专题3.1.1 椭圆及其标准方程（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，从椭圆定义（含常数与两定点距离关系的限制条件）出发，系统推导焦点在x轴、y轴的两种标准方程，梳理求方程的待定系数法与定义法，明确a、b、c的几何意义及a²=b²+c²关系，通过题型分类构建从概念到应用的学习支架。 资料通过动手画椭圆、推导方程过程培养数学思维，结合天体轨道等实例发展数学眼光，即学即练与题型总结助力数学语言表达。课中推导步骤清晰辅助教学，课后练习题分层设计帮助学生查漏补缺，提升运算与推理能力。

专题3.1.1 椭圆及其标准方程 教学目标 1.学生能够理解椭圆的定义，掌握椭圆满足的几何条件，区分焦点、焦距、长轴、短轴等基本概念；熟练掌握椭圆两种形式的标准方程，能够根据条件正确写出椭圆标准方程，也能根据标准方程识别椭圆基本参数。 2.通过动手画椭圆、推导椭圆方程的过程，体会坐标法、数形结合、等价转化的数学思想；提升学生利用几何条件建立曲线方程的能力，培养学生观察、归纳、推理以及运算求解的核心素养。 3.通过椭圆的实际生活应用（天体轨道、建筑造型等）感受解析几何的实用价值；在公式推导与探究过程中培养学生严谨的数学思维、主动探究的学习习惯，增强学习解析几何的信心。 教学重难点 重点 1.椭圆的定义及其几何条件的准确理解； 2.椭圆标准方程的推导与两种标准形式的掌握； 3.根据已知条件求椭圆的标准方程。 难点 1.椭圆定义中常数大于两定点距离这一限制条件的理解（易错点）； 2.椭圆标准方程推导过程中的根式化简、配方变形； 3.根据焦点位置准确判断、选择对应标准方程，避免长短轴、焦点位置混淆。 知识点01 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的__________． 注意：若，则动点的轨迹为__________；若，则动点的轨迹__________ 【即学即练】 1．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 2．根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 3．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 知识点02 椭圆的标准方程 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． 第一步：建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． 第二步：点的集合 由定义不难得出椭圆集合为：____________________． 第三步：代数方程 ，即：. 第四步：化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中__________； 【即学即练】 1．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 知识点03 求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： 方法1：待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需__________；有时也可设其方程的一般式：（且）． 方法2：定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【即学即练】 1．与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 2．已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 3．如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 知识点04 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式____________________相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练】 1.已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 2.已知，分别为椭圆的左、右焦点，位于第三象限的点在上，．将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为（    ） A． B． C． D．3 3.设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 题型01 椭圆的定义与标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【典例1】（多选）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【变式2】如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型02 椭圆方程的充要条件 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典例1】若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【变式1】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【变式2】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 椭圆焦点三角形解题时熟记基础结论，周长等于 2a+2c，可以直接快速作答。面积常用结论 S=b²tan (θ/2)，θ 代表两焦点的夹角。解题优先使用定义，PF₁+PF₂=2a，搭配余弦定理建立关系式。遇到最值题型，结合椭圆上动点范围，即纵坐标的最值求解面积极值。做题需要留意焦点所在坐标轴，椭圆参数 a,b,c 切勿混淆。该类小题直接套用二级结论，大题不可直接默写公式，应当简单推导。规避夹角、顶角等概念误区，做完以后检验 a＞b＞0 的关系。 【典例1】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 题型04 椭圆上两点距离的最值问题 椭圆上两点距离最值分为动点到定点、椭圆上两个动点两类题型。定点在坐标轴上优先借助几何图像快速判断最值。定点不在坐标轴，选用参数方程设点，依靠三角函数求取最值。椭圆上任意两点的最大距离为长轴 2a。求解椭圆上动点到定点距离，列出距离表达式，转化二次函数，结合横坐标取值范围求得最值。遇到过焦点的两点，直接利用焦半径公式简化运算。解题优先几何法，几何法不易分析，则采用代数坐标运算。答题切记椭圆自变量取值限制，忽略范围极易求出错误结果。做完之后结合椭圆草图核验端点情况，判断最值是否可以取到。 【典例1】已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式2】过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 题型05 椭圆上两线段的和差最值问题 椭圆线段和差最值优先利用椭圆第一定义实施转化。线段之和题型，结合定点位置判断，定点于椭圆外部，直接连接两点得到最小值。定点落在椭圆内部，借助焦点进行等量代换，将线段和转变为动点到定点与焦点距离之和。线段之差最值依据三角形三边关系，三点共线的时候取得极值。代数解法可以设置参数方程，依靠三角函数完成最值求解。做题应当分清定点、焦点，防止两个焦点混用。求出结果之后检验动点是否能够落在椭圆之上。小题可以直接使用几何图像判断，大题写出共线的文字说明。时刻留意等号成立条件，避免出现最值取不到的失误。 【典例1】已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【变式1】已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【变式2】已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型06 利用第一定义求解轨迹 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【典例1】设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【变式1】椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【变式2】为平面直角坐标系的原点，，，动点满足，且实数满足，动点的轨迹与圆有4个交点时，的取值范围为__________. 1．过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 2．已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． 3．已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 5．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 8．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 9．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 1．对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆（，且），则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点.求椭圆的标准方程. 2．已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 3．（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 4．（多选）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 5．在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴，轴上运动，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，为坐标原点，试求当为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值. 6．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 7．在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 9．已知是椭圆：上一点，点，，若，过点作的垂线，垂足为，则______，点到轴的距离为______. 10．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1.1 椭圆及其标准方程 教学目标 1.学生能够理解椭圆的定义，掌握椭圆满足的几何条件，区分焦点、焦距、长轴、短轴等基本概念；熟练掌握椭圆两种形式的标准方程，能够根据条件正确写出椭圆标准方程，也能根据标准方程识别椭圆基本参数。 2.通过动手画椭圆、推导椭圆方程的过程，体会坐标法、数形结合、等价转化的数学思想；提升学生利用几何条件建立曲线方程的能力，培养学生观察、归纳、推理以及运算求解的核心素养。 3.通过椭圆的实际生活应用（天体轨道、建筑造型等）感受解析几何的实用价值；在公式推导与探究过程中培养学生严谨的数学思维、主动探究的学习习惯，增强学习解析几何的信心。 教学重难点 重点 1.椭圆的定义及其几何条件的准确理解； 2.椭圆标准方程的推导与两种标准形式的掌握； 3.根据已知条件求椭圆的标准方程。 难点 1.椭圆定义中常数大于两定点距离这一限制条件的理解（易错点）； 2.椭圆标准方程推导过程中的根式化简、配方变形； 3.根据焦点位置准确判断、选择对应标准方程，避免长短轴、焦点位置混淆。 知识点01 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数（），这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距． 注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形． 【即学即练】 1．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 2．根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 3．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 知识点02 椭圆的标准方程 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． 第一步：建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． 第二步：点的集合 由定义不难得出椭圆集合为：． 第三步：代数方程 ，即：. 第四步：化简方程 由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 椭圆的标准方程： （1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 【即学即练】 1．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 2．已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，线段的中点在轴上，且，若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知为等边三角形，结合长度关系可得，，即可得椭圆方程. 【详解】因为分别为，的中点，则， 且，则，即，可得， 又因为，则，可知为等边三角形， 且，则，， 可得，，即，， 则，所以椭圆的标准方程为. 3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交C于A，B两点，若，，则椭圆C的方程为_______. 【答案】 【分析】先利用椭圆的定义设出线段长度，结合已知条件求出各边长度，再用余弦定理建立关于的方程，进而求出，得到椭圆方程. 【详解】设，则，。 因为，所以。 根据椭圆的定义可得，得​， 因此，。 在中，； 在​中，​，​，， 由，得， 对​用余弦定理： ， 对​用余弦定理：， 所以化简得：， 又椭圆中， 所以，即。 因此椭圆的方程为 知识点03 求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： 方法1：待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”．②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：（且）． 方法2：定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”．利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题． 【即学即练】 1．与椭圆方程有相同焦点，且过点的椭圆方程为________． 【答案】 【详解】由题意可设所求椭圆的标准方程为， ∵椭圆过点， ∴将，代入方程得， 解得或（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 2．已知椭圆过点和点，则此时椭圆的标准方程为________． 【答案】 【详解】设所求椭圆的方程为． 将两点，的坐标代入，得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为． 3．如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的切线方程，根据椭圆的光学性质可得关于直线l对称点在直线上，利用斜率相等计算，再由点在椭圆上，求解即可. 【详解】如图，    由可知圆心， 因为椭圆E与圆C相切于A， 所以它们在点A处有相同的切线l， 因为，所以， 即切线的方程为， 所以l的方程为， 由椭圆的光学性质知， 所以关于直线l对称点在直线上， 所以，即， 所以，所以①， 而椭圆过点A，所以②， 联立①②得，则的方程为. 故选：D 知识点04 椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边． 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系． 【即学即练】 1.已知椭圆，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由题意得，，，则，即，， 设，则， ， 因为，所以，即，， 所以的最大值为. 2.已知，分别为椭圆的左、右焦点，位于第三象限的点在上，．将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】通过椭圆的基本性质得到焦点的坐标，采用数形结合的方法，通过线面垂直证明线线垂直，从而求得线段的长度. 【详解】是椭圆的左、右焦点，即的坐标分别为， 因为，且为的中点， 所以， 设点为椭圆的短轴的一个端点，翻折后（如图所示）， 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，则， 所以. 3.设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程可得椭圆基本量，再由得，进而在焦点三角形中由余弦定理可得，再由中线向量关系可得，从而可得所求值. 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. 题型01 椭圆的定义与标准方程 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【典例1】（多选）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 【变式1】已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 【变式2】如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 题型02 椭圆方程的充要条件 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典例1】若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质计算即可. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，C正确； 焦点在轴上时，，解得，D错误； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误． 【变式1】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由椭圆方程结构特点求得范围，再结合基本不等式即可求解. 【详解】根据题意可得，解得. 令， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为5. 【变式2】已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 题型03 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 椭圆焦点三角形解题时熟记基础结论，周长等于 2a+2c，可以直接快速作答。面积常用结论 S=b²tan (θ/2)，θ 代表两焦点的夹角。解题优先使用定义，PF₁+PF₂=2a，搭配余弦定理建立关系式。遇到最值题型，结合椭圆上动点范围，即纵坐标的最值求解面积极值。做题需要留意焦点所在坐标轴，椭圆参数 a,b,c 切勿混淆。该类小题直接套用二级结论，大题不可直接默写公式，应当简单推导。规避夹角、顶角等概念误区，做完以后检验 a＞b＞0 的关系。 【典例1】设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 【变式1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 【变式2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（   ） A．的周长为16 B． C． D．直线的斜率为 【答案】AC 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误.      题型04 椭圆上两点距离的最值问题 椭圆上两点距离最值分为动点到定点、椭圆上两个动点两类题型。定点在坐标轴上优先借助几何图像快速判断最值。定点不在坐标轴，选用参数方程设点，依靠三角函数求取最值。椭圆上任意两点的最大距离为长轴 2a。求解椭圆上动点到定点距离，列出距离表达式，转化二次函数，结合横坐标取值范围求得最值。遇到过焦点的两点，直接利用焦半径公式简化运算。解题优先几何法，几何法不易分析，则采用代数坐标运算。答题切记椭圆自变量取值限制，忽略范围极易求出错误结果。做完之后结合椭圆草图核验端点情况，判断最值是否可以取到。 【典例1】已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 【变式1】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 【变式2】过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点知，，则， 因此最大，当且仅当最大，设，， 则， 当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为. 故答案为：    题型05 椭圆上两线段的和差最值问题 椭圆线段和差最值优先利用椭圆第一定义实施转化。线段之和题型，结合定点位置判断，定点于椭圆外部，直接连接两点得到最小值。定点落在椭圆内部，借助焦点进行等量代换，将线段和转变为动点到定点与焦点距离之和。线段之差最值依据三角形三边关系，三点共线的时候取得极值。代数解法可以设置参数方程，依靠三角函数完成最值求解。做题应当分清定点、焦点，防止两个焦点混用。求出结果之后检验动点是否能够落在椭圆之上。小题可以直接使用几何图像判断，大题写出共线的文字说明。时刻留意等号成立条件，避免出现最值取不到的失误。 【典例1】已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 【变式1】已知椭圆内有一点是椭圆的左焦点，在椭圆上运动，则的最小值为______. 【答案】31 【分析】结合椭圆的第二定义，将问题转换成椭圆上的点到定点和左准线的距离和问题即可求解. 【详解】，即求的最小值. 椭圆的离心率为，， 则由椭圆的第二定义知，等于椭圆上的点到左准线的距离. ，只需求的最小值. 过点作左准线的垂线，垂足为 则， 当且仅当三点共线时等号成立， 又左准线方程为， 此时，故的最小值为31， 即的最小值为31. 【变式2】已知、为椭圆方程：的左右焦点，点在椭圆上，动点、始终满足，，则的最大值为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，，可判断点，分别在以线段，为直径的圆上，可知两圆上点的最大距离等于圆心距加上两圆的半径. 【详解】解：由题意知，，，则，，， 由，则，所以点在以线段为直径的圆上， 同理，由，可得点在以线段为直径的圆上， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径， 以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以，在中，为中位线，则， 因此，当，，，四点共线，且，位于两圆外侧时，最大， 即， 由椭圆定义可知，所以. 题型06 利用第一定义求解轨迹 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【典例1】设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 【变式1】椭圆上有动点，点，是椭圆的两个焦点，则的重心的轨迹方程为______． 【答案】 【详解】设点，的坐标分别为，， 因为在已知的椭圆方程中，，所以， 所以可知椭圆两焦点为，． 因为存在，所以． 由三角形重心坐标公式得，即； 因为，所以． 将点代入已知椭圆方程，得， 即所求的重心的轨迹方程为． 【变式2】为平面直角坐标系的原点，，，动点满足，且实数满足，动点的轨迹与圆有4个交点时，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】方法一：根据条件写出点的轨迹方程，知其轨迹为椭圆，将该椭圆的标准方程转化为参数方程表示任意一点，根据两点间的距离公式计算最值，并结合图形判断即可； 方法二：联立椭圆与圆方程，此时有上下个交点，半径继续增大，满足题意，有个交点，当半径增大到圆过椭圆右顶点时个交点，半径继续增大，交点个数始终小于个. 【详解】方法一： 设坐标，则，，则. 又因为，所以. 因为的轨迹与圆有个交点， 所以圆与椭圆相交且不能相切， 结合图形可得，需使该圆的半径大于圆心到椭圆上点的最小距离，且小于椭圆右顶点到圆心的距离. 设椭圆上任意一点的坐标为，, 该点到圆心的距离， 因为，所以当时，；当时，. 右顶点到圆心的距离为，所以. 的取值范围为. 方法二：易知圆心在椭圆内部且在轴上，当半径很小时，无交点，半径逐渐增大， 首先与椭圆上下相切.联立椭圆与圆方程得：， ，.此时两者个交点，半径继续增大，两者出现4个交点， 当半径继续增大到圆过椭圆右顶点时，，此时个交点，半径再继续增大，交点个数始终小于个. 综上，的范围为. 1．过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________. 【答案】20 【详解】 如图的周长为. 2．已知椭圆的两个焦点分别为，，且过点，则该椭圆的上顶点为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的两个焦点分别为，，设为， 设椭圆方程为， 在椭圆上， 故， 故，则该椭圆的上顶点为，即. 3．已知是圆上的动点，且， 当点满足，点在椭圆上运动时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的坐标及已知等式，可得到，结合求出点的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心的圆，进而求出的最大值，根据（r为轨迹圆的半径）即可求出答案. 【详解】因为圆，所以圆心， 由是圆上的动点知， 由，得， 由，得， 所以， 将等式两边同时平方，得， 所以，所以动点的轨迹方程为， 由椭圆的方程可设点的坐标为， 由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图， 则， 当时，， 所以. 4．点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数，求M的轨迹方程； 【答案】 【分析】把已知条件用方程表示出来化简即得. 【详解】因为点到定点的距离与它到定直线的距离之比是常数， 所以，整理得．即， 则M的轨迹方程为； 5．已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程求出的值，再利用椭圆定义求出，最后在中运用余弦定理求出，进而得到的值. 【详解】由题意得，.若，则， 由余弦定理得， 因为，所以. 7．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【详解】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 8．已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 9．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．必要且不充分条件 B．充分且不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】“方程表示椭圆”“”． “”不能得出“方程表示椭圆”， 存在反例，，，此时方程为，无实数解，不能代表椭圆． 10．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 1．对于给定的椭圆，与之对应的另一个椭圆（，且），则称与互为共轭椭圆.已知椭圆与椭圆互为共轭椭圆，是椭圆的右顶点.求椭圆的标准方程. 【答案】 【分析】根据共轭椭圆的定义结合已知条件求解即可. 【详解】由题意可设的共轭椭圆方程为， 即（，且）， 因为是该椭圆的右顶点，所以，解得， 椭圆的标准方程. 2．已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 【答案】B 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，且， 则，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值只与有关. 3．（多选）已知P为椭圆上的一个动点，Q为圆上的一个动点，点，则（   ） A．的最小值为6 B．的最小值为7 C．的最大值为8 D．的最大值为9 【答案】BD 【分析】确定，为C的两个焦点，由椭圆的定义结合圆外一点到圆的最值求解即可. 【详解】圆的圆心为，则，为C的两个焦点， 由椭圆的定义知，，如图， 由Q为圆M上的动点，得，即， 则， 即，故的最小值为7，最大值为9. 4．（多选）方程表示焦点在轴上的椭圆，则m的可能取值可以为（    ） A．4 B．14 C．24 D．26 【答案】BC 【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆， ，解得，故BC符合题意． 5．在平面直角坐标系中，已知，两点分别在轴，轴上运动，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，为坐标原点，试求当为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值. 【答案】(1) (2)，最大值为1 【分析】（1）设，由向量关系及消去参数得轨迹方程； （2）联立直线与椭圆，利用韦达定理将表示为关于 n的表达式，令 n的系数为零确定 t，再结合弦长与距离公式结合基本不等式求三角形面积的最大值. 【详解】（1）设，由得，即， 因为点满足，即，设，则， 即，代入得， 整理得，即的方程为. （2）设，联立，得， 则，， 则， 若该式为定值，则该式与无关，则，解得， 此时， 当时，直线为，， 联立得，则， 且，且，解得， 则， 点到的距离， 则， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，即面积的最大值为1. 6．设为椭圆上一动点，、分别为圆和圆上的动点，则不可能为（   ） A．9 B．11 C．13 D．16 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解，再结合圆上一点到圆外一点的距离的最大值为该点到圆心距离加半径，最小值为该点到圆心距离减半径，分别分析和的最值范围，进而结合不等式性质求解即可. 【详解】如图，椭圆的两个焦点坐标为，为两个圆的圆心坐标，圆的半径为，圆的半径为，由椭圆的定义可得. 因为满足： ，即 ，即 所以两式相加得：， 代入，可得，即不可能为16. 7．在平面直角坐标系中，已知点分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上的点，过作角的外角平分线的垂线，垂足为点，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交延长线于点，根据椭圆的定义以及外角平分线的性质可得，利用中位线定理可得，得到点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆． 【详解】根据题意可得 延长交延长线于点，因是的外角平分线且， 故为等腰三角形，即，为中点， 由椭圆定义：， 则， 在中，为中点，为中点， 根据三角形中位线定理：， 所以点的轨迹是以原点为圆心、半径的圆， 则轨迹长度（圆周长）：． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可. 【详解】由题意知，，且， 则， 由椭圆的定义可知，， 则的周长为， 因为，等号成立时三点共线， 所以周长的最大值为，得，则，得， 故C的焦距为. 9．已知是椭圆：上一点，点，，若，过点作的垂线，垂足为，则______，点到轴的距离为______. 【答案】 / 【分析】由椭圆的定义可得是等边三角形，进而计算可解. 【详解】因为，分别为的左、右焦点， 所以， 又，所以，， 因为，所以是等边三角形， 过点作的垂线，垂足为，则为的中点， 所以. 设点在轴上的射影为，为坐标原点， 因为， 所以， 则点到轴的距离为. 10．已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $