专题02 解直角三角形的10类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“已知元素选择-边角关系选用-图形转化”为核心，通过10类题型构建从基础到综合的解直角三角形方法体系，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心方法|“有边才能解”“有斜用弦、无斜用切”等原则|明确解直角三角形底层逻辑| |10类题型|每类含典例+3-4变式|勾股定理+三角函数、构造直角三角形等|从基本直角三角形到非直角、四边形、网格等综合情境递进|

专题02 解直角三角形的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知两边解直角三角形 1 类型二、已知一锐角和一边解直角三角形 2 类型三、已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 3 类型四、解一图多三角形的直角三角形 5 类型五、解非直角三角形 6 类型六、四边形中解直角三角形 7 类型七、网格中解直角三角形 8 类型八、坐标系中解直角三角形 10 类型九、解直角三角形与函数 12 类型十、解直角三角形解决动点问题 14 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 解直角三角形是锐角三角函数应用的枢纽内容，所有题型均围绕已知元素的选择、边角关系的选用、图形的转化三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "有边才能解"—— 解直角三角形必须已知至少一条边，仅知角不能确定三角形大小；二是 "有斜用弦、无斜用切、宁乘勿除、取原避中"—— 有斜边选正弦、余弦，无斜边选正切，列式优先用乘法、优先用题目原始数据，避免用中间量求后再代入。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知两边解直角三角形 典例精讲1（25-26九年级下·全国·单元复习）在中，，则_____________，_____________． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的两条边（两直角边、或一直角边一斜边），求其余边和角。 2.方法：先用勾股定理求出第三边→再由边角关系选恰当三角函数求锐角→由两锐角互余求另一角。 3.易错提醒：求角时先判断用哪个三角函数更方便（已知斜边用正弦余弦、无斜边用正切）；求得的角须为锐角，结果要符合三角形内角和。 变式训练1（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，已知，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 变式训练2（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知．解这个直角三角形． 变式训练3（2025九年级·全国·专题练习）在中，，所对的边分别为，且．求这个三角形的其他元素． 类型二、已知一锐角和一边解直角三角形 典例精讲2（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：已知一个锐角的度数及一条边的长度，求其余边和角。 2.方法：由两锐角互余先求另一锐角→根据已知边是斜边还是直角边，选用对应的三角函数关系求其它边。 3.易错提醒：已知锐角的对边、邻边、斜边须标清，再决定用 sin、cos 还是 tan；含特殊角的按特殊值计算，非特殊角按题目要求的精确度取值。 变式训练1（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 变式训练2（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 变式训练3（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，O为坐标原点，，，且点的坐标为，则点的坐标为___________． 类型三、已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 典例精讲3（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 题型归纳 1.特征：已知某锐角的三角函数值（比值）及一条边长，解直角三角形。 2.方法：由三角函数值设出两边比例→结合已知边长与勾股定理求比例系数→求出实际边长→再由两锐角互余求角。 3.易错提醒：三角比值是比例而非实际长度，须先求比例系数；由比值求角时注意与特殊角函数值对照。 变式训练1（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式训练2（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练3（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，连接．若，则的长为______． 变式训练4（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，点D是的中点，连接，过点D作交的延长线于点E．若，，，则线段的长为______． 类型四、解一图多三角形的直角三角形 典例精讲4（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 题型归纳 1.特征：同一图形中含多个直角三角形（如双塔、双观测点），需逐个求解并传递数据。 2.方法：找出各直角三角形间的公共边或公共角→按先后顺序逐三角形求解→将前一三角形的结果作为后一三角形的已知条件。 3.易错提醒：中间结果须保留足够精度再代入下一步，避免误差累积；公共边是联系各三角形的关键，须正确识别。 变式训练1（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知在中，，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 变式训练2（2026·四川南充·一模）如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为__________米．（参考数据：，） 变式训练3（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为______． 类型五、解非直角三角形 典例精讲5（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 题型归纳 1.特征：三角形不是直角三角形，要求解边角或高、面积等相关量。 2.方法：作高构造直角三角形（常作最长边上的高）→将原三角形分割为两个直角三角形→分别用解直角三角形的方法求解。 3.易错提醒：作高后须标明直角并确认各锐角对应关系；底和高对应准确，面积公式中勿用错底边。 变式训练1（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，．的长为 _____．（结果保留根号） 变式训练2（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则________． 变式训练3（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 类型六、四边形中解直角三角形 典例精讲6（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，，点E和点G分别在边和上，将沿翻折，点D恰好落在对角线上的点F处，再将沿翻折，点B恰好落在的延长线上的点H处，折痕和与对角线分别交于点P，点Q，则的面积为________． 题型归纳 1.特征：在平行四边形、矩形、菱形、梯形等四边形中解直角三角形求相关量。 2.方法：利用四边形性质（对角线互相平分、对角线互相垂直、对边平行等）构造直角三角形→将四边形问题转化为直角三角形问题求解。 3.易错提醒：菱形对角线互相垂直且平分、矩形对角线相等等性质是构造直角三角形的关键；注意边角在四边形与直角三角形中的对应。 变式训练1（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 变式训练2（2026年天津市河东区中招适检数学科试题卷）如图，正方形的对角线相交于点，为边的中点，与相交于点，点在的延长线上，且，． （1）的长为________； （2）的长为________． 变式训练3（2026·天津·中考真题）如图，在菱形中，，，连接． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在边上，点在的延长线上，与相交于点，为的中点．若，则线段的长为________． 类型七、网格中解直角三角形 典例精讲7（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：在方格纸（网格）中给出线段或角，求三角函数值或解直角三角形。 2.方法：利用网格线构造直角三角形（网格横竖线垂直）→以格点间距为单位读出边长→按定义求三角函数值或解三角形。 3.易错提醒：网格中斜线段的长度须用勾股定理计算，不可直接数格；所求角对应的对边、邻边须结合网格中的直角三角形确定。 变式训练1（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 变式训练2（2021·广东深圳·一模）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值． 方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE． 问题解决： （1）图1中tan∠BPD的值为________； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值； 思维拓展： （3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD． 变式训练3（2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 类型八、坐标系中解直角三角形 典例精讲8（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：在平面直角坐标系中，由点的坐标或直线与坐标轴的交点构造直角三角形求解。 2.方法：由坐标差求出水平、竖直方向的线段长→结合勾股定理或三角函数求斜边长、角度→利用边角关系求坐标或函数值。 3.易错提醒：坐标差须取绝对值作为边长；锐角三角函数值只取正值，符号问题由点所在象限另行判断。 变式训练1（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，得到．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式训练2（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式训练3（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 类型九、解直角三角形与函数 典例精讲9（24-25九年级上·全国·期末）如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 题型归纳 1.特征：解直角三角形与一次函数、反比例函数等结合，求点的坐标、函数解析式或几何量。 2.方法：由函数条件确定点或线段（如交点坐标）→构造直角三角形用三角函数或勾股定理求边长、角度→回归函数关系求解析式或坐标。 3.易错提醒：函数与几何量间的转换须双向进行，先由几何求坐标、再代入函数验证；注意交点、特殊点的位置对应。 变式训练1（2025·河北唐山·二模）如图1，点P为等边三角形的边上一点（不与点C重合），过点P作于点Q，设，，y与x的函数关系图象如图2所示，下列结论正确的是（    ） A． B．等边三角形的边长为3 C．当时，的长最小 D．y与x的函数关系为： 变式训练2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，是等腰三角形，，，是边上一动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 变式训练3（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图（1）所示， 为矩形的边上一点， 动点同时从点出发， 点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是/秒，设同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①，②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．②④ 类型十、解直角三角形解决动点问题 典例精讲10（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为________； （2）当时，的值为________； 题型归纳 1.特征：动点在图形上运动，随着位置变化解直角三角形求最值、范围或特殊位置的相关量。 2.方法：用参数（时间 t 或线段长）表示动点位置→写出相关边长的代数式→结合直角三角形边角关系列式→研究函数性质或特殊位置求解。 3.易错提醒：动点问题须明确运动范围与临界位置；求最值常用函数增减性或配方法，注意自变量取值范围。 变式训练1（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是____________ 变式训练2（2023·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点，轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式训练3（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在菱形中，，，是边上的动点，N是边上的动点，将沿翻折得，的延长线与的延长线交于点E． （1）如图①，当点B落在上时，恰好有，此时_____； （2）如图②，当时，移动点N，使点E与点D重合，此时_____． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 2．（2022·浙江丽水·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2022·云南大理·模拟预测）如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点在边上，且，交于点，将绕点顺时针旋转得到，当点落在线段上时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·二模）如图，在中，，，，是边的中点，点，分别从点，出发，速度分别为，，均沿顺时针方向运动，当点追上点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广西·中考真题）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）如图1，在中，，为中点，点从点出发以每秒个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为（单位：秒），的长为，图是点运动时随变化的图象，其中为该图象的最低点，此时对应的时间为t，则________． 8．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴的正半轴上，点，，，…在射线上，直线的表达式为．若点的坐标为，且，，，…均为等边三角形，则的面积为______． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，中，，，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且，则下列结论：①；②；③；④若，，则线段的长为；其中正确结论的序号是：______． 10．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，．点在边上，．以为圆心，为半径作圆，与边交于点．过作的切线，与边交于点，连接．    (1)求证：是等腰三角形； (2)随着长度的变化，是否存在最小值？是否存在最大值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知两边解直角三角形 1 类型二、已知一锐角和一边解直角三角形 2 类型三、已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 7 类型四、解一图多三角形的直角三角形 12 类型五、解非直角三角形 18 类型六、四边形中解直角三角形 23 类型七、网格中解直角三角形 29 类型八、坐标系中解直角三角形 35 类型九、解直角三角形与函数 41 类型十、解直角三角形解决动点问题 47 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 解直角三角形是锐角三角函数应用的枢纽内容，所有题型均围绕已知元素的选择、边角关系的选用、图形的转化三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是 "有边才能解"—— 解直角三角形必须已知至少一条边，仅知角不能确定三角形大小；二是 "有斜用弦、无斜用切、宁乘勿除、取原避中"—— 有斜边选正弦、余弦，无斜边选正切，列式优先用乘法、优先用题目原始数据，避免用中间量求后再代入。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知两边解直角三角形 典例精讲1（25-26九年级下·全国·单元复习）在中，，则_____________，_____________． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是掌握余弦、正切的定义． 根据勾股定理计算出长，再根据余弦、正切定义可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴，． 故答案为：，． 题型归纳 1.特征：已知直角三角形的两条边（两直角边、或一直角边一斜边），求其余边和角。 2.方法：先用勾股定理求出第三边→再由边角关系选恰当三角函数求锐角→由两锐角互余求另一角。 3.易错提醒：求角时先判断用哪个三角函数更方便（已知斜边用正弦余弦、无斜边用正切）；求得的角须为锐角，结果要符合三角形内角和。 变式训练1（2025·安徽滁州·三模）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，已知，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出 ，进而利用正切函数相解得 ．再根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 ），可得 ．最后即可求的长度，本题主要考查直角三角形的性质（同角的余角相等、直角三角形斜边中线定理 ）、勾股定理以及锐角三角函数（正切函数 ）．解题的关键在于熟练运用勾股定理求边长，利用角的关系建立等式求解未知边，同时要准确应用直角三角形斜边中线定理确定线段关系． 【详解】解：在中，． ， ， ∴，即，即， 解得． ． ． ． 故选B． 变式训练2（25-26九年级上·全国·课后作业）在中，已知．解这个直角三角形． 【答案】， 【分析】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键. 根据勾股定理求出的长度，然后根据和的关系即可推出的度数，从而求出的度数. 【详解】解：在中，， ． ． 变式训练3（2025九年级·全国·专题练习）在中，，所对的边分别为，且．求这个三角形的其他元素． 【答案】 【分析】先利用正切函数求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数，最后利用勾股定理求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， ， ， ， ． 故． 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握利用正切函数求锐角，结合直角三角形两锐角互余和特殊角的性质求边是解题的关键． 类型二、已知一锐角和一边解直角三角形 典例精讲2（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，正确选择正弦函数是解题关键．在中，利用的正弦函数定义直接求解． 【详解】解：如图，在中，， ， ． 故选：B． 题型归纳 1.特征：已知一个锐角的度数及一条边的长度，求其余边和角。 2.方法：由两锐角互余先求另一锐角→根据已知边是斜边还是直角边，选用对应的三角函数关系求其它边。 3.易错提醒：已知锐角的对边、邻边、斜边须标清，再决定用 sin、cos 还是 tan；含特殊角的按特殊值计算，非特殊角按题目要求的精确度取值。 变式训练1（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使．按照此规律，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形、图形类规律探索，正确归纳推出一般规律是解题关键．先解直角三角形可得，，，再归纳推出一般规律，（为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 依此类推：，（为正整数）， ∴， 故选：B． 变式训练2（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，则小球下降的高度是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：假设一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，到达点D位置，过点D作交于点H，， 则， ∴， ∴， 则小球下降的高度是， 故选：A． 变式训练3（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，O为坐标原点，，，且点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 过点作轴于点，在中，求得，进而在中，求得和，从而得到点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，如图： 在中，，，， 则， 在中，、， 则， ， 因此，点的坐标为， 故答案为：． 类型三、已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形 典例精讲3（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义列式即可得解． 【详解】解：在中，， 设，则， 又，， ，解得， 则． 故选：D． 题型归纳 1.特征：已知某锐角的三角函数值（比值）及一条边长，解直角三角形。 2.方法：由三角函数值设出两边比例→结合已知边长与勾股定理求比例系数→求出实际边长→再由两锐角互余求角。 3.易错提醒：三角比值是比例而非实际长度，须先求比例系数；由比值求角时注意与特殊角函数值对照。 变式训练1（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 变式训练2（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，解直角三角形，含角的直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：等边，是边上的高， ， ， ， ． ， ， 又， ， 故选D． 变式训练3（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】设，则，由的垂直平分线得到，根据的余弦值，得到、的关系，代入数据得到关于的方程，求出、，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：设，则． 是的垂直平分线， ． 在中，， ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形和线段的垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 变式训练4（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，点D是的中点，连接，过点D作交的延长线于点E．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确添加辅助线是解题的关键． 过点A、E作于点，交延长线于点，则，则，由勾股定理得，而，那么，可得，则，而，则设，由得，，求解，再由勾股定理求． 【详解】解：过点A、E作于点，交延长线于点，则， ∴， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设， ∴由得，， 解得：， 在中，， 故答案为：． 类型四、解一图多三角形的直角三角形 典例精讲4（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】勾股定理求得，设，延长至使得，则，进而求得，取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出，可得点在的角平分线上，时，最小，此时最小，进而解求得的最小值，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设， 如图，延长至使得，则， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接， ∴， 又∵， ∴垂直平分，是的角平分线， ∴点在的角平分线上，时，最小，此时最小， ∴此时， ∴. 题型归纳 1.特征：同一图形中含多个直角三角形（如双塔、双观测点），需逐个求解并传递数据。 2.方法：找出各直角三角形间的公共边或公共角→按先后顺序逐三角形求解→将前一三角形的结果作为后一三角形的已知条件。 3.易错提醒：中间结果须保留足够精度再代入下一步，避免误差累积；公共边是联系各三角形的关键，须正确识别。 变式训练1（25-26九年级下·浙江宁波·自主招生）已知在中，，为边上一点，，，作边上的中垂线，交的平行线于，交于，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质作垂线，然后使用定理构造全等，求出定值，再利用“垂线段最短”确定最值． 【详解】解：， ， 过点作交于点， ，， ， 即平分 过点作于点，于点， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， ， 在与中， ， ， ， 为钝角，为锐角， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， , ． 变式训练2（2026·四川南充·一模）如图，利用无人机测量嘉陵江对岸一建筑物的高度．无人机在点C处测得建筑物底部点B的俯角为，从点C沿水平方向前行30米到达点D，测得建筑物顶部点F和底部点B的俯角分别为和，已知点C、D与建筑物均在同一平面内，则建筑物的高约为__________米．（参考数据：，） 【答案】35 【分析】延长，相交于点，设，利用锐角三角函数进行求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴． 变式训练3（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为______． 【答案】或 【分析】先证明，则当和相似时，需要进行分类讨论：①当时，则，证明出四边形为平行四边形，则，由，得到，则，在中，由勾股定理得，再解直角三角形得到；②当时，则，在中，，，设，则，，则，由，得到，解得，即可求解 【详解】解：由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当和相似时，分以下两种情况： 如解图①，当时，， ∵， ∴， ∵由翻折得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 如解图②，当时，， ∵，， ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴, 解得， ∴， 综上所述，当和相似时，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 类型五、解非直角三角形 典例精讲5（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，，，则中线的长为______． 【答案】/ 【分析】过点A作于点，得到，然后解，得到，然后根据线段和差以及三角形中线得到，则，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点， ， ， ， ∵， ， ， ， 是中线， ， ． 题型归纳 1.特征：三角形不是直角三角形，要求解边角或高、面积等相关量。 2.方法：作高构造直角三角形（常作最长边上的高）→将原三角形分割为两个直角三角形→分别用解直角三角形的方法求解。 3.易错提醒：作高后须标明直角并确认各锐角对应关系；底和高对应准确，面积公式中勿用错底边。 变式训练1（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，．的长为 _____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 变式训练2（25-26九年级上·江苏苏州·期中）我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为三分余角．如图，在中，，互为三分余角，且，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查了余角和补角，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 要求的值，想到构造直角三角形，根据已知可得的补角为，所以过点B作，交的延长线于点D，分别在和中利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点D， ∵， ∴设，， ，互为三分余角， ， ， 在中，，， ， ， 在中， ． 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是 ． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是 ． 【答案】（1）③；（2）、、；（3）． 【分析】本题主要考查了三角函数的应用、三角形内角和定理以及三角形的边角关系等知识点．解题关键在于对于解直角三角形，要清楚不同条件下能否唯一确定三角形的其他元素．解三角形时，通过作高将三角形转化为直角三角形，利用三角函数建立边与角的关系．确定三角形解的个数时，根据直角三角形的边角关系和图形特点来分析边的取值范围． （1）判断解直角三角形的条件：根据直角三角形的性质和三角函数的定义，分析每个条件能否求出其他未知元素． （2）解三角形：通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出相关边的长度，再根据三角形内角和定理求出第三个角． （3）确定的取值范围：作高构造直角三角形，求出高的长度，再结合三角形解的个数与边的关系，确定的取值范围． 【详解】解：（1）判断解直角三角形的条件： ①已知两条边：根据勾股定理可求出第三边，再利用三角函数可求出两个锐角，所以能解直角三角形． ②已知一条边和一个锐角：利用三角函数可求出其他边，再根据直角三角形两锐角互余可求出另一个锐角，所以能解直角三角形． ③已知两个角：只知道三角形的三个角，没有边的信息，无法确定三角形的大小，所以不能解直角三角形． 故答案为：③． （2） 如图，过点作于点 在中，,设，则，． 在中，,设，则． ∴ 即 ∴，，, 在中，由勾股定理可知 （3） 如图，过点作于点 在中，, ∴ 由勾股定理可知 ∴当时，无法构成三角形，故舍去； 当时，是直角三角形有一解； 当时，以为圆心，为半径画弧与有两个交点，此时有两解． 当时，有一解； 综上所述的取值范围是． 类型六、四边形中解直角三角形 典例精讲6（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，，点E和点G分别在边和上，将沿翻折，点D恰好落在对角线上的点F处，再将沿翻折，点B恰好落在的延长线上的点H处，折痕和与对角线分别交于点P，点Q，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据折叠求得，，，再利用角度的转换得到，解直角三角形得到，再利用勾股定理求得，，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， 由翻折可得,，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得（负数舍去）， ，， 的面积为． 题型归纳 1.特征：在平行四边形、矩形、菱形、梯形等四边形中解直角三角形求相关量。 2.方法：利用四边形性质（对角线互相平分、对角线互相垂直、对边平行等）构造直角三角形→将四边形问题转化为直角三角形问题求解。 3.易错提醒：菱形对角线互相垂直且平分、矩形对角线相等等性质是构造直角三角形的关键；注意边角在四边形与直角三角形中的对应。 变式训练1（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点，根据旋转的性质得到为等边三角形，从而得到，再证得，得到对应边的长度，再解直角三角形求出的长度，根据平行线间垂线段相等求出的长度，从而算出的高进行求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点； ， ∵绕点逆时针旋转至， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵，．点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴，解得， 在中，， ∴，解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 则， ∴． 变式训练2（2026年天津市河东区中招适检数学科试题卷）如图，正方形的对角线相交于点，为边的中点，与相交于点，点在的延长线上，且，． （1）的长为________； （2）的长为________． 【答案】 【分析】（1）由正方形性质得，，为等腰直角三角形，故．由，可推得，结合，证，利用相似比得． （2）由且为中点，得，故．设，则，解得．过作，由，得，从而，由勾股定理得． 【详解】解：（1）∵ 四边形 是正方形， ， 为等腰直角三角形，， ， ，且， ， ，且， ， ，即． （2）如图，过点 作 于点 ． 在正方形中，，且，即， ， ， 为边的中点， ， ， 设，则， ，解得，即， ，， ， ， 在 中， 变式训练3（2026·天津·中考真题）如图，在菱形中，，，连接． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）点在边上，点在的延长线上，与相交于点，为的中点．若，则线段的长为________． 【答案】 5 【分析】（Ⅰ）因为菱形四边相等，所以，又因为，所以是等边三角形，由此可直接得到的长度． （Ⅱ）过点作，交于点， 过作于点，根据等边三角形的性质和判定先证得是等边三角形，进而可证得，可求得的长度，在中，，可求出的长，最后可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：（Ⅰ）菱形， ． 又， 是等边三角形， ． （Ⅱ）过点作，交于点， 过作于点，如图： 是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形， ． ， ， 又， ， ． ， ． 已知是中点，， ， 由菱形性质得，即． 在中，， ， ， ． 在中，由勾股定理： ， （负值已舍去）． 类型七、网格中解直角三角形 典例精讲7（25-26九年级上·贵州黔东南·期中）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、是网格交点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分母有理化，结合网格的特点正确添加辅助线是解题关键．设正方形网格的边长为，则，，，在中，，证明，得到，同理可证，，由等腰三角形的性质，得到，在中，，则，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图， 设正方形网格的边长为， ，，， 在中，， 由网格可知，，，， ， ， 同理可证，， 由网格可知，，， ， 在中，， ， ， ， 故选：B． 题型归纳 1.特征：在方格纸（网格）中给出线段或角，求三角函数值或解直角三角形。 2.方法：利用网格线构造直角三角形（网格横竖线垂直）→以格点间距为单位读出边长→按定义求三角函数值或解三角形。 3.易错提醒：网格中斜线段的长度须用勾股定理计算，不可直接数格；所求角对应的对边、邻边须结合网格中的直角三角形确定。 变式训练1（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图所示的网格是正方形网格，则_____ ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 根据题意和图形并结合正切的定义，可以计算出的值． 【详解】解：如图，设正方形网格中的小正方形的边长为， ， ∴，，，， ∴． 故答案为：． 变式训练2（2021·广东深圳·一模）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值． 方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE． 问题解决： （1）图1中tan∠BPD的值为________； （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值； 思维拓展： （3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得BE∥DC，则∠ABE=∠DPB，那么∠BPD就变换到Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案； （2）过点A作AE//CD，连接BE，那么∠BPD就变换到等腰Rt△ABE中，由锐角三角函数的定义可得出答案； （3）以BC为边长构造网格，然后把PC平移到AN，则∠CPD 就变换成Rt△ADN 中的∠NAD，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】（1） 由勾股定理可得：， ∵CD//BE， ∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝； （2）过点A作AE//CD，连接BE，由图2可知E点在格点上，且∠AEB＝90°， 由勾股定理可得： ∴cos∠BPD＝cos∠BAE＝ （3）如图3构造网格，过点A作AN//PC，连接DN，由图可知N点在格点上，且∠AND＝90°， 由勾股定理可得： ∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝ 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 变式训练3（2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 【答案】(1) ①如图： ② (2) 无刻度的直尺作图如下： (3) 【分析】（1）①根据格点，构造全等三角形，即可求解，②根据格点，构造全等三角形，，由，即可求解， （2）由图可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，找到的中点，是的角平分线，以为临边，找到菱形，根据菱形的性质，得到是的角平分线，，的交点，即为所求， （3）过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，设，在中，应用勾股定理，得到，进而求出、的长，在中，求出的长，由，得到，即可求解， 本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：①略 ②连接、， 由图可知，， ∴，、、共线，， ∴， 故答案为：， （2）解：点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 连接，，交于点， 点即的内心． （3）解：过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接， ∵，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴，则，,， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 类型八、坐标系中解直角三角形 典例精讲8（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用，先证明，进而得出，根据求出即可． 【详解】解：如图标注点．由题意可知，， 在中，由勾股定理，得． 由折叠，得，． ， ， ∵， ， ． 又，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 点的坐标为． 故选A． 题型归纳 1.特征：在平面直角坐标系中，由点的坐标或直线与坐标轴的交点构造直角三角形求解。 2.方法：由坐标差求出水平、竖直方向的线段长→结合勾股定理或三角函数求斜边长、角度→利用边角关系求坐标或函数值。 3.易错提醒：坐标差须取绝对值作为边长；锐角三角函数值只取正值，符号问题由点所在象限另行判断。 变式训练1（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点的坐标为，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，得到．若轴，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、解直角三角形，过点作轴于，过点作轴于，根据旋转的性质得到，最后解直角三角形即可． 【详解】过点作轴于，过点作轴于 点的坐标为，点的坐标为 绕点逆时针旋转得到 轴 轴 的坐标为： 故选：C． 变式训练2（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是确定所在的象限． 每旋转次，A的对应点又回到x轴负半轴上，故在第一象限，且边长为，由此求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵每次旋转 ∴每6次旋转 因为 余, ∴点在射线上， 因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的倍, 所以第次旋转所得三角形的边长为， 过点作轴于点H， ∴， ， 故点的坐标为 故选:D. 变式训练3（2025·河南·模拟预测）如图，菱形的边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，，两点的坐标分别为，，作射线，将菱形沿射线平移，当点落在轴上时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与平移，点的平移，解直角三角形，菱形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，再根据菱形的性质以及解直角三角形求出，然后再根据点的平移方式求解即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，两点的坐标分别为，， ∴点向右平移3个单位，向下平移到点， ∴点向右平移3个单位，向下平移得到， 故选：C． 类型九、解直角三角形与函数 典例精讲9（24-25九年级上·全国·期末）如图1，在矩形中，动点M从点A出发，沿方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作交于点N，设点M的运动路程为x，，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则函数图象中a的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数动点问题，考查了解直角三角形，二次函数的性质．由图2知：，设，当点M在上时，则，利用，即，求出y关于x的关系式，利用二次函数的性质即可求出的长，即可解答． 【详解】解：由图2知：，设， 如图所示，当点M在上时，则， ∵，则， ∴ ∴，即， 即， 解得， 则函数的对称轴为， ∵，y有最大值， 当时，y取得最大值，则， 解得（舍去负值）， ∴， ∴当点M运动到点C时，点M的运动路程为a， 则， 故选：C． 题型归纳 1.特征：解直角三角形与一次函数、反比例函数等结合，求点的坐标、函数解析式或几何量。 2.方法：由函数条件确定点或线段（如交点坐标）→构造直角三角形用三角函数或勾股定理求边长、角度→回归函数关系求解析式或坐标。 3.易错提醒：函数与几何量间的转换须双向进行，先由几何求坐标、再代入函数验证；注意交点、特殊点的位置对应。 变式训练1（2025·河北唐山·二模）如图1，点P为等边三角形的边上一点（不与点C重合），过点P作于点Q，设，，y与x的函数关系图象如图2所示，下列结论正确的是（    ） A． B．等边三角形的边长为3 C．当时，的长最小 D．y与x的函数关系为： 【答案】B 【分析】本题主要查了等边三角形的性质，函数图象的动点问题，解直角三角形等，根据题意求出a的值是解题的关键． 观察图象得：当时，，此时点P与点A重合，可得此时点Q是的中点，从而得到，，再根据，可判断A，B；在中，利用锐角三角函数可得， 在中，利用勾股定理可得，可判断C；再由，可判断D． 【详解】解：观察图象得：当时，，此时点P与点A重合， ∵，三角形是等边三角形， ∴此时点Q是的中点， ∴，， ∴此时， ∴此时， 解得：（负值舍去），故A选项错误； ∴等边三角形的边长为，故B选项正确； 在中，，， ∴， 在中，， ∴当时，取得最小值，的长最小，故C选项错误； ∴，故D选项错误； 故选：B 变式训练2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，是等腰三角形，，，是边上一动点，沿的路径运动，过点作于点，设，的面积为，下列图象中能反映与之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角函数的应用以及函数图象的判断，解题的关键是分阶段分析点运动时与的函数关系． 先根据等腰三角形性质求出底角，再分在上和在上两个阶段，利用三角函数表示出，进而得出与的函数关系式，根据函数性质判断图象． 【详解】是等腰三角形，， 当在上运动时， 在中，， 根据三角函数关系， ． 的面积， 这是一个二次函数，二次项系数，图象开口向上． 当在上运动时， 此时，则， 在中，， ， 的面积， 这也是一个二次函数，二次项系数，图象开口向下， 综合两个阶段，函数图象先开口向上，再开口向下，符合的是选项B． 故选B． 变式训练3（2025九年级上·江苏泰州·专题练习）如图（1）所示， 为矩形的边上一点， 动点同时从点出发， 点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是/秒，设同时出发秒时，的面积为，已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①，②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】图（2）中，点坐标为，此时点用5秒运动到点处，的面积为，根据运动的速度都是可得，那么高；根据勾股定理可得长；点的坐标为，此时点运动到，用时2秒，那么长，则，所以①正确；，故②正确；当时，点在上，用表示出的面积，看③是否正确；秒时，点在上，已经停止在点处，画出相关图形，判断和是否相似即可得到④是否正确． 【详解】解：∵点坐标为， ∴点用5秒运动到点处，的面积为． ∵点的运动速度都是． ∴（）． ∵的面积为， ∴（）， ∴（）， ∵点的坐标为， ∴点从一开始运动到，共用时7秒． ∴点从点运动到点用时2秒． ∴． ∴， ∴， 故①正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故②正确； 当时，点在上， 作于点M． ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴ 故③错误； 秒时，点在上，已经停止运动，在点处， ∴点运动的路程为． ∴（）， ∴（）， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，三角函数，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 类型十、解直角三角形解决动点问题 典例精讲10（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，四边形，，，，，，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿的方向向点匀速运动，运动速度为．点和点同时出发． （1）当时，的值为________； （2）当时，的值为________； 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形的性质、相似三角形的判定与性质、动点问题中的平行与垂直关系，解题的关键是通过作辅助线求出AD的长度，利用相似三角形的比例关系建立方程求解的值． （1） 先求AD长度，当时，利用的相似比列方程； （2） 作构造，利用与互余的正切关系列方程． 【详解】（1）解：过作于， ∵，， ∴四边形DEBC是矩形，， ∵， ∴， ∴. 当时，， ∴， 即，解得． 故答案为：． （2） 解：过作于， ∵，， ∴， ∴， 其中， 即， ∵， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ 在中，， 即， 化简得， 解得， 故答案为：. 题型归纳 1.特征：动点在图形上运动，随着位置变化解直角三角形求最值、范围或特殊位置的相关量。 2.方法：用参数（时间 t 或线段长）表示动点位置→写出相关边长的代数式→结合直角三角形边角关系列式→研究函数性质或特殊位置求解。 3.易错提醒：动点问题须明确运动范围与临界位置；求最值常用函数增减性或配方法，注意自变量取值范围。 变式训练1（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在中，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点分别从两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是____________ 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查了正切值的计算，动点与线段，二次函数图象的性质，理解点的运用，掌握二次函数图象的性质是关键． 根据正切值的计算得到，设运动时间为，用含的式子表示出线段的长，由面积公式得到，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 解得，， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，设运动时间为， ∴点运动的时间为，点运动时间为， ∴，，则， ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 故答案为： ． 变式训练2（2023·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒，直线上有一动点，轴上有一动点，当的和最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于对称的点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，根据题意求得的坐标，进而得出的坐标，根据轴对称的性质求得点的坐标，待定系数法求解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 作点关于对称的点，作点关于轴的对称点，当，在直线上时，的和最小时 ∵点，点从出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动了秒， ∴ ∴ ∵ ∴的纵坐标为 ∴ ∴， ∵点关于对称的点， ∴即 设直线的解析式为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，， ∴点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和最值问题，解直角三角形，求得点的坐标是解题的关键． 变式训练3（2025·安徽马鞍山·一模）如图，在菱形中，，，是边上的动点，N是边上的动点，将沿翻折得，的延长线与的延长线交于点E． （1）如图①，当点B落在上时，恰好有，此时_____； （2）如图②，当时，移动点N，使点E与点D重合，此时_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、矩形的判定与性质、相似三角形的性质以及勾股定理的综合运用，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识是解题关键． （1）过点C作于点K，根据矩形的判定和性质得出四边形是矩形，再由三角函数的出，利用折叠的性质确定，即可求解； （2）延长交的延长线于点P，过点 D作交的延长线于点Q，根据折叠的性质及等腰三角形的判定得出为等腰三角形，再由相似三角形的判定和性质得出，，设，则，得出，，结合图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）过点C作于点K， ∵， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点P，过点 D作交的延长线于点Q， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 同（1）得， 在中，， ∵，即， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理求出，根据直角三角形的性质和三角形中位线定理得到，则，由平行线的性质得到，则，求出，即可得到． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵为边的中点，为上一点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2022·浙江丽水·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正切函数求出，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴． 3．（2022·云南大理·模拟预测）如图，在中，，延长到点，使，连结，如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得到，再利用勾股定理求解． 【详解】解：取线段的中点，连接， ， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 4．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，点在边上，且，交于点，将绕点顺时针旋转得到，当点落在线段上时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，且，，故，．旋转后当点落在线段上时，，结合 得为等边三角形，从而，推出．过作，由等边三角形性质得，，结合及，可得点 的坐标为． 【详解】解：如图， 由题意，矩形中，，， ， ， ， ，， ， ， ，． 当点落在线段上时， 由旋转的性质，可知，，，． ，， 是等边三角形， ， ， ． 过点作于点，则， ，． ， 点的坐标为． 5．（2026·安徽·二模）如图，在中，，，，是边的中点，点，分别从点，出发，速度分别为，，均沿顺时针方向运动，当点追上点时，两点停止运动．设运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点、的位置变化，将运动过程分为四段：在上、在上且在上、在上且在上、、均在上．分别求出各段关于的函数解析式，根据函数类型及图象特征判断即可． 【详解】∵，，， ∴． ∵是中点，． 点速度为7，点速度为6． 点，分别从点，出发，速度分别为，， ， 故时，两点停止运动 当时，点在上，点在上 ， ．该函数图象为开口向上的抛物线，故A，B选项不合题意； 当时，在上且在上 ，该函数为一次函数； 当时，如下图，在上且在上 过点作于点，作于点， ∴ ， 则，， 则，，，， ， 该函数为开口向上的抛物线，故C选项不合题意； 当时，、均在上， ，到的距离为 ：，该函数为一次函数； 综上所述，故选D 6．（2026·广西·中考真题）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质及所拼图形，可求得，进而可求得两个菱形的高，用大菱形的面积减去小菱形的面积即可． 【详解】解：由图3可得， ， 在菱形中，， ， 作于，交于， 四边形是菱形， ， ， ，， 中，， 点，分别为，的中点， ， 同法可求得， ． 7．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）如图1，在中，，为中点，点从点出发以每秒个单位的速度向点运动（到达点后停止），设点运动的时间为（单位：秒），的长为，图是点运动时随变化的图象，其中为该图象的最低点，此时对应的时间为t，则________． 【答案】 【分析】理解图象的最低点的实际意义，在动态的几何变化中找到其对应的情况计算即可． 【详解】解： 作点A关于线段的对称点，连接，， 由对称性可得，， ∴（两点之间线段最短）， 记交于F，由题可得当点E运动到点F处时，符合图象的最低点的条件， 由图得， ∵为中点，则设，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理， 即， 解得， ∴，， 再过点F作于点G， 在中，， 则在中，， ∴设，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，, ∴，解得， 则， ∵点E的速度为每秒个单位， 则当点E运动到点F处时． 8．（2026·四川雅安·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，…在x轴的正半轴上，点，，，…在射线上，直线的表达式为．若点的坐标为，且，，，…均为等边三角形，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作轴，交直线于点，过点作轴于点，先求出，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得，然后解直角三角形可得的长，总结规律得到的边长和高，然后求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴于点， ， ， ∵， 当时，，即，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴中边上的高为， ∴的面积为． 9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，中，，，点D、E分别在边、上，连接、交于点F，且，则下列结论：①；②；③；④若，，则线段的长为；其中正确结论的序号是：______． 【答案】①④/④① 【分析】设，则，利用三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质表示出与，即可判断①；对于④，设，利用相似三角形的性质及三角函数的定义构建关于的方程，求出的值，进而求出的长；结合④的计算结果可知，仅当时结论成立，故②③不一定正确． 【详解】解：，， ， 设，则， ，， ， ， ，故①正确； 设， ，， ，， 由①知，， 在中，， 过点作于点，如图， 又， ， ， ， ∴， ，，， 在中，， 在中，， 由题意知 则 解得， 经检验是原方程的解， ， ，故④正确； 当时，，，，但题目未给定的长度，的度数及与的关系随的变化而变化， ②③不一定正确． 综上所述，正确的为①④． 10．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，．点在边上，．以为圆心，为半径作圆，与边交于点．过作的切线，与边交于点，连接．    (1)求证：是等腰三角形； (2)随着长度的变化，是否存在最小值？是否存在最大值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． (2)解：存在最小值，存在最大值，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，， 则， ． 在中，， ， ，， ， 易知当最大时，取最小值， 当最大时，取最小值， 在中，， 易知当取最小值时，最大， 点在上，点是定点， 当点与点重合时，取最小值，如图， 此时，， 在中，， ， 即的最小值为． 在中，，， ， 即， 当取最小值时，取最大值，为． 【分析】（1）考查圆的切线性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定．连接，利用切线性质可以得到，推出与互余，再结合得到，又因为在中，与互余，因此可以推出，从而证明是等腰三角形； （2）延长到点，使，连接，则可转化为求的长，然后利用解直角三角形分析和中随的变化关系，确定当取最小值时，即点与点重合时，取得最小值，再在中使用勾股定理求得的长，进而求得的最小值，最后将勾股定理与平方差公式结合得到，利用两者之积为定值，从而求出的最大值． 【详解】（1）略． （2）略． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $