专题09 圆（5年汇编）（陕西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦陕西中考圆专题，汇编2022-2026年5年真题及模拟题，覆盖垂径定理、圆周角、切线性质、正多边形四大核心考点，注重基础计算与综合证明，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|28题|垂径定理构造直角三角形（2026中考第1题）、圆周角角度转化（2025中考第5题）、正多边形边长计算（2023中考第14题）|真题高频考点突出，基础题占比60%，强调通性通法| |解答题|30题|切线性质与相似综合（2024中考第11题）、直径构造直角证明（2026二模第29题）、圆与四边形综合应用（2026一模第37题）|分层设计，80%题目融合勾股定理/相似，贴合中考命题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 陕西考情(2022-2026) 命题规律 高频考点，多出填 空、选择题；常作辅助线 考点01利用垂径 核心是作垂线构造直角三角形；考题以线段计算 构造直角三角形，结合勾 为主，不单独出大题；常与勾股定理绑定，属于圆板 定理求值 股定理求弦长、半径、弦 块基础必拿分题型 心距；近五年几乎每年考 查 必考内容，选择、填 空、圆综合大题均会出 现；考查圆周角定理、直 侧重角度转化；直径构造直角是高频考法；多作 考点02圆周角 径所对圆周角为直角、同 为综合题的第一步条件，用来证全等、相似，难度中 弧圆周角相等：常用来推 等 导角度相等，为证明做铺 垫 圆解答大题核心考 点，几乎年年考：常考切 考点03切线的性 看到切线优先连接圆心与切点得垂直；是圆综合 线垂直半径；第一问多用 大题突破口；常融合相似三角形、勾股定理，区分度 质定理 来证垂直、证角相等；第 中等偏上 二问结合勾股、相似计算 线段长 以填空选择题为主： 考点04正多边形 考查正多边形半径、边心 把正多边形拆解成等腰三角形、直角三角形求 距、边长、中心角计算； 解；侧重基础计算；考查频次低于圆其他考点，难度 和圆 偶尔和圆周长、扇形弧长 不高 结合出题 五年真题分类园 1/26 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点01利用垂径定理求值 1.(2026陕西·中考真题)如图，点A在⊙O上，连接OA并延长至点B,过点B作⊙O的切线，切点为C, 作弦CD⊥OA,垂足为H,作弦DE‖BC,连接CE 0 B 1)求证：CE=CD; 2)若AB=2,BC=4,求DE的长. 2.(2023陕西·中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=72°.过点O作BC的垂线交BC于点 D,连接BD,则∠D的度数为() B D A.64° B.54° C.46° D.36° 考点02圆周角 3.(2026陕西中考真题)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D, 若AB=4,则BD的长为 D 4.(2025陕西·中考真题)如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D,与 BC相交于点E,EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G,∠F=45°. 2/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)求证：AB=AC: ②若sinA=弓，AB=8,求DG的长. 5.(2025陕西中考真题)如图，AB为⊙O的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则∠ACD的度数为 6.(2024陕西：中考真题)如图，AB为⊙O的直径，AC=AD,∠A=53°，则∠B的度数是 7.(2024陕西.中考真题)问题提出 (1)如图1，在△ABC中，AB=15,∠C=30°，作△ABC的外接圆⊙O.则ACB的长为 (结果保留π) C 0 B 图1 问题解决 (2)如图2所示，道路AB的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD，AC 和BC为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在AC上，且AE=EC,∠DAB=60°， ∠ABC=120°，AB=1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使 3/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DPC=60°.再在线段AB上选一个新的步道出入口点F,并修通三条新步道PF,PD,PC,使新步 道PF经过观测点E,并将五边形ABCPD的面积平分. E B 请问：是否存在满足要求的点P和点？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由.（点A,B, C,P,D在同一平面内，道路AB与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号) 8.(2024陕西·中考真题)如图，BC是⊙O的弦，连接OB,OC,∠A是BC所对的圆周角，则∠A与 ∠OBC的和的度数是 9.(2022陕西中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，∠C=46°，连接OA,则∠OAB=() C A B A.44o B.45 C.54° D.67o 考点03切线的性质定理 10.(2025陕西.中考真题)如图，在△ABC中，AB=BC,以BC为直径作⊙O,分别交AC,AB于点 D,E,连接DO并延长，交⊙O于点F,过点F作⊙O的切线，交CB的延长线于点G 4/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)求证：DF‖AB: ②若cOs∠F0G=号，BG=2,求AC的长. 3 11.(2024陕西.中考真题)如图，直线1与⊙O相切于点A,AB是⊙O的直径，点C,D在1上，且位于 点A两侧，连接BC,BD,分别与⊙O交于点E,F,连接EF,AF. B C D I)求证：∠BAF=∠CDB: 2)若⊙O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长. 12.(2023陕西.中考真题)(1)如图①，在△OAB中，OA=OB,∠AOB=120°，AB=24.若⊙O 的半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM,求线段PM的最小值； (2)如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个 交通枢纽.己知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m,BC=DE=6000m.根据新区 的自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O:过圆 心O,作OM⊥AB,垂足为M,与⊙O交于点N.连接BN,点P在⊙O上，连接EP.其中，线段BN、 EP及MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此 时环道⊙O的圆心O到AB的距离OM的长. 5/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A可 E M 0 M 图① 图② 13. (2022陕西·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且 CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延长，交AM于点P. A PM 0 D B (I)求证：∠CAB=∠APB: (2)若⊙O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长. 考点04正多边形和圆 14. (2023陕西中考真题)如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E.则线段BE的长为 E D 6/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E Rt aACE AC=2 AE=CE D 在 中， AE-CE-AC-V2 同理BG=V2, ∴.BE=EG+BG=2+V2, 故答案为：2+2. 一 年模拟练测园 一、单选题 1.(2026陕西宝鸡一模)如图，BC是⊙O的直径，A,D为⊙O上的两点，AC与OD相交于点E, AB=CD,且∠ACB=20°，则∠OEC的度数为() A B A.90° B.100° C.120 D.130° 2.(2026陕西宝鸡一模)如图，点A,B,C,D均在⊙O上，连接AB,AD,BC,BD,OC⊥BD 于点E,若∠A=40°，则∠BC0的度数是() 0 B A.60° B.70° C.50 D.40° 3.(2026陕西渭南·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=130°，过点C作CE‖AB交AD 于点E,若DC=DE,则∠ADC的度数为() 7/26 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O A.80° B.85° C.90° D.100° 4.(2026陕西榆林·二模)如图，△ABC内接于⊙O,∠ACB=80°，AC=BC,连接OB、OC.若 OB=4,则劣弧BC所对的扇形OBC的面积为() 4. 10π 9 B. 32π c号 D.50m 9 5.(2026陕西渭南·二模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接OA、OD,OA‖CD.若 ∠AOD=40°，则∠B的度数为() D A.50° B.60° C.70° D.80° 6.(2026陕西渭南·二模)如图，△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，连接BD、 CD,若∠CDB=∠ACB,则∠ACB的度数为() D A.20° B.25 C.30° D.45° 7。(2026陕西咸阳：二模)如图，有一个圆弧形的门洞，AB=8m'AB上的最高点C到水平地面AB的距 8/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 离CD为3m'则AB所在圆的半径为() AB D B 13 B. 5 A.5m m C. 6 m 6 D.4m Rt△OAD 0A2=AD+0D2 在 中，由勾股定理得： 8.（2026陕西宝鸡二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在劣弧AC上，且CE=2AE 连接DE.若∠ADE=20°，则∠ABC的度数为() E B A.100° B.130° C.110° D.120° 二、填空题 9.(2026陕西榆林.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,点B是劣弧AC的中点，∠ADC=70°， 连接AC,则∠BAC的度数为°. D 10.(2026陕西渭南一模)如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，连接AB、AC.若∠BAC=20°， 9/26 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=2BC,则∠AOB的度数为。， B 11.(2026陕西渭南·一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AC=AD,点E是劣弧BC上一 点，连接DE交AB于点F,若∠CDE=60°，则∠BFE的度数为°. E B 12.(2026陕西咸阳·二模)如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接OD、OF,则∠DOF的 度数为 0 13.(2026陕西延安.一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E,连接AD,OC.如 果∠A=30°，OC=4,那么CD的长是 O 14.（2026陕西安康一模)如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是⊙O的两条弦，连接CD,若 ∠ABD=16°，BD平分∠ABC,则∠CDB的度数为. 10126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⊙ 15.(2026陕西商洛一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,B是AD的三等分点，连接OA,OD.若 ∠BAD=48°，则∠OAD的度数为 D B 16.(2026陕西咸阳一模)如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A、B、C,且与CD边交于 点E,连接AE.若∠BAD=108°，则∠AED的度数为°. D E 17.(2026陕西榆林.一模)如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,已知EO=EC, ∠OCE=40°，则∠AOD的度数为 D B 18.(2026陕西渭南一模)历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽 的几何.宋哥窑八方杯的杯口呈八方形（即正八边形），将其抽象为如图所示的正八边形ABCDEFGH, 连接AD、AF,则∠DAF的度数为°. 11/26 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 19.(2026陕西咸阳一模)刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆 周率.某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形ABCDEF,连接AC,若 该正六边形的半径为2，则AC的长为 0 E 20.(2026陕西宝鸡一模)如图，AB为⊙O的弦，连接OA、OB,点D在AB上连接DO并延长交⊙O 于点C,连接BC,若∠OAD=∠AOD=40°，则∠C的度数为 B 21.(2026陕西西安二模)如图，△ABC内接于⊙O,点D在⊙O上，且点A为劣弧BD的中点，连接 AD、BD.若∠ACB=40°，则∠ABD的度数为°. D 22.(2026陕西渭南·二模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AP是⊙O的直径，连接BP,若 ∠ADC=110°，则∠CBP的度数为， 12126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 23.(2026陕西西安，三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AO,DO,BD.已知 ∠AOD=50°，∠DBC=55°，则∠ADC的度数为 24.（2026陕西渭南·二模)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”， 利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所 示的圆内接正十二边形，若⊙O的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为 25.(2026陕西咸阳·二模)如图，正方形ABCD为⊙O的内接四边形.若点E是CD上的任一点，则 ∠ BEC的度数为 26.(2026陕西安康二模)如图，等边三角形ABC和正方形DEFG均内接于⊙O.若BC=23,则 EF的长为 13126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 、 27.(2026陕西咸阳一模)如图，线段AC的长为10，点B、D分别在线段AC的下方和上方，连接AB、 BC、AD、CD,∠B=∠D=90°，则四边形ABCD面积的最大值为一· D 28.(2026陕西咸阳.一模)如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点D是AB下方⊙O上一点， 连接CD、OD,若∠ACD=∠ODC,∠ABC=40°，则∠AOD的度数为 C B D 三、解答题 29.(2026陕西榆林.二模)如图，△ABC内接于⊙O,且AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点D,过点C 作⊙O的切线CE交OD的延长线于点E,DE交⊙O于点F. B (I)求证：∠BOE=∠BCE: (2)若∠ABC=30°，⊙O的半径为4，求CE的长 30.(2026陕西安康.一模)如图，AB为⊙O的直径，D为弦AC延长线上一点，且满足CD=AC,连接 14126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BD,并过点C作BD的垂线，与BD交于点E,与AB的延长线交于点F. B D I)求证：CF为⊙O的切线： (②)若⊙O的半径为3，CF=4,求线段BE的长。 31.(2026陕西汉中.一模)如图，AB为⊙O的直径，BD为⊙O的弦，OE⊥AB交BD于点E,过点D 作OO的切线DC交OE的延长线于点C,连接BC B I)求证：CD=CE: 2)若⊙O的半径为2V5,OE=2,求CD的长， 32.(2026陕西安康二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BE为⊙O的直径，BE与AC交于点F,D 为BE延长线上一点，连接CD,CE,AE,∠DCE=∠DBC. D (1)求证：CD为⊙O的切线， Q若AB=BCmD-号OO半径为1求BCK. 33.(2026陕西商洛一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD,过点D作⊙O的切线， 交CA的延长线于点G,且∠CAB=2∠B. 15126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1)求证：DG⊥CG: (2)若⊙O的半径为5，GC=2DG,求DG的长. 34.(2026陕西西安，二模)如图，AB是⊙O的直径，延长AB至点D,点C为⊙O上一点，连接AC、 BC、CD,过点O作OM⊥BC于点H,交CD于点M,已知∠MCB=∠BOM. B M (1)求证：CD为⊙O的切线； @活nD- ,AC=4,求OM的长. 35.(2026陕西咸阳一模)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D的切线交BC 于点E,DE⊥BC,延长CB交⊙O于点F,连接AF. B E (1)求证：AD=CD: (2)若AF=12,CF=18,求⊙O的半径. 36.(2026陕西宝鸡一模)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接OC、BC,OC⊥AB,点D 为劣弧BC的中点，过点D作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E.点F在半径OA上，连接DF, 16126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B I)求证：BC‖DE: 2 )若an∠DFB=行，OF=2,求DF的长. 37.(2026陕西汉中.一模)探究解题： M B B 4 图1 图2 图3 I)问题提出：如图1，在矩形ABCD中，BC=3,点M、N分别为边AB、CD上的动点，连接MN,则 MN的最小值为； (2)问题探究：如图2，△ABC内接于⊙O,连接OA、OC,∠AOC=120°，点D、E分别在AB、AC的 延长线上，连接DE,若AB·AD=AC·AE,求∠E的度数： (3)问题解决：劳动教育是“五育并举”中的重要一环，为培养学生劳动素养，某校拟开辟出一块实验田作 为学生劳动实践基地，规划示意图如图3所示，△ABD是原有的田地，AD=8√6米，AB=8米， ∠BAD=90°，学校计划在△ABD所在平面内找一个点C,在AC的延长线上找一个点E,按功能板块沿 图中线段完成基地区域划分，并沿着DE修建一段快速通道（宽度忽略不计），根据规划要求， BC=AB,∠AED=∠ADC,请你计算快速通道DE;的最小长度. 38.(2026陕西榆林.一模)如图，AB为⊙O的直径，点C、D分别位于直径AB两侧的圆上，连接OD AC、CD,CD交AB于点E,∠ACD=45°，过点B作⊙O的切线，交CD的延长线于点F. B I)求证：BF‖OD: 17126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若BE=10,BF=15,求DE的长. 39.(2026陕西宝鸡一模)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D, CE⊥AD交AD的延长线于点E. (1)求证：∠BDC=∠A, 2)若AD=2,CE=3,求AC的长， 40.(2026陕西咸阳一模)如图，在△ABC中，点D在AB边上，以AD为直径作⊙O,分别交AC、 BC边于点G、E,点H在AD上方的⊙O上，连接EH、HG,∠H=45°，BC是⊙O的切线， B (I)求证：AB=BC: (2)若BC=13,BD=3,求A AC的值 41.(2026陕西榆林.一模)如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线DC与BA的延长线交于点C,连接BD, AD,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E. I)求证：∠ABD=∠EBD: (2)若AC=2,CD=4,求BE的长， 42.(2026陕西西安·三模)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AC至点D,使得 AC=CD.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.连接BD交CE于点F. 18126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D I)求证：AB=BD: (2)若BD=10,CE=12,求DF的长. 43.(2026陕西西安.一模)如图，⊙O为△ABC的外接圆，延长AC到点D,使得CD=BC,连接BD, 且满足∠A=∠D,连接BO并延长，与弧AC交于点E,连接EC. B 1)求证：BD是⊙O的切线 2)若AB=24 .CE=4,求⊙0的半径长. 44.(2026陕西延安.一模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O,AC与⊙O交于点D, BC与⊙O交于点E,BF是⊙O的切线，且CF⊥BF. B I)求证：CD=CF: 2)若∠BAC=45°，AD=3V2,求BE的长度. 45.(2026陕西渭南一模)如图，△ABC内接于⊙O,且AB是⊙O的直径，延长AC至点D,过点D 作DE⊥AB于点E,过点C作⊙O的切线CF交DE于点F. 19126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E A (I)求证：∠A=∠BCF: 2)若点E是OB的中点，⊙O的半径为10，sinB=。,求AD的长 46.(2026陕西渭南·二模)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC、OC,OE⊥OC, 连接BE,∠E=2∠ABC (1)求证：BE是⊙O的切线： ②CD1AB于点D'若BE=3'⊙0的半径为4，求OD的长. 47.(2026陕西渭南·二模)如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交AB边于点D,连接CD,过点D 作⊙O的切线，交AC的延长线于点E. B D (I)求证：∠BDE=∠ACD: ②若⊙0的直径为10，sinE=是求CE的长. 48.(2026陕西渭南·二模)如图，在口ABCD中，连接BD,BD=BC,作△ABD的外接圆⊙O,连接 DO并延长，分别交AB、⊙O于点G、E,连接BE. 20126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 0 G B 1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD=6,AD=5,求BE的长， 49.(2026陕西渭南·二模)如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且位于AB的两侧，连接DA、 BC并延长交于点F,过点C作CE⊥DF于点E,∠BAD=2∠B. D AE B (1)求证：CE是⊙O的切线： 活A银=2，amB=克求AD的长. 50.(2026陕西渭南·二模)【问题提出】 1)如图1，已知线段AB=2,点C是平面内任意一点，连接AC、BC,若BC=1,则AC长度的最大值为 B 图1 【问题探究】 (2)如图2，在△ABC中，AC=BC,D、E分别是AB、AC的中点，连接BE,点F是BE的中点，连接 DF,求证：BC=4DF; 21126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图2 【问题解决】 (3)如图3，⊙O是某垂钓园的圆形鱼池，AB是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求， 计划在鱼池上方再架三座木桥AM、BC、AD,点A、B、M均在⊙O上，要求木桥AD尽可能的长.已 知AB=1202米，⊙O的半径为120米，点C、D分别是AM、BC的中点，求木桥AD长度的最大值. (木桥的宽度均忽略不计) D'O 图3 51.(2026陕西咸阳二模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，过点B作BD⊥AB, BD=AB,连接AD交⊙O于点F,交BC于点E,过点F作FG‖BC,交BD于点G. D G (1)求证：FG是⊙O的切线： 2)若an∠ABC=5DE=6,求AB的长. 52.（2026陕西安康.一模)探究以下问题： 22126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D A M M E B D 图① 图② 备用图 (1)问题提出如图①，在△ABC中，AB=BC=13,AC=10,D为边BC上的动点，过点D作DE⊥AB, DF⊥AC,当SAABD=S△AcD时，分别求出DE与DF的长. (2)问题解决 如图②，某座智能体验馆的平面示意图为四边形ABCD,已知AB=AD=80m,CD=60m, ∠BAD=∠ADC=90°，现要将体验馆内部划分为四个不同的功能区，点M在四边形内部，连接MA, MB,MC,MD,得到四个不同的功能区：△MAD,△MAB,△MBC,△MCD.体验馆功能区具体 要求如下： (I)功能区△AMD的面积要保持为800m2. (Ⅱ)功能区△MBC要满足其周长最小. (Ⅲ)在功能区△MBC内部规划一座圆形展台⊙O,且⊙O与△MBC的三条边都相切. 请你结合上述要求，探究是否存在满足条件的⊙O展台？若存在，写出规划方案，并求出⊙O的半径；若 不存在，请说明理由， 53.（2026陕西宝鸡一模)【问题探究】 0 B 图1 图2 I)如图1，点P为⊙O上一点，A、B为⊙O上的动点，连接PA、PB、AB,∠APB=45°，若⊙O的直 径为6.求AB的长： 【问题解决】 (2)从2025年的初露锋芒到2026年的精准操控，春晚机器人在科技赋能下以惊人的“中国速度”实现跨越 式创新.为了激发青少年的科创热情，某校拟对校园科创角进行扩建，如图2，梯形ABCD是扩建前的平 面示意图，AD‖BC,∠A=90°，AD=21m,AB=24m,BC=28m,点P是AD边上的一个出入口、 23126 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=3AP,校方计划在梯形ABCD内取一点E,在BC下方取一点F,将四边形BECF区域规划为机器人 体验区，并沿PE、EF修建两条通道，根据规划要求，∠BEC=∠BFC=90°，∠ECF=60°，请你计 算两条通道长度之和（即PE+EF)的最小值（出入口的大小和通道的宽度均忽略不计） 54.(2026陕西商洛.一模)问题探究 E A B E 图① 图② 图③ I)如图①，AB为⊙O的直径，且AB=9,C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点D,则CD的最大值 为 (2)如图②，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，∠CAB=∠DAE=30°，连接CD, BE,若CD=6,求BE的长： 问题解决 3)如图③，某植物园原计划设计四边形ABCD花卉园展示区，其中AB=20m,∠ABC=120°，后根据 实际需求，需要将四边形ABCD扩建为四边形AECD,点E在AB边的延长线上，连接AC,BD,DE, 满足BE=2AB,∠ACD=∠BCE,∠AEC=∠DBC,且△ADE的面积最大，请问是否能扩建出满 足要求的四边形AECD?若能，请求出此时△ADE面积的最大值；若不能，请说明理由.（结果保留根 号) 55.(2026陕西渭南一模)【问题提出】 图1 图2 图3 I)如图1，点A、B、C、D在⊙O上，连接AB、AC、BD、CD,若∠BAC=40°，则∠BDC的度数为 (2)【问题探究】如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=8,在AC上方找一点D,连接AD、 BD、CD,∠ADC=90°，以BD为边在BD左侧作等边△BDE,求△BDE周长的最大值： 24126 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)【问题解决】如图3，⊙O是某公园的一块圆形运动休闲区，⊙O上的A、B是出入口，小路AB经过圆 心O(即AB是⊙O的直径)，CD是一条长为80m的小路(C、D均在⊙O上，且不与AB相交)，AC 是一条长为40+403m的小路，∠ACD=30。:现要对该休闲区重新规划，在⊙0上找一点B,点B 与点D在AB的异侧，连接DE、EB,过点D作DE的垂线，与EB的延长线交于点F,沿DE、EF、DF 修建三条运动跑道，求这三条运动跑道总长度的最大值（即△就周长的最大值），（出入口的大小、小 路与跑道的宽度均忽略不计) 56.(2026陕西榆林.一模)完成下列问题 (1)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=8,以点A为圆心，半径为2作⊙A,点D是 边BC上的一个动点，点E为⊙A上的一个动点，求线段DE的最小值： B 图1 问题解决 (2)如图2，兴隆社区有一块四边形ABCD空地，其中∠BAD=60°，∠ABC=75°，AD=1203m, AB=180V3m,BC=100只V6m,且EB=2AE.现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点 P,在P处建一个灌溉点，要求∠BPC=135°，然后在△EPB区域种植太阳花，在△APD区域种植郁金 香，其余部分铺上草坪.其中太阳花的种植成本为15元/m2,郁金香的种植成本为30元/m2,求种植太 阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 图2 57.(2026陕西渭南·一模)探究图形中线段与角度的关系，并完成以下问题 25126 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 【问题初探】 如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=1,点D在AC边上，进接BD.AD-45 ，求 证：△ABC一△ADB: (②)如图2，BD是正方形ABCD的对角线，点E为BC边的中点，连接DE,点F在CD边右侧，连接CF、 DF,∠DCF=∠EDF=45°，AB=8,求CF的长： 【问题解决】 3)如图3，某市要在一块四边形街区ABCD内搭建智慧安防监控网络，其中∠ABC=90°，主干道 AB=2006米，BC>600米，CD>AB,点B处为核心监控基站，点E在BC边上，且BE=200米，点 F是街区内部的移动信号中继器，满足EF=BE,连接BF并延长至点P,在P处修建一个服务中心，连接 AF、AP,∠APB=∠BAF,且要保证主监控点A到服务中心P的距离最短，请你帮助工作人员求出主 监控点A到服务中心P的距离最短时，核心监控基站B到服务中心P的距离（即求线段AP取得最小值时， 线段BP的长)，（基站、服务中心、移动信号中继器、主监控点的大小均忽略不计） 58.(2026陕西宝鸡一模)如图，点A,B,C均在⊙O上，连接AB,BC,AC,且AB经过圆心.过 点B作⊙O的切线BD,连接AD,分别交⊙O于点E,交BC于点F,且BD=BF, B I)求证：∠CAD=∠BAD: (②)若OA=2, AF-2 EF=求CF的长. 26126函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09圆 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01利用垂径定理求值 1.(1)证明：连接OE,OD,CO,并延长CO交DE于点G, B .BC为⊙O的切线，CO为半径， .∠OCB=90° ,DE‖BC :.∠CGE=∠OCB=90°，即CG⊥DE .OE=OD .CG垂直平分DE ..CE=CD: ②144 25 2.B 考点02圆周角 3.π 4.(1)证明：如图，连接OD, 1/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D :以OC为半径的⊙O与AB相切于点D, OD⊥AB, .∠F=45°， .∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥OD .AB‖EF, .∠OEC=∠B, .OE=OC, .∠C=∠OEC, .∠B=∠C, ..AB=AC: 2)DG=122 5.66° 6.37°37度 7.(1)25π (2)存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为3005+1200m 8.90°190度 9.A 考点03切线的性质定理 10.1) 证明：，'AB=BC ∴.∠A=∠ACB OC=OD, ∴.∠ACB=∠ODC, ∴.∠A=∠ODC, ∴DFAB: 2/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 e,86 3 11.(1) 证明：，直线1与⊙O相切于点A, .∠BAD=90°， .∠BDA+∠ABD=90°， .AB是⊙O的直径， .∠BFA=90°， .∠BAF+∠ABD=90°， .∠BAF=∠CDB: 2)EF=422 12.(1)43-4:(2)4047.91m 13.(1) 证明：，AM是⊙O的切线， .∠BAM=90. ,CD⊥AB .∠CEA=90°， .AM∥CD .∠CDB=∠APB .∠CAB=∠CDB, ∴.∠CAB=∠APB. 嚼 考点04正多边形和圆 14.2+V2 一年摸拟练测园 1.C 2.B 3/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.A 4.C 5.c 6.D 7.C 8.D 9.35 10. 80 11.30 12.90 13.4V3 14.58 15.18°18度 16.72 17.120°/120度 18.45 19.2V3 20. 30 21.40 22.20 23.100° 24.12 25.45°45度 26.2V2 27.50 28.50°50度 29.1)证明：如图，连接OC, 4/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .OD⊥BC,OC=OB, ∴.∠BOE=∠COE,∠ODC=∠ODB=90°， :.∠OCB+∠COE=∠OCB+∠BOE=90°， .CE是⊙O的切线， .∠OCE=90, .∠BCE+∠OCB=90°， ∴∠BOE=∠BCE； 2)43 30.1)见解析 唱 31.(1) 证明：如图，连接OD, D CD是⊙O的切线， .∠CD0=90°， .∠CDE+∠ODE=90°， .OE⊥AB, ∴.∠OBD+∠OEB=90°， .OD=OB ∠OBD=∠ODE, .∠CDE=∠OEB. 5/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠OEB=∠CED .∠CDE=∠CED, .CD=CE」 (2)CD=4 32.(1)见解析 212y10 5 33.(1) 证明：如图，连接OD, D B 0 .OD=OB. .∠ODB=∠B, .∠AOD=∠ODB+∠B=2∠B, .∠CAB=2∠B, ∴∠AOD=∠CAB, OD‖AC, DG是⊙O的切线， OD⊥DG, .DG⊥CG (2)4 34.(1)见解析 (2)3 35.(1) 证明：如图，连接OD 6/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D .DE⊙O B E 是 的切线， .OD⊥DE. DE⊥CF, ∴.OD‖CF, .AD=A0=1, ·DCOB ∴.AD=CD: Qk 36.(1) 证明：连接OD交BC于点M, M E· D BC B 点为劣弧 的中点， .'OD L BC, .DE为⊙O的切线， .OD⊥DE ∴.BCDE (2)2V13 37.(1)3 (2)60° 3)8V15 38.(1)见解析 (2)2V13 39.(1) 证明：如图，连接OD 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B .CD与⊙O的相切， .∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°. :AB是⊙O的直径， .∠ADB=∠ODB+∠ADO=90°， ∴.∠BDC=∠ADO .OA=OD, ∴.∠AD0=∠A, ∴∠BDC=∠A: (2)2V3 40.(1) 证明：连接OG,OE H 0 G D E .OA=OG .∠OAG=∠OGA, 在⊙0中，∠H=45°， .∠E0G=90°， ,BC是⊙O的切线， ∴.∠OEC=90 .OG‖BC ∴.∠OGA=∠C, .∠C=∠OAG ..AB=BC 8/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R)5 3 41.1) 证明：如图，连接OD, .OD=OB. ∴.∠ODB=∠ABD CD是⊙O的切线， ∴.OD⊥CE,即∠ODC=90° BE⊥CD, .∠E=90°， ∴∠ODC=∠E, .OD‖BE, ∴.∠ODB=∠EBD .∠ABD=∠EBD: 2)BE=24 5 42.(1)如图，连接BC, D .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，即BC⊥AD, .AC=CD, ..AB=BD: 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R90 13 43.1)证明：CD=BC, .∠D=∠CBD ,∠D=∠A, .∠CBD=∠A, “BC=BC .∠E=∠A, .∠CBD=∠E, ,连接BO并延长，与弧AC交于点E, ∴BE为直径， ∴.∠BCE=90°，则∠E+∠BEC=90°， .∠CBD+∠BEC=90°，即∠EBD=90°， 又OB为半径， ∴BD是⊙O的切线. 明 44.1)见解析 45.(1) 证明：如图，连接OC, B E .CF⊙O 是 的切线， ∴.OC⊥CF,即∠OCF=90°， .∴.∠OCB+∠BCF=90°， AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， 10113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OCB+∠OCA=90°， ∴.∠OCA=∠BCF, .OA=OC, .∠OCA=∠A, ∴.∠A=∠BCF: (2)25 46.1)见解析 eo0号 47.1)见解析 呺 48.1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， .∠A=∠C, BD=BD, ∴.∠A=∠E, BD=BC, ..∠BDC=∠C, ∴.∠E=∠BDC, .DE为⊙O直径， ∴∠DBE=90°， .∴.∠E+∠BDE=90°， ∴.∠EDC=∠BDC+∠BDE=∠E+∠BDE=90°， ∴.CD是⊙O的切线： ®那号 49.(1)证明见解析 (2)6 50.(1)3 (2)见解析 )木桥AD长度的最大值为301+/3米. 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 51.(1)见解析 (2)2 52.(1)DE= 60 DF=6 ②)存在，方案见解析，半径为8√41-17m 53.1)3P/2 2)两条通道长度之和的最小值为11+143m s4喝 (2)4V3 3)能，最大值为900V3m2 55.(1)40 (2)27 6)2402+806m 56.1)49V2-2 (2)最低成本为3510003元 57.1) 证明：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=1, ..AC=VA B2+BC2=V22+12-V5 4V5 船堂58最 2 5 ..AB=AD ·ACAB .∠A=∠A ∴.△ABC一△ADB: (2)2V2 3)200V15 58.1) 12113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：BD是⊙O的切线，AB是直径， .∠ABD=90°， .∠BAD+∠D=90°， :AB是直径， .∠ACB=90°， .∠CAD+∠AFC=90°， .BD=BF, ∴∠D=∠BFD, .∠BFD=∠CFA, .∠D=∠AFC, .∠BAD+∠D=90°，∠CAD+∠AFC=90°， ∴.∠CAD=∠BAD. 25 5 13113 专题09 圆 5年真题1年模拟 考点分类 陕西考情（2022-2026） 命题规律 考点01利用垂径定理求值 高频考点，多出填空、选择题；常作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理求弦长、半径、弦心距；近五年几乎每年考查 核心是作垂线构造直角三角形；考题以线段计算为主，不单独出大题；常与勾股定理绑定，属于圆板块基础必拿分题型 考点02 圆周角 必考内容，选择、填空、圆综合大题均会出现；考查圆周角定理、直径所对圆周角为直角、同弧圆周角相等；常用来推导角度相等，为证明做铺垫 侧重角度转化；直径构造直角是高频考法；多作为综合题的第一步条件，用来证全等、相似，难度中等 考点03 切线的性质定理 圆解答大题核心考点，几乎年年考；常考切线垂直半径；第一问多用来证垂直、证角相等；第二问结合勾股、相似计算线段长 看到切线优先连接圆心与切点得垂直；是圆综合大题突破口；常融合相似三角形、勾股定理，区分度中等偏上 考点04 正多边形和圆 以填空选择题为主；考查正多边形半径、边心距、边长、中心角计算；偶尔和圆周长、扇形弧长结合出题 把正多边形拆解成等腰三角形、直角三角形求解；侧重基础计算；考查频次低于圆其他考点，难度不高 考点01 利用垂径定理求值 1．（2026·陕西·中考真题）如图，点在上，连接并延长至点，过点作的切线，切点为，作弦，垂足为，作弦，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，并延长交于点， ∵为的切线，为半径， ∴ ∵ ∴，即 ∵ ∴垂直平分 ∴； (2) 【分析】（1）连接，并延长交于点，根据圆的切线的性质以及平行线的性质可得，再由三线合一得到垂直平分，即可得到； （2）设，先对运用勾股定理求解半径，然后用面积法求解，即可求解，再证明，则由求解，最后由垂径定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 解得， ∵，经过圆心， ∴． 2．（2023·陕西·中考真题）如图，是的外接圆，．过点O作的垂线交于点D，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质． 连接，则是四边形的内接四边形，则与互补，从而求得，根据垂径定理得到垂直平分，从而，进而求得，即可解答． 【详解】    连接，则是四边形的内接四边形， ∴， ∵经过圆心O，且， ∴垂直平分， ∴， ∴． 故选：B． 考点02 圆周角 3．（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义和圆周角定理得到，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得； （2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 5．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 6．（2024·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数是_______． 【答案】/37度 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，直角三角形的性质等知识，连接，根据直径所对的圆周角是直角得，进而可求出，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解； （2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：； （2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，    ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 8．（2024·陕西·中考真题）如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是________．    【答案】/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2022·陕西·中考真题）如图，内接于⊙，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB． 【详解】连接OB，如图， ∵∠C=46°， ∴∠AOB=2∠C=92°， ∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∴∠OAB=∠OBA=×88°=44°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键． 考点03 切线的性质定理 10．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ． ， ， ， ； (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 11．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； (2)． 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 12．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在中，，，．若的半径为4，点在上，点在上，连接，求线段的最小值； （2）如图②所示，五边形是某市工业新区的外环路，新区管委会在点处，点处是该市的一个交通枢纽．已知：，，．根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形区域内（含边界）修一个半径为的圆型环道；过圆心，作，垂足为，与交于点．连接，点在上，连接．其中，线段、及是要修的三条道路，要在所修道路、之和最短的情况下，使所修道路最短，试求此时环道的圆心到的距离的长．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，，过点作，垂足为，则，由直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）分别在，上作，连接，、、、．证出四边形是平行四边形．由平行四边形的性质得出．当点在上时，取得最小值．作，使圆心在上，半径，作，垂足为，并与交于点．证明△△，由相似三角形的性质得出，求出的长可得出答案． 【详解】解：（1）如图①，连接，，过点作，垂足为，    则． 半径为4， ， ．， ， ， ， 线段的最小值为； （2）如图②，分别在，上作，    连接，、、、． ，，， 四边形是平行四边形． ． ， ， 当点在上时，取得最小值． 作，使圆心在上，半径， 作，垂足为，并与交于点． ∴， △△， ， 在矩形区域内（含边界）， 当与相切时，最短，即． 此时，也最短． ， 也最短． ， ， 此时环道的圆心到的距离的长为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（2022·陕西·中考真题）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． (1)求证：； (2)若⊙的半径，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵是的切线， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据是的切线，得出．根据，可证．得出．根据同弧所对圆周角性质得出即可； （2）连接．根据直径所对圆周角性质得出，．可证．得出．根据勾股定理．再证．求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． ∵为直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质，直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，熟练掌握圆周角性质和三角形相似判定与性质是解题关键． 考点04 正多边形和圆 14．（2023·陕西·中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为___．    【答案】 【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，   在中，，， ， 同理， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，A，D为上的两点，与相交于点E，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得出，再由三角形内角和定理即可求解 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 2．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点，，，均在上，连接，，，，于点，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，先证明，得出，再结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：如图，连接，，， 点，，，均在上，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·陕西渭南·二模）如图，四边形内接于，，过点C作交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用圆内接四边形对角互补求出，再利用平行线性质求出，最后利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， ， ， ， ． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，内接于⊙，，，连接、．若，则劣弧所对的扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等弧对等弦可得，进而得到，结合圆周角定理可得，再由扇形面积公式进行求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 5．（2026·陕西渭南·二模）如图，四边形内接于，连接、，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出，利用平行线的性质求出，最后根据圆内接四边形的性质求出； 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 6．（2026·陕西渭南·二模）如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得，根据同弧所对的圆周角相等得，可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， 在中，所对的圆周角有和， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·陕西咸阳·二模）如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为C是弧的最高点且垂直，所以根据垂径定理所在直线必然经过弧对应圆的圆心，且D为的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦的距离可表示为()，的长度为的一半即．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径． 【详解】 解：设圆心为O，连接， ∵是弧的最高点到的距离， ∴，， ∴， ∴O、D、C三点共线， 设圆的半径为， ∵，为， ∴，． 在中，由勾股定理得： ， 代入得： ， 解得． ∴所在圆的半径为． 8．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，四边形是的内接四边形，点在劣弧上，且，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，由圆周角定理得到，进而求出的度数，再利用圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：连接、、， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题 9．（2026·陕西榆林·一模）如图，四边形内接于，点B是劣弧的中点，，连接，则的度数为________． 【答案】35 【分析】首先利用圆内接四边形对角互补求出，然后利用等弧所对的圆周角相等求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∵点B是劣弧的中点 ∴． 10．（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 11．（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，再根据直角三角形的锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴． 12．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为正八边形的中心，连接、，则的度数为_________． 【答案】90 【详解】解：根据正多边形的性质，正n边形的每个中心角为， ． 13．（2026·陕西延安·一模）如图，是的直径，是弦，于点，连接，．如果，，那么的长是________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到及，进而求出的度数，最后在中利用勾股定理或含30度角的直角三角形性质求出的长即可求解． 【详解】解： 是的直径，， ∴，， ， ， 在中，，， ， ， ， 由勾股定理得， ． 14．（2026·陕西安康·一模）如图，是的直径，，是的两条弦，连接，若，平分，则的度数为______． 【答案】58 【分析】连接，由角平分线的定义得到的度数，由直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 15．（2026·陕西商洛·一模）如图，四边形内接于，是的三等分点，连接，．若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先根据弧的三等分点得到弧的度数关系，再利用圆周角定理、等腰三角形的性质求解． 【详解】解：如图，连接， ，根据圆心角等于圆周角的两倍， ， 是的三等分点， ， ， ， ． 16．（2026·陕西咸阳·一模）如图，四边形是平行四边形，经过点A、B、C，且与边交于点E，连接．若，则的度数为______． 【答案】72 【分析】由平行四边形的性质可得，，由圆内接四边形的性质可得，再由平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 17．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 【答案】/120度 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆的半径相等得到，进而求出的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·陕西渭南·一模）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．宋哥窑八方杯的杯口呈八方形（即正八边形），将其抽象为如图所示的正八边形，连接、，则的度数为________°． 【答案】45 【分析】根据正多边形的性质，正八边形内接于圆，利用圆周角定理，通过计算每条弧所对的圆周角的度数进行计算即可． 【详解】解：∵正八边形是圆内接正八边形，圆周被8个顶点分成8条相等的弧， ∴每条弧所对的圆心角的度数为， ∴每条弧所对的圆周角的度数为， ∵是两条弧所对的圆周角， ∴． 19．（2026·陕西咸阳·一模）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正六边形，连接，若该正六边形的半径为2，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据正六边形的性质，求出，进而得到垂直平分，进而求出的长即可. 【详解】解：连接，交于点，则， ∵正六边形， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴. 20．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的弦，连接、，点在上连接并延长交于点，连接，若，则的度数为___________°． 【答案】 30 【分析】首先根据点在上得出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，最后根据圆周角定理求解即可 【详解】解：点在上，， ， ， ， ， ， ， 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． 21．（2026·陕西西安·二模）如图，内接于，点在上，且点为劣弧的中点，连接、．若，则的度数为______． 【答案】40 【分析】根据圆周角的性质得到，由为劣弧的中点，得到，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为劣弧的中点， ∴， ∴． 22．（2026·陕西渭南·二模）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形的性质可得，利用圆周角定理可得，再根据角的和差关系解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴ ， 又∵是的直径， ∴， ∴． 23．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，连接，，．已知，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先由圆心角求出同弧所对圆周角，再结合得到，最后根据圆内接四边形对角互补，计算． 【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， 得， ， 根据圆内接四边形性质：圆内接四边形对角之和为， 则． 24．（2026·陕西渭南·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．某同学在学习了“割圆术”后，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为________． 【答案】12 【分析】过点作，垂足为，根据含的直角三角形的性质可得，进而求出面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 的半径为2， ， 圆的内接正十二边形的中心角为， ， ， 圆的内接正十二边形的面积． 25．（2026·陕西咸阳·二模）如图，正方形为的内接四边形．若点E是上的任一点，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】连接，，由正方形的性质得出，然后由圆周角定理得出． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形为的内接四边形．点E是上的任一点，且， ∴． 26．（2026·陕西安康·二模）如图，等边三角形和正方形均内接于．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接、、、，作，由题意得，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：连接、、、，作，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴． 27．（2026·陕西咸阳·一模）如图，线段的长为10，点B、D分别在线段的下方和上方，连接、、、，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】50 【分析】取的中点，连接、，则，由直角三角形的性质可得，，从而得出，进而可得点、、、四点共圆，再结合四边形面积，得出当，时，和的面积最大，此时四边形面积也最大，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∵四边形面积， ∴当，时，和的面积最大，此时四边形面积也最大， ∴四边形面积的最大值为． 28．（2026·陕西咸阳·一模）如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若 ，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先利用直径所对圆周角为直角，结合已知求出；再由等腰得，结合等腰与，证得平分，算出；最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，即平分， ∴， ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴． 三、解答题 29．（2026·陕西榆林·二模）如图，内接于，且是的直径，于点，过点作的切线交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质以及等腰三角形三线合一得出，，然后利用等量代换即可得出结论； （2）利用等边对等角，以及切线的性质，求得，最后利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． 30．（2026·陕西安康·一模）如图，为的直径，为弦延长线上一点，且满足，连接，并过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得是的中位线，即，根据平行线性质即可解答； （2）求得，证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的直径， ． ， 是的中位线， ， ， 是半径， 为的切线， （2）解：由（1）可知，则 ，， ， ，， ， ． 31．（2026·陕西汉中·一模）如图，为的直径，为的弦，交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质和垂直的定义，结合等边对等角证明，再由对顶角相等等量代换证明，等角对等边即可得证； （2）设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， 即． 32．（2026·陕西安康·二模）如图，是的外接圆，为的直径，与交于点F，D为延长线上一点，连接，，，． (1)求证：为的切线． (2)若，，半径为4，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角和已知两角的关系，得出，然后根据为的直径，，继而得到即可证明； （2）连接，易证和全等，从而证出为角平分线，再根据等腰三角形三线合一，得出，再根据互余两角三角函数的关系求出的正切，得出和的长，从而求出的长，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ， 为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ，， ， ， 为的平分线， ，即， ， ， ， ， ，即， 设， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ，， ， ． 33．（2026·陕西商洛·一模）如图，是的直径，是的弦，连接，过点作的切线，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出，结合三角形的外角性质得出，推得，根据平行线的判定得出，根据切线的定义得出，根据平行线的性质即可证明； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，结合正切的定义得出，结合圆的概念和勾股定理，列出方程求出，求得，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质即可求出． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故， 在中，， ∴， ∵的半径为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 34．（2026·陕西西安·二模）如图，是的直径，延长至点，点为上一点，连接、、，过点作于点，交于点，已知． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）如图，连接，先利用已知条件和三角形的内角和证明，进而证明，即，即可得到结论； （2）由是的直径可得，进而可得，推出，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，     ， ，     ， ，即，     ， 为的切线． （2）解：， ， 设，，则，     是的直径， ，即， ， ， ，     ，即， ． 35．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，以为直径的交于点，过点的切线交于点，延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接． 是的切线， ． ， ， ， ； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出直角，证明，得出，即可得出结论； （2）连接，根据直径得出直角，得出，根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． 是的直径， ，则． ，即点是的中点， ． 在中，， ， 解得， 的半径为． 36．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，为的直径，点在上，连接、，，点为劣弧的中点，过点作的切线交的延长线于点．点在半径上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：连接交于点， 点为劣弧的中点， ， 为的切线， ； (2) 【分析】（1）连接交于点，根据垂径定理，以及切线的性质推出，，即可证明； （2）过点作于点，结合平行线性质，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质推出，利用推出，设，则，，再利用勾股定理，以及线段的和差求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用相关知识，并作辅助线构造直角三角形． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， ． 37．（2026·陕西汉中·一模）探究解题： (1)问题提出：如图1，在矩形中，，点、分别为边、上的动点，连接，则的最小值为_____； (2)问题探究：如图2，内接于，连接、，，点、分别在、的延长线上，连接，若，求的度数； (3)问题解决：劳动教育是“五育并举”中的重要一环，为培养学生劳动素养，某校拟开辟出一块实验田作为学生劳动实践基地，规划示意图如图3所示，是原有的田地，米，米，，学校计划在所在平面内找一个点，在的延长线上找一个点，按功能板块沿图中线段完成基地区域划分，并沿着修建一段快速通道（宽度忽略不计），根据规划要求，，请你计算快速通道；的最小长度． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）当时，的值最小,此时，四边形是矩形，,的最小值为3； （2）求出，由，得，可得，得； （3）求出，∴,根据，得，即得． 【详解】（1）解：∵矩形中，，且，点、分别为边、上的动点， ∴当时，的值最小， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴, ∴的最小值为3． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的最小长度为米． 38．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，点、分别位于直径两侧的圆上，连接、、，交于点，，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即可得证； （2）易证，根据相似三角形的性质可得，的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：是的切线，为的直径， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ，即， 解得， ，， 在中，． 39．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接． ∵与的相切， ∴ ． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，由是切线，得到，根据为的直径，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论； （2）根据垂直的定义得到，根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴， ∴． 40．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D在边上，以为直径作，分别交、边于点G、E，点H在上方的上，连接、，，是的切线． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：连接,, ∵ ∴, 在中，， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴, ∴, ∴ ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可知，进而可知，根据角度关系即可证明； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵,, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴． 41．（2026·陕西榆林·一模）如图，为的直径，的切线与的延长线交于点C，连接，，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角得出．根据切线的性质可得出，结合，可得，然后根据平行线的性质即可得证； （2）设的半径为r，在中，根据勾股定理得出，则，证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为r，且， 则，． 在中，，， ∴， 解得：， ∴，，． 由（1）知， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 42．（2026·陕西西安·三模）如图，是的直径，点C是上的一点，延长至点D，使得．过点C作的切线交的延长线于点E．连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)如图，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再由线段垂直平分线的性质解答即可； （2）连接，根据切线的性质可得，再结合勾股定理可得，，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 43．（2026·陕西西安·一模）如图，为的外接圆，延长到点，使得，连接，且满足，连接并延长，与弧交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵连接并延长，与弧交于点， ∴为直径， ∴，则， ∴，即， 又∵为半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）根据等边对等角，以及同弧所对的圆周角相等，等量代换得出，结合直径所对的圆周角是直角得出，即，即可得证； （2）设交于点，过点作于点，证明，进而得出，勾股定理求得的长，得出，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设交于点，过点作于点 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴是的中点， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴的半径长为 44．（2026·陕西延安·一模）如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，是的切线，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，可得，再由是直径，可得，再由，可得，可得，再利用角平分线定理即可求证； （2）连接，，证明是等腰直角三角形，可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ∵，且， ∴； （2）解：如图，连接，， ∵是直径， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的长度． 45．（2026·陕西渭南·一模）如图，内接于，且是的直径，延长至点，过点作于点，过点作的切线交于点． (1)求证：； (2)若点是的中点，的半径为，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的切线， ，即， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理以及三角函数定义等． （1）连接，根据圆的切线性质得，再利用直径所对的圆周角是直角得，根据等腰三角形的性质，由得，即可得证； （2）先根据三角函数定义，得，求出的长，结合勾股定理求出的长，从而求得，进而得到，最后由勾股定理得：，即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为， ， 在中，， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 得， ， ， 故的长为． 46．（2026·陕西渭南·二模）如图，是的直径，点是上一点，连接、，，连接，． (1)求证：是的切线； (2)于点，若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，则，根据切线的判定即可证明结论； （2）利用勾股定理求出，再证明，得到，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得 47．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，以为直径作交边于点D，连接，过点D作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图：连接，由圆的基本性质以及等边对等角可得，再利用切线的性质、圆周角定理以及同角的余角相等可得，最后利用等量代换即可证明结论； （2）由圆的基本性质可得，利用正弦的定义可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴． （2）解：∵的直径为10， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 48．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，连接，，作的外接圆，连接并延长，分别交、于点、，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形性质推出，再结合直径所对的圆周角为直角分析求解，即可证明是的切线； （2）利用平行四边形性质推出，，利用勾股定理求出，再证明，结合相似三角形性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 49．（2026·陕西渭南·二模）如图，为的直径，C、D为上两点，且位于的两侧，连接、并延长交于点F，过点C作于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先连接半径，利用圆周角定理得出，结合已知推出，进而得到，再由传递得到，最后根据是的半径，依据切线判定定理即可证明是的切线； （2）先连接、，由得，再由得，由同弧所对圆周角相等得，从而推出，得到，再由利用等腰三角形三线合一得出，接着由是直径得，通过同角的余角相等推出，然后在中利用和求出，再在中利用求出，进而得到，最后通过即可计算得出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ∵， ∴， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ∴在Rt中，， ， ， ． 50．（2026·陕西渭南·二模）【问题提出】 (1)如图1，已知线段，点是平面内任意一点，连接、，若，则长度的最大值为________； 【问题探究】 (2)如图2，在中，，、分别是、的中点，连接，点是的中点，连接，求证：； 【问题解决】 (3)如图3，是某垂钓园的圆形鱼池，是鱼池上架的一座木桥，为了满足更多钓鱼爱好者的需求，计划在鱼池上方再架三座木桥、、，点、、均在上，要求木桥尽可能的长．已知米，的半径为120米，点、分别是、的中点，求木桥长度的最大值．（木桥的宽度均忽略不计） 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)木桥长度的最大值为米． 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，构造出辅助线，找到线段之间的关系． （1）根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立，即可求解； （2）由题意可得，是的中位线，，由为的中点可得，再根据，即可求证； （3）连接，取的中点，连接，取的中点，连接，根据三角形中位线的性质可得，从而确定当点在的延长线上时，最大，最大为，取的中点，连接，则是的中位线，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得，，当且仅当共线时等号成立， 则，即长度的最大值为； （2）解：∵、分别是、的中点，点是的中点 ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，取的中点，连接，取的中点，连接，如图： 由题意可得，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵的半径为米， ∴米， ∴米，米， ∵ ∴当点在的延长线上时，最大，最大为， 取的中点，连接，则是的中位线， ∴，米， 在中，米，米， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∵米，点是的中点，点是的中点， ∴米， 在中，米， ∴最大为米 答：木桥长度的最大值为米． 51．（2026·陕西咸阳·二模）如图，是的外接圆，是的直径，过点B作，，连接交于点F，交于点E，过点F作 ，交于点G． (1)求证：FG是的切线； (2)若，，求AE的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，根据题意得出是等腰直角三角形，再由圆周角定理确定，利用平行线的性质即可证明； （2）根据圆周角定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，．然后代入求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， 是等腰直角三角形， ， ． ∵，    ， 即， 是的切线． （2）解：是的直径， ， ∴，     ， ， ，     ． ， ， ． 52．（2026·陕西安康·一模）探究以下问题： (1)问题提出如图①，在中，，，为边上的动点，过点作，，当时，分别求出与的长． (2)问题解决 如图②，某座智能体验馆的平面示意图为四边形，已知，，，现要将体验馆内部划分为四个不同的功能区，点在四边形内部，连接，，，，得到四个不同的功能区：，，，．体验馆功能区具体要求如下： （Ⅰ）功能区的面积要保持为． （Ⅱ）功能区要满足其周长最小． （Ⅲ）在功能区内部规划一座圆形展台，且与的三条边都相切． 请你结合上述要求，探究是否存在满足条件的展台？若存在，写出规划方案，并求出的半径；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，方案见解析，半径为 【分析】（1）连接，过点作于点，计算，则可得，再利用三角形面积公式计算与即可； （2）过点作，交于点，交于点，以为对称轴，作点关于的对称点，连接，则根据对称性可知，根据两点之间线段最短可得当，，三点在同一条直线上时，满足最短，存在最小周长，再利用三角形内切圆的半径等于三角形的面积乘以2，再除以周长即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，过点作于点， ，， ，则， 当时，， ， 解得，； （2）解：，，设的边上的高为， ，即点到的距离为， ， 如图2，过点作，交于点，交于点，以为对称轴，作点关于的对称点，连接，则根据对称性可知， ．即当，，三点在同一条直线上时，满足最短， 的长固定， 存在最小周长． 如图，过点作的延长线于点， 由题可知，，，，， 在中，， 在中，． 当与的三条边相切时，切点分别为，，，设的半径为， ， ， ， ，即， 解得 ， ，解得， 综上所述，存在点满足的周长最小，此时的半径为． 53．（2026·陕西宝鸡·一模）【问题探究】 (1)如图1，点为上一点，、为上的动点，连接、、，，若的直径为6．求的长； 【问题解决】 (2)从2025年的初露锋芒到2026年的精准操控，春晚机器人在科技赋能下以惊人的“中国速度”实现跨越式创新．为了激发青少年的科创热情，某校拟对校园科创角进行扩建，如图2，梯形是扩建前的平面示意图，，，，，，点是边上的一个出入口、，校方计划在梯形ABCD内取一点，在下方取一点，将四边形区域规划为机器人体验区，并沿、修建两条通道，根据规划要求，，，请你计算两条通道长度之和（即）的最小值（出入口的大小和通道的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2)两条通道长度之和的最小值为 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而求出的长即可； （2）先证明四点共圆，且为圆的直径，取的中点，连接，作，根据圆周角定理和垂径定理求出，进而得到，当最小时，最小，根据，得到当三点共线时，值最小，作，证明四边形为矩形，求出的长，勾股定理求出的值，进而求出的最小值，即可． 【详解】（1）解：连接，则，， ∵，的直径为6， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴四点共圆，且为圆直径， 取的中点，连接，作，则，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵， ∴当三点共线时，值最小， 作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 答：两条通道长度之和的最小值为． 54．（2026·陕西商洛·一模）问题探究 (1)如图①，为的直径，且，为上一点，过点作于点，则的最大值为________； (2)如图②，在和中，，，连接，，若，求的长； 问题解决 (3)如图③，某植物园原计划设计四边形花卉园展示区，其中，，后根据实际需求，需要将四边形扩建为四边形，点在边的延长线上，连接，，，满足，，，且的面积最大，请问是否能扩建出满足要求的四边形？若能，请求出此时面积的最大值；若不能，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) (3)能，最大值为 【分析】（1）为上一点，，当为圆的半径时，取得最大值； （2）通过证明，利用直角三角形的边长比例关系求解； （3）先证明，再证明，作的外接圆，连接，，过点作于点，过点作于点，求得，即得面积的最大值． 【详解】（1）解：如图①，当点与圆心重合时，的值最大，此时为的半径， 为的直径，， 的最大值为． （2）解：，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， ， ． （3）解：能扩建出满足要求的四边形． 理由如下： ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， 如答案图②，延长至点，使，连接， ， ， ， ， 令和的交点为，则， 又∵， ，即， ， ， 作的外接圆，连接，，过点作于点，过点作于点， 则，， 在中，，， ， ， 当三点共线时，取等号， ， 面积的最大值为， 综上所述，面积的最大值为． 55．（2026·陕西渭南·一模）【问题提出】 (1)如图1，点A、B、C、D在上，连接、、、，若，则的度数为________； (2)【问题探究】如图2，在中，，，，在上方找一点D，连接、、，，以为边在左侧作等边，求周长的最大值； (3)【问题解决】如图3，是某公园的一块圆形运动休闲区，上的A、B是出入口，小路经过圆心O（即是的直径），是一条长为的小路（C、D均在上，且不与相交），是一条长为的小路，．现要对该休闲区重新规划，在上找一点E，点E与点D在的异侧，连接、，过点D作的垂线，与的延长线交于点F，沿、、修建三条运动跑道，求这三条运动跑道总长度的最大值（即周长的最大值）．（出入口的大小、小路与跑道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)40 (2)27 (3) 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可得结果； （2）根据题意，点D在以为直径的上，三点在同一直线上时，即可求出 周长的最大值； （3）作于，连接，，， 求得，， ，进而求得，即可求得，，证明是等边三角形，进而可得，，得 的周长为，当是的直径时最大 ，即可求出这三条运动跑道总长度的最大值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解： ， 点D在以为直径的上，如图： ， ， 连接，， ， 时最大，如图： 此时，三点在同一直线上， 在中， ， ， 等边中，， 周长的最大值为； （3）解：作于，连接，，， ，是一条长为， ，， 在中，， 是一条长为的小路， ， ， ， ， 中，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 中，，， 的周长为， 点E在上， 是的直径时最大，为， 周长的最大值为． 即这三条运动跑道总长度的最大值为． 56．（2026·陕西榆林·一模）完成下列问题 (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，以点为圆心，半径为作，点是边上的一个动点，点为上的一个动点，求线段的最小值； 问题解决 (2)如图2，兴隆社区有一块四边形空地，其中，，，，，且．现在管理人员计划重新规划这块空地，在空地上找一点，在处建一个灌溉点，要求，然后在区域种植太阳花，在区域种植郁金香，其余部分铺上草坪．其中太阳花的种植成本为元 ，郁金香的种植成本为元 ，求种植太阳花和郁金香的最低成本是多少元？ 【答案】(1) (2)最低成本为元 【分析】（1）连接，过点作，垂足为，解直角三角形，求得，根据得出的最小值，即可求解； （2）先求得，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接，得点在以点为圆心，半径为的上运动，根据得出，设种植太阳花和郁金香所需成本为，则，连接，过点作，得出，求得，过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，解直角三角形求得，根据得出的最小值，进而求得，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接，过点作，垂足为． ∵是等腰直角三角形，且， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴的最小值为； （2）∵，且， ∴． 如图2，在右侧作以为底的等腰直角三角形，连接， ∴， ∴． ∵， ∴点在以点为圆心，半径为的上运动， ∴． ∵， ∴． 设种植太阳花和郁金香所需成本为， 则． ∵，， ∴． 如图2，连接，过点作 ∵，，， ∴， ∴重合， ∴， ∴． 如图2，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ． ∴（元）， ∴最低成本为元． 57．（2026·陕西渭南·一模）探究图形中线段与角度的关系，并完成以下问题 【问题初探】 (1)如图1，在中，，，，点D在边上，连接，，求证：； (2)如图2，是正方形的对角线，点E为边的中点，连接，点F在边右侧，连接、，，，求的长； 【问题解决】 (3)如图3，某市要在一块四边形街区内搭建智慧安防监控网络，其中，主干道米，米，，点B处为核心监控基站，点E在边上，且米，点F是街区内部的移动信号中继器，满足，连接并延长至点P，在P处修建一个服务中心，连接、，，且要保证主监控点A到服务中心P的距离最短，请你帮助工作人员求出主监控点A到服务中心P的距离最短时，核心监控基站B到服务中心P的距离（即求线段取得最小值时，线段的长）．（基站、服务中心、移动信号中继器、主监控点的大小均忽略不计） 【答案】(1) 证明：在中，，，， ， 、， ， ； (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出，再求出，从而得出结论； （2）根据勾股定理求出长，易证明，进而得到，从而求出长； （3）易证明，进而得到，以点E为圆心，长为半径作交于点G，连接，在上取一点H，使得，作射线，则、，进而得到，从而证明，进而得到，即点在射线上运动（不与点重合），当时，取得最小值，即为图3中，易证明四边形是矩形，进而得到，在中，利用勾股定理求出长即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点， ， 、， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：、， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 如图3，以点E为圆心，长为半径作交于点G，连接，在上取一点H，使得，作射线， 、， ， 是直径、， ， ， ， ， ， ， ， 点在射线上运动（不与点重合）， 当时，取得最小值，即为图3中， ， ， 四边形是矩形， ， 如图3，连接， 在中，由勾股定理得：， 主监控点A到服务中心P的距离最短时，核心监控基站B到服务中心P的距离为米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 58．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点，，均在上，连接，，，且经过圆心．过点作的切线，连接，分别交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：是的切线，是直径， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． (2) 【分析】（1）由切线的性质、圆周角定理可得、，进而得到、，再根据等边对等角、对顶角相等以及等量代换可得，再根据同角的余角相等即可证明结论； （2）如图：连接，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得；设，则，即，，根据余弦定义列方程可求得（已舍去负值），即、；由（1）可知，再根据余弦的定义列方程可求得，最后运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：连接， ∵是直径，， ∴，，，即， ∵， ∴， 设，则，即，， 在中，，在中，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $