3.3反比例函数的应用（7大题型）（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数应用，通过行程、工程等六大实际情境题型，构建从基础概念到综合应用的分层训练体系，培养数学模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|反比例函数表达式、图像性质|以表格问题（如近视镜度数与焦距关系）巩固概念，培养抽象能力| |情境应用|行程、工程、商品销售等实际问题|结合智能机器人速度、区间测速等真实情境，发展应用意识| |综合拓展|与一次函数结合、复杂情境分析|通过药熏消毒分段函数、注意力指标双曲线问题，提升推理能力与跨知识整合能力|

3.3 反比例函数的应用 题型一 反比例函数的应用---行程问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在内赶到学校，若他恰好准时到达学校，则他骑行的速度是 ． 2．（2025·四川南充·一模）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是 ． 3．（2025·山西朔州·一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间呈反比例函数关系，其图象如图2所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过．若一辆车以最大时速匀速通过该路段，则时间 4．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为 千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 ． 5．（2024·浙江杭州·二模）小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 题型二 反比例函数的应用---工程问题 1．（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是 ． （2）当时，放水的平均速度为 ． 4．某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为立方米，设运输公司每天运送的土石方为(立方米/天)，完成任务所需要的时间为（天)． （1）与之间有怎样的函数关系？ （2）运输公司共派出辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方立方米，工程进行了天后，如果需要提前天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 5．（2024春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)该蓄水池的蓄水量为_________； (2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？ 题型三 反比例函数的应用---商品销售问题 1．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A．4号 B．3号 C．2号 D．1号 3．（2024春·九年级课时练习）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是 亿元． 4．（2024春·山东滨州·九年级校考期末）为寻求合适的销售价格，商场对新进的一种商品进行了一周的试销，发现这种商品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间成反比例关系．已知第一天以220元/千克的价格销售了80千克. (1)求y与x的函数关系式. (2)试销期间共销售了700千克这种新进商品，在试销后，商场决定将这种新进商品的销售价格定为160元/千克，这样按所发现的反比例关系预测剩余这种商品再用10天可以全部售完.问商场共新进多少千克的这种商品？ 5．（2024春·广西桂林·九年级校联考期中）某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价 0．7 万元，首次付款后每个月应还的钱数 y （元）与还钱月数 t 的关系如图所示． （1）根据图像写出 y 与 t 的函数关系式； （2）求出首次付款的钱数； （3）如果要求每月支付的钱数不多于 400 元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？ 题型四反比例函数的应用---几何图形问题 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 2．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记 点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）老师要求全班同学每人制作一个面积为的矩形学具．设矩形的宽为，长为，求与宽之间的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 5．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 题型五 反比例函数的应用---物理问题 1．（2024九年级下·湖北宜昌·专题练习）物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压与气球体积是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（　　） p（kPa） … 20 40 60 100 120 … V（m3） … 4.8 2.4 1.6 0.96 0.8 … A．小于0.96 B．不小于0.96 C．大于0.96 D．不大于0.96 2．（23-24九年级下·云南大理·阶段练习）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 3．（2024·山西·模拟预测）学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一块砖的三个面的面积之比为．已知压强的计算公式为，其中p是压强，F是压力，S是受力面积．如果三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，那么的大小关系为 （用“<”连接）． 5．（2024·河南信阳·三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 6．（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 题型一 反比例函数的应用---表格问题 1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系 ． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 3．（24-25八年级下·山西晋城·期中）如表是近视眼镜的度数D（单位：度）与镜片焦距f（单位：米）之间的关系表： f/米 0.5 0.4 0.25 0.2 …… D/度 200 250 400 500 …… (1)观察表中的数据，眼镜度数D（单位：度）和镜片焦距f（单位：米）之间成反比例函数关系，求眼镜度数D（单位：度）关于焦距f（单位：米）的函数表达式． (2)若小明佩戴的是一副125度的近视眼镜（两个镜片度数相同），则佩戴的镜片焦距f为多少米？ 4．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题情境】 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表． 小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 【建立模型】 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 5．（2025·广东广州·二模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 题型一反比例函数与一次函数的实际应用 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间x分钟成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物20分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能呆在教室里． 2．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 4．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图是某种商品日销售量（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件．    (1)求与之间的函数表达式． (2)广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 反比例函数的应用 题型一 反比例函数的应用---行程问题 1．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（单位：）与骑车速度v（单位：）之间的函数关系如图所示，一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需要在内赶到学校，若他恰好准时到达学校，则他骑行的速度是 ． 【答案】0.2 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案． 【详解】解：设，当时，， 解得：， 故与的函数表达式为：， ∵为了不迟到，需要在内赶到学校，他恰好准时到达学校， ， 解得：， ∴他骑行的速度是0.2． 故答案为：0.2． 2．（2025·四川南充·一模）随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中．如图，是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的质量时，它的最快移动速度，当其载重后总质量时，它的最快移动速度v是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， ， 解得：， 当时 （）， 故答案为：． 3．（2025·山西朔州·一模）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间呈反比例函数关系，其图象如图2所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过．若一辆车以最大时速匀速通过该路段，则时间 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求得反比例函数的解析式，将代入即可解答，熟练用待定系数法求反比例函数是解题的关键． 【详解】解：设平均行驶速度与行驶时间的关系式为， 根据图象把代入可得，解得， 平均行驶速度与行驶时间的关系式为， 把代入解析式可得，解得，经检验是原方程的解， 故一辆车以最大时速匀速通过该路段，则时间， 故答案为：． 4．（2025·河北·模拟预测）小李驾驶汽车在早上从甲地出发到乙地，其行驶的平均速度（千米/时）与行驶所用的时间（时）之间的函数关系图象如图所示，已知全程限速120千米/时． （1）甲、乙两地之间的距离为 千米； （2）小李计划在当天不超过到达乙地，汽车行驶的平均速度的范围为 ． 【答案】 540 / 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列出y与t的函数解析式，由图象求出s即可； （2）根据，求出，再根据，得出v的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 甲、乙两地之间的距离为540千米， 故答案为：540； （2）小李计划在当天不超过到达乙地， ， ， 又， 汽车行驶的平均速度的范围为， 故答案为：． 5．（2024·浙江杭州·二模）小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数关系的表示，根据函数表达式求函数值的取值方法，掌握函数表达式的运用是解题的管家． （1）根据行程问题中的数量关系即可求解； （2）把题意，，代入（1）中的解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：由题意得：， 因为， 所以．（其他方法合理亦可） 题型二 反比例函数的应用---工程问题 1．（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 【答案】5小时 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，需结合工作周期（工作与校准时间的关联 ）建立等量关系，通过设未知数、列方程、求解约束条件下的整数解解决问题，理清工作时间、校准时间与总耗时的关系，准确建立方程是解题关键．先明确工作周期（小时工作小时校准 ），设工作周期数与额外工作时间，用其表示总耗时和包裹数，再根据平均速度公式列方程求解． 【详解】解：设机器人经历个完整工作周期（每个周期含小时工作、小时校准 ），之后又工作小时（ ）． 总耗时：每个周期小时，个周期耗时小时，加额外工作小时，故． 包裹数：每个周期工作小时，个周期工作小时，加额外工作小时，共工作小时，每小时分拣件，故． 由平均速度，得： 因，代入得，解得． 又为非负整数，故（时无实际工作意义，舍去 ）． 当时，，则： 故答案为： 小时． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 【答案】(1) (2)完成录入所需的时间为16分钟 【分析】本题侧重考查关于反比例函数应用的题目，解答本题的关键是找出题目中的数量关系． （1）根据录入所需的时间1600录入文字的速度，即可解答； （2）将代入函数关系式，即可解答． 【详解】（1）由题意，得与之间的函数关系式为； （2）将字/分代入上式，得（分）， 答：完成录入所需的时间为16分钟． 3．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是 ． （2）当时，放水的平均速度为 ． 【答案】 400 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式以及求函数值．根据“水量放水速度放水时间”即可列出v与t的函数表达式，再将代入求解即可． 【详解】解：某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：①，②． 4．某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为立方米，设运输公司每天运送的土石方为(立方米/天)，完成任务所需要的时间为（天)． （1）与之间有怎样的函数关系？ （2）运输公司共派出辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方立方米，工程进行了天后，如果需要提前天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】（1）；（2）至少需要增派辆同样的卡车才能按时完成任务． 【分析】（1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列方程即可． 【详解】解：（1）， ， 是的反比例函数； （2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米， 需要天才能完成任务， 工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车， ， 解得：， 答：公司至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【点睛】此题主要考查了反比例函数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． 5．（2024春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)该蓄水池的蓄水量为_________； (2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？ 【答案】(1)18000 (2) (3)1800 【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设，再把点（6，3000）代入即可求出答案； （2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案； （3）设原计划每小时的排水量是，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设， ∵点（6，3000）在此函数图象上， ∴蓄水量为6×3000＝18000m3． 故答案为：18000． （2）蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系式为：， ∵每小时排水量不超过， ∴根据反比例函数的增减性可知，时，每小时排水量不超过． 故答案为：． （3）设原计划每小时的排水量是，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：原计划每小时的排水量是． 【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键． 题型三 反比例函数的应用---商品销售问题 1．（24-25九年级下·江苏常州·阶段练习）为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）小方尝试直播带货，上了号四款商品的链接．图中的四个点分别描述了四款商品单件的利润率（利润率）与成本（元）的情况，其中描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则四款商品中单件利润最高的是（　　） A．4号 B．3号 C．2号 D．1号 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵利润等于成本乘以利润率， 描述1号和3号的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴1号和3号的单件利润相等（横纵坐标之积相等）， ∵4号在双曲线的上方，2号在双曲线的下方， ∴表示4号的点的横纵坐标之积大于表示1号和3号的点的横纵坐标之积，表示2号的点的横纵坐标之积小于表示1号和3号的点的横纵坐标之积， ∴4号的利润大于1号和3号的利润，2号的利润小于1号和3号的利润． 故选：A． 3．（2024春·九年级课时练习）某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55﹣0.75之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元）成反比例，又当x＝0.65时，y＝0.8．根据y与x之间的函数关系式，请你预算，如果每度电的成本价为0.3元，电价调至0.6元时，本年度电力部门的纯收入是 亿元． 【答案】0.6 【分析】根据“y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例”可得到y与x之间的函数关系式y＝（k≠0），利用待定系数法求解即可；再把x＝0.6代入y＝中可求得本年度的用电量，进一步求得本年度电力部门的纯收入． 【详解】设y＝（k≠0）， 因为当x＝0.65时，y＝0.8， 所以有0.8＝， ∴k＝0.2， ∴y＝＝（x＞0且x≠0.4）， 即y与x之间的函数关系式为y＝； 把x＝0.6代入y＝中，得y＝＝1， 所以本年度的用电量为1+1＝2（亿度）， （0.6﹣0.3）×2＝0.6（亿元）． 答：本年度电力部门的纯收入是0.6亿元． 故答案为0.6． 【点睛】主要考查了反比例函数的实际应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 4．（2024春·山东滨州·九年级校考期末）为寻求合适的销售价格，商场对新进的一种商品进行了一周的试销，发现这种商品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间成反比例关系．已知第一天以220元/千克的价格销售了80千克. (1)求y与x的函数关系式. (2)试销期间共销售了700千克这种新进商品，在试销后，商场决定将这种新进商品的销售价格定为160元/千克，这样按所发现的反比例关系预测剩余这种商品再用10天可以全部售完.问商场共新进多少千克的这种商品？ 【答案】(1) (2)商场共新进这种商品1800千克 【分析】（1）根据第一天以220元/千克的价格销售了80千克，利用待定系数法确定反比例函数的解析式即可； （2）将x=160代入求得每天的销售量即可求得总销售量，从而求得购进的商品的数量. 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，根据题意，得 ， 解得k=17600， ∴ y与x的函数关系式为； （2）解：当x=160时， ， 110×10+700=1800（千克），    因此，商场共新进这种商品1800千克 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型． 5．（2024春·广西桂林·九年级校联考期中）某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价 0．7 万元，首次付款后每个月应还的钱数 y （元）与还钱月数 t 的关系如图所示． （1）根据图像写出 y 与 t 的函数关系式； （2）求出首次付款的钱数； （3）如果要求每月支付的钱数不多于 400 元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？ 【答案】（1）y=；（2）1000元．（3）15． 【详解】试题分析：（1）函数图象经过点（10，600），根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）首付的钱数就是电脑的价值与剩余钱数的差； （3）求出钱数是400元时的月份，根据函数图象的性质，即可求解． 试题解析：（1）设函数的解析式是y=； 把（10，600）代入得到：600=， 解得k=6000， 则函数的解析式是y=； （2）7000-6000=1000（元）； 首付的钱数为1000元． （3）400=， 解得t=15． 则至少15个月才能将所有的钱全部还清． 题型四反比例函数的应用---几何图形问题 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 由是反比例函数，根据反比例函数的性质可得结果． 【详解】解：∵面积为4的矩形一边为x，另一边为y， ∴． 即． 所以上述函数为反比例函数，且． 故选：C． 2．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，则有，然后问题根据勾股定理可求解． 【详解】解：∵矩形能被分割成3个全等的正方形， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴，则， ∴矩形的对角线长为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质，熟练掌握勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记 点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 【答案】（） 【分析】本题考查反比例函数应用、矩形的性质、勾股定理和三角形面积公式，根据矩形的性质和点是上与不重合的任意一点，可知，又，根据这两个表达式建立等式，即可得到关于自变量的函数关系式，再利用勾股定理求得的长，根据即可求出自变量的取值范围． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形为矩形，点是上与不重合的任意一点， ，， ，， ， ，点到的距离为， ，整理得， 点是上与不重合的任意一点，即， 又 ， ，即． 故答案为：（）． 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）老师要求全班同学每人制作一个面积为的矩形学具．设矩形的宽为，长为，求与宽之间的函数关系式，并在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】与宽之间的函数关系式为，函数图象见解析． 【分析】本题考查反比例函数的应用，画反比例函数的图象，解题的关键是根据题意写出函数关系式． 根据距形的面积公式即可得与宽之间的函数关系式，描点连线即可得函数的图象． 【详解】解：∵矩形的宽为，长为，面积为， ∴，， ∴， 答：与宽之间的函数关系式为． 函数图象如下图： 5．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． 题型五 反比例函数的应用---物理问题 1．（2024九年级下·湖北宜昌·专题练习）物理学的知识告诉我们，气温不变时，某气球内的气压与气球体积是反比例函数关系，当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积V应该（　　） p（kPa） … 20 40 60 100 120 … V（m3） … 4.8 2.4 1.6 0.96 0.8 … A．小于0.96 B．不小于0.96 C．大于0.96 D．不大于0.96 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小，进而可求解，从表中获取相关信息，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据表格得气压p随气球体积V的增大而减小，则当气球内的气压大于时，气球会发生爆炸，根据表格判断，为了安全起见，气球内的气压不大于，此时气球内气体的体积V应该不小于， 故选：B． 2．（23-24九年级下·云南大理·阶段练习）若蓄电池的电压为定值，则电流（单位:A）与电阻（，单位：）是反比例函数关系，当时，．下列结论不正确的是（   ） A．蓄电池的电压为36伏 B．电流随电阻的增大而减小 C．当时， D．该函数图象分别位于第一、第三象限 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，设，根据“当时，”可求出，据此即可进行判断． 【详解】解：设， ∵当时，． ∴ ∴ 蓄电池的电压为伏，故A正确； 电流随电阻的增大而减小，故B正确； 当时，，故C正确； ∵， ∴该函数图象在第一象限，故D错误； 故选：D 3．（2024·山西·模拟预测）学校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．根据物理学原理，当人和木板对湿地的压力（单位：N）一定时，人和木板对地面的压强（单位：）是木板面积S（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示．下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．根据函数图象结合各选项逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象得随的增大而减小，且满足反比例函数关系， A、当时，，不符合图象，错误； B、当时，，不符合图象，错误； C、，则当时，，错误；, D、，当时，，正确； 故选：D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，一块砖的三个面的面积之比为．已知压强的计算公式为，其中p是压强，F是压力，S是受力面积．如果三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，那么的大小关系为 （用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确把握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵，，三个面的面积比是， ∴，，的大小关系是：， 故答案为：. 5．（2024·河南信阳·三模）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大意是：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物像的位置．图2是图1中小孔成像实验的示意图，在图2中，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，图象如图3所示，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离x为，求火焰的像高y； (3)根据反比例函数的图象分析，若火焰的像高y不超过时，求小孔到蜡烛的距离x至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2)火焰的像高为 (3)若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可设，然后用待定系数法即可解答； （2）把代入中，进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设，把，代入中， 解得． y关于x的函数表达式为． （2）把代入中，解得． 火焰的像高为． （3）由（2）可得，当时，． 由的图象可得，当时，y随x的增大而减小， 若火焰的像高y不超过时，小孔到蜡烛的距离x至少是． 6．（2025·吉林·三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． (1)该容器内氧气的质量为______． (2)求容器内氧气的密度关于体积的函数解析式． (3)若该容器的体积为，求氧气的密度． 【答案】(1)8 (2) (3)氧气的密度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据代入，可求m； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入（2）中解析式可求结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）根据题意，设所求的函数解析式为， 由图可知，该函数过点， ． 所求函数的解析式为． （3） 该容器的体积V为，． 答：氧气的密度为． 题型一 反比例函数的应用---表格问题 1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系 ． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数关系的实际应用，解题的关键是判断出每天阅读的页数与读完需要的天数之间的数量关系． 通过计算表格中每组数据每天看的页数与需要天数的乘积，发现乘积为定值，从而确定与的关系． 【详解】计算表格中每天看的页数与需要天数的乘积： 可以发现每天阅读的页数与读完需要的天数的乘积始终是900，根据反比例函数关系，可得． 故答案为：． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【答案】(1) (2)不够用 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确列出函数解析式是关键． （1）根据题意可得到速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，即可求出函数解析式； （2）求出总路程所需油量，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，所以y与x之间的函数表达式为 （2）当保持的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为    因为，所以油箱中的油不够用． 3．（24-25八年级下·山西晋城·期中）如表是近视眼镜的度数D（单位：度）与镜片焦距f（单位：米）之间的关系表： f/米 0.5 0.4 0.25 0.2 …… D/度 200 250 400 500 …… (1)观察表中的数据，眼镜度数D（单位：度）和镜片焦距f（单位：米）之间成反比例函数关系，求眼镜度数D（单位：度）关于焦距f（单位：米）的函数表达式． (2)若小明佩戴的是一副125度的近视眼镜（两个镜片度数相同），则佩戴的镜片焦距f为多少米？ 【答案】(1) (2)0.8米 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中的函数关系式求出f即可． 【详解】（1）解：设眼镜度数D关于焦距f的函数表达式是， 根据题意，把代入可得：， ∴， ∴眼镜度数D关于焦距f的函数表达式是； （2）解：当时，， 解得：， 答：佩戴的镜片焦距f为0.8米． 4．（2025·吉林长春·模拟预测）【问题情境】 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度（单位：）与行驶时间（单位：）的数据如表． 小型车辆 行驶时间（单位：） 平均速度（单位：） A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 【建立模型】 （1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度（单位：）是行驶时间（单位：）的函数．求（单位：）与（单位：）之间的函数解析式； 【问题解决】 （2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式； （2）50分钟，将代入，即可求解； （3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（1）解：根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． 5．（2025·广东广州·二模）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，将代入中， ∴， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 题型一反比例函数与一次函数的实际应用 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间x分钟成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物20分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能呆在教室里． 【答案】80 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设出燃烧后的函数关系式，并利用待定系数法求出对应的函数关系式，再求出函数值为4时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：设燃烧后的函数关系式为， ∴， ∴， ∴燃烧后的函数关系式为， 在中，当时，， ∴从消毒开始，至少需要经过80分钟后，学生才能呆在教室里， 故答案为：80． 2．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 【答案】(1)小时 (2) (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）段满足温度为； （2）把代入，即可求解； （3）先用待定系数法求出的解析式，再根据解析式计算出，段时对应的x的值，即可求解． 【详解】（1）解：恒温系统在这天保持大棚内温度的时间为：（小时）； （2）解：把代入中得： ； （3）解：记0时对应的点为点D，设的解析式为： 把，代入中得： ， 解得， 的解析式为：， 当时，， （小时）． 答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中水温与开机时间(分)满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间(分)成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序(如图所示)，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温与开机时间(分)的函数关系式； (2)求图中的值； (3)若小明下午五点将饮水机在通电开机(此时饮水机中原有水的温度为)后即外出打篮球，预计一个半小时回到家中，回到家时，饮水机内的水温约为多少？请说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次(反比例)函数解析式以及一次(反比例)函数图象上点的坐标特征； （1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式； （2）由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间分的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可； （3）将代入反比例函数关系式中求出值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为．将、代入中，得： ， 解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为． （2）解：当时，设水温与开机时间分的函数关系式为 ， 将代入 中，得： ，解得：， 当时，水温与开机时间分的函数关系式为 ． 当 时，， 图中的值为． （3）解：时，． 答：小明回到家中时，饮水机内的水温约为80℃． 4．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图是某种商品日销售量（万件）与上市的天数（天）之间的函数关系图象．前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比．已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件．    (1)求与之间的函数表达式． (2)广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”． 【答案】(1) (2)本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”，见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，写出函数关系式是解题的关键． （1）按照的取值范围，分别求出对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可； （2）分别求出时对应的值，求出两个的值取正整数的个数并与15比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设段的函数表达式为． 把代入，得，解得． 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为． 把，分别代入，得 解得 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为． 把代入，得，解得． 段的函数表达式为． 与之间的函数表达式为 （2）解：由图，可知日销售量不低于8万件在20天以后． 当时，，解得． 在段上从第35天开始日销售量不低于8万件． 当时，，解得． 在段上从第51天开始日销售量低于8万件． 日销售量不低于8万件的天数为（天）． ， 本次广告策划，设计师能拿到“特殊贡献奖”． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y随时间（分钟）的函数表达式； (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而刘老师在一节课上讲解一道数学综合题需要9分钟，则这节课刘老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受． 【答案】(1) (2)这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）当时，，解得，当时，，解得，根据图象可知，注意力指标不低于30的时间为分钟，再根据讲解一道数学综合题需要9分钟即可得到答案． 本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，运用待定系数法求解出相关函数表达式以及正确的理解图象是解题的关键． 【详解】（1）解：图象经过点， 设， 则，解得， ； 当时，， ， ， 当时，图象是线段AB，则该段函数是一次函数，点， 设， 则， 解得， ； 当时，， ， （2）当时，， ， 当时，， ， 注意力指标不低于30的时间为分钟， ， 这节课刘老师至多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $