3.2反比例函数的图象与性质（15大题型）（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制九年级上册

**基本信息** 围绕反比例函数图象与性质，通过基础辨析、中档综合到拓展探究的三阶分层，覆盖从点坐标特征到与几何、一次函数综合应用的完整路径，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点坐标特征、解析式与性质判断|以选择为主，直接应用概念（如判断双曲线上的点）| |中档层|k几何意义、与一次函数图象共存|结合图形分析（如利用面积求k值）| |综合提升层|存在性问题、几何变换|多步推理解答题（如反比例函数与正方形综合题）|

3.2 反比例函数的图象与性质 题型一 反比例函数图象上点的坐标特征 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由反比例函数解析式可知：该图象上的点满足横纵坐标之积为，由此可排除选项． 【详解】解：A、由可知该点在反比例函数图象上，故符合题意； B、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； C、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； D、由可知该点不在反比例函数图象上，故不符合题意； 故选A． 2．（2025·重庆·一模）已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】双曲线上的点的横、纵坐标之积为定值，据此逐项判断即可．本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为定值． 【详解】解：点在双曲线上，， A，， 不在此双曲线上； B，， 在此双曲线上； C，， 不在此双曲线上； D，， 不在此双曲线上； 故选B． 3．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位 于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的解析式、图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 4．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ，， 故选：B． 题型二 由反比例函数解析式判断其性质 1．（2024·云南·模拟预测）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐一判断即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，每个象限内，随增大而增大，说法错误，故选项符合题意； B、图象必经过点，说法正确，故选项不符合题意； C、，双曲线的两支分别位于第二、四象限，说法正确，故选项不符合题意； D、若，则，说法正确，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【详解】解：A、由于，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、由于，图象在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，错误，符合题意； C、由，可得图象经过，正确，不符合题意； D、的图象关于直线对称，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，正确，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 4．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值． 【详解】解：A选项，∵， ∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确； C选项，∵该函数图象位于第一、三象限， ∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误； B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小， 又∵，则， 又∵，则， ∴，故该选项正确； D选项，设点P的坐标为函数， ∴，是定值，故该选项正确． 故选：C ． 题型三 由反比例函数经过的象限求比例系数 1．（2024春·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反比例函数的性质，函数若位于一、三象限，则反比例函数系数k＞0，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、∵m2+1＞0，∴反比例函数图象一定在一、三象限； B、不确定； C、不确定； D、不确定． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的性质是解题的关键． 2．（2024春·河南郑州·九年级校考期中）若双曲线位于第一、三象限，则a的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数，解得a的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得：． 结合选项可知，只有符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，当时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大． 3．（2024春·山西大同·九年级统考期末）反比例函数（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的性质：当时，图象过一、三象限；当时，图象过二、四象限可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的意义以及相对应图象所在象限的位置是解题的关键． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型四 由反比例函数的增减性求比例系数 1．（2024春·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】反比例函数的自变量次数为，y随x的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且，据此列出方程与不等式即可求得m的值． 【详解】由题意得： ． ∴且． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义及其增减性，解题的关键由反比例函数的定义及增减性列出方程与不等式． 2．（2024春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 【答案】D 【分析】由反比例函数的性质，k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，建立不等式，求解即可． 【详解】∵反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小， ∴a-2＞0， 解得a＞2， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小是解题的关键． 3．（2024春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由反比例函数的性质求解． 【详解】解：反比例函数的函数值y随着自变量x的增大而增大， 所以双曲线的两支分别位于第二、第四象限，而x<0，则分支在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 4．（2024春·浙江绍兴·九年级统考期末）反比例函数图像上有两个点，，，则的图像不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】由可得或 ，从而由反比例函数增减性确定的符合，即可由一次函数图像与性质得到答案． 【详解】解：反比例函数图像上有两个点，，， 或 ， 当或时，反比例函数在时，随的增大而减小，则， ， 的图像不经过第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质、一次函数图像与性质是解决问题的关键． 题型五 由反比例函数的性质比较大小 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，，三点均在反比例函数图象上，且，那么，，的大小关系不可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键，根据反比例函数的性质，分情况讨论三个点的位置（全正、全负、正负混合），分析各选项中的大小关系是否可能成立． 【详解】解：∵，，三点均在反比例函数图象上，且， ∴当时，，则C正确； 当时，，则B正确； 当时， ，则D正确； 当时，，则C正确； ∴A始终无法成立， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求反比例函数值，将各点坐标代入反比例函数解析式，分别求出a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：把代入得：； 把代入得：； 把代入得：； ∴ 故选：D． 3．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末），是反比例函数图象上的两点，下列判断正确的是（  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的性质，分析点和的横坐标符号及大小关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数常量， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， A、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； B、当时，在第一象限，在第三象限，，原说法错误，不符合题意； C、当时，，两点都在第三象限，，原说法错误，不符合题意； D、当时，在第一象限，在第三象限，，原说法正确，符合题意； 故选：D． 题型六 由反比例函数k的几何意义求面积 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图点P是反比例函数图象上一点，轴于点C，轴于点D，那么四边形的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的判定，根据题意设，则，，判定出四边形为矩形，求出矩形面积即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上一点， 设，则，， 轴于点C，轴于点D， 四边形的面积为矩形， 故四边形的面积， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（   ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例系数k的几何意义，正方形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．根据正方形的性质得出，证明四边形为矩形，四边形为矩形，根据k的几何意义得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵点B、C在轴上， ∴、O、C三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∵点A、D分别在函数的图象上， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先设，由直线轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数的图象上， ∴当，， 即A点坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当，， 即B点坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 题型七 由图形的面积求比例系数k 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴于点，点为的中点，连接，若的面积为2，则的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象及其几何意义，过双曲线上任意一点向轴、轴作垂线，所围成的矩形的面积等于．过点作轴的垂线，垂足为，求出矩形的面积等于，根据图象所在象限即可得到答案． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图， 则矩形的面积等于图中的面积的倍， ∵的面积为2，点为的中点， ∴的面积为 矩形的面积等于， ， 双曲线位于一、三象限， ， 的值为． 故选：D 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，过反比例函数上一点作轴的垂线，交轴于点，点在轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为4，则的值是（　　） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义．过点A作轴于点G，易证四边形为矩形，求出，再根据反比例函数图象得到，即可求出答案． 【详解】解：过点A作轴于点G， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由反比例函数经过第二象限，得， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，点A，B在x的负半轴上，点C在y的正半轴上，连接，以为边作平行四边形，边与y轴交于点E，反比例函数的图象经过点D．若，，则k的值为（    ） A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，连接，先根据平行四边形的性质得到，，易证，再根据，推出，进而推出，由，求出，再求出，从而求出，由点A在反比例函数图象上，即可求出k的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，点A，B在x轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 点A在反比例函数图象上，且， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（）与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是24，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的意义，设点则 )，然后根据列关于k的方程解答即可． 【详解】解：设点则 )， ， 的面积是， ， 解得 故选： C． 题型八 已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 2．（22-23九年级下·云南德宏·期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象是直线，反比例函数（）的图象分布：当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A. 的图象是直线，故此项不符合题意； B. 的图象是直线，故此项不符合题意； C. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第一、三象限，故此项符合题意； D. 是反比函数， ， 双曲线的两支分别位于第二、四象限，故此项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象特征和反比例函数的图象分布，掌握反比例函数图象分布的规律是解题的关键． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 根据反比例函数的图象求解即可． 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 题型九 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．（24-25九年级上·广西梧州·期中）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，据此求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同， ∵反比例函数的图象经过点， ∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 2．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可求解，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性是解题的关键． 【详解】解：∵过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称， ∴它们的另一个交点坐标是， 故选：． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 题型十 反比例函数与一次函数的图象共存问题 1．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象，根据一次函数与反比例函数的图象特点进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项D的图象符合． 当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图象均不符合； 故选：D 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断，根据反比例函数与一次函数的图象，进行判断即可． 【详解】解：当时，则：，故双曲线过一，三象限，直线过一，三，四象限； 当时，则：，故双曲线过二，四象限，直线过一，二，四象限； 故符合题意是只有选项D； 故选D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，分别根据的符号判断反比例函数和一次函数的图象所在象限即可． 【详解】解：对于反比例函数，当时，反比例函数过第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限， 故选项B，C错误； 对于反比例函数，当时，反比例函数过第二、四象限，一次函数过第一、二、四象限， 故选项A正确，选项D错误； 故选：A． 4．（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 题型十一 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式 1．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数图象所在象限及增减性分别求解即可． 【详解】解：当时，函数的图象在第一象限，； 当时，函数的图象在第三象限，y随x的增大而减小， 令， 解得， , 综上可得，当时，x的取值范围是或． 故选D． 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴当时，或． 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，先由函数图象经过点求出的值，结合反比例函数的增减性可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵当时，， ∴当时，． 故答案为：． 4．（2024春·江苏淮安·九年级统考期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点P的横坐标是2． (1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标； (2)直接写出的解集为________________． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围为________________． 【答案】(1)，另一个交点坐标为； (2)； (3) 【分析】（1）求出横坐标为2的交点的纵坐标，再代入反比例函数y即可求k，由正比例函数与反比例函数对称性可得另一个交点坐标； （2）画出图象观察即可得到答案． （3）根据函数图象可知，在每一象限内，随x的增大而减小，分别求出和时y2的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）在y1=2x中令得， ∴正比例函数的图象与反比例函数的图象交点的横坐标是2的交点为， ∴，解得， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∴另一个交点为； （2）由函数图象可知，的解集是：． 故答案为：． （3）∵中，， ∴在每一象限内，随x的增大而减小， 当时，；当时，． ∴当时，的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数图象交点及大小比较，解题的关键是要掌握二者的对称性和数形结合比较大小的方法． 题型一 反比例函数与一次函数的综合应用 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交轴于点． (1)求的值及一次函数的解析式 (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、函数图象与不等式等知识点，熟练掌握函数图象法和待定系数法是解题的关键． （1）先将点代入可得反比例函数的解析式，再点代入反比例函数的解析式可得c的值，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数的图象经过点，一次函数的图象必经过点，再分和两种情况，分别结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为， 将点代入得：， ∴， 将点，代入得： ，解得， ∴一次函数的解析式． （2）解：由（1）已得：反比例函数的解析式为， 当时，，即反比例函数的图象经过点， 将代入一次函数得：， ∴一次函数的图象必经过点， ①如图，当时， 此时，当时，对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值，不符合题意； ②如图，当时， 将点代入一次函数得：，解得：， 结合函数图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，则． 综上，a的取值范围为． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在轴上，为等腰直角三角形，且，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键． （1）将点代入反比例函数即可求得k的值，将点代入反比例函数即可求得b的值，进而待定系数法求直线解析式即可求解； （2）过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，证明，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数中，得， 解得， 故反比例函数的表达式为                 将代入反比例函数中， 得， 解得， 故                             将，代入一次函数中得 ， 解得 故一次函数解析式为； （2）解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，    则， ， 为等腰直角三角形，， ， ． 在和中， ， ， ， ∵，， ， ． 4．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出中x的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法． （1）根据的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值； （2）根据图象直接写出的解集； （3）求出点关于y轴的对称点，根据题意直线与y轴的交点即为所求的点P，求出直线的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，， ； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 那么不等式的解集为或； （3）解：作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， 此时取得最大值， 则直线与y轴的交点即为所求的点P， ∵点关于y轴的对称点， 又， 设直线的关系式为， 则有， 解得，， ∴直线的关系式为； ∴直线与y轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求m，k的值； (2)过动点作平行于x轴的直线，交函数的图象于点C，交直线于点D． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)①3；②n的取值范围为或 【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m的值得到A点坐标，然后把A点坐标代入得到k的值； （2）①利用C、D的纵坐标都为2得到C点和D点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段的长； ②先确定，由于C、D的纵坐标都为n，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出，，讨论：当点C在点D的右侧时，先利用得到，解得，（舍去），再结合图象可判断当时，；当点C在点D的左侧时，先利用得到，解得，（舍去），再结合图象可判断当时，． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）解：①当时，点P的坐标为， 当时，，解得， ∴点C的坐标为， 当时，，解得， ∴点D的坐标为， ∴； ②当时，，解得，则 当时，，解得x， ∴点C的坐标为， 当时，，解得， ∴点D的坐标为， 当点C在点D的右侧时， 若，即，解得，（舍去）， ∴当时，； 当点C在点D的左侧时， 若，即，解得，（舍去）， ∴当时，， 综上所述，n的取值范围为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 题型二 反比例函数与几何图形的面积的综合 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 2．（2025·河南开封·二模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，．将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的对应点． (1)求过点的反比例函数解析式，并画出其图象． (2)在过点的反比例函数图象上任取一点，过点向轴作垂线，交的图象于点，连接，，的面积会发生变化吗？若不变化，求出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)过点的反比例函数解析式为，图象见解析 (2)的面积不会发生变化，的面积为 【分析】（1）根据点坐标平移的特征确定，即可确定过点的反比例函数解析式，继而画出相应图象； （2）根据反比例函数系数的几何意义可得，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，， ∵将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的对应点， ∴， 设点的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴过点的反比例函数解析式为，其图象 如下图所示； （2）如图，设交轴于点， ∵轴，过点的反比例函数解析式为，反比例函数的图象过格点，， ∴，， ∴， ∴的面积不会发生变化，的面积为． 【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，作函数图象，点坐标平移的规律，反比例函数系数的几何意义等知识点，解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 3．（24-25九年级下·吉林四平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）先求出，再求出，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，然后利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵直线与y轴交于点C， ∴， ∵，轴， ∴， ∵以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2， ∴， ∴． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)①，②= (2)，D的坐标为，E的坐标为，直角三角形， 【分析】本题考查勾股定理逆定理，以及反比函数系数k的几何意义，图形与坐标，熟记反比函数系数k的几何意义是解题的关键． （1）①根据矩形的性质得故可得点B的坐标；②根据反比函数系数k的几何意义可得结论； （2）由且可求出，得，根据求出，可得点D的坐标，进而求出解析式；同理可求出点E的坐标． 分别求出，，，再根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据面积公式可得结论． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， 则点坐标为， 反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点， ∴，， ； 故答案为：；； （2）解：当时， ， ， ， ， ∴， ∴． ， ， ∴， ，， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 的面积为：． 题型一 反比例函数的图象与几何变换问题 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）探究函数的图象与性质．因为，即，所以我们仿照函数来探究： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中________； … 4 … … … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度而得到； ③函数的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标） (3)设，是函数的图象上的两点，且，则 【答案】(1)，补图见解析 (2)①减小；②下，；③ (3) 【分析】（）把代入函数解析式可求出的值，将图中的点用平滑的曲线连接即可把图象补充完整； （）①根据图形即可求解；②根据解析式即可求解；③根据平移变化即可求解； （）求出和，进而计算即可求解； 本题考查了画反比例函数的图象，反比例函数图象的平移和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 图象补充完整如下： 故答案为：； （2）解：①当时，随增大而减小， 故答案为：减小； ②∵， ∴函数的图象是由函数的图象向下平移个单位长度而得到， 故答案为：下，； ③∵函数的图象关于原点对称， ∴函数的图象关于对称， 故答案为：； （3）解：∵，是函数的图象上的两点， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 2．如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点． (1)若，求k的值 (2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E ①求正方形ABCD的面积； ②直接写出点E的坐标． 【答案】(1)k＝12 (2)①正方形ABCD的面积为8；② 【分析】（1）先计算点A平移前的坐标为（4，3），这点在图象T1上，代入函数y＝kx(x＞0)中可得k的值； （2）①先根据点A（0，a）可得k＝4a，如图2，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，证明△DMA≌△AOB（AAS），表示点D和C的坐标，可解答； ②利用待定系数法可得BC的解析式，与平移后的函数关系式联立方程，解方程可得点E的坐标． 【详解】（1）解：当a＝3时，A（0，3） ∴点A平移前的点的坐标是（4，3） ∴k＝4×3＝12． （2）解：①把点A（0，a）代入中得：a＝， ∴k＝4a， 过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，如图所示： ∴∠DMA＝90°， ∴∠DAM＋∠ADM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAM＋∠BAO＝90°， ∴∠MDA＝∠BAO， ∴△DMA≌△AOB（AAS）， ∴DM＝OA＝a， 当x＝a时，， ∴AM＝4−a， 同理得：△AMD≌△DFC（AAS）， ∴DF＝AM＝4−a，CF＝DM＝a， ∴C（4，4−a）， ∴4（4−a）＝4a， ∴a＝2， ∴正方形ABCD的面积＝AD2＝a2＋（4−a）2＝4＋4＝8； ②由①得：B（2，0），C（4，2）， 设BC的解析式为：y＝mx＋b， 则，解得：， ∴BC的解析式为：y＝x−2， ∴， 解得：， ∵点E在第一象限， ∴， ∴． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点，平移的性质，三角形全等的性质和判定，正方形的性质等知识，作辅助线，构建全等三角形是解本题的关键，还体现了方程思想，难度适中． 题型二 反比例函数中的存在性问题 1．（2024春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①为直角三角形，理由见解析；②点P的坐标为或或或． 【分析】（1）设点B的坐标为，则点，则，即可求解； （2）①点A、C的横坐标相同，轴，点B关于y轴的对称点为C，故轴，即可求解；②过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求，同样在下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求，进而求解． 【详解】（1）解∶设点B的坐标为，则点，则： ， 解得（负值已舍去）， 故点B的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶， 解得∶； （2）解：①为直角三角形，理由∶ 设点，则点， ∵点A、C的横坐标相同， ∴轴， ∴点B关于y轴的对称点为C， ∴轴， ∴， ∴为直角三角形； ②由①得∶， 则的面积， 解得（负值已舍去）， ∴点B的坐标为，C的坐标为， 将点B的坐标代入反比例函数表达式得∶，解得， ∴反比例函数表达式为①； 过点C作直线，交反比例函数于点P，则点P符合题设要求， 同样在AB下方等间隔作直线交反比例函数于点P，则点P也符合要求． ∵， ∴设直线m的表达式为， 将点C的坐标代入，解得， 故直线m的表达式为②， 根据图形的对称性，则直线n的表达式为③， 联立①②并解得∶ 或， 联立①③并解得∶ 或， ∴点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积等知识，综合性较强． 2．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，以及一次函数解析式，即可得到a，b，k的值； （2）根据（1）中一次函数解析式求出点C的坐标，进而得到，再设点D的坐标为，根据建立等式求解，即可解题； （3）将点D向右平移一个单位，得到，连接，，证得四边形为平行四边形，，进而得到，根据为定长，要的值最小，即的值最小，又当三点共线时，的值最小，再结合勾股定理求解，即可解题； （4）根据以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，分情况①当为边时；②当为边，为对角线时；连接交于点，③当为边，为对角线时；结合菱形的性质和判定，以及勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为， ，即， 点B的横坐标为5， ，即点B的坐标为， ， 解得， 综上，，，； （2）解：由（1）知，一次函数为， 当时，，解得， 点C的坐标为，即， 点A的坐标为，点B的坐标为， ， 点D是第二象限内反比例函数上一动点， 设点D的坐标为， ， ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：将点D向右平移一个单位，得到 ，连接，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 为定长，要的值最小，即的值最小， 当三点共线时，的最小值为， 的最小值为； （4）解：存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， 点D的坐标为，点C的坐标为， ， ①当为边时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ，， 或， ②当为边，为对角线时；连接交于点， 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， ； ③当为边，为对角线时； 以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形， ， 设， ，， ，解得， ， ； 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数解析式，一次函数与反比例函数几何综合，线段和最值，平行四边形性质和判定，菱形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 反比例函数的图象与性质 题型一 反比例函数图象上点的坐标特征 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·一模）已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位 于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 题型二 由反比例函数解析式判断其性质 1．（2024·云南·模拟预测）已知为反比例函数，下列结论不正确的是（  ） A．y随x的增大而增大 B．图象必经过点 C．图象在第二、四象限 D．若，则 2．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 4．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　） A．函数图象位于第一、三象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．函数值y随x的增大而增大 D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 题型三 由反比例函数经过的象限求比例系数 1．（2024春·安徽淮南·九年级统考期末）下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024春·河南郑州·九年级校考期中）若双曲线位于第一、三象限，则a的值可以是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春·山西大同·九年级统考期末）反比例函数（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ． 题型四 由反比例函数的增减性求比例系数 1．（2024春·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2024春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 3．（2024春·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若函数的函数值y随着自变量x的增大而增大，则函数的图象所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024春·浙江绍兴·九年级统考期末）反比例函数图像上有两个点，，，则的图像不经过第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 题型五 由反比例函数的性质比较大小 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若，，三点均在反比例函数图象上，且，那么，，的大小关系不可能正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）已知点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末），是反比例函数图象上的两点，下列判断正确的是（  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型六 由反比例函数k的几何意义求面积 1．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图点P是反比例函数图象上一点，轴于点C，轴于点D，那么四边形的面积为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，点A、D分别在函数的图象上，点B、C在轴上．若四边形为正方形，则正方形的面积为（   ） A．3 B． C．9 D．18 4．（24-25八年级下·四川资阳·期末）如图，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连结，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型七 由图形的面积求比例系数k 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴于点，点为的中点，连接，若的面积为2，则的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，过反比例函数上一点作轴的垂线，交轴于点，点在轴上，满足四边形是平行四边形，若的面积为4，则的值是（　　） A． B．8 C． D． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，点A，B在x的负半轴上，点C在y的正半轴上，连接，以为边作平行四边形，边与y轴交于点E，反比例函数的图象经过点D．若，，则k的值为（    ） A．8 B．10 C．16 D．20 4．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（）与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是24，则k的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 题型八 已知反比例函数的图象，判断其解析式 1．（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·云南德宏·期中）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南洛阳·阶段练习）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 4．（22-23九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 题型九 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．（24-25九年级上·广西梧州·期中）若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十 反比例函数与一次函数的图象共存问题 1．（24-25八年级下·四川攀枝花·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图像可能是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型十一 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式 1．（24-25九年级上·河南·阶段练习）函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是(   ) A．或 B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知反比例函数的图像经过点，当时，y的取值范围是 ． 4．（2024春·江苏淮安·九年级统考期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点P的横坐标是2． (1)求k的值和两个函数图象的另一个交点坐标； (2)直接写出的解集为________________． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围为________________． 题型一 反比例函数与一次函数的综合应用 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 2．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与函数的图象交轴于点． (1)求的值及一次函数的解析式 (2)当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 3．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在轴上，为等腰直角三角形，且，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 4．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出中x的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求m，k的值； (2)过动点作平行于x轴的直线，交函数的图象于点C，交直线于点D． ①当时，求线段的长； ②若，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 题型二 反比例函数与几何图形的面积的综合 1．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 2．（2025·河南开封·二模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，．将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的对应点． (1)求过点的反比例函数解析式，并画出其图象． (2)在过点的反比例函数图象上任取一点，过点向轴作垂线，交的图象于点，连接，，的面积会发生变化吗？若不变化，求出的面积；若变化，请说明理由． 3．（24-25九年级下·吉林四平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点、两点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C、P、Q、为顶点的四边形的面积为2时，求的值． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接、、．记、的面积分别为、． (1)填空： ①点B坐标为___________； ②___________（填“”、“”、“”）； (2)当时，求：k的值及点D、E的坐标；试判断的形状，并求的面积． 题型一 反比例函数的图象与几何变换问题 1．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）探究函数的图象与性质．因为，即，所以我们仿照函数来探究： (1)绘制函数图象，如图．列表：下表是与的几组对应值，其中________； … 4 … … … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； (2)观察图象并分析表格，回答下列问题； ①当时，随增大而________；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度而得到； ③函数的图象关于点________成中心对称；（填点的坐标） (3)设，是函数的图象上的两点，且，则 2．如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点． (1)若，求k的值 (2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E ①求正方形ABCD的面积； ②直接写出点E的坐标． 题型二 反比例函数中的存在性问题 1．（2024春·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线与相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)当时，求k的值； (2)点B关于y轴的对称点为C，连接； ①判断的形状，并说明理由； ②当的面积等于16时，双曲线上是否存在一点P，连接，使的面积等于面积？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·四川宜宾·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点A和点B，点A的坐标为，点B的横坐标为5，一次函数与x轴交于点C． (1)求a，b，k的值； (2)如图1，点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接．当时，求点D的坐标； (3)如图2，在（2）问的条件下，点E，F均为x轴上的动点，且点E在点F的左侧，．求的最小值； (4)如图3，点G是x轴上一点，点H是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点G，C，D，H为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $