专题03 解直角三角形与实际问题的8类热考问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“建模转化-规范求解”为双主线，系统归纳8类实际问题的直角三角形构造方法与跨情境迁移策略，培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心框架|建模转化（几何要素标注）、规范求解（三角函数选择）|实际问题→直角三角形构造→边角关系应用| |8类题型|每类1典例+4变式|仰角俯角用双直角三角形、方向角建方位坐标、坡度坡角抓tanα关系等|从具体情境（测量/物理/方案）抽象模型，强化“已知→构造→求解”链条|

专题03 解直角三角形与实际问题的8类热考问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 1 类型二、方向角问题 2 类型三、坡度坡角问题 6 类型四、实物建模问题 8 类型五、物理实验问题 12 类型六、方案设计问题 15 类型七、临界值问题 19 类型八、其它问题 21 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 解直角三角形与实际问题是初中数学联系生活与跨学科的核心内容，所有题型均围绕实际问题建模、直角三角形构造、解直角三角形三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是建模转化 —— 准确识别仰角、俯角、方向角、坡度等几何要素，将其标注到直角三角形中，明确已知边角与所求量；二是规范求解 —— 在直角三角形中按 "已知两边求角、已知一边一角求边" 选择正弦、余弦、正切或勾股定理列式，注意精确度要求；所有结果最终均需回归实际意义检验（长度为正、角度合理）。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 典例精讲1（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 题型归纳 1.特征：实际问题中出现视线与水平线的夹角（仰角、俯角），求高度或距离。 2.方法：仰角俯角都是视线与水平线的夹角→将已知角放入直角三角形→用三角函数关系列式求解；涉及两个观测点时构造两个直角三角形。 3.易错提醒：仰角俯角均以水平线为基准，勿与视线方向混淆；两个观测点情景中公共边（如塔高）是两个直角三角形共用的关键量。 变式训练1（2026·安徽芜湖·三模）甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 变式训练2（2026·湖南长沙·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 变式训练3（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 变式训练4（2026·河南平顶山·三模）广告牌可以进行社会公益宣传，促进社会和谐发展．某校数学兴趣小组利用业余时间来到某商业街区实地测量广告牌的高度．如示意图，为广告牌（点在同一条铅垂线上），街区上平台的高为，平台距离广告牌的水平距离为，小林用测角仪在点处测得广告牌底端的仰角为，在点处测得广告牌顶端处的仰角为．求广告牌的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 类型二、方向角问题 典例精讲2（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 题型归纳 1.特征：以正北、正南为基准描述方位（如北偏东 30°），求距离或航行问题中的相关量。 2.方法：以观测点为中心建立方位坐标→方向角是目标方向与正北 / 正南方向的夹角→构造直角三角形→用三角函数或勾股定理求解。 3.易错提醒：方向角须明确 "北偏东 / 西、南偏东 / 西" 的基准方向，不可写反；画图时按上北下南、左西右东规范标注。 变式训练1（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 变式训练2（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 变式训练3（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 变式训练4（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离（精确到）．参考数据：，，，，，． 类型三、坡度坡角问题 典例精讲3（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 题型归纳 1.特征：涉及斜坡的坡度（坡比）或坡角，求坡面长、高度或水平距离。 2.方法：坡度 = 垂直高度 / 水平距离 = tan 坡角→由坡度推出坡角或边角关系→构造直角三角形列式求解。 3.易错提醒：坡度是比值（常写为 1:m 形式），不是角度；坡度 = tanα，求角度时须用反三角函数或特殊角对照。 变式训练1（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 变式训练2（2026·陕西西安·模拟预测）如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 变式训练3（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 变式训练4（2026·山东菏泽·二模）【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 类型四、实物建模问题 典例精讲4（2026·黑龙江大庆·中考真题）为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 题型归纳 1.特征：以现实物体（建筑物、旗杆、风筝、树等）为背景，要求测量或计算其高度、长度。 2.方法：抽象出几何图形→确定直角三角形（常需作高辅助线构造）→标出已知边角→列三角函数关系式求解。 3.易错提醒：物体高度对应的是竖直方向的直角边，勿与斜边混淆；作辅助线后须标明所作直角，保证三角关系成立。 变式训练1（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 变式训练2（2026·辽宁·中考真题）2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 变式训练3（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 变式训练4（2026·海南·模拟预测）综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点、、 在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管 米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） (1)任务一：如图2，求此时液压杆端到的距离及的长度； (2)任务二：如图3，若伸长到最大长度，消防人员在云梯末端工作台点 处高空救援时，云梯绕着点逆时针旋转（），过点作垂足为，过点 作，垂足为，，垂足为 ，测得铅直高度升高了米（即米），求伸长到的最大长度． 类型五、物理实验问题 典例精讲5（2025·江西宜春·三模）【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 题型归纳 1.特征：结合物理情境（如斜面、杠杆、光的折射反射等），用三角函数求解物理量。 2.方法：提取物理情境中的几何关系→转化为直角三角形边角问题→按三角函数定义列式求解。 3.易错提醒：须先明确物理量对应的几何线段（如斜面长、垂直高度）；单位须统一，物理情境中的角度含义须与数学图形对应。 变式训练1（2026·吉林·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是某同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：，，．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），求线段的长度．（结果精确到，参考数据：） 变式训练2（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）做化学实验时，我们常常用圆锥形漏斗、圆柱形烧杯和玻璃棒组装液体过滤实验装置，如图①所示．图②是图①抽象后的平面图形，已知漏斗的一端紧贴烧杯内壁，，，漏斗颈口与烧杯底部的距离，玻璃棒斜靠在点处，，玻璃棒的长度为．（注：玻璃厚度、漏斗颈口径和玻璃棒粗细均忽略不计） (1)求漏斗口点到底座的距离（结果保留根号）； (2)小明在倒入液体时，烧杯尖嘴口与玻璃棒接触点为点，，．根据实验操作的要求，点的位置在竖直方向上不能超过漏斗的边缘．小明的操作符合要求吗？为什么？ 变式训练3（2026·安徽六安·二模）物理上有个著名的托里拆利实验，它测出了一个标准大气压等于水银柱，取一根长度为1米，一端封闭的玻璃管，用水银灌满后倒立插入盛有水银的容器中．如图下端有淹没在水银槽中，水银柱在液面以上可达高度，实验过程中，水银柱上表面到槽内液面的竖直高度始终保持玻璃管可绕其下端在竖直平面内缓慢倾斜，设玻璃管与竖直方向的夹角为． 参考数据：，，，，，．（精确到0．1 m）． (1)当玻璃管竖直放置（）时，管内真空部分的长度为______厘米； (2)当玻璃管倾斜至与竖直方向夹角时，求管内真空部分的长度（即管内水银上表面中心到管顶的距离）； (3)当玻璃管倾斜至某一角度时，水银恰好充满整个玻璃管（即管内全部为水银，顶部无真空），求此时的大小（精确到） 变式训练4（2025·广东·三模）综合与实践． 【主题】探究光折射与反射现象． 【素材】低功率激光灯、一面镀银的透明棱镜、量角器等． 【实验过程】物理兴趣小组在实验室使用相关素材进行光学实验．如图，是实验棱镜的横截面，其中，，，面镀银．一束光线从面上的点射入棱镜，在面上的点处发生一次反射后，从面上的点射出． 【实验重点】在实验过程中，仔细调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到相关线段长度和角度信息． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)若，且光线与平行，求的长； (2)若，经仪器测量得为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，， 类型六、方案设计问题 典例精讲6（25-26九年级上·山东聊城·期末）光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 E，D，B三点在同一条直线上 B，C，D三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值                                                                                                          【问题解决】 (1)求“方案一”两次测量塔影长的平均值； (2)根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度； (3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：，，，．结果保留1位小数） 题型归纳 1.特征：给出多种测量或设计方案，要求选择最优方案或按方案计算相关量。 2.方法：分别分析各方案所构造的直角三角形→比较各方案所需条件与可求量→按选定方案列式计算，或比较结果作出选择。 3.易错提醒：方案可行性须考虑条件是否足够（已知边角是否完备）；比较方案时须在同一标准下进行。 变式训练1（2026·河南周口·三模）某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高米）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机位于离地面高度为米的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，，，，） 【方案二】如图，当无人机位于离地为米的处时，测得与塔顶处的仰角为；当无人机垂直上升到离地面高度为米的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） (1)请你选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） (2)根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 变式训练2（2026·广东清远·三模）党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的处，测得河北岸的一棵树底部点恰为点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从点向正西方向走5米到达点，在处测得点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在点竖直立起标杆，的长为1米，再在的延长线上选择点，使得的长为8米，竖直立起标杆，的长为2米． (1)请选择其中一个方案，求河流宽度． (2)除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． 变式训练3（2026·安徽·模拟预测）【综合与实践】 【项目背景】为解决楼房顶层室内的高温问题，社区决定给楼房搭建遮阳棚．九年级数学社团参加了遮阳棚支架的设计． 【项目设计】数学社团的成员设计两种搭建方案，其截面如图．方案一：“斜坡形”，如图1，，；方案二：“人字形”，如图2，．两种方案的设计满足：． 【项目实施】根据上面设计的数据，请你通过计算确定哪种方案用的支架材料少（注：比较各截面中支架总长即可，另方案一中的不是支架材料，计算结果精确到）． （参考数据：，，，，，．） 变式训练4（2026·河南新乡·二模）商丘古城，又称归德府城，已有四千多年历史，现存地上的归德府城于明朝弘治十六年（1503年）开建、于明朝正德六年（1511年）竣工，距今已有500余年的历史．现存归德府城之下同时叠压着明朝弘治十六年（1503年）之前元朝时期修建的归德府城、北宋时期的应天府南京城、隋唐时期的宋州治所宋城、秦汉时期的梁国国都睢阳城、周朝时期的宋国都城等6座都城、古城． 某校数学实践小组利用所学数学知识测量城楼的高度，他们制订了两个测量方案，并进行了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量商丘古城城楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 ，，三点在同一条直线上 ，，三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 1.18m 1.22m 1.2m 25m 26m 12.8m 13.2m 13m 【问题解决】 (1)求“方案一”两次测量城楼影长的平均值； (2)①根据“方案一”的测量数据，求出城楼的高度；②根据“方案二”的测量数据，求出城楼的高度．（参考数据：，，，．结果保留1位小数） (3)分析（2）中两次测量产生误差的可能原因（写出一条即可）． 类型七、临界值问题 典例精讲7（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图，一架无人机在道路正上方的点D处，米，现有一辆轿车沿着方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点A处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点B，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：） (1)求轿车在拍摄时间内行驶的距离的长． (2)若该路段限速60千米/时，超速未超过10%，采取警告措施，超过10%，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款． 题型归纳 1.特征：问题存在边界情形（如恰好通过、恰好到达、极限位置），求临界状态下的值。 2.方法：找出临界状态对应的图形位置→在临界状态下构造直角三角形→列方程（不等式）求解临界值→结合题意判断取值范围。 3.易错提醒：临界状态是 "恰好" 情形，须与一般情形区分；解出临界值后须检验是否符合实际情境（如角度范围、长度非负）。 变式训练1（2026·四川成都·模拟预测）如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 变式训练2（2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）． (1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米） (2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内． （参考数据：，，，） 变式训练3（2026·江苏镇江·二模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． (1)求盲区线段的长； (2)点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由． 参考数据：，，，，， 变式训练4（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 类型八、其它问题 典例精讲8（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 题型归纳 1.特征：上述类型之外的实际应用问题，综合性较强或情境新颖。 2.方法：审清题意→化实际问题为几何模型→识别或构造直角三角形→综合运用三角函数、勾股定理、相似等知识求解。新情境须先完成 "实际问题→数学问题" 的转化再动手；综合题注意各条件间的关联，勿遗漏隐含条件。 3.易错提醒： 变式训练1（2026·安徽·二模）无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 变式训练2（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 变式训练3（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 变式训练4（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 3．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 4．（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 6．（2026·山西长治·三模）研学与实践 【实践任务】数学实践小组来到太原五一广场，运用标杆测量法测量首义门的高度． 活动主题 测量太原五一广场首义门的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图2，首义门竖直矗立在水平地面上．数学实践小组在首义门正前方地面的中轴线上选取了，两点放置标杆，，并分别在点，处测得首义门顶端的仰角为， 测量数据 •在点测得仰角 •在点测得仰角 •两点间距离： •标杆的高度： 备注 点，，在同一水平直线上 根据以上信息，解决下列问题： (1)求首义门的高度（结果精确到．参考数据：，，；，，）； (2)已知首义门的实际高度为，请判断本题结果与实际高度是否一致，并说出一条可能的误差原因． 7．（2026·广东东莞·三模）机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 8．（2026·江西·中考真题）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） (1)任务一：计算点离水平地面的高度； (2)任务二：计算_____________，______________； (3)任务三：计算土坑的深度． 9．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 10．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解直角三角形与实际问题的8类热考问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 1 类型二、方向角问题 3 类型三、坡度坡角问题 15 类型四、实物建模问题 22 类型五、物理实验问题 32 类型六、方案设计问题 40 类型七、临界值问题 49 类型八、其它问题 56 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 解直角三角形与实际问题是初中数学联系生活与跨学科的核心内容，所有题型均围绕实际问题建模、直角三角形构造、解直角三角形三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是建模转化 —— 准确识别仰角、俯角、方向角、坡度等几何要素，将其标注到直角三角形中，明确已知边角与所求量；二是规范求解 —— 在直角三角形中按 "已知两边求角、已知一边一角求边" 选择正弦、余弦、正切或勾股定理列式，注意精确度要求；所有结果最终均需回归实际意义检验（长度为正、角度合理）。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、仰角俯角问题 典例精讲1（2026·甘肃兰州·中考真题）位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点处测得，然后沿方向往前走到达点处，测得，（测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内．，，三点共线，，，，．求最高处烽火台距离地面的高度（结果精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【分析】设，，证明四边形、四边形为矩形，根据、列方程求解即可． 【详解】解：设，，由题意知， ∵，，， ∴， 又∵， 即且， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为矩形， 同理可得四边形、四边形也为矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型归纳 1.特征：实际问题中出现视线与水平线的夹角（仰角、俯角），求高度或距离。 2.方法：仰角俯角都是视线与水平线的夹角→将已知角放入直角三角形→用三角函数关系列式求解；涉及两个观测点时构造两个直角三角形。 3.易错提醒：仰角俯角均以水平线为基准，勿与视线方向混淆；两个观测点情景中公共边（如塔高）是两个直角三角形共用的关键量。 变式训练1（2026·安徽芜湖·三模）甲乙两栋垂直地面的楼房、，工作人员在A处测得C点俯角，测得D点仰角，已知，求的长．参考数据：，，，，， 【答案】 【分析】过点A作于E，由题意易得四边形为矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于E，如图所示： ∴， ∴四边形为矩形， ， 在中，，， 在中，，． 变式训练2（2026·湖南长沙·三模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量觉华塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)塔的高度约为． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）在中，根据勾股定理求得，设．得出，过点作，垂足为．，．在中，，得出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，． 在中，，， ． 答：的长为． （2）由题意， 在中，，， ． 在中，设． ， ． ． 过点作，垂足为． 由题意，得，． ， ． 在中，， ． ，解得． ． 答：塔的高度约为． 变式训练3（25-26八年级下·山东济南·期末）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内． (1)求的长； (2)求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)长为 (2)约为米 【分析】（1）延长交的延长线于点，设米，可得，，由可得关于的方程，解方程求出的值根据即可求出结果； （2）过点作，交于点，根据求出的长度，根据求出的长度，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：的长为； （2）解：过点作，交于点， ，， ， 点到楼的水平距离为，即， 在中，，， ， ， 答：楼与之间的距离的长约为米． 变式训练4（2026·河南平顶山·三模）广告牌可以进行社会公益宣传，促进社会和谐发展．某校数学兴趣小组利用业余时间来到某商业街区实地测量广告牌的高度．如示意图，为广告牌（点在同一条铅垂线上），街区上平台的高为，平台距离广告牌的水平距离为，小林用测角仪在点处测得广告牌底端的仰角为，在点处测得广告牌顶端处的仰角为．求广告牌的高度（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】广告牌的高度约为 【分析】先作垂线构造矩形得到水平距离、竖直段，再分别在两个直角三角形中利用正切求出与，算出后用减去得到广告牌高度． 【详解】解：如解图，过点作于点． 可得四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴ ∴． 在中，，， ∴． ∴． 答：广告牌的高度约为 类型二、方向角问题 典例精讲2（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 题型归纳 1.特征：以正北、正南为基准描述方位（如北偏东 30°），求距离或航行问题中的相关量。 2.方法：以观测点为中心建立方位坐标→方向角是目标方向与正北 / 正南方向的夹角→构造直角三角形→用三角函数或勾股定理求解。 3.易错提醒：方向角须明确 "北偏东 / 西、南偏东 / 西" 的基准方向，不可写反；画图时按上北下南、左西右东规范标注。 变式训练1（25-26八年级下·重庆江津·期末）如图，四边形是某机器狗试验场边沿，其中位于正东方向，位于的正北方向，位于的北偏东方向，且位于的西北方向，位于的西南方向． (1)求的长；（结果保留根号） (2)测试人员在机器狗中输入试验场地图，测试机器狗自动识别路径的能力．若机器狗从到用时少说明机器狗识别路径的能力较强，则机器狗走、中哪条线路说明机器狗识别路径的能力较强？请说明理由．（机器狗走两条线路的速度相同） 【答案】(1)米 (2)走说明机器狗识别路径的能力较强．理由： 米 由题意：在西北方向，在西南方向， ∴，， ∴，．是等腰直角三角形， 设， 由勾股定理： ， ∴， 解得， ∴线路长度：米， 线路长度：米， ∵， ∴速度相同时，走用时更短． 故走说明机器狗识别路径的能力较强． 【分析】（1）先根据方位角确定的内角，因为在正东，在正北，所以，又已知在北偏东，可得到中其余角度，结合已知的长度，用三角函数或直角三角形边角关系计算的长． （2）先根据在西北方向、在西南方向，判断的形状，结合第（1）问求出的长度，计算的长度．再计算的长度，因为速度相同，所以比较两条路径的总长度，长度更小的路径用时更短，对应机器狗识别能力更强． 【详解】（1）解：D在正北，在正东， ∴，； ∵在北偏东， ∴，且米． 在中，由三角函数定义： ， 代入得： ． 答：的长为米． （2）略． 变式训练2（2026·安徽·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】快递小哥这个过程中总共走了 【分析】过点作于点，过点作于点．在中求出，．在中求出，进而可求出快递小哥这个过程中总共走了多少米． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． 由图可知，四边形是矩形， ，． 根据题意，，， ， ． ， ， ， ， ． 答：快递小哥这个过程中总共走了． 变式训练3（2026·河南平顶山·三模）综合与实践 为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：    位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天到夜里，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离． (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)最短距离约为海里 (2)渔船不能在浓雾到来前到达码头，理由如下： 如图，过点作于点． 在中，， 由（1）可知海里， ∴（海里）． ∴（海里）． ∵小时分钟，从经过分钟是， ∴渔船不能在之前到达． ∴若不改变航行速度，渔船不能在浓雾到来前到达码头． 【分析】（1）过点作构造直角三角形，先根据航行时长算出长度，设垂线段，利用的正切表示，结合列方程求解，即为渔船到灯塔的最短距离． （2）在中利用求出，算出总路程，结合船速求出行驶总时长，对比到的时间，判断能否抵达码头． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意，得，，， ∴，． ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得． ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为海里． （2）解：略． 变式训练4（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】，间的距离约为 【分析】由题意可得，结合三角形的内角和定理可得，解可得的长，解可得的长． 【详解】解：由题意可得，，，， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ，间的距离约为． 类型三、坡度坡角问题 典例精讲3（2026·江苏宿迁·中考真题）如图，小亮从A地出发去B地，先沿着坡角为的坡道向前走了100米到C地，再沿着水平方向走了一段距离到E地，最后沿着坡角为的坡道向前走了150米到B地，求小亮沿垂直方向上升了多少米？（图中所有点均在同一平面内，，．参考数据：，，，，，） 【答案】小亮沿垂直方向上升了米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，分别在直角三角形和直角三角形中，利用正弦分别求出和，于是可求出沿垂直方向上升的米数． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得四边形是矩形， ， 在直角三角形和直角三角形中， 、， 、， 、， （米）． 答：小亮沿垂直方向上升了米． 题型归纳 1.特征：涉及斜坡的坡度（坡比）或坡角，求坡面长、高度或水平距离。 2.方法：坡度 = 垂直高度 / 水平距离 = tan 坡角→由坡度推出坡角或边角关系→构造直角三角形列式求解。 3.易错提醒：坡度是比值（常写为 1:m 形式），不是角度；坡度 = tanα，求角度时须用反三角函数或特殊角对照。 变式训练1（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026年国际划联皮划艇马拉松世界杯于5月23日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N点处竖直升空，当升至距地面的空中P点时，测得C点正前方的河面上两艘皮划艇A和B的俯角分别为和（点M、C、B、A在一条直线上）．已知河堤斜坡的长为，坡比为（计算结果保留整数）．（参考数据：，，，，，） (1)求无人机距河面的高度； (2)求两艘皮划艇之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：，，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由题意得：，，然后根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：无人机距河面的高度的长为 （2）解：由题意得：， 由（1）可知：， 在中，， 在中，， ∴； 答：两艘皮划艇之间的距离的长为． 变式训练2（2026·陕西西安·模拟预测）如图，交通部门在西安市某下坡路路段安装了一套电子限速检测系统，在离下坡路终点米处（即米）的电线杆的顶端处安装一个电子眼进行区间测速，下坡路段坡比，区间测速起点为坡面处，此处观测电子眼仰角为，区间测速的终点为下坡路终点处，此处观测电子眼的仰角为，如果该路段限速千米/小时，某汽车用秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：，，，，，，） 【答案】该汽车超速， 理由如下：过作于点， 于点，则矩形 在中， ． 在中， 设，， 则． ∵矩形中， ，，则， 在中，， ， 在中，， ∴米/秒， ∴米/秒， 则， 所以该汽车超速了． 【分析】作， ，则矩形，根据坡比求出，再设，，可得，然后根据求出，接下来根据勾股定理得，即可得出米/秒，最后比较可得答案． 【详解】略 变式训练3（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分的高度； (2)求索塔的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由题意得，米，，，然后根据求解即可； （2）作于点Q，则四边形是矩形，根据斜面的坡度，求出米即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度， ∴， ∴（米）， ∴米， ∴米． 变式训练4（2026·山东菏泽·二模）【问题情境】 为打造安全、人性化的校园地下停车空间，某校基建处启动地下车库升级改造工程．在设计入库坡道时，校数学兴趣小组的同学们主动承担了方案优化任务——他们结合《车库建筑设计规范》的安全标准，运用所学解直角三角形的知识，对坡道坡度、净高、缓坡过渡等关键指标进行了严谨测算与优化，既保障了行车安全，也兼顾了空间利用效率，为学校基建工程提供了科学的数学依据． 【方案设计】 入库坡道示意图如下： 【数据收集】 ①直线主坡道的水平距离为，坡度为； ②左，右两段缓坡道为，，水平距离均为； ③和车库地面均与水平方向平行． 【问题提出】 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． （参考数据：当时，，） 【答案】(1) (2)①；②符合，理由：如图， 过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点， 则四边形和四边形均为矩形， ∵， ∴， ∵主坡道的坡度为，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中，， 在 中，， ∴， 在中，由可得， ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 【分析】（1）在中，根据坡度定义得，代入已知的长度，即可直接计算得出主坡道的铅直高度； （2）①先根据缓坡道坡度为主坡道坡度的算出缓坡道的坡度，再在中利用坡度定义，代入水平距离的长度算出铅直高度，结合右段缓坡道铅直高度与相等，将三段坡道的铅直高度相加，即可得到车库总高度； ②过点作铅垂线交于点，过点作水平线交于点，过点作于点，证明四边形和四边形均为矩形，先计算出的长度，再求出的长度，利用主坡道的坡度在中算出，进而求出和的长度，再通过角的关系证明，在中利用余弦函数算出的长度，最后将与比较，即可判断该坡道的最小净高是否符合设计规范． 【详解】（1）∵主坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴； 答：主坡道的铅直高度为； （2）①∵缓坡道坡度为主坡道坡度的， ∴缓坡道的坡度为， ∴在中，， ∵， ∴， 由题意可知：右段缓坡道的铅直高度也等于，车库总高度等于各段坡道铅直高度之和， ∴； 答：车库高度为； ②略 类型四、实物建模问题 典例精讲4（2026·黑龙江大庆·中考真题）为了保护视力，小萌购买了可调节书架，将书架放置在水平桌面上如图1，这种书架的侧面结构如图2，、可分别绕点B、C转动，经测量知C是的中点，且．当、转动到，时，求点D到的距离．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】 【分析】过C作于F，过D作于G，于H，根据矩形的判定与性质得出，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，然后根据线段的和差关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：过C作于F，过D作于G，于H， 则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵C是的中点，， ∴， 在中，， ∴， 即点D到的距离为．= 题型归纳 1.特征：以现实物体（建筑物、旗杆、风筝、树等）为背景，要求测量或计算其高度、长度。 2.方法：抽象出几何图形→确定直角三角形（常需作高辅助线构造）→标出已知边角→列三角函数关系式求解。 3.易错提醒：物体高度对应的是竖直方向的直角边，勿与斜边混淆；作辅助线后须标明所作直角，保证三角关系成立。 变式训练1（2026·山东枣庄·三模）2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为．（参考数据：取，取） (1)如图1，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”α为，时，求眼睛A与屏幕的距离； (2)如图2，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，为保持正确坐姿，求桌面到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据求解即可； （2）延长交于点M，则，，求解，在中，根据求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 故眼睛A与屏幕的距离约为． （2）解：延长交于点M，则，， ， ， 在中，，， ， ． 故桌面到地面的距离约为． 变式训练2（2026·辽宁·中考真题）2026年夏，我国多地冬小麦丰收．为助力“科学收粮，颗粒归仓”，青玄若梦数学“综合与实践”活动小组开展收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究活动，部分内容已记录如下： 活动主题 收割机拨禾轮支撑臂角度与拨禾轮位置关系的探究 活动准备 1．查阅有关资料； 2．准备皮尺、测角仪等测量工具． 采集信息 收割机的前端装置包含拨禾轮、支撑臂和割台等，拨禾轮的侧面是正五边形．图1是收割机前端部分装置侧面示意图： 1．点是拨禾轮中心，是拨禾轮支撑臂； 2．，，； 3．，，； 4．收割作业前，． 设计方案 为减少小麦漏收情况，收割作业时需要将拨禾轮下降，使拨禾轮最低点与割台之间的垂直距离保持在之间． 确定方案：绕点旋转拨禾轮支撑臂，将拨禾轮下降，使． 图2是拨禾轮下降后部分装置侧面示意图： 1．，，点，，在一条直线上，； 2．，，的长度保持不变． 根据以上信息，解决下列问题（图中所有点在同一平面内，参考数据：，，，）： (1)求图1中的长； (2)求图2中的长，并判断小组所设计的方案是否可行． 【答案】(1) (2)，小组所设计的方案可行 【分析】（1）解得出，根据题意得四边形是矩形，进而求得的长； （2）解得出，进而求得的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， 依题意，四边形是矩形， ∴ （2）解：在中， ∴ 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴小组所设计的方案可行． 变式训练3（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 变式训练4（2026·海南·模拟预测）综合与实践：请根据以下素材，完成探究任务． 素材 某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2、图3是其侧面示意图，点、、 在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管 米，且套管的长度不变． 已知条件 米，，，（参考数据：，，，，，） (1)任务一：如图2，求此时液压杆端到的距离及的长度； (2)任务二：如图3，若伸长到最大长度，消防人员在云梯末端工作台点 处高空救援时，云梯绕着点逆时针旋转（），过点作垂足为，过点 作，垂足为，，垂足为 ，测得铅直高度升高了米（即米），求伸长到的最大长度． 【答案】(1)此时液压杆端到的距离为 米；液压杆的长度约为米 (2)伸长到的最大长度为米 【分析】（1）过点A作于点，解，求得，即为液压杆端到的距离，进而解，即可求得的长； （2）解求得，进而得出，求得，根据得出，，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E 在中， 米，， ∴米， ∵在中，， ∴， 答：液压杆的长度约为3米； （2）解：如图3， 依题意四边形为矩形， ∴， 由题意，在中，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵，， ∴ 在中，， ∴， ∵ 又米 ∴米， ∴米，米， ∴米， 答：伸长到的最大长度为米． 类型五、物理实验问题 典例精讲5（2025·江西宜春·三模）【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系以及“折射率”的定义是解题的关键． （）如图，过点D作，垂足为点G，证明四边形是矩形，可得，，结合．由，据此即可求解； （）求解，，可得，结合，进一步即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作，垂足为点G， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是， ∴． ∴在中，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． 题型归纳 1.特征：结合物理情境（如斜面、杠杆、光的折射反射等），用三角函数求解物理量。 2.方法：提取物理情境中的几何关系→转化为直角三角形边角问题→按三角函数定义列式求解。 3.易错提醒：须先明确物理量对应的几何线段（如斜面长、垂直高度）；单位须统一，物理情境中的角度含义须与数学图形对应。 变式训练1（2026·吉林·模拟预测）实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是某同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：，，．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），求线段的长度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】过点作于点，于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】解：过点作于点，于点，如图： 由题可得： 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，则四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式训练2（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）做化学实验时，我们常常用圆锥形漏斗、圆柱形烧杯和玻璃棒组装液体过滤实验装置，如图①所示．图②是图①抽象后的平面图形，已知漏斗的一端紧贴烧杯内壁，，，漏斗颈口与烧杯底部的距离，玻璃棒斜靠在点处，，玻璃棒的长度为．（注：玻璃厚度、漏斗颈口径和玻璃棒粗细均忽略不计） (1)求漏斗口点到底座的距离（结果保留根号）； (2)小明在倒入液体时，烧杯尖嘴口与玻璃棒接触点为点，，．根据实验操作的要求，点的位置在竖直方向上不能超过漏斗的边缘．小明的操作符合要求吗？为什么？ 【答案】(1) (2)符合要求，理由如下： 如图，过点作于点， ∵， 是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵玻璃棒的长度为，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，，即， ∴点的位置在竖直方向上不超过漏斗的边缘．小明的操作符合要求． 【分析】（1）过点作于点，得出是等边三角形，求得，进而根据漏斗口点到底座的距离为，即可求解； （2）过点作于点，根据题意得出是等边三角形，结合题意得出，进而求得，得出与比较，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∴漏斗口点到底座的距离为； （2）略 变式训练3（2026·安徽六安·二模）物理上有个著名的托里拆利实验，它测出了一个标准大气压等于水银柱，取一根长度为1米，一端封闭的玻璃管，用水银灌满后倒立插入盛有水银的容器中．如图下端有淹没在水银槽中，水银柱在液面以上可达高度，实验过程中，水银柱上表面到槽内液面的竖直高度始终保持玻璃管可绕其下端在竖直平面内缓慢倾斜，设玻璃管与竖直方向的夹角为． 参考数据：，，，，，．（精确到0．1 m）． (1)当玻璃管竖直放置（）时，管内真空部分的长度为______厘米； (2)当玻璃管倾斜至与竖直方向夹角时，求管内真空部分的长度（即管内水银上表面中心到管顶的距离）； (3)当玻璃管倾斜至某一角度时，水银恰好充满整个玻璃管（即管内全部为水银，顶部无真空），求此时的大小（精确到） 【答案】(1)20 (2) (3) 【分析】（1）根据题意直接解答即可； （2）根据锐角三角函数解答即可； （3）根据锐角三角函数解答即可． 【详解】（1）解：竖直放置时真空部分的长度为厘米； （2）解：如图， 根据题意得：，， 在中，， ∵， ∴真空部分的长度为； （3）解：设倾斜度时，水银可装满整个玻璃管， 此时， ∴， 即倾斜时，水银可装满整个玻璃管． 变式训练4（2025·广东·三模）综合与实践． 【主题】探究光折射与反射现象． 【素材】低功率激光灯、一面镀银的透明棱镜、量角器等． 【实验过程】物理兴趣小组在实验室使用相关素材进行光学实验．如图，是实验棱镜的横截面，其中，，，面镀银．一束光线从面上的点射入棱镜，在面上的点处发生一次反射后，从面上的点射出． 【实验重点】在实验过程中，仔细调整光线入射角度和位置，使点在同一平面内，并测量得到相关线段长度和角度信息． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)若，且光线与平行，求的长； (2)若，经仪器测量得为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）由平行线的性质得，即得，得到，再解直角三角形可得，得到，又由得，过点作于点，可得，再解直角三角形即可求解； （2）由直角三角形的性质得，即得，进而得，解直角三角形得，得到，再解直角三角形即可求解； 【详解】（1）解： ，， ， ，， ， ∴， ，，， ， ， 由反射定律可知，， ， ， 如图，过点作于点， 则， ， ； （2）解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 答：的长约为． 类型六、方案设计问题 典例精讲6（25-26九年级上·山东聊城·期末）光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量光岳楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 E，D，B三点在同一条直线上 B，C，D三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值                                                                                                          【问题解决】 (1)求“方案一”两次测量塔影长的平均值； (2)根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼的高度； (3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼的高度．（参考数据：，，，．结果保留1位小数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，仰角俯角解直角三角形，理解题意，掌握相似三角形的性质，解直角三角形的计算是关键． （1）根据平均值的计算即可求解； （2）根据题意得，则，代入求值即可； （3）设，则，解得，所以，由此即可求解． 【详解】（1）解：“方案一”两次测量塔影长的平均值是； （2）解：根据题意得， ， ， ． （3）解：设， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 答：光岳楼的高度约为． 题型归纳 1.特征：给出多种测量或设计方案，要求选择最优方案或按方案计算相关量。 2.方法：分别分析各方案所构造的直角三角形→比较各方案所需条件与可求量→按选定方案列式计算，或比较结果作出选择。 3.易错提醒：方案可行性须考虑条件是否足够（已知边角是否完备）；比较方案时须在同一标准下进行。 变式训练1（2026·河南周口·三模）某综合实践活动小组，尝试利用无人机（无人机限高米）测算某广播电视发射塔的高度，设计了如下两种方案： 【方案一】如图，无人机位于离地面高度为米的处，测得与塔顶处的仰角为，与塔底处的俯角为．（参考数据：，，，，） 【方案二】如图，当无人机位于离地为米的处时，测得与塔顶处的仰角为；当无人机垂直上升到离地面高度为米的处时，测得与塔顶处的仰角为．（参考数据：，，） (1)请你选择其中一种可行的测算方案：________；（填“方案一”或“方案二”） (2)根据（1）中选择的方案，求该发射塔的高度．（结果保留整数） 【答案】(1)方案二 (2)发射塔的高度为160米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意分析方案可行性即可求解； （2）先分别过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得四边形和四边形都是矩形，则，，，利用即可求解出的长度，最后再求出即可． 【详解】（1）解：方案一：无人机位于高度为米的处，由于无法计算无人机到的水平距离等关键信息，无法准确计算发射塔的高度，存在缺陷； 方案二：无人机在（高度为米）和（高度为米） 处，可通过构建直角三角形，利用仰角和已知海拔高度，建立方程求解塔顶相对高度，进而求出发射塔的高度，方案可行，所以选择方案二； 故答案为：方案二． （2）如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点 由题意得四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该发射塔的高度为米． 变式训练2（2026·广东清远·三模）党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的处，测得河北岸的一棵树底部点恰为点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从点向正西方向走5米到达点，在处测得点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在点竖直立起标杆，的长为1米，再在的延长线上选择点，使得的长为8米，竖直立起标杆，的长为2米． (1)请选择其中一个方案，求河流宽度． (2)除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． 【答案】(1)选择方案一：由题意可知为直角三角形，， ∴， ∴， 即河流宽度为； 选择方案二：由题意可知， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即河流宽度为； (2)如图，观测者从B向正东走到D，点O是中点，再从点D沿着垂直于的方向走，直到点A、O、E在一条直线上．示意图如下：只需要测量出的长度就能推出河宽． ∵O是中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 【分析】（1）方案一：直接利用正切定义即可求解；方案二：先证得，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）观测者从B向正东走到D，点O是中点，再从点D沿着垂直于的方向走，直到点A、O、E在一条直线上，利用，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 变式训练3（2026·安徽·模拟预测）【综合与实践】 【项目背景】为解决楼房顶层室内的高温问题，社区决定给楼房搭建遮阳棚．九年级数学社团参加了遮阳棚支架的设计． 【项目设计】数学社团的成员设计两种搭建方案，其截面如图．方案一：“斜坡形”，如图1，，；方案二：“人字形”，如图2，．两种方案的设计满足：． 【项目实施】根据上面设计的数据，请你通过计算确定哪种方案用的支架材料少（注：比较各截面中支架总长即可，另方案一中的不是支架材料，计算结果精确到）． （参考数据：，，，，，．） 【答案】方案一 【分析】在中求出，的长，得，作于点，，求出分别计算和再比较大小即可得出结论． 【详解】解：在中，， ， ， 如图，作于点，则， 在中，， ∴， 方案一用的支架材料少． 变式训练4（2026·河南新乡·二模）商丘古城，又称归德府城，已有四千多年历史，现存地上的归德府城于明朝弘治十六年（1503年）开建、于明朝正德六年（1511年）竣工，距今已有500余年的历史．现存归德府城之下同时叠压着明朝弘治十六年（1503年）之前元朝时期修建的归德府城、北宋时期的应天府南京城、隋唐时期的宋州治所宋城、秦汉时期的梁国国都睢阳城、周朝时期的宋国都城等6座都城、古城． 某校数学实践小组利用所学数学知识测量城楼的高度，他们制订了两个测量方案，并进行了实地测量．在测量仰角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）： 项目 测量商丘古城城楼的高度 方案 方案一：标杆垂直立于地面，借助平行的太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长及同一时刻塔影长 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离，仰角，仰角 说明 ，，三点在同一条直线上 ，，三点在同一条直线上 测量示意图 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值 1.61m 1.59m 1.6m 1.18m 1.22m 1.2m 25m 26m 12.8m 13.2m 13m 【问题解决】 (1)求“方案一”两次测量城楼影长的平均值； (2)①根据“方案一”的测量数据，求出城楼的高度；②根据“方案二”的测量数据，求出城楼的高度．（参考数据：，，，．结果保留1位小数） (3)分析（2）中两次测量产生误差的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1) (2)①；② (3)测量仰角时仪器存在读数误差（或地面不平整等，合理即可） 【分析】（1）根据平均值的算法进行计算即可； （2）①根据相似三角形的判定和性质，进行解答即可；②先设城楼高度，（），再根据正切的定义，线段的和差关系，得出，最后代入三角函数值，进行计算即可； （3）两次测量产生误差的可能原因：测量仰角时仪器存在读数误差（或地面不平整等），合理即可． 【详解】（1）解：“方案一”两次测量城楼影长的平均值为（）． 答：“方案一”两次测量城楼影长的平均值为． （2）解：①根据“方案一”的测量数据计算城楼的高度： 由题意可知，，，太阳光线平行，即， ，， ， ， ， （）； ②根据“方案二”的测量数据计算城楼的高度： 设城楼高度，（）， 在中，， 在中，． ， ， 即， ， ， 解得，（）， 即． （3）略． 类型七、临界值问题 典例精讲7（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段检测）为了加强道路管理，严查超速行为，某地交管部门在主要路段拍照测速，如图，一架无人机在道路正上方的点D处，米，现有一辆轿车沿着方向行驶，无人机第一次拍摄时，轿车在点A处，测得轿车的俯角为，无人机第二次拍摄时，轿车行驶到点B，测得轿车的俯角为，无人机两次拍摄的时间间隔为3秒．（图中的点均在同一平面内，参考数据：） (1)求轿车在拍摄时间内行驶的距离的长． (2)若该路段限速60千米/时，超速未超过10%，采取警告措施，超过10%，则需要交罚款．请通过计算说明该司机是否需要交罚款． 【答案】(1)的长为60米 (2) 解：∵无人机两次拍照间隔3秒，轿车行驶了60米， ∴车速为20米/秒，即72千米/时， 该路段限速60千米/时， ∴超速了，超速，超速超过10%， ∴司机需要交罚款． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角形外角的定义及性质、有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，设米，则米，由勾股定理计算得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可推出米； （2）求出司机的速度与最大速度，比较即可得解． 【详解】（1）解：∵米，，， ∴， 设，则， 根据勾股定理可列方程为， 解得（负值舍去）． 易知的外角，， 则， ∴米， 即轿车在拍摄时间内行驶的距离的长为60米． （2）略 题型归纳 1.特征：问题存在边界情形（如恰好通过、恰好到达、极限位置），求临界状态下的值。 2.方法：找出临界状态对应的图形位置→在临界状态下构造直角三角形→列方程（不等式）求解临界值→结合题意判断取值范围。 3.易错提醒：临界状态是 "恰好" 情形，须与一般情形区分；解出临界值后须检验是否符合实际情境（如角度范围、长度非负）。 变式训练1（2026·四川成都·模拟预测）如图1是一个小型升降台，图2是升降台的示意图，它是由三个边长为的全等菱形和两个腰长为的全等等腰三角形组成，其中底座与平台平行，长度均为，E，H分别在和上滑动，且始终保持点A，F，G在同一直线上．若底座总高度为（底座到水平地面的高度），为了安全，该升降台在作业时，不得超过．某工作人员想要去的高台工作，请判断升降台是否能达到要求？并说明理由．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】升降台能达到要求，理由如下： 如图，过点作于点， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴总高度为 ∵， ∴升降台能达到要求． 【分析】过点作于点，由题意可得，，，求出，解直角三角形得出的长，即可得出结果． 【详解】略． 变式训练2（2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）． (1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米） (2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内． （参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)此儿童在“安全高度”范围内 【分析】（1）过点A作，得矩形，在中利用直角三角形的边角关系求出，利用线段的和差关系、矩形的性质求出h； （2）过点A作，得矩形，在中利用直角三角形的边角间关系求出，利用线段的和差关系、矩形的性质求出，再判断是否安全范围． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为E． 由题意可知，四边形为矩形． ∴． ∵米，米， ∴米． 在中， ∵， ∴（米）． ∴（米）． 答：点A到地面的高度h的值约为2.0米． （2）解：过点A作，垂足为E． 由题意可知，四边形为矩形． ∴． ∵米，米， ∴米． 在中， ∵， ∴（米）． ∴（米）． ∵， ∴踏板A在“安全高度”范围内． 变式训练3（2026·江苏镇江·二模）汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座时，视线被车体结构遮挡而无法直接观察到的区域．如图为汽车盲区截面示意图，驾驶员眼睛位于点处，、为两侧临界视线，、为两侧盲区截面．已知：，，，，，垂足分别为、，． (1)求盲区线段的长； (2)点在线段上，，在处有一高度为的障碍物，判断驾驶员能否看到障碍物，并说明理由． 参考数据：，，，，， 【答案】(1)盲区中线段的长约为； (2)解：驾驶员不能看到障碍物，理由如下： 如图，过点作交于点， 根据题意可得四边形为矩形， ， 在直角三角形中，， ， 在直角三角形中，， ， 驾驶员不能看到障碍物． 【分析】（1）解直角三角形即可解答； （2）过点作交于点，计算的长度，比较即可． 【详解】（1）解：在直角三角形中，， 答：盲区中线段的长约为； （2）略． 变式训练4（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)海里 (2) 有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， （海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； （2）略 类型八、其它问题 典例精讲8（2026·山东济南·中考真题）小明学习了直角三角形的边角关系一章后，发现体质健康测试中坐位体前屈项目的成绩可以利用所学的知识进行估算．估算前，需要借助AI工具测量三条线段（手臂、上半身、腿近似看成线段）的长度以及两个角（手臂与上半身、上半身与腿的夹角）的度数．小明帮甲、乙两位同学测量相关数据，并绘制成如下表格，请根据下表提供的信息完成相关任务． 动作图片 任务和示意图 相关条件 （1）计算甲同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， （2）计算乙同学的成绩（线段的长度） ， ， ， ， ， ， （结果精确到，参考数据：，，；，） (1)计算甲同学的成绩 (2)计算乙同学的成绩 【答案】(1)甲同学的成绩是 (2)乙同学的成绩是 【分析】（1）过点作，在中，根据三角函数的定义求出，再证，则可得，再证四边形是矩形，则可得，进而可得，即可得解． （2）过点作，垂足为点，交的延长线于点．在中，根据三角函数的定义求得．再证明四边形是矩形，则，．在中，根据三角函数的定义求得，由即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点，则， 在中，，， ． ，， ， ， ． 又，即， 四边形是矩形， ， ． 答：甲同学的成绩是． （2）解：如图，过点作，垂足为点，交的延长线于点， 在中，， ，， ． 又，则， 四边形是矩形，则，． 在中，，则． 又， ． 在中，， ，， ， ． 答：乙同学的成绩是． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，以及三角函数的定义．将不规则图形分割成规则图形是解题的关键． 题型归纳 1.特征：上述类型之外的实际应用问题，综合性较强或情境新颖。 2.方法：审清题意→化实际问题为几何模型→识别或构造直角三角形→综合运用三角函数、勾股定理、相似等知识求解。新情境须先完成 "实际问题→数学问题" 的转化再动手；综合题注意各条件间的关联，勿遗漏隐含条件。 3.易错提醒： 变式训练1（2026·安徽·二模）无动力帆船是借助风力前行的，帆船借助风力航行的平面示意图如图所示．已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力又可以分解为两个力与，与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，若，求推动帆船前行的动力的值．（参考数据：，，．，，．） 【答案】264 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据已知条件和平行线的性质先推出，然后利用直角三角形内角和以及平角的定义求出和度数，最后结合正弦值即可求出所求的值． 【详解】解：由题意可知，，，， ，． ，， ， ． ， ． ，，， 在中，， 在中，， ． 变式训练2（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下． 活动主题 地下车库入口改造 采集信息 图1是地下车库入口示意图． ①点，，在同一水平线上，点，，在同一水平线上，． ②斜坡的长为，． ③车库限高． 设计方案 如图2，保持点不动，将点沿射线平移到点，使． 完成任务 任务一：求的长． 任务二：调整限高．经计算，点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为________．（结果均保留一位小数） 请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：，，，，，）． 【答案】任务一：的长约为．任务二：． 【分析】任务一：作，垂足为，利用解直角三角形，求出、，由即可求解； 任务二：采用去尾法求近似数即可． 【详解】任务一： 解：如图，作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴在中，， ， ∴在中，， ∴． 任务二： 解：点到斜坡的距离约为．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为． 变式训练3（2026·山西长治·三模）项目学习 项目主题 杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究 活动内容 利用高椅的规律摆放、三角函数等有关知识进行测量与计算 项目实施 方案说明 图1为摄影机的最佳拍摄位置示意图，点A为摄影机的位置，点B为拍摄画面的顶端，点C为拍摄画面的底端，为水平地面，为过摄影机镜头中心的水平线，与交于点D，为舞台水平面．已知从摄影机镜头中心A观察拍摄画面顶端B的仰角为，观察拍摄画面底端C的俯角为 测量示意图 信息数据1 图2为“高椅”杂技表演实景，底部支撑椅的高度忽略不计．如图3所示，每两把椅子以座面向上、椅腿朝上的标准姿态垂直叠加，共叠加9把，顶端最后1把由表演者斜靠放置 信息数据2 图4为顶端第9把椅子和第10把椅子的抽象几何示意图，椅子座面的厚度和图中的高度均忽略不计，已知椅腿米，座面米，椅背米， 参考数据 ，，，，， 计算 … 交流展示 … 在一场杂技“高椅”表演的摄影机最佳位置研究测量活动中，请解答以下问题： (1)求高椅的实际高度（结果保留整数）； (2)若要使拍摄画面为全景，使高椅在画面中上下各留出0.5米的区域，请计算此时线段的长（结果保留整数）． 【答案】(1)高椅的实际高度为7米 (2)此时线段的长约为9米 【分析】（1）先解，，求出和，即可求解高椅的实际高度； （2）在图1中，（米），解中，求出，解在，得到，由，求解即可． 【详解】（1）解：在图4中，在中，米，，， ∴（米）． ∵在中，米， ， ∴（米）， ∴高椅的实际高度为（米）． 答：高椅的实际高度为7米． （2）解：在图1中，（米） 在中，，， ∴． 在中，，， ∴， 由， 解得（米）． 答：此时线段的长约为9米． 变式训练4（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） (1)求证：是等边三角形； (2)如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1) 证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵， ． 是等边三角形； (2)①75    ②的长为厘米 【分析】(1)首先根据光的反射原理得到，然后，再由平角的定义得，再由平行线的性质得即可证的结论； (2)①首先根据题意及光的反射原理得到，再根据平角的定义得到； ②过点P作于F，首先，根据已知条件得到，然后，再证得，(厘米)，进而证得是等腰直角三角形，得，再由的余弦值得到的长，最后，由可得结果． 【详解】（1）略 （2）①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由(1)知，由①知， ∴． 由(1)知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵， ∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： (1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； (2)如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； (2)小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 【分析】（1）根据坡度的定义解求，然后比较的坡度与国家标准即可； （2）过点作于点，分别在、中求出坡道、的坡度，再比较的长度与的大小即可． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为； （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为． 3．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】744米 【分析】由已知条件在和中可求出长度，相加即可解决问题． 【详解】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 4．（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米； (2)米/秒； (3)3.5米/秒． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． (1)求的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】分别解，，求出，进而根据解答即可求解； 设的圆心为，连接，根据题意可得，设的半径为米，则米，在中根据勾股定理建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴， 解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 6．（2026·山西长治·三模）研学与实践 【实践任务】数学实践小组来到太原五一广场，运用标杆测量法测量首义门的高度． 活动主题 测量太原五一广场首义门的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图2，首义门竖直矗立在水平地面上．数学实践小组在首义门正前方地面的中轴线上选取了，两点放置标杆，，并分别在点，处测得首义门顶端的仰角为， 测量数据 •在点测得仰角 •在点测得仰角 •两点间距离： •标杆的高度： 备注 点，，在同一水平直线上 根据以上信息，解决下列问题： (1)求首义门的高度（结果精确到．参考数据：，，；，，）； (2)已知首义门的实际高度为，请判断本题结果与实际高度是否一致，并说出一条可能的误差原因． 【答案】(1) (2)测量结果与实际高度不一致．可能的误差原因：测量标杆高度时存在误差；测角仪的角度读数存在偏差；标杆与首义门的水平距离测量不准确；测量时标杆未完全竖直等．（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）连接并延长交于点，依题意四边形和四边形是矩形，在中，求得，在中，表示出，根据，列出方程，取得的长，进而求得，即可求解； （2）根据能引起测量误差的原因分析即可求解． 【详解】（1）解 ：如图，连接并延长交于点． 由题意，得，四边形和四边形是矩形， ∴，． 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 答：首义门的高度约为． （2）略 7．（2026·广东东莞·三模）机器人竞走比赛是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图，在某次机器人竞走比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行到点B，然后从点B沿南偏西方向直行到点C． 若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离．（结果精确到；参考数据： ， ， ，） 【答案】 【分析】过点 B 作，交的延长线于点 D，求得 作差求解即可； 【详解】解：过点 B 作，交的延长线于点 D， 根据题意，得， 在 中， ； ， 在中，， ． 8．（2026·江西·中考真题）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） (1)任务一：计算点离水平地面的高度； (2)任务二：计算_____________，______________； (3)任务三：计算土坑的深度． 【答案】(1)点离水平地面的高度约为 (2)； (3)土坑的深度约为 【分析】（1）连接，过点作交于，交于，则，根据三角形的外角的性质得出，根据等角对等边可得，解，即可求得的长； （2）根据光的反射原理得出，得出，，进而根据，即可求解； （3）证明，得出，解，求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于，交于，则． ，， ． 在中， 即点离水平地面的高度约为． （2）解：如图， ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ． （3）解：由题意得四边形是矩形， 则， 在中，， ． ， ， ， ， ． 在中，， ， 即土坑的深度约为． 9．（2026·河南平顶山·三模）数学兴趣小组开展“测量一条河流宽度”的综合实践活动，经过实地调研，兴趣小组制订了如下两种测量方案． 测量示意图 方案说明 方案一    如图1，小组成员在河边斜坡上的点处竖直安装测角仪，测得河对岸点处的俯角为．已知斜坡的坡比为，，，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 方案二    如图2，小组成员将无人机从点处竖直向上飞行至点处，再沿水平方向飞行至点处，在点处测得点的俯角为，点的俯角为 ．已知 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点，在同一水平线上． 请你从两种方案中选择一种，计算河流的宽度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，，，，） 【答案】选择方案一，河流的宽度约为 【分析】（1）选择方案一：延长交于点，则．根据斜坡的坡比为，设，则．根据，求得，进而可得的长，在中，设，则，根据建立方程，解方程，即可求解； （2）过点作于点，则四边形为矩形，依题意，，，解，分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：选择方案一： 如图1，延长交于点，则． 斜坡的坡比为， 设，则． ，， 解得（负值已舍去）． ，． ． 设，则． 在中，，， ， 解得． 答：河流的宽度约为． 或选择方案二： 如解图2，过点作于点，则四边形为矩形 依题意，，． ． 在中，． 在中，． ． 答：河流的宽度约为． 10．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 【答案】(1)3 (2)此时左前轮的转向角的度数约为 (3) 【分析】（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：由题意得，，， ， 在中， 解得： 在中 ，， 答：此时左前轮的转向角的度数约为 （3）解：如图，连接，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时 依题意，， 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴，, 在中， ∴ 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧 设道路宽为，依题意， ∴ ∴ 综上所述， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $