 33.(2026吉林长春·模拟预测)【知识背景】 如图①，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，只用无刻度的直尺作出 △ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形. 21123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B B 图① 图② 图③ E 图④ 【方法探索】 (1)数学课上，老师提出了一个问题：如图②，已知等腰直角△ABC,∠ACB=90°，点D是△ABC外一 点，连结AD、CD、BD,若∠ADC=45°，AD=5,BD=V61,求CD的长. 老师让同学们分组讨论，探索解题的方法.小铭在讨论的过程中想出一个好办法，如图③所示，以DC为 边作等腰直角△CDE,∠DCE=90°，连结AE.请你根据这个解题思路，完善解题过程. 【运用创新】 (②)如图④，AB为⊙O的直径，AB=10,点C是弧AB上的一点，连结AC,BC,点D是△ABC外一点， 且∠CAD=60°，连结CD.若在点C运动过程中，始终有∠ADC=60°，连结OD,则线段OD长度的 最大值为 34.(2026·吉林长春一模)【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形. D E B 图① 图② 图③ (1)如图①，已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E,若AB⊥AD,AB=4cm, cOs∠ABD= 4 则AC=cm: 【数学理解】 (②)如图②，在⊙O中，已知AB是弦，OA、OB是半径，过点O作OD⊥OA,OC⊥OB交⊙O于点 D、C,连结AD、DC、CB.求证：四边形ABCD是垂等四边形； 【问题解决】 B)如图③，已知A是⊙O上一定点，B为⊙O上一动点，以AB为一边作出⊙O的内接垂等四边形（点 22123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A、B不重合且A、B、O三点不共线)，对角线AC与BD交于点E,⊙O的半径为4V2,当点E到AD的 距离为2V3时，直接写出弦AB的长度. 23123学科网 考点01圆周角 1.A 2.(1) 如图，点∠ADB即为所求： 图① (2) 如图，∠AEC即为所求： B 图② 3. ① 4.D 5.c 6 π 3 π3 考点02点、直线 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10圆 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 圆的位置关系 1/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.探究一：三角形的任意两边之和大于第三边： 探究二：C在⊙O上，证明如下： ,∠ACB=90°，O为AB的中点， ∴.OC=OA=OB, .C在⊙O上； 拓展应用：(1)如图，⊙O即为矩形ABCD的最小覆盖圆， A 0 B 图③ (2)V5: (3)2: 对 9.C 10.(1)如图： D B 图① (2)如图： 2/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图② 11.C 12.C 考点03正多边形和圆 13.54 14.60或120或180或240或300（写出一个即可） 考点04弧长和扇形面积 15. 16.8π 17.11元 18.10π 5 19. /2.5n 一年模拟练测园 1.C 2.D 3.D 4.B 5.4π 6.9 7.300π 3/9 函学科网 8.23 9.70170度 10.3π-2V3/-2V3+3π 11.①②④ 12.①②④ 13.①②④ 14.①②③ 15.①②③ 16.3 1n.2+3 18.约为27110km 19.1)30° (2)证明：.：∠FDC=∠ADE=30°， ∴.∠ACB=∠F+∠FDC=45°. 又，在△ABC中，AB=BC, .∠ACB=∠CAB=45 ∴∠ABC=90°，即AB⊥FB」 又AB是直径， .直线FB是⊙O的切线， 20.Q)证明：D、E分别是半径OA 0D0A,0E=0B, ,同圆中半径相等，即OA=OB, ..OD=OE 又CD=CE,OC=OC, .∴△OCD≌△OCESSS 8% 21.1)①（或②） (2)见解析 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠F=15°. OB的中点， 4/9 函学科网 22.证明：.AB=BC=OB, ∴.∠C=∠BAC,∠O=∠BAO, .∠C+∠BAC+∠O+∠BAO=180°， ∴.∠BAC+∠BAO=90°， 即∠OAC=90°， .∴.OA⊥AC, ,点A在圆O上， ∴.直线与圆O相切 23.1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 24.0): BC=BC,AD=AD ∴.∠A=∠D,∠C=∠B, △APC一△DPB, .AP-CP DP BP (2)8V2 3)4V6 25.1)解：如图，点0即为所求： B (2)解：如图，点D即为所求： O D G DP OD 1 26. ) PE OP 2 w zxxk.com 让教与学更高效 5/9 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.PE=2PD, (2)2V17 3)13 2 27.00 (2)x=2 (3)解：如图所示为所求： D B(E CM最小值为2V3-2 42≤x≤6-43 28.(1)5 5 6 80子相切：@号或16-47或4或16+45 或 3 3 29.(1)圆内接四边形对角互补，BDE,∠BDE=∠E. M 0 45 B (2)① ② 6)5-V17 22 30.1)90° (2)证明：AD⊥OC, .∴.∠ADC=90°， .∴.∠CAD+∠ACD=90°. 由(1)可知：∠ACB=90, 6/9 函学科网 .∠OCB+∠ACD=90, ∴.∠CAD=∠OCB .OC=OB, ∴.∠OCB=∠ABC, ∴.∠CAD=∠ABC. 3)y15或3 4)3或3V3 31.1)证明：如图，连接OB, ,AB=AC,∠A=30 .∠A=∠C=30° .∴∠CBA=180°-∠A-∠C=120°， .OB=OC. ∴.∠OBC=∠C=30°， .∠OBA=∠CBA-∠OBC=90°， 即OB⊥BA, ,OB是圆的半径， .AB与⊙O相切， ,圆心O在AC边上， ∴.⊙O是△ABC的切圆. 200的半径为 )AC=12'EH=4 32.Q)证明：口ABCD是十字架四边形， .AC⊥BD, ∴.四边形ABCD是菱形 www.zxxk.com 让教与学更高效 7/9 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .'口ABCD为圆内接四边形， .∠ABC+∠ADC=180°， .口ABCD, ∴.∠ABC=∠ADC, .∠ABC=∠ADC=90°， ∴四边形ABCD是正方形. (2)作出十字架四边形ABCD,使BD为⊙O的直径，如图所示： D 图② 3)(1)180:(2)⊙0半径的最小值为3V2 33.I)解：以DC为边作等腰直角△CDE,∠DCE=90°，连结AE,如图③， 图③ E 则CD=CE,∠DCE=90°， .∴.∠CDE=∠DEC=45° .∠ADC=45° ∴.∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°， 等腰直角△ABC,∠ACB=90°， ∴.AC=BC,∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE, 在△ACE与△BCD中， AC=BC ∠ ACE=∠BCE CE=CD ∴.△ACE≌△BCD SAS, 8/9 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .AE=BD=61, 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 DE=VAE2-AD2=61}-52=6' 在Rt△CDE中，由勾股定理，得CD+CE=DE2, ∴.2CD2=DE2=6, ∴.CD=32. (2)10 34.(1)5 (2)见详解 3)4V6或4V2 919