专题01 概率的计算及应用10类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“通法归纳+题型精讲”构建概率计算体系，通过10类热考题型实现从基础公式到综合应用的逻辑递进，培养抽象能力与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|10类题型|等可能结果分析、概率公式运用、随机试验建模三大核心；“不重不漏”“放回不放回”原则|从概念本质到应用场景，形成“定义-公式-模型-应用”完整链条| |题型精讲|每题型1典例+4变式|概率公式法、列举法、列表树状图法、频率估计法等8种解题方法|按“基础计算-几何模型-统计应用-综合决策”梯度编排，覆盖中考全场景|

专题01 概率的计算及应用10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用概率公式计算概率 1 类型二、已知概率求数量 2 类型三、几何概率 3 类型四、列举法求概率 4 类型五、列表法或树状图法求概率 5 类型六、由频率估计概率 7 类型七、“放回”和“不放回”问题 9 类型八、游戏的公平性 11 类型九、概率在转盘抽奖中的应用 13 类型十、频率估计概率的综合应用 16 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 　　概率的计算及应用是初中数学联系实际生活与决策判断的核心内容，所有题型均围绕等可能结果分析、概率公式运用、随机试验建模三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是结果数 "不重不漏"—— 求概率前必须先判断事件是否等可能，并用列举法、列表法或树状图法数清所有等可能结果总数与事件包含的结果数；二是 "放回" 与 "不放回" 严格区分 —— 放回时每次试验结果总数不变，不放回时结果总数逐次减少，直接决定概率分母的取值。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用概率公式计算概率 典例精讲1（2026·山东东营·中考真题）一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 题型归纳 1.特征：直接给出所有等可能结果及事件包含的结果，用概率公式求概率。 2.方法：确定所有等可能结果总数 n→确定事件 A 包含的结果数 m→P (A)=m/n，并化简。 3.易错提醒：必须先确认各结果是等可能的；概率结果须化为最简分数或按要求写成小数、百分数。 变式训练1（2022·湖南张家界·模拟预测）从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 变式训练2（2026·辽宁·中考真题）3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀、溶液、溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是_________． 变式训练3（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域C的概率是________． 变式训练4（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 类型二、已知概率求数量 典例精讲2（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 题型归纳 1.特征：已知某事件的概率及部分数据，反求总数或某类结果的数量。 2.方法：设所求数量为 x→按概率公式列出关于 x 的方程→解方程并检验结果是否符合题意。 3.易错提醒：设元后须确保分子分母含义与概率公式对应；解出的数量必须为正整数，须回代检验。 变式训练1（21-22九年级下·辽宁营口·开学考试）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 变式训练2（25-26七年级下·山东烟台·期中）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．小明从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出1个球，这个球是蓝球的概率是__________． 变式训练3（25-26七年级下·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 变式训练4（25-26七年级下·山东烟台·期末）二维码是黑白方块按一定规则在平面排列的图形，利用二进制“0，1”存储文字、网址、数字等信息．如图所示的二维码是一个边长为的正方形，为了估计黑色部分的面积，在该正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，由此可估计黑色部分的面积约为________． 类型三、几何概率 典例精讲3（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：概率与几何图形的面积（或长度、体积）相关，如转盘区域、随机投点。 2.方法：概率 = 所求区域面积 / 总面积→先算几何图形的面积→再按面积比求概率。 3.易错提醒：面积比中的两个面积须单位统一；落在边界上如何处理须按题意约定，投点均匀是前提。 变式训练1（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 变式训练3（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 变式训练4（25-26七年级下·江西九江·期中）如图是由三个同心圆构成的图形，分为三个区域（两区域为圆环，区域为小），其中． (1)写出三个区域的面积：_____，_____；_____； (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在区域的概率； (3)随机往图中扔300粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在区域． 类型四、列举法求概率 典例精讲4（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：结果总数不多，直接一一列举所有等可能结果求概率。 2.方法：按一定顺序（如逐一、成对）列举所有可能结果→数清总数与事件结果数→按概率公式计算。 3.易错提醒：列举须按顺序、成对列出，防止重复或遗漏；如 "两个球" 须区分先后与是否放回。 变式训练1（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级下·山西晋中·期末）五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 变式训练3（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 变式训练4（2026·四川南充·中考真题）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______． 类型五、列表法或树状图法求概率 典例精讲5（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 题型归纳 1.特征：涉及两步（或多步）随机试验，用列表法或树状图法求概率。 2.方法：两步试验用列表法、多步试验用树状图法→列出所有等可能结果→数出总数与事件结果数→计算概率。 3.易错提醒：列表与树状图均须保证 "不重不漏"；每一步的等可能结果数须与放回、不放回情形一致。 变式训练1（2022·甘肃天水·模拟预测）小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 变式训练2（2022·江苏盐城·一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 变式训练3（2022·江苏南通·模拟预测）有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上． (1)从中随机抽取1张，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是______； (2)从中随机抽取2张，求抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率． 变式训练4（2024·山东潍坊·模拟预测）某小区针对电动车充电安全问题，举办了一次“安全用电”知识竞赛．现从参赛业主中抽取了人，按年龄（岁）分成组：第①组：，第②组：，第③组：，第④组：，第⑤组：，下面是频数分布直方图．若从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为． (1)第②组有________人；中位数落在第________组（填序号）； (2)把各组年龄的下限与上限的中间值近似看作该组的平均年龄，估计这人的平均年龄为多少？ (3)已知第①组有位男业主，电视台要随机从第①组中抽取名进行采访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到名男业主的概率． 类型六、由频率估计概率 典例精讲6（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 题型归纳 1.特征：通过大量重复试验的频率数据，估计事件的概率。 2.方法：统计试验次数与事件发生次数→计算频率 = 发生次数 / 试验次数→当试验次数足够多时，频率稳定值即为概率估计值。 3.易错提醒：频率不等于概率，只是概率的估计值；须在试验次数足够大的前提下才可用频率估计概率。 变式训练1（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期中）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 a 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 b (1)填空：______，______． (2)估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． 变式训练3（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 变式训练4（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 类型七、“放回”和“不放回”问题 典例精讲7（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 (1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； (2)若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． (3)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 题型归纳 1.特征：摸球、抽签等情境中明确 "放回" 或 "不放回"，求某事件概率。 2.方法：判断每次抽取后是否放回→放回则每步结果数不变，不放回则每步结果数递减→用列表或树状图准确反映每步结果数→计算概率。 3.易错提醒："不放回" 时第二步的总结果数比第一步少 1，树状图分支数须相应减少；两情形结果数不同，概率也不同。 变式训练1（24-25八年级下·上海奉贤·期末）一个不透明的箱子里装有个红球和个黄球，每个小球除颜色外其他完全都相同． (1)现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树形图或列表的方法）； (2)如果将箱子中增加若干个白球（与其他球除颜色外完全相同）后，把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，然后记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定于左右，请你估计增加白球的个数． 变式训练2（24-25九年级上·重庆·期末）一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． (1)若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； (2)小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 变式训练3（25-26七年级下·安徽宿州·期末）一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． (1)估计红球、白球数量； (2)现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 变式训练4（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外均相同． (1)从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球都是红球的概率． (2)从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是红球的概率是__________． 类型八、游戏的公平性 典例精讲8（21-22九年级下·云南曲靖·期中）五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 题型归纳 1.特征：判断游戏对双方是否公平，或设计公平的游戏规则。 2.方法：分别计算双方获胜的概率→比较两概率大小（相等则公平）→设计规则时使双方概率相等。 3.易错提醒：公平性只看概率是否相等，与事件结果是否对称无关；判断后须说明理由。 变式训练1（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 变式训练2（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 变式训练3（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 变式训练4（25-26七年级下·山东烟台·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 类型九、概率在转盘抽奖中的应用 典例精讲9（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 题型归纳 1.特征：结合转盘（单转盘或多转盘）求中奖概率或设计抽奖方案。 2.方法：确定转盘各区域面积（扇形圆心角）占比→按几何概率或列表树状图求各事件概率→结合规则计算中奖概率。 3.易错提醒：各区域面积不相等时不能按区域个数直接求概率，须按面积比或圆心角比计算。 变式训练1（25-26七年级下·广东深圳·期末）某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 变式训练2（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 变式训练3（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 变式训练4（25-26九年级上·安徽合肥·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 类型十、频率估计概率的综合应用 典例精讲10（25-26七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 题型归纳 1.特征：频率估计概率与统计图表、实际情境综合，求概率或估算总体数量。 2.方法：从图表中读取频率数据→用频率估计概率→利用概率值估算总体中的数量（总数 × 概率） 3.易错提醒：估算总体时须用稳定后的频率；图表数据读取须准确，注意单位与统计口径一致 变式训练1（25-26七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：_____，_____，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____．（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 变式训练2（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 变式训练3（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 变式训练4（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，其余的面标有“”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)向上一面的数字是； (2)向上一面的数字是的倍数或的倍数． 2．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 4．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． (1)小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________； (2)小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 6．（24-25七年级下·广东茂名·期中）研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个白球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号的球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号的球的频率 0.25 0.22 0.19 (1)请你完成上表中数据，并估计摸到有记号的球的概率是多少？（结果精确到0.1） (2)估计盒中共有球多少个？没有记号的球有多少个？ 7．（2022·江苏苏州·模拟预测）甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 9．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在一个平衡天平的左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜．分别标有A，A，B，B，C，D的六张卡片（卡片除正面字母不同外，其他均相同），其中A代表质量为的物体，B代表质量为的物体，C代表质量为的物体，D代表质量为的物体，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，记下卡片上的字母后放回，抽到卡片上的字母即在天平右端托盘放置相应质量的物体． (1)任意抽取一张卡片，在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为____________； (2)小明第一次抽到卡片D，求小明第二次抽取卡片，在天平右端托盘放置相应质量的物体后，天平恢复平衡（即天平两端的托盘上放置的物体质量相同）的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概率的计算及应用10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用概率公式计算概率 1 类型二、已知概率求数量 2 类型三、几何概率 5 类型四、列举法求概率 9 类型五、列表法或树状图法求概率 12 类型六、由频率估计概率 17 类型七、“放回”和“不放回”问题 22 类型八、游戏的公平性 27 类型九、概率在转盘抽奖中的应用 32 类型十、频率估计概率的综合应用 40 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 　　概率的计算及应用是初中数学联系实际生活与决策判断的核心内容，所有题型均围绕等可能结果分析、概率公式运用、随机试验建模三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是结果数 "不重不漏"—— 求概率前必须先判断事件是否等可能，并用列举法、列表法或树状图法数清所有等可能结果总数与事件包含的结果数；二是 "放回" 与 "不放回" 严格区分 —— 放回时每次试验结果总数不变，不放回时结果总数逐次减少，直接决定概率分母的取值。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用概率公式计算概率 典例精讲1（2026·山东东营·中考真题）一个不透明盒子中装有1个红球、2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是___________． 【答案】 【分析】根据概率公式，用摸到白球的等可能结果数除以所有等可能结果总数，计算即可． 【详解】解：∵盒子中所有球除颜色外都相同，每个球被摸到的可能性相等，总球数为个，其中白球有个， ∴摸到白球的概率为． 题型归纳 1.特征：直接给出所有等可能结果及事件包含的结果，用概率公式求概率。 2.方法：确定所有等可能结果总数 n→确定事件 A 包含的结果数 m→P (A)=m/n，并化简。 3.易错提醒：必须先确认各结果是等可能的；概率结果须化为最简分数或按要求写成小数、百分数。 变式训练1（2022·湖南张家界·模拟预测）从，，，，五个数中，随机抽取一个，抽到无理数的概率是________． 【答案】 【分析】先根据无理数的定义确定五个数中无理数的个数，再利用概率公式计算抽到无理数的概率． 【详解】解：∵总共有，，，，五个数，即共有种等可能的抽取结果， ∵无限不循环小数是无理数， ∴这五个数中，无理数为和，共个， ∴抽到无理数的概率为． 变式训练2（2026·辽宁·中考真题）3支试管中装有无色无味溶液，分别为稀、溶液、溶液，将紫色石蕊溶液（紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝）随机滴加到1支试管中，溶液颜色变红的概率是_________． 【答案】 【分析】三种溶液中只有稀硫酸为酸性，能使紫色石蕊溶液变红，随机选择1支试管所有结果等可能，直接代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵随机向1支试管滴加石蕊溶液，共有种等可能的结果， ∴其中能使溶液变红的结果只有稀硫酸种， ∴所求概率为． 变式训练3（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止后，指针落在区域C的概率是________． 【答案】 【分析】先求出区域C对应的圆心角，用C区域所在扇形圆心角度数除以周角度数即可． 【详解】解：区域C对应的圆心角为：， ∴指针落在区域C的概率是． 变式训练4（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中象限的坐标特征，找出第一象限的点的个数，再利用概率公式计算即可求解． 【详解】解：从五个点中任选一个点，共有5种等可能的结果， 五个点中恰好在第一象限的点为和，共2个， 根据概率公式可得，选到的点恰好在第一象限的概率是． 类型二、已知概率求数量 典例精讲2（25-26九年级下·四川达州·期中）一个不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从盒子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为_____． 【答案】3 【分析】根据概率公式，利用摸到白球的概率为建立关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：盒子中球的总个数为， 根据题意得， 交叉相乘得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故m的值为3． 题型归纳 1.特征：已知某事件的概率及部分数据，反求总数或某类结果的数量。 2.方法：设所求数量为 x→按概率公式列出关于 x 的方程→解方程并检验结果是否符合题意。 3.易错提醒：设元后须确保分子分母含义与概率公式对应；解出的数量必须为正整数，须回代检验。 变式训练1（21-22九年级下·辽宁营口·开学考试）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数为______． 【答案】25 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算的值． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【详解】解：根据题意，盒子中小球的个数为：． 变式训练2（25-26七年级下·山东烟台·期中）不透明袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机取出1个球，取出红球的概率是，取出绿球的概率是．小明从中拿出一个红球后，再从剩下的球中随机取出1个球，这个球是蓝球的概率是__________． 【答案】 【分析】先根据概率公式求出三种颜色球的个数，再计算拿出1个红球后剩余球的总个数和蓝球个数，最后根据概率公式求解取出蓝球的概率． 【详解】解：∵袋子中有红球、绿球和蓝球共6个，取出红球的概率为，取出绿球的概率为， ∴红球个数为 （个），绿球个数为（个）， ∴蓝球个数为（个）， ∵拿出个红球后，剩余球的总个数为（个），蓝球个数仍为个， ∴再随机取出个球是蓝球的概率为． 变式训练3（25-26七年级下·山东东营·期末）袋中有个黑球，个白球，8个绿球，随机摸一球，摸到绿球概率为，则_________． 【答案】16 【分析】根据概率计算公式，摸到绿球的概率等于绿球个数除以袋中球的总个数，据此列出方程，即可求解的值． 【详解】解：袋中球的总个数为，由题意得， 整理得， 移项计算得． 变式训练4（25-26七年级下·山东烟台·期末）二维码是黑白方块按一定规则在平面排列的图形，利用二进制“0，1”存储文字、网址、数字等信息．如图所示的二维码是一个边长为的正方形，为了估计黑色部分的面积，在该正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，由此可估计黑色部分的面积约为________． 【答案】3.75 【分析】先求出正方形的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，计算即可得出结果． 【详解】解：正方形的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴黑色部分的面积约为． 类型三、几何概率 典例精讲3（25-26七年级下·四川达州·期末）每年一到3月和4月，苏州不少马路边的树上就会落满黑色果子．行人走过，踩上去“噗噗噗”地在地上留下一个个小黑点，这是香樟树的果实．某汽车车顶面积为平方米，该车天窗尺寸是一矩形，长为，宽为，全部打开天窗后，汽车正好经过香樟树，果实此时正好掉落下来，通过天窗掉进车内的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先统一单位，求出该车天窗的面积，再利用概率等于天窗的面积与车顶面积的比，计算即可． 【详解】解：，， 该车天窗的面积为， 汽车车顶面积为平方米， 通过天窗掉进车内的概率是． 题型归纳 1.特征：概率与几何图形的面积（或长度、体积）相关，如转盘区域、随机投点。 2.方法：概率 = 所求区域面积 / 总面积→先算几何图形的面积→再按面积比求概率。 3.易错提醒：面积比中的两个面积须单位统一；落在边界上如何处理须按题意约定，投点均匀是前提。 变式训练1（25-26七年级下·山东烟台·期末）分别向如图所示的四个区域（小正方形的边长相等）随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最大的是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可． 【详解】解：A、此选项中石子落在阴影部分可能性为； B、此选项中石子落在阴影部分可能性为； C、此选项中石子落在阴影部分可能性为； D、此选项中石子落在阴影部分可能性为； 所以石子落在阴影部分可能性最大的是B选项所示图形， 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且．随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作正方形两边的垂线，构造出两个全等的直角三角形，利用全等三角形面积相等将阴影部分面积转化为正方形面积的，再根据几何概率公式求解. 【详解】解：如图，过点作于，于， 点为正方形的中心， ，， ，， ， 在和中 ， ， ， . 变式训练3（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，将的边分别延长至点，连接，使得分别为的中点．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 分别为的中点， ，，，，，， ， ． 变式训练4（25-26七年级下·江西九江·期中）如图是由三个同心圆构成的图形，分为三个区域（两区域为圆环，区域为小），其中． (1)写出三个区域的面积：_____，_____；_____； (2)随机往图中扔一粒豆子，估算豆子落在区域的概率； (3)随机往图中扔300粒豆子，估算大约有多少粒豆子落在区域． 【答案】(1)；； (2) (3)100粒 【分析】（1）根据圆面积公式计算即可； （2）根据面积比估算概率即可； （3）求出概率，估算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， . （2）解：． （3）解：， （粒）． 答：大约有100粒豆子落在区域． 类型四、列举法求概率 典例精讲4（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 题型归纳 1.特征：结果总数不多，直接一一列举所有等可能结果求概率。 2.方法：按一定顺序（如逐一、成对）列举所有可能结果→数清总数与事件结果数→按概率公式计算。 3.易错提醒：列举须按顺序、成对列出，防止重复或遗漏；如 "两个球" 须区分先后与是否放回。 变式训练1（2026·山东东营·模拟预测）从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根的判别式得到方程有实数根的条件，再列举出所有等可能的选取结果，统计满足条件的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，若方程有实数根，则判别式 ，化简得 从1，2，3中随机选取两个不同的数记为，所有等可能的结果为：，共6种， 其中满足的结果有，共4种， 所求概率． 变式训练2（25-26七年级下·山西晋中·期末）五一期间，某商场举行猜商品价格赢奖品的活动．王先生在事先不知道商品价格的前提下，主持人要求他从下图中的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是230，那么他一次就猜中的概率是__________． 【答案】 【分析】用列举法求出所有等可能的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：如果拿走标有“2”的卡片，则剩下3、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为330； 如果拿走左边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走右边标有“3”的卡片，则剩下2、3、0三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为230； 如果拿走标有“0”的卡片，则剩下2、3、3三个数字，剩下的卡片从左到右连成一个三位数为233； 综上所述，共有四种情况．若商品的价格是230元，那么他一次就能猜中的概率是． 变式训练3（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． 变式训练4（2026·四川南充·中考真题）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式，，．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为_______． 【答案】 【分析】先确定三种物质中化合物的个数，再列举出抽取2张卡片的所有等可能结果，找出2张均为化合物的结果个数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据化合物的定义，可知，，是化合物，是单质，共有2种化合物，1种单质． 将三张卡片，，依次记为A，B，C，随机抽取2张，所有等可能的结果为：，，，共3种． 其中2张卡片对应的物质都是化合物的结果有1种． 根据概率公式得 ． 类型五、列表法或树状图法求概率 典例精讲5（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同． (1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是_____________； (2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是； （2）解：画树状图如下： 由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种， 甲、乙两名同学选到同一地点的概率为． 题型归纳 1.特征：涉及两步（或多步）随机试验，用列表法或树状图法求概率。 2.方法：两步试验用列表法、多步试验用树状图法→列出所有等可能结果→数出总数与事件结果数→计算概率。 3.易错提醒：列表与树状图均须保证 "不重不漏"；每一步的等可能结果数须与放回、不放回情形一致。 变式训练1（2022·甘肃天水·模拟预测）小聪计划周末去天水市博物馆参观，从小聪家到博物馆需要中途转车一次，从家到中转站台有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车，到了中转站台后有，，，四路车（乘坐此四路车的可能性相同），其中是空调车． (1)请用树状图或列表的方法表示小聪乘车的所有可能结果； (2)求小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率． 【答案】(1)用列表法表示所有等可能的乘车结果如下： 所以小聪从家到博物馆乘车的所有可能结果有16种． (2)小聪乘坐的两趟车都是空调车的概率为． 【分析】（１）通过树状图或列表法，将从家到中转站的乘车选择与从中转站到博物馆的乘车选择组合起来，直观展示所有可能的乘车结果即可． （2）在（1）中得到的所有可能结果中，找出两路车都是空调车的结果，再根据概率公式计算其概率即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）问可知，因为，是空调车，是空调车， 所以两路车都是空调车的结果有，，共2种． 所以小聪从家到博物馆乘坐的两路车都是空调车的概率为． 变式训练2（2022·江苏盐城·一模）盐城市鹿鸣路初级中学初一年级学生于五月初正式进入西校区，开始了新的学习与生活．为庆祝这一美好的日子，初一（1）班同学在操场上举行了击鼓传花的游戏．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传递手中的花环，假设他们相互间传递是等可能的，并且由甲首先开始传递． (1)经过1次传递后，花环传到乙手中的概率是_________； (2)请画树状图或列表求经过2次传递后，花环传到乙手中的概率； (3)猜想并直接写出：经过2022次传递后，传到_________同学手中（填甲、乙、丙）的可能性最大． 【答案】(1) (2) (3)甲 【分析】（1）列举1次传递的所有等可能结果，直接计算概率； （2）通过树状图列出2次传递的所有等可能结果，统计传到乙手中的结果数，计算概率； （3）通过列举前几次传递的结果找规律，判断2022次传递后可能性最大的对象． 【详解】（1）解：∵ 第1次传递从甲出发，有乙、丙2种等可能结果，传到乙手中的结果有1种， ∴ 经过1次传递后，花环传到乙手中的概率为． （2）解：画树状图可得所有等可能结果： 第1次传递：甲→乙，甲→丙； 第2次传递：乙→甲，乙→丙；丙→甲，丙→乙， 共有4种等可能的结果，其中经过2次传递后花环传到乙手中的结果有1种， ∴（传到乙手中）； （3）解：列举前几次传递的结果规律： 传递1次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递2次（偶数）：甲可能性最大； 传递3次（奇数）：乙、丙可能性相同且最大； 传递4次（偶数）：甲可能性最大. 由此可猜想：当传递次数为偶数时，花环在甲手中的可能性最大； 当传递次数为奇数时，花环在乙、丙手中的可能性相同且最大． ∵ 2022是偶数， ∴经过2022次传递后，传到甲同学手中的可能性最大． 变式训练3（2022·江苏南通·模拟预测）有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1，2，3，4，5，洗匀后正面向下放在桌子上． (1)从中随机抽取1张，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是______； (2)从中随机抽取2张，求抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能的结果，再找到抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，其中卡片上的数字是偶数的有2张， ∴从中随机抽取1张，抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率是； （2）解：列表如下： 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 由表格可知，一共有20种等可能的结果，其中抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的结果有8种， ∴抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率为． 变式训练4（2024·山东潍坊·模拟预测）某小区针对电动车充电安全问题，举办了一次“安全用电”知识竞赛．现从参赛业主中抽取了人，按年龄（岁）分成组：第①组：，第②组：，第③组：，第④组：，第⑤组：，下面是频数分布直方图．若从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为． (1)第②组有________人；中位数落在第________组（填序号）； (2)把各组年龄的下限与上限的中间值近似看作该组的平均年龄，估计这人的平均年龄为多少？ (3)已知第①组有位男业主，电视台要随机从第①组中抽取名进行采访，请用列表法或画树状图法，求恰好抽到名男业主的概率． 【答案】(1)18，③ (2)43 (3) 【分析】（1）根据题意，求出第④组的人数，用总人数减去各组的人数，即可求出第②组的人数；把人按年龄从小到大排序，中位数为第人的年龄和第人的年龄，即可得到中位数落的位置； （2）根据题意，计算平均数，即可； （3）画出树状图，列出所有等可能的结果，即可解答． 【详解】（1）解：∵从这人中随机抽取1位业主，第④组的业主被抽到的概率为， ∴第④组的人数为：； ∴第②组的人数为：； 把人按年龄从小到大排序，中位数为第人的年龄和第人的年龄， ∴中位数落在第③组． （2）解：这人的平均年龄为：； （3）解：∵第①组有6位业主，其中有位男业主， ∴有女业主（位）， 画树状图如下： 由图可知，共有个等可能的结果，抽到的2名业主恰好都是男业主包含个结果， ∴． 类型六、由频率估计概率 典例精讲6（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表： 抽取的体检表数 50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数 3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069 根据表中数据，估计在男性中患色盲的概率为（     ）（结果精确到0.01） A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05 【答案】B 【分析】以抽取体检表数较大时的频率稳定值为依据，估计男性患色盲的概率． 【详解】解：当抽取的体检表数时，色盲患者的频率稳定在附近， 因此估计男性患色盲的概率为． 题型归纳 1.特征：通过大量重复试验的频率数据，估计事件的概率。 2.方法：统计试验次数与事件发生次数→计算频率 = 发生次数 / 试验次数→当试验次数足够多时，频率稳定值即为概率估计值。 3.易错提醒：频率不等于概率，只是概率的估计值；须在试验次数足够大的前提下才可用频率估计概率。 变式训练1（25-26七年级下·陕西汉中·期末）某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用频率估计概率时，当试验次数足够大，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率，据此解答即可． 【详解】解：观察统计图，随着移植数量增加，成活频率逐渐稳定在附近，因此可以估计树苗移植成活的概率为． 变式训练2（25-26七年级下·陕西西安·期中）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 a 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 b (1)填空：______，______． (2)估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）． 【答案】(1)116；0.601 (2)0.6 【分析】（1）因为摸到白球的频率公式为，所以对于（1）中，可利用摸球次数和频率，通过变形公式计算；对于，可利用摸球次数和摸到白球的次数，代入频率公式计算． （2）因为当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在概率附近，所以（2）中观察表格里的频率数据，找到稳定的数值，精确到0.1即可． 【详解】（1）对于：摸球次数，频率为， ∴． 对于：摸到白球次数，摸球次数， ∴． （2）当试验次数很大时，摸到白球的频率会逐渐稳定在概率附近， 观察表格中所有频率：， 逐渐稳定在附近， ∴精确到后，频率接近． 变式训练3（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小亮赢，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率    (1)向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少？（保留两位小数） (2)小亮获胜的机会约为多大？ (3)若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，即可求解； （2）根据概率的意义，即可求解； （3）设阴影区域面积为S，设整个图案面积为，先求出内圆面积为，由（1）得：，再由，即可求解． 【详解】（1）解：观察表格中落在阴影区域的频率数据，随着试验次数增加，频率稳定在左右， 所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为； （2）解：因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为， 所以小亮获胜的机会约为； （3）解：设阴影区域面积为S，设整个图案面积为， ∵内圆半径， ∴内圆面积为， 由（1）得：小石子落在阴影区域的概率，则， 又因为，即， 解得， 所以阴影区域面积约为． 变式训练4（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的盒子里装有若干个白、红两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 (1)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为______；（精确到）； (2)若盒子里共有球20个，则白球估计有______个； (3)在（2）的条件下，又放入a个完全一样的红球并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求a的值． 【答案】(1) (2)12 (3)4 【分析】（1）根据当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，即可得到答案； （2）设白球估计有x个，列方程求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：当摸球的次数足够多，摸到白球的频率越接近概率，所以从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率的估计值为； （2）解：设白球估计有x个， 根据题意，得， 解得， 白球估计有12个； （3）解：根据题意，得， 解得 经检验是方程的解． 类型七、“放回”和“不放回”问题 典例精讲7（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，又放回．小明摸取了60次，结果统计如下： 标号 1 2 3 4 次数 16 14 18 12 (1)上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是_______；小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是_______； (2)若小明随机从口袋中摸取一个小球，记录摸到小球的标号后放回，摇匀后再从中摸取一个小球，请用列举法求小明两次摸取到小球的标号相同的概率． (3)若小明一次在袋中摸出两个小球，求小明摸出两个小球标号的和为5的概率． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查求概率，掌握用列表法或树状图求概率是关键，一般两步完成的事件列表法、树状图都可以用，三步或三步以上完成的事件适合用树状图． （1）直接由频率和概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解； （3）画树状图，共有12种等可能结果，满足条件的有4种，由概率公式求解． 【详解】（1）解：上述试验中，小明摸取到“2”号小球的频率是； ∵口袋中有四个完全相同的小球， ∴小明下一次在袋中摸取小球，摸到“2”号小球的概率是； （2）解：画树状图如下：    由树状图可得共有16种可能的结果，其中小明两次摸取到小球的标号相同的结果有4种， ∴小明两次摸取到小球的标号相同的概率为； （3）解：画树状图如下：    由树状图可得共有12种可能的结果，小明摸出两个小球标号的和为5的结果有4种， ∴小明摸出两个小球标号的和为5的概率为． 题型归纳 1.特征：摸球、抽签等情境中明确 "放回" 或 "不放回"，求某事件概率。 2.方法：判断每次抽取后是否放回→放回则每步结果数不变，不放回则每步结果数递减→用列表或树状图准确反映每步结果数→计算概率。 3.易错提醒："不放回" 时第二步的总结果数比第一步少 1，树状图分支数须相应减少；两情形结果数不同，概率也不同。 变式训练1（24-25八年级下·上海奉贤·期末）一个不透明的箱子里装有个红球和个黄球，每个小球除颜色外其他完全都相同． (1)现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树形图或列表的方法）； (2)如果将箱子中增加若干个白球（与其他球除颜色外完全相同）后，把箱子里的小球摇匀，再随机摸出一个小球，然后记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定于左右，请你估计增加白球的个数． 【答案】(1) (2)2个 【分析】本题考查了解分式方程，已知频率求数量，画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先画树状图，得出一共有种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． （2）理解题意，再设增加个白球，运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：画树状图，如图所示： ∴一共有种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有4种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率； （2）解：设增加个白球， 则， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴需要增加个白球． 变式训练2（24-25九年级上·重庆·期末）一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同），把这些球放在口袋中搅匀． (1)若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是______； (2)小新从口袋中随机摸出一球，记下颜色后不放回，随后小颖从口袋里剩下的球中随机摸出一球，记下颜色后不放回，请用列表或树状图求出小新和小颖都没有摸到黄球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用树状图或列表法求概率、概率公式等知识． （1）利用概率公式计算即可； （2）列表找到所有可能的情况数，用所有符合要求的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个不透明袋子里装有1个红球，1个蓝球，2个黄球（这些球除颜色外完全相同）， ∴若从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）两个黄球分别记为黄1和黄2，可以用下表列举出所有可能出现的结果.        小颖 小新 红 蓝 黄1 黄2 红 （红，蓝） （红，黄1） （红，黄2） 蓝 （蓝，红） （蓝，黄1） （蓝，黄2） 黄1 （黄1，红） （黄1，蓝） （黄1，黄2） 黄2 （黄2，红） （黄2，蓝） （黄2，黄1） 由上表可知，一共有12种结果，并且它们出现的可能相等，其中小新和小颖都没有摸出黄球的有2种，所以． 答：小新和小颖都没有摸出黄球的概率． 变式训练3（25-26七年级下·安徽宿州·期末）一个不透明的盒子中有红、白小球共个，除颜色外完全相同．大量有放回摸球试验，摸到红球的频率稳定在附近． (1)估计红球、白球数量； (2)现不放回一次性取出个球，再从剩余球中随机摸出一球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) 估计红球有个，白球有个 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率的思路，用总球数乘以估计得到的红球概率，计算出红球数量，再得到白球数量； （2）分三种情况讨论取出2个球的颜色组合，分别计算每种情况发生的概率和对应条件下摸到白球的概率，再求和得到最终结果，用到概率的基本计算方法． 【详解】（1）解：∵盒子中共有小球个，摸到红球的概率约为， ∴红球的估计数量为：（个）； 白球的估计数量为：（个）． （2）解：由（1）可知，盒中原有4个红球，6个白球，一次性取出2个球，分三种情况计算： 从10个球中一次性取2个，共有种等可能的取法， ①取出2个红球： 取出2个红球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有6个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ②取出1个红球1个白球： 取出1红1白的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有5个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； ③取出2个白球： 取出2个白球的取法有种，该情况发生的概率为， 该情况发生后，剩余8个球中有4个白球，因此该情况贡献的摸到白球的概率为； 将三种情况的概率相加得总概率： ． 变式训练4（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外均相同． (1)从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球都是红球的概率． (2)从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是红球的概率是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）解：画树状图： ∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：； （2）解：画树状图： ∴共有7种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为2次， ∴两次摸出的球都是红球的概率为：． 类型八、游戏的公平性 典例精讲8（21-22九年级下·云南曲靖·期中）五四青年节，需要在主持班上挑选一位小小主持人，甲、乙两位同学都比较优秀，难以抉择，于是老师决定以抽签的方式决定谁去．游戏规则如下：将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上，先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，组成的两位数是的倍数则甲同学去，两位数是的倍数，则乙同学去． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求出所有可能出现的结果． (2)你认为这个游戏对甲乙两位同学公平吗？为什么？ 【答案】(1) 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，， (2)解：游戏对甲乙两位同学公平，理由如下： ∵组成的两位数是的倍数的结果有，，共种， ∴甲同学去的概率为 ， ∵组成的两位数是7的倍数的结果有，，共种， ∴乙同学去的概率为 ， ∵甲同学去的概率和乙同学去的概率相等， ∴这个游戏对甲乙两位同学公平． 【分析】（1）运用列表法列出所有情况即可． （2）分别计算甲乙同学去的概率，再进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意，运用列表法可得       个位数 十位数                　 　 　 　 共有种等可能的结果，分别为，，，，，，，，，，，． 题型归纳 1.特征：判断游戏对双方是否公平，或设计公平的游戏规则。 2.方法：分别计算双方获胜的概率→比较两概率大小（相等则公平）→设计规则时使双方概率相等。 3.易错提醒：公平性只看概率是否相等，与事件结果是否对称无关；判断后须说明理由。 变式训练1（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共30个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计，当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）． (2)试估计袋子中有白球 个． (3)若小明和小颖同学想利用袋子里的小球做游戏，游戏规定：摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由，如果不公平，在不改变袋子中球总数量的前提下，你能通过改变不透明袋子中黑球或白球的颜色，使游戏变得公平吗？请给出一种合理的方案． 【答案】(1) (2) (3)不公平，合理方案：将袋子中3个黑球换成白球（答案不唯一）. 【分析】（1）根据“频率的稳定性”原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，注意题目要求“精确到0.1”，不能直接采用单次试验的频率作为结果，需观察频率的稳定值后按精确度要求取值； （2）由第（1）问可知，摸到黑球的频率约为0.6，因此可以估算出黑球的个数，进而估算出白球的个数； （3）游戏公平的判断标准是双方获胜的概率相等，通过计算比较使两种球个数相同即可求解． 【详解】（1）观察表格中和时的频率分别为：0.603和0.602，非常接近； 可见当 增大时，频率稳定在0.6左右； 当很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6； （2）由（1）知摸到黑球的频率 ， ∵总球数， ∴黑球数， ∴白球数， 故答案为：12； （3）题中说摸到黑球小明获胜，摸到白球小颖获胜，当前黑球数为18个，白球数为12个，所以这个游戏规则不公平． 要使游戏公平，则应该使黑球数白球数． 由于总数30不变，只需将3个黑球换成3个白球，即可实现公平． 变式训练2（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）“自然科学探索营”即将在城郊生态保护区开营，某社区青少年服务中心争取到一个参与名额，计划从琪琪和小颖中选一位参加，设计方案如下：规定将个尾端为白色的竹签和个尾端为绿色的竹签放入竹筒中，每个竹签除颜色外其余均相同（抽的时候看不到尾端）． (1)求抽到尾端为白色的竹签的概率； (2)若抽到尾端为白色的竹签，则琪琪参加“自然科学探索营”，若抽到尾端为绿色的竹签，则小颖参加“自然科学探索营”，这个规则公平吗？请说明理由；若不公平，请设计一种方案，使得原来的规则对双方都公平． 【答案】(1) (2) 这个规则不公平，理由如下： 抽到尾端为白色的竹签的概率为，抽到尾端为绿色竹签的概率为， 琪琪参加的概率为，小颖参加的概率为， ， 这个规则不公平； 要使规则公平，只需让白色竹签和绿色竹签的数量相等，使两人参加的概率都为即可，例如从竹筒中取出个尾端为白色的竹签，其余规则不变即可．（答案不唯一，只要使白色竹签与绿色竹签数量相等即可） 【分析】（1）用白色竹签数量除以总竹签数量得到所求概率； （2）分别计算两人参加活动的概率，比较概率是否相等判断规则是否公平，若不公平，调整竹签数量使两人获胜概率相等即可得到公平方案． 【详解】（1）解：由题意可知，总竹签数量为（个），尾端为白色的竹签有个， 抽到尾端为白色的竹签的概率为； （2）略 变式训练3（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”，任意掷这枚骰子，则： (1)向上一面的数字是“6”的概率是_____； (2)掷出数字______的概率最大； (3)现利用这个骰子设计一个游戏：投掷这枚骰子一次，若向上一面的数字是奇数，则小明获胜，否则小红获胜，请利用概率判断这个游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)5和6 (3)这个游戏不公平 【分析】（1）先确定5个面标有“6”，然后根据概率公式求解； （2）由于标有“5”和“6”的面最多，从而得到向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）先确定20个数据中奇数与偶数的个数，再计算出小明获胜和小红获胜的概率，然后通过比较两概率的大小可判断这个游戏是否公平． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴有5个面标有“6”， ∴任意掷这枚骰子，共有种等可能性的情况，其中向上一面的数字是“6”的有5种， ∴向上一面的数字是“6”的概率； （2）解：∵标有“5”和“6”的面最多，5个面标有“5”，5个面标有“6”， ∴向上一面的数字是“5”的概率和向上一面的数字是“6”的概率最大； （3）解：∵20个数字中，奇数有9个，偶数有11个， ∴小明获胜的概率，小红获胜的概率， ∵， ∴这个游戏不公平． 变式训练4（25-26七年级下·山东烟台·期末）在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成等份）． (1)转动图转盘时，求该转盘停止指针指向“”或“”的概率； (2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜．你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．若不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，理由如下： ∵根据题意：列表如下： 图1转盘 1 1 1 2 2 2 3 3 3 图2转盘 4 5 6 4 5 6 4 5 6 和 5 6 7 6 7 8 7 8 9 ∴转盘停止指针指向的两个数字之和的所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4 （和为奇数）；（和为偶数）， 则（和为奇数）（和为偶数） ∴不公平． 公平游戏规则：同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和大于时小明获胜；两个数字之和小于时小红胜，两个数字之和等于时平局．（注：答案不唯一） 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）先列表可得所有等可能结果数为9，其中奇数的情况数为5，偶数的情况数为4；再利用概率公式分别求得小明、小红获胜的概率，然后比较即可判断游戏的公平性；最后根据列表设计公平的游戏规则即可． 【详解】（1）解：图转盘被均分为份，标有或的有份， ∴转动图转盘时，该转盘指针指向“”或“”的概率是． （2）解：不公平，理由略，公平游戏规则见答案． 类型九、概率在转盘抽奖中的应用 典例精讲9（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）为刺激消费，某超市举行促销活动，凡在超市购物总额超过元，便可以转动一次转盘，转盘分成个大小相同的扇形，部分扇形涂有红、黄、蓝三种颜色，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或蓝色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券．小军妈妈去超市购物元． (1)求小军妈妈获得购物券的概率； (2)小军妈妈获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)∵指针指向红色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向黄色区域的结果有种， ∴P（获得元购物券）； ∵指针指向蓝色区域的结果有4种， ∴P（获得元购物券）； ∵， ∴小军妈妈获得元购物券的概率最大 【分析】（1）先确定转盘所有等可能的结果数为，再统计出能获得购物券的红、黄、蓝区域的结果数，最后用获得购物券的结果数除以总结果数得到概率； （2）先分别数出红、黄、蓝三种颜色区域的数量，再分别计算出获得对应金额购物券的概率，最后比较三个概率的大小，即可得出哪种购物券的概率最大． 【详解】（1）解：转盘共有个扇形，所以转盘停止后，指针指向的区域可能的结果共有种，且它们出现的可能性相同， 指针指向红色、黄色、蓝色的区域的结果共有种， ∴（获购物券）． （2）略 题型归纳 1.特征：结合转盘（单转盘或多转盘）求中奖概率或设计抽奖方案。 2.方法：确定转盘各区域面积（扇形圆心角）占比→按几何概率或列表树状图求各事件概率→结合规则计算中奖概率。 3.易错提醒：各区域面积不相等时不能按区域个数直接求概率，须按面积比或圆心角比计算。 变式训练1（25-26七年级下·广东深圳·期末）某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买50元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得30元、20元、10元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是___________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得20元购物券的概率是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3)未得到购物券的概率比得到购物券的概率大 【分析】（1）由于没有100元的购物券，故该事件为不可能事件； （2）用绿色区域个数除以分成的区域总数可得答案； （3）分别计算出得到购物券和未得到购物券的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：∵30元、20元、10元的购物券，没有100元的购物券 ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：， 答：转动一次转盘获得20元购物券的概率是； （3）解：得到购物券的概率为， 未得到购物券的概率为， ∵， ∴未得到购物券的概率比得到购物券的概率大． 变式训练2（25-26七年级下·山西晋中·期末）某商场为了吸引顾客，特推出消费即可抽奖的活动．抽奖方式分为摸球和翻牌两种，规则分别如下： 10元消费券 谢谢参与 10元消费券 20元消费券 洗牌 谢谢参与 10元消费券 谢谢参与 谢谢参与 摸球：如图1，箱子里共放有100个除颜色外完全相同的球，红球里放有“10元消费券”的纸条，黄球里放有“20元消费券”的纸条，白球里放有“谢谢参与”的纸条． 翻牌：如表，由1个“洗牌”按钮和8个完全相同的方形按钮组成，每个方形按钮对应固定的文字．点击洗牌按钮，8个方形按钮的位置会随机调整．点击任意一个方形按钮，参与者可根据显示的文字获得相应的奖品． (1)先点击洗牌按钮，再点击一个方形按钮，则获得“10元消费券”的概率是__________． (2)若从箱子里拿走15个白球，再拿走一些红球，使得获得“20元消费券”的概率为，求拿走的红球的个数． (3)若你获得一次抽奖的机会，你会选择哪种方式？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)选择摸球的方式，理由：摸球的平均收益更高． 【分析】（1）先统计表格里“元消费券”的个数，因为洗牌后8个方形按钮被抽到的概率相等，所以用古典概型公式； （2）设拿走的红球个数为未知数，先计算拿走个白球和个红球后球的总数量，因为黄球个数不变，此时获得元消费券的概率为黄球个数除以总球数，所以列方程求解即可； （3）：分别计算摸球和翻牌两种方式获得消费券金额的数学期望，因为期望代表平均收益，所以比较两个期望的大小，选择期望更高的方式。 【详解】（1）解：由题意可得，表中一共有8个相同的方形按钮，其中“元消费券”共有3个，因此获得元消费券的概率为． （2）设拿走的红球个数为， 原来黄球数量始终为25个，拿走15个白球和个红球后，总球数为， ∵获得元消费券（黄球）的概率为， ∴， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， 答：拿走红球10个． （3）摸球：总个球，元个，元个，元个， ∴平均收益： ， 翻牌：总8个方形按钮，元3个，元1个，0元4个， ∴平均收益： ， ∵ ， ∴摸球的平均收益更高， 答：我会选择摸球方式，因为摸球的平均收益更高． 变式训练3（25-26八年级下·山东烟台·期末）五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： (1)享受七折优惠的概率； (2)中奖得20元的概率； (3)中奖得现金的概率； (4)谢谢参与的概率； (5)请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)设计方案如图， 【分析】转盘被等分为，指针落在每个扇形区域的概率等于该区域圆心角与的比值，分别计算各扇形圆心角占的比例，可解答（1）-（4）； （5）由概率之和为1求出七折优惠的概率，再将各概率乘以得到对应圆心角，据此设计转盘． 【详解】（1）解：转盘的圆心角总和为， 七折优惠对应的圆心角为， ． （2）解：20元对应的圆心角为， ． （3）解：中奖得现金包括获得10元或20元两种情况， 对应的圆心角之和为， ． （4）解：谢谢参与对应的圆心角为， ． （5）解：各结果概率之和为1， ， 各扇形对应的圆心角分别为： 七折优惠：， 20元：， 10元：， 谢谢参与：． 设计方案如下：将转盘分成四个扇形区域，七折优惠和20元的圆心角均为，10元的圆心角为，谢谢参与的圆心角为． 图略． 变式训练4（25-26九年级上·安徽合肥·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)方式二， 理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、加权平均数的计算、概率的应用，熟练掌握频率与概率的关系及加权平均数的计算公式是解题的关键． （1）根据频率的计算公式频率落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数，变形为落在‘元购物券’区域的次数转动转盘的次数频率，代入数据计算即可求出的值． （2）利用频率估计概率，观察表格中频率的变化趋势，当试验次数足够大时，频率稳定在某个数值附近，该数值即为所求概率． （3）先根据圆心角之比求出各购物券对应的概率，再利用加权平均数公式计算出转动转盘获得购物券数额的平均数，最后将平均数与方式一的元比较，判断哪种方式更合算． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为：． （3）略 类型十、频率估计概率的综合应用 典例精讲10（25-26七年级下·山东青岛·期末）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 200 300 400 1000 命中的次数 7 40 81 164 237 324 命中的频率 (1)填空：________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)该运动员任意投出一球投中的概率与下列哪个事件的概率最接近________． ①如图一，转转盘箭头停在阴影部分，其中阴影部分圆心角为； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色． 【答案】(1)100；803 (2) (3)120 (4)④ 【分析】（1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可； （4）分别计算出①④的概率，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：，． （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是． （3） 解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为120次． （4）解：①转转盘箭头停在阴影部分的概率为，不符合题意； ②掷一枚均匀的骰子，掷到的点数为6的概率为，不符合题意； ③如图二，飞镖盘由相同的小正方形组成，任意投掷飞镖，命中阴影部分的概率为，不符合题意； ④袋子里有除了颜色外其余都相同的20枚小球，其中3枚黄色，1枚白色，其余为红色，随机摸一枚球颜色为红色的概率为，符合题意． 题型归纳 1.特征：频率估计概率与统计图表、实际情境综合，求概率或估算总体数量。 2.方法：从图表中读取频率数据→用频率估计概率→利用概率值估算总体中的数量（总数 × 概率） 3.易错提醒：估算总体时须用稳定后的频率；图表数据读取须准确，注意单位与统计口径一致 变式训练1（25-26七年级下·河北保定·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同。小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)填空：_____，_____，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为_____．（精确到） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是_____． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于； B．某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏，根据试验结果，盒子中有个白球，约定游戏规则：拿出个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)A (3)不公平，理由如下： ∵拿出个白球，那盒子中现在一共有球（个），现有白球（个），黑球（个）， ∴搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，小红胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【分析】（1）运用频率频数总数可得的值，再根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求解即可； （2）求出A、B、C三个选项中事件发生的概率即可求解； （3）根据题意求出现有球的个数、白球和黑球的个数，分别求出小红、小亮胜的概率，对比后即可求解． 【详解】（1）由题意得，，， 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）A.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于的概率为，，故符合题意； B.某东西向的路口信号灯按绿灯秒、黄灯秒、红灯秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为，，故不符合题意； C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，，故不符合题意； （3）略 变式训练2（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2) 解：如图： (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）略 （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 变式训练3（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 变式训练4（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，个面标有“”，其余的面标有“”，投掷这枚骰子一次，求下列事件的概率： (1)向上一面的数字是； (2)向上一面的数字是的倍数或的倍数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，求出所有等可能结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）先求出标“”的面有个，然后利用概率公式求解即可； （2）先求数字是的倍数或的倍数有个，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：投掷质地均匀的正二十面体形状的骰子，一共有个面，每个面出现的可能性相同． 根据题意，向上一面的数字是“”的共有（个）面， 所以． （2）解：向上一面的数字是的倍数或的倍数的数字是“”，“”，“”，“”， 一共有种等可能结果， 所以． 2．（25-26九年级下·江苏镇江·阶段检测）北京时间2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，发射取得圆满成功．为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空逐梦星河”为主题的绘画大赛．现从中随机抽取部分参赛作品，按表现情况x（单位：分）分为，，，四组进行统计，制成了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的作品数量为________份，并补全条形统计图； (2)此次被抽取的参赛作品的众数为________分，中位数为________分； (3)求此次被抽取的参赛作品的平均数； (4)现从被抽取的D组学生中，随机再抽取2人参加市里的绘画大赛，已知D组学生中恰好有3名男生，求抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)，补全条形统计图如图所示： (2)， (3)分 (4) 【分析】（1）利用组的作品数量除以所占的比例即可得出本次抽取的作品数量，求出组的作品数量，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义计算即可得出结果； （3）根据平均数的定义计算即可得出结果； （4）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽取的作品数量为份， 组的作品数量为：（份）， 图略； （2）解：将抽取的这100份参赛作品的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是分，因此成绩的中位数是分， 由统计图可得，得分的人数最多，故此次被抽取的参赛作品的众数为分； （3）解：（分）； （4）解：列表得： 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 共有20种等可能出现的结果，其中抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的情况有种， 故抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 3．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】(1)抽奖箱中白球的个数为15个； (2)从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； (3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设抽奖箱中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以抽奖箱中剩余球的总个数即可． 【详解】（1）解：抽奖箱中红球的个数为（个）， 则抽奖箱中黄、白球的总个数为（个）， 设抽奖箱中白球的个数为x个， 则， 解得， ∴抽奖箱中白球有15个； （2）解：由（1）知，抽奖箱中黄球的个数为个， 所以从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 4．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）小明和小莉做化学实验，紫色石蕊溶液是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊溶液遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液呈酸性，食用碱溶液呈碱性，蒸馏水呈中性，两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体． (1)小明将石蕊溶液滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是______________； (2)小莉从自己的个烧杯中随机取个，滴入石蕊溶液，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明和小莉两人各取了个烧杯，分别倒入这种不同的无色液体中，将石蕊溶液滴入食用碱溶液呈现蓝色，小明将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是； （2）解：将装有蒸馏水，白醋溶液，食用碱溶液，柠檬水溶液的个烧杯分别记为列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 由表知，共有种等可能的结果，将石蕊溶液滴入溶液中，食用碱溶液呈现蓝色，白醋溶液、柠檬水溶液呈现红色，故其中一杯变红、一杯变蓝的有种结果，一杯变红、一杯变蓝的概率为 5．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． 6．（24-25七年级下·广东茂名·期中）研究问题：一个不透明的盒中装有若干个白球，怎样估算白球的数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个白球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验．摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 统计结果如表： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到有记号的球的次数m 25 44 57 105 160 199 摸到有记号的球的频率 0.25 0.22 0.19 (1)请你完成上表中数据，并估计摸到有记号的球的概率是多少？（结果精确到0.1） (2)估计盒中共有球多少个？没有记号的球有多少个？ 【答案】(1)补全表格中摸球次数为500、800、1000时对应的频率依次为、、；估计摸到有记号的球的概率为 (2)估计盒中共有球个，没有记号的球有个 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数求出表格中对应的频率，再根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值可得对应的概率； （2）根据概率公式计算球的总数，进而可求出没有记号的球的个数． 【详解】（1）解：，，； 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到有记号的球的频率逐步稳定在附近， ∴估计摸到有记号的球的概率是； （2）解：个， 个， 答：估计盒中共有球个，没有记号的球有个． 7．（2022·江苏苏州·模拟预测）甲和乙玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下，甲从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后乙从中任意抽取一张，计算甲和乙抽得的两个数字之和．若和为奇数，则甲胜；若和为偶数，则乙胜． (1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率； (2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2) 这个游戏规则对双方不公平， 理由：由（1）树状图得， 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为奇数的情况有4种，两数之和为偶数的情况有5种， ，， ， 这个游戏规则对双方不公平． 【分析】（1）首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可； （2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有等可能的结果共9种，其中两数之和为6的情况有3种， ， 答：两数和为6的概率为； （2）略 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”的数据如下： 抽盲盒次数 抽到“闪电”的次数 抽到“闪电”的频率 (1)表中的_______，_______． (2)抽到“闪电”的概率的估计值是___________（精确到）； (3)俱乐部准备的个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？（精确到）； 【答案】(1)，； (2)； (3)次 【分析】根据表格中数据求出、的值即可； 根据频率估计概率即可； 根据抽到“闪电”的概率，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，从而得出抽到“凌云”概率，再用乘以抽到“凌云”的概率即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表可知抽到“闪电”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵抽到“闪电”的概率为，抽到其他三种徽章的概率相同， ∴抽到“凌云”的概率为， ∴抽到“凌云”的次数为（次）． 9．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）根据概率求出符合要求的个数． 【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是； （2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个）， 所以（个）， 所以需要再将3个空白扇形涂上颜色． 10．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在一个平衡天平的左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物体后，天平倾斜．分别标有A，A，B，B，C，D的六张卡片（卡片除正面字母不同外，其他均相同），其中A代表质量为的物体，B代表质量为的物体，C代表质量为的物体，D代表质量为的物体，将卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，记下卡片上的字母后放回，抽到卡片上的字母即在天平右端托盘放置相应质量的物体． (1)任意抽取一张卡片，在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为____________； (2)小明第一次抽到卡片D，求小明第二次抽取卡片，在天平右端托盘放置相应质量的物体后，天平恢复平衡（即天平两端的托盘上放置的物体质量相同）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从A，A，B，B，C，D的六张卡片中，随机抽取一个，共有6种等可能的结果，其中质量为的卡片只有C， ∴在天平右端托盘放置质量为的物体的概率为． （2）解：小明第一次抽到卡片D，即为，，那么还需要抽一张质量为的卡片，即A， ∴概率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $