3.1.1 椭圆及其标准方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，从椭圆定义出发，系统梳理焦点在x轴与y轴上的标准方程及图形、焦点坐标等对比，延伸至统一形式、一般方程、参数方程，结合焦点三角形结论及点与椭圆位置关系，构建完整知识支架。 资料通过表格对比凸显方程形式差异，题型分层设计（求方程、轨迹问题等）培养数学思维的逻辑推理与数学眼光的抽象能力，例题与跟踪训练结合，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第三章 圆锥曲线方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 知识点一、椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 2c a，b，c的关系 a2＝b2+c2 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同 不同点：焦点位置不同，方程不同 知识点三、椭圆方程的其他形式 1.椭圆两种标准方程的统一形式：Ax2+By2=1（其中A>0，B>0，A≠B）. 可变形为：. （1）当，即B>A时，表示焦点在x轴上的椭圆. （2）当，即B<A时，表示焦点在y轴上的椭圆. 2.椭圆的一般方程：Ax2+By2=C（其中ABC≠0，且A、B、C同号，A≠B）. 可变形为：. 3.椭圆的参数方程 标准方程 参数方程 (a>b>0) ，为参数，∈[0,2π] (a>b>0) ，为参数，∈[0,2π] 知识点四、椭圆的焦点三角形及相关常用结论 设F1，F2分别为椭圆(a>b>0)的左右焦点，P为椭圆上的一点，∠F1PF2＝θ. （1）|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c. （2）|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ. （3）当P为椭圆与y轴的交点时，θ最大. （4）焦点三角形的周长为2a+2c. （5）|PF1|max＝a+c，|PF1|min＝a－c. （6）|PF1||PF2|＝. （7）焦点三角形的面积：S＝|PF1||PF2|sinθ＝＝c|yP|.当P点为椭圆与y轴的交点时，S取最大值，最大值为bc. 知识点五、点与椭圆的位置关系 根据椭圆的定义或标准方程判断点P（x0，y0）与椭圆的位置关系如下表： 定义法 代点法 位置关系 |PF1|＋|PF2|<2a 点P在椭圆内 |PF1|＋|PF2|>2a 点P在椭圆外 |PF1|＋|PF2|=2a 点P在椭圆上 题型一：求椭圆的标准方程 例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 例2.过点（-3，2）且与椭圆由相同焦点的椭圆方程是 . 跟踪训练： 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过两点(2，－)，； （2）过点(，－)，且与椭圆有相同的焦点． 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点A（﹣1，﹣2）且与椭圆的两个焦点相同； （2）过点，﹣2），，1）． 题型二：与椭圆有关的轨迹问题 例1.已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程． 例2.已知圆C1：（x+1）2+y2＝1和圆C2：（x﹣1）2+y2＝25，则与C1外切而又与C2内切 的动圆圆心P的轨迹方程是　 　． 跟踪训练： 1.已知△ABC的周长等于18，B、C两点坐标分别为（0，4），（0，﹣4），求A点的轨迹 方程． 2.已知P为⊙B：（x+2）2+y2＝36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP 于点Q，求点Q的轨迹方程． 3.从圆x2+y2＝4上任意一点P向x轴作垂线段PD，则线段PD的中点M的轨迹方程 为　 ． 题型三：椭圆标准方程的应用 例1.设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A.4 B.8 C.12 D.16 例2.已知方程. （1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （3）若方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求的取值范围. 跟踪训练： 1.已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（　　） A． B． C．（﹣1，3） D． 2.已知P为椭圆上任意一点，F1，F2是它的两个焦点，则△F1PF2的周长是（　　） A． B． C． D． 3.方程表示椭圆，则m的取值范围是（　　） A．4＜m＜5 B．或 C． D． 题型四：椭圆的焦点三角形 例1.如图，已知椭圆的方程为1，若点P为椭圆上一点，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积． 跟踪训练： 1.已知点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，焦距为6，且|PF1|+|PF2|＝10． （1）求椭圆的标准方程； （2）若PF1⊥F1F2，求△F1PF2的面积． 2.如图所示，P是椭圆1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 3.已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 ． 1.椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 4.“2<m<6”是“方程椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A. B. C. D. 6.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为 ． 7.椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为 ． 8.已知P是椭圆上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为 ． 1.如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距 离是（　　） A．12 B．14 C．16 D．20 2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知定点A（0，﹣2）和B（0，2），动点P满足|PA|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 4.已知椭圆C：，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 5.设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．1 6.．P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 7.（多选）已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P为C上不与F1，F2共线的点， 则下列说法正确的有（　　） A．实数m的取值范围是（0，+∞） B．若椭圆C的焦点在x轴上，则|PF1|+|PF2|＝6 C．若m＝8，则△PF1F2周长为8 D．若m＝8，∠F1PF2＝30°，则△PF1F2的面积为8 8.已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 ． 9.若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为 12，则此椭圆的方程是 ． 10.5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的 条件．（填“充分不 必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 11.如图所示，F1，F2分别为椭圆(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________. 12.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为 ． 13.分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 14.椭圆y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M 的轨迹方程． 15.椭圆方程为，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，求∠F1PF2的大小． 16.已知椭圆内有一点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线方程 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 知识点一、椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 知识点二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 2c a，b，c的关系 a2＝b2+c2 异同点 相同点：椭圆的大小、形状相同 不同点：焦点位置不同，方程不同 知识点三、椭圆方程的其他形式 1.椭圆两种标准方程的统一形式：Ax2+By2=1（其中A>0，B>0，A≠B）. 可变形为：. （1）当，即B>A时，表示焦点在x轴上的椭圆. （2）当，即B<A时，表示焦点在y轴上的椭圆. 2.椭圆的一般方程：Ax2+By2=C（其中ABC≠0，且A、B、C同号，A≠B）. 可变形为：. 3.椭圆的参数方程 标准方程 参数方程 (a>b>0) ，为参数，∈[0,2π] (a>b>0) ，为参数，∈[0,2π] 知识点四、椭圆的焦点三角形及相关常用结论 设F1，F2分别为椭圆(a>b>0)的左右焦点，P为椭圆上的一点，∠F1PF2＝θ. （1）|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c. （2）|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ. （3）当P为椭圆与y轴的交点时，θ最大. （4）焦点三角形的周长为2a+2c. （5）|PF1|max＝a+c，|PF1|min＝a－c. （6）|PF1||PF2|＝. （7）焦点三角形的面积：S＝|PF1||PF2|sinθ＝＝c|yP|.当P点为椭圆与y轴的交点时，S取最大值，最大值为bc. 知识点五、点与椭圆的位置关系 根据椭圆的定义或标准方程判断点P（x0，y0）与椭圆的位置关系如下表： 定义法 代点法 位置关系 |PF1|＋|PF2|<2a 点P在椭圆内 |PF1|＋|PF2|>2a 点P在椭圆外 |PF1|＋|PF2|=2a 点P在椭圆上 题型一：求椭圆的标准方程 例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为(a>b>0)． 又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以，解得. 所以所求的椭圆的标准方程为. (2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a＝，即a＝， 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为. (3)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为(a>b>0)． 依题意，有，解得.由a>b>0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为(a>b>0)． 依题意，有，解得.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 则，解得. 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 故椭圆的标准方程为. 例2.过点（-3，2）且与椭圆由相同焦点的椭圆方程是 . 解：设所求椭圆的方程为.将点（-3,2）的坐标代入，得：， 解得：λ＝6或λ＝－6（舍去），过所求的椭圆方程为.故答案为：. 跟踪训练： 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过两点(2，－)，； （2）过点(，－)，且与椭圆有相同的焦点． 解：(1)方法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为(a>b>0)． 由已知条件得，解得. 所以所求椭圆的标准方程为. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为(a>b>0)． 由已知条件得，解得.则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为. 方法二：设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 将两点(2，－)，代入，得，解得. 所以所求椭圆的标准方程为. (2)因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16①. 又点(，－)在椭圆上，所以②. 由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为. 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点A（﹣1，﹣2）且与椭圆的两个焦点相同； （2）过点，﹣2），，1）． 解：（1）∵椭圆中，a2＝9，b2＝6 ∴c2＝a2﹣b2＝3，得焦点坐标为（0，±） 故设所求的椭圆方程为：，（m＞3） ∴，解之得m＝6（m＝2不合题意，舍去） 所以椭圆的标准方程为：； （2）设椭圆的方程为：，p、q均为正数且不相等 ∵椭圆经过点，﹣2），，1）∴，解之得p＝15，q＝5 所以椭圆的标准方程为：． 题型二：与椭圆有关的轨迹问题 例1.已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程． 解：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A（x，y），由已知可得：|AB|+|AC|＝10＞6＝|BC|， 根据椭圆的定义可知：点A的轨迹是椭圆（去掉长轴的两个端点）， 其中a＝5，c＝3，b＝4．∴椭圆的标准方程为． 例2.已知圆C1：（x+1）2+y2＝1和圆C2：（x﹣1）2+y2＝25，则与C1外切而又与C2内切 的动圆圆心P的轨迹方程是　 　． 解：由圆C1：（x+1）2+y2＝1和圆C2：（x﹣1）2+y2＝25， 得到C1（﹣1，0），半径r1＝1，C2（1，0），半径r2＝5， 设圆P的半径为r，∵圆P与C1外切而又与C2内切， ∴PC1＝r+1，PC2＝5﹣r，∴PC1+PC2＝（r+1）+（5﹣r）＝2a＝6，又C1C2＝2c＝2， ∴a＝3，c＝1，∴b2， ∴圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为3，短半轴为2的椭圆上， 则圆心P的轨迹方程为：1．故答案为：1. 跟踪训练： 1.已知△ABC的周长等于18，B、C两点坐标分别为（0，4），（0，﹣4），求A点的轨迹 方程． 解：由已知|AB|+|AC|+|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|+|AC|＝10＞8＝|BC|， 由定义可知A点的轨迹是一个椭圆，且2c＝8，2a＝10，即c＝4，a＝5， ∴b2＝a2﹣c2＝9当A在直线BC上，即x＝0时，A，B，C三点不能构成三角形． 因此，A点的轨迹方程为（x≠0）． 2.已知P为⊙B：（x+2）2+y2＝36上一动点，点A（2，0），线段AP垂直平分线交直线BP 于点Q，求点Q的轨迹方程． 解：圆C的圆心为B（﹣2，0），半径r＝6，|BA|＝4． 连结QA，由已知得|QA|＝|QP|，∵|QB|+|QA|＝|QB|+|QP|＝BP＝r＝6＞|BA|． 根据椭圆的定义，点Q的轨迹是中心在原点，以B、A为焦点，长轴长等于6的椭圆， 即a＝3，c＝2，b2＝a2﹣c2＝9﹣4＝5，∴点Q的轨迹方程为1． 3.从圆x2+y2＝4上任意一点P向x轴作垂线段PD，则线段PD的中点M的轨迹方程 为　 ． 解：设M（x，y），则P（x，2y）∵P在圆x2+y2＝4上，∴x2+4y2＝4， ∴故答案为： 题型三：椭圆标准方程的应用 例1.设分别为椭圆的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A.4 B.8 C.12 D.16 解：的周长为. 由椭圆方程知，所以的周长为8.故选：B. 例2.已知方程. （1）若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （3）若方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求的取值范围. 解：（1）由，解得，即. （2）由解得,即. （3）由解得,且.即. 跟踪训练： 1.已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（　　） A． B． C．（﹣1，3） D． 解：已知方程表示椭圆，则， 则或．故选：A． 2.已知P为椭圆上任意一点，F1，F2是它的两个焦点，则△F1PF2的周长是（　　） A． B． C． D． 解：在椭圆中，a2＝2，b2＝1，可得， 根据c2＝a2﹣b2＝2﹣1＝1，可得c＝1．由椭圆定义，可得， 结合焦距|F1F2|＝2c＝2×1＝2，可得△F1PF2的周长为．故选：C． 3.方程表示椭圆，则m的取值范围是（　　） A．4＜m＜5 B．或 C． D． 解：方程表示椭圆，可得，解得4＜m＜5且m． 故选：B． 题型四：椭圆的焦点三角形 例1.如图，已知椭圆的方程为1，若点P为椭圆上一点，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积． 解：设P点坐标为（x，y），x＜0，y＞0， ∵∠F2F1P＝120°，∴PF1所在的直线方程为， 则解方程组，可得，∴． 跟踪训练： 1.已知点P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，焦距为6，且|PF1|+|PF2|＝10． （1）求椭圆的标准方程； （2）若PF1⊥F1F2，求△F1PF2的面积． 解：（1）由2c＝6，得c＝3，又2a＝|PF1|+|PF2|＝10，∴a＝5， 得b2＝a2﹣c2＝25﹣9＝16，∴椭圆的标准方程为； （2）P是椭圆上的一点，且PF1⊥F1F2， 则，|F1F2|＝2c＝6，则△F1PF2的面积S|PF1||F1F2|． 2.如图所示，P是椭圆1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积． 解：∵椭圆1，∴a＝2，b，c＝1． 又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，F1、F2为左右焦点， ∴|F1P|+|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝2， ∴|F1F2|2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°＝16﹣3|F1P|•|PF2|＝4， ∴|F1P|•|PF2|＝4．∴|F1P|•|PF2|sin60°； 3.已知P为椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 ． 解：由已知得a＝2，b＝，所以c＝， 从而|F1F2|＝2c＝6，在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4.所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝.故答案为：. 1.椭圆的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 解：由题知椭圆的焦点位于轴上，，所以，所以，故椭圆的焦点坐标是.故选：C. 2.椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.故选：D. 3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解：∵方程x2＋ky2＝2，即表示焦点在y轴上的椭圆，∴>2，故0<k<1.故选D. 4.“2<m<6”是“方程椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解：若方程表示椭圆，则，解得2<m<6且m≠4， 所以“2<m<6”是方程“为椭圆”的必要不充分条件．故选：B. 5.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　) A. B. C. D. 解：由题意可得，解得.故椭圆的方程为.故选：D. 6.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为 ． 解：由已知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为.故答案为：. 7.椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为 ． 解：如图，当P在y轴上时 △PF1F2的面积最大，∴×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25. ∴椭圆的标准方程为.故答案为：. 8.已知P是椭圆上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为 ． 解：设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又.所以，即点Q的轨迹方程为x2＋＝1.故答案为：x2＋＝1. 1.如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距 离是（　　） A．12 B．14 C．16 D．20 解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，∵椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6∴6+|PF2|＝20∴|PF2|＝14故选：B． 2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解：椭圆方程可化为，由题意知，解得k＝2.故选：B. 3.已知定点A（0，﹣2）和B（0，2），动点P满足|PA|+|PB|＝6，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 解：结合椭圆定义可知，动点P的轨迹为以A，B为焦点且长轴长为6的椭圆， a＝3，c＝2，所以b2＝5，动点P的轨迹方程为．故选：C． 4.已知椭圆C：，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 解：椭圆C：，故a＝2，c1， 由椭圆的性质可得：椭圆上的点到焦点的距离的范围为[a﹣c，a+c]， 则椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a﹣c＝1．故选：A． 5.设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．1 解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B. 6.．P是椭圆上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的大小为(　　) A．60° B．30° C．120° D．150° 解：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝8，|F1F2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64， ∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝ ， ∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝60°.故选：A. 7.（多选）已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P为C上不与F1，F2共线的点， 则下列说法正确的有（　　） A．实数m的取值范围是（0，+∞） B．若椭圆C的焦点在x轴上，则|PF1|+|PF2|＝6 C．若m＝8，则△PF1F2周长为8 D．若m＝8，∠F1PF2＝30°，则△PF1F2的面积为8 解：若方程表示椭圆，则m＞0且m≠9，可知A错误； 若椭圆的焦点在x轴上，则a2＝9，即a＝3， 根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，所以B正确； 若m＝8，则椭圆，焦点在x轴上，根据a2＝9，b2＝8，可得c2＝a2﹣b2＝9﹣8＝1，解得a＝3，c＝1，椭圆的长轴2a＝6，焦距|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2周长＝|PF1|+|PF|2+|F1F2|＝2a+2c＝8，故C正确； 若m＝8，则椭圆，焦点在x轴上，根据a2＝9，b2＝8，可得c2＝a2﹣b2＝9﹣8＝1，即a＝3，c＝1，根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，∠F1PF2＝30°，根据余弦定理，可得，即， 所以，解得， △PF1F2的面积S，故D错误． 故选：BC． 8.已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 ． 解：设所求椭圆的方程为(a>b>0)，半焦距为c，由题意可得， 解得.故b2＝a2－c2＝3，∴椭圆的标准方程为.故答案为：. 9.若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为 12，则此椭圆的方程是 ． 解：设P点坐标为（x，y），则， 显然当|y|取最大时，三角形面积最大．因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，所以P点的坐标为（0，±3），所以b＝3．∵a2＝b2+c2，所以a＝5.∴椭圆方程为． 故答案为 10.5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的 条件．（填“充分不 必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 解：方程的曲线表示椭圆⇔（k﹣5）（6﹣k）＞0，k﹣5＞0，k﹣5≠6﹣k，⇔5＜k＜6，且k≠5.5．∴5＜k＜6是方程为的曲线表示椭圆时的必要不充分条件．故答案为：必要不充分． 11.如图所示，F1，F2分别为椭圆(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________. 解：设正三角形POF2的边长为c，则c2＝，解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2， 连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2， 则|PF1|＝，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2， 即a＝＋1，所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.故答案为：2. 12.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为 ． 解：如图，由， 知a2＝9，b2＝7，c2＝2.所以a＝3，b＝，c＝.所以|F1F2|＝2. 设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.因为∠AF1F2＝45°， 所以(6－x)2＝x2＋8－4x·.所以x＝.所以S△AF1F2＝×2××＝.故答案为：. 13.分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点P（﹣3，2），且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 解：（1）设所求椭圆的标准方程为． 所求的椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在x轴上，可得c2＝5． 又所求椭圆过点P（﹣3，2），可得，① 又a2﹣b2＝c2＝5，② 由①②解得a2＝15，b2＝10． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以． 则椭圆方程． 14.椭圆y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M 的轨迹方程． 解：设点P，M的坐标分别为（x1，y1），（x，y）， ∵椭圆y2＝1，∴a＝3，b＝1，∴， ∵椭圆的两焦点为F1（，0），F2（2，0），且△PF1F2 存在，∴y1≠0， 由三角形重心坐标公式有，即， ∵y1≠0，∴y≠0，∵点P在椭圆上，∴，∴ （y≠0）， 故△PF1F2的重心M的轨迹方程为． 15.椭圆方程为，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上一点．若S△F1PF2＝，求∠F1PF2的大小． 解　由已知得a＝2，b＝，c＝1，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α， 则，①2－②得mn(1＋cos α)＝6 ④， 得，即，∴tan＝， ∴＝30°，α＝60°，即∠F1PF2＝60°. 16.已知椭圆内有一点，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： （1）的最大值与最小值； （2）的最大值与最小值. 解：（1）由椭圆方程知，所以，所以. 如图，连接并延长，交椭圆于点，则是使取最大值的点， 于是. 因为，所以求的最小值， 即求的最大值，延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是. （2）由椭圆的定义知，则，所以. 如图，连接并延长，交椭圆于点，则是使取得最大值的点， 于是. ，延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $