专题15.3 等腰三角形（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦等腰三角形与等边三角形的定义、性质、判定及垂直平分线知识，以基础概念为支架，衔接15类典型题型，构建从原理到应用的完整学习脉络。 资料通过格点作图、将军饮马等题型设计，结合探究式学习与课后检测，培养学生几何直观与推理能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升数学应用意识与创新思维。

简一数理 初中专题讲义 专题15.3 等腰三角形 （新教材人教版） 知识点一、等腰三角形、等边三角形 2 知识点二、垂直平分线 3 【题型1 等边对等角】 3 【题型2 三线合一】 5 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】 8 【题型4 根据等角对等边证明边相等】 11 【题型5 根据等角对等边证明求边长】 13 【题型6 含30度角的直角三角形】 16 【题型7 格点图中画等腰三角形】 18 【题型8 找出图中的等腰三角形】 21 【题型9 求与图中任意两点构成等腰三角形的点】 24 【题型10 等腰三角形的性质和判定】 27 【题型11 等边三角形的性质】 30 【题型12 等边三角形的判定】 33 【题型13 等边三角形的性质和判定综合】 36 【题型14 大（小）角对大（小）边定理】 39 【题型15 最短路径问题---将军饮马】 43 【探究式学习】 46 【课后检测】 54 【复盘笔记】 73 知识点一、等腰三角形、等边三角形 1．等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 知识点二、 垂直平分线 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线． 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线． 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则． 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 如图，若，则点在线段的垂直平分线上． 【题型1 等边对等角】 【例1】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【答案】B 【分析】设，，先由直角三角形两锐角互余得到，再由题意及等腰三角形的性质得到和，最后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，，则在中，， 由题意可知， 和是等腰三角形， 则，， 在中，由可得． 【变式1-1】如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出，根据题目的作法可知：、平分，在中，利用三角形的内角和定理求出，进而求出结果． 【详解】解：由题目的作法可知：、平分， 、， ， ， ， ， 平分， ． 【变式1-2】在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形性质得出底角相等，结合平角定义求出 的度数，再利用三角形外角性质求解． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角，是的外角， ， ． 【变式1-3】已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全等三角形性质可得，由等腰三角形性质可求的度数，结合角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型2 三线合一】 【例2】如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 【变式2-1】如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰三角形的三线合一求出，再求出，继而根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，， ∴． 【变式2-3】如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例3】下列命题的逆命题错误的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．若，则 D．全等三角形的三对对应角相等 【答案】D 【分析】先根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论得到每个选项的逆命题，再逐一判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】根据逆命题定义，交换原命题的条件和结论得到逆命题，逐一判断： A、逆命题为“如果一个三角形的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”，逆命题正确； B、逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，逆命题正确； C、逆命题为“若，则”，逆命题正确； D、逆命题为“如果两个三角形的三对对应角相等，那么这两个三角形是全等三角形”，存在三对对应角相等但边长不相等的三角形，并不全等，故逆命题错误； 故选：D． 【变式3-1】如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】由和角平分线的性质可得，根据等角对等边得出，再由线段的和差关系可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点F，G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴. 【变式3-2】下列命题的逆命题中，真命题有（    ） 全等三角形的对应角相等； 如果，那么； 两直线平行，同位角相等； 等腰三角形的两个底角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据全等三角形的判定定理、实数的立方运算、平行线的判定定理、等腰三角形的判定定理判断，统计真命题的个数即可． 【详解】解：①原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形． ∵边长不同的三角形对应角相等，但不全等，∴该逆命题是假命题． ②原命题为如果，那么，逆命题为如果，那么． ∵立方运算中，立方相等的两个数底数一定相等，∴该逆命题是真命题． ③原命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为同位角相等，两直线平行． 根据平行线的判定定理可知该逆命题是真命题． ④原命题为等腰三角形的两个底角相等，逆命题为两个角相等的三角形是等腰三角形． 根据等腰三角形的判定定理可知该逆命题是真命题． 综上，真命题共有个． 【变式3-3】如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定； 连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵点为角平分线交点， ∴和分别平分和， ∴， ∵将平移，使其顶点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即图中阴影部分的周长为． 故选：D ． 【题型4 根据等角对等边证明边相等】 【例4】如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 【变式4-1】如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平移前后对应边平行且相等，根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：由平移得， ， ，故A选项说法一定正确； 由平移得，故B选项说法一定正确； 由平移得，故C选项说法一定正确； 由平移得，， ，， 不一定等于， 不一定等于， 不一定正确．故D选项说法不一定正确． 【变式4-2】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 【答案】C 【分析】由题意易得，由折叠的性质可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：在长方形中，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 【变式4-3】如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线+平行线”构造出等腰三角形，从而将线段和转化为和的长． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， ． 【题型5 根据等角对等边证明求边长】 【例5】将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出，得到，然后利用含30度角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-1】如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．无法确定 【答案】A 【分析】由平行线得到，然后结合角平分线得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 由作图得，平分 ∴ ∴ ∴ ∴的周长为． 【变式5-2】如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，过点D作于点E，根据角平分线的性质定理得到，再由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6 含30度角的直角三角形】 【例6】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 【变式6-1】如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，由尺规作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知，根据等边对等角可知，根据角之间的关系可以求出，根据含角的直角三角形的性质可知． 【详解】解：中，，， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式6-2】如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得到，从而得到，根据含度角的直角三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-3】如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由尺规作图可知，，利用含角的直角三角形的性质可得，，因此． 【详解】解： 在中，， ∴，， 由尺规作图可知，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【题型7 格点图中画等腰三角形】 【例7】如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 【变式7-1】在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，正方形的性质等知识，连接，，，，，，然后分五种情形判断可得结论． 【详解】解：连接，，，，，，如图， 类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形有4个，类似于的等腰三角形共有4个，类似于的等腰三角形有4个，共有20个． 故选：C． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点． 【详解】解：如图所示： 点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏． 【变式7-3】在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 【答案】(1)如图，点D即为所求；（画一个点即可） (2)如图，点E即为所求； 【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，求解即可． （2）构造平行四边形求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型8 找出图中的等腰三角形】 【例8】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 【变式8-1】如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 【变式8-2】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定定理得到△ABD与△BAC是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠C＝72°，推出△ADE和△BCE是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到AE＝BE，得到△ABE是等腰三角形． 【详解】解：∵AB＝AC＝BD， ∴△ABD与△BAC是等腰三角形， 在△ABD与△BAC中， ， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠D＝∠C＝72°， ∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°， ∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°， ∴∠DAE＝∠CBE＝36°， ∴∠AED＝∠BEC＝72°， ∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BEC， ∴△ADE和△BCE是等腰三角形， ∵∠AED＝∠BEC， ∴△ADE≌△BCE（AAS）， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【变式8-3】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 【题型9 求与图中任意两点构成等腰三角形的点】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 【变式9-1】在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，注意有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论． 【变式9-2】如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有______个． 【答案】 【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形． 【详解】解：①点在上时， 当时， ∵，， ∵， ∴， ∴, ∴； 当时，； 当时，； ②当点在上时， 存在， 综上，使为等腰三角形的点P有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有___________个． 【答案】4 【分析】分为三种情况：①OA=OP，②AP=OP，③AO=AP，分别画出即可． 【详解】解：以O为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个； 以A为圆心，以OA为半径画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个； 作OA的垂直平分线交x轴于一点P1， 则AP1=OP1， 此时三角形是等腰三角形，即1个； 2+1+1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊． 【题型10 等腰三角形的性质和判定】 【例10】下列三个图中，能够用来判断的是（   ）． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据作图痕迹识别出几何关系，进而利用角度之间的和差关系或外角定理进行推导． 【详解】解：如图， 在①中连接，则， ， ，故①符合题意； 在②中连接，则有， ， ，， ． ， ， ，故②符合题意； 在③中，不能判断与的大小，故③不符合题意． 故符合题意的有①②． 【变式10-1】如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线性质得出及的度数，进而求解. 【详解】解：连接， ，， ，， 平分， ， 垂直平分， ， ， ，平分， 垂直平分， ， ， 【变式10-2】等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形两锐角互余的性质，通过计算三角形内角度数判断三角形形状． 【详解】解：在等腰，，是腰上的高，即， 由题意得，一腰上的高与底边夹角， ， ， 在中，， 又， ， ， 因此该三角形是有一个直角的等腰三角形，即等腰直角三角形． 【变式10-3】如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交于点，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积． 【详解】解：延长交于点，如图， 平分，， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， 的面积为． 【题型11 等边三角形的性质】 【例11】已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等边三角形的性质求出等腰三角形的腰长，再结合等腰三角形的周长计算底边长，最后验证三角形三边关系即可得到结果． 【详解】解：∵等边三角形周长为，且等边三角形三边相等， ∴等边三角形的边长为，即等腰三角形的腰长为， ∵等腰三角形周长为， ∴等腰三角形的底边长为， 又∵，满足三角形三边关系， 因此等腰三角形底边长为． 【变式11-1】如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式11-2】如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ ． 【变式11-3】如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，结合折叠的性质得到，进而求出的度数，利用求解即可． 【详解】解：三角形是等边三角形， 、， 由折叠的性质得：、， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【题型12 等边三角形的判定】 【例12】下列命题，假命题是（  ） A．有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形 B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形全等 C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等 【答案】B 【分析】根据等边三角形判定、全等三角形判定、三角形外心与内心的性质，逐一判断各命题真假即可得到答案． 【详解】解：、∵等腰三角形有一个内角为，若是顶角，则两个底角均为；若是底角，则顶角为， ∴三个内角均为，该三角形是等边三角形，故该选项是真命题，不符合题意； 、∵题目中的角未说明是顶角还是底角，当一个等腰三角形的是顶角，另一个等腰三角形的是底角时，两个三角形的内角度数不相等， ∴即使腰长相等，两个三角形也不全等，故该选项是假命题，符合题意； 、∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴三角形两边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意； 、∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意． 【变式12-1】下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B．两组边对应相等的两个直角三角形全等 C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形性质、直角三角形全等判定、含30°角的直角三角形性质和等边三角形的判定，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】解：选项A：∵等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边， ∴等腰三角形底边上的高所在直线是底边的垂直平分线，A说法正确． 选项B：∵两组边对应相等的两个直角三角形，若为两条直角边可利用判定全等，若为斜边和一条直角边可利用判定全等， ∴B说法正确． 选项C：∵等腰三角形底角为， ∴顶角为，腰上的高在三角形外部，可得高与另一腰的延长线围成的直角三角形中，锐角为， ∵直角三角形中，角对的直角边是斜边的一半， ∴腰上的高是腰长的一半，C说法正确． 选项D：只有一个角等于的等腰三角形才是等边三角形，任意一个有一个角为的三角形不一定是等边三角形，因此D说法错误． 【变式12-2】如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，则可得到，求出，，则可证明是等边三角形，再证明，得到，则可证明垂直平分，可证明，则可证明，据此可得答案． 【详解】解：∵将折叠，使点落在点处，为折痕， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴， ∵在中，， ∴，， ∴是等边三角形，，故C结论正确，不符合题意； 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，故B结论正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知折叠的性质是解题的关键． 【变式12-3】如图，中，，，垂直平分，点D在边上，连接，，，，若，给出下列四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的结论是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，利用以上性质判断说法的正误是解题的关键． 利用线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，逐一判断说法的正误，最后选择合适的说法选项即可． 【详解】解：对于①：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴结论①正确，符合题意； 对于②：∵， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵题目中未确定α值， ∴结论②错误，不符合题意； 对于③：由②得， ∴结论③正确，符合题意； 对于④：由②得，当时，是等边三角形， ∵题目中未确定α值， ∴结论④错误，不符合题意； 综上所述，正确选项为①③， 故选：B． 【题型13 等边三角形的性质和判定综合】 【例13】如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明为等边三角形，可得，，，从而得到为等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式13-1】如图，点在射线上，在射线上截取，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点．连接，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图过程可知是等边三角形，从而得到，，由点在射线上，在射线上截取可知、、三点共线，结合可得，利用等腰三角形性质及邻补角定义即可求解． 【详解】解：如图： 由作图可知，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点在射线上，在射线上截取， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式13-2】如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 【变式13-3】如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先判定为等边三角形，再利用三线合一的性质求解即可． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， 是的角平分线， 是边上的中线， ． 【题型14 大（小）角对大（小）边定理】 【例14】在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边． 【详解】解：在中， ∵，边的对角为，边的对角为， ∴， 即 ． 故选A． 【变式14-1】如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．证出，根据全等三角形的性质可得，则可判断选项A正确；先根据平行线的性质可得，再根据，则可得，由此即可判断选项B错误；根据可得，由此即可判断选项C错误；根据，即可判断选项D错误． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，则选项A正确； 由图可知，， ∴， 在中，， ∴， ∴，则选项B错误； 由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则选项C错误； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：A． 【变式14-2】如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（　　） A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC 【答案】C 【分析】在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，故A选项错误，同理，D选项错误，假设BD＝FD，则可以判定△DBE≌△DFC，所以∠B＝∠DFC，而在题目中，∠B是定角，∠DFC随着F的变化而变化，假设不成立，故B选项是错误的，由DE＝DC，DC⊥AC，DE⊥AB，根据Rt△DEA≌Rt△DCA（HL）得到C选项是正确的． 【详解】解：（1）在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE， 故A选项错误； （2）△BDE与△DCF，只满足∠DEB＝∠DCF＝90°，DC＝DE的条件，不能判定两个三角形全等，故不能得到BD＝FD， 另一方面，假设BD＝FD， 在Rt△DBE与△DFC中， ， ∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL）， ∴∠B＝∠DFC， 而图中∠B大小是固定的，∠DFC的大小随着F的变化而变化，故上述假设是不成立的， 故B选项错误； （3）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE， 在Rt△DEA和Rt△DCA中， ， ∴Rt△DEA≌Rt△DCA（HL）， ∴∠1＝∠2， 故C选项正确； （4）在直角三角形ABC中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到AB＞AC， 故D选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边不等关系关系，掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形三边关系是解题关键． 【变式14-3】已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【答案】D 【分析】由作法得BA＝BC，OA＝OC，则判断△AOB≌△COB，所以∠BOC＝∠AOB，则于是可对A选项进行判断；若AC＝OA，则可判断△OAC为等边三角形，则∠AOB＝60°，于是可对B选项进行判断；利用OA＝OC，BA＝BC得到OB垂直平分AC，则可对C选项进行判断；根据三角形三边的关系可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得BA＝BC，OA＝OC， 而OB为公共边， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOB，所以A选项的结论正确； 若AC＝OA，则OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，所以B选项的结论正确； ∵OA＝OC，BA＝BC， ∴OB垂直平分AC，所以C选项的结论正确； ∵AB＋BC＞AC， 而AB＝BC， ∴2AB＞AC，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形三边关系，也考查了垂直平分线的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 【题型15 最短路径问题---将军饮马】 【例15】如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（     ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．连接并延长与直线的交点，即为点 【答案】C 【分析】要使最短，根据“两点之间线段最短”可知：作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接 ∴直线垂直平分， ∴， ∵， ∴此时的值最小，最小值为线段的长， 则点即为所作． 【变式15-1】如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：∵点B和点关于直线l对称，且点C在l上， ∴， ∵交l于C，且两条直线相交只有一个交点， ∴，即． 任取直线l上一点，与点C不重合，则， 即是的最小值． 综上，用到的知识或方法有转化思想、两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边； 没有用到的知识或方法是：垂线段最短． 【变式15-2】在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母） (2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程） 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特征，找出点、、的对应点、、，顺次连接即可； （2）连接，交直线于，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间，线段最短即可得出的最小值为，可得点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【变式15-3】如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 【探究式学习】 1．【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知在中，，，，点从点出发在直线上以速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，，设运动时间为． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：_______________，_______________． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为_______________； (4)【拓展应用】当的值为_______________秒时，的面积为． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，理由如下： ∵，， ，， ， ∵，， ， ，， ， ； (3)3或13 (4)当t为或时，的面积为 【分析】（1）由证明可得出，的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， ∵， ， ，， ， ； （2） 略 （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 综上所述，线段的长为3或； （4）解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上以速度运动，设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为或时，的面积为． 2．【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 【答案】 （1）①证明∶∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴垂直平分， 如图，在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴即是的最小值； ②最小值为；（） 【分析】（1）①在上另取一点，作点关于直线的对称点为，在上，点，在上，连接，，，则，，在中，根据三角形的三边关系即可得证；②先证，，再证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得解； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小，证和都是等腰直角三角形，得，再证，得，进而求得，从而得，即可得解． 【详解】解：（1）①略 ②解∶∵是等边三角形，点为中点， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）作点关于的对称点，由平分知点在上，连接，由两点之间线段最短及垂线段最短得当、、三点共线，且时，最小， ∴，， ∴， 由题意可得， ∵平分 ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键． 3．综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 【答案】（1）； （2）； （3）解：， 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数； （3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明． 【详解】解：（1）．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明，熟练运用全等三角形的性质． 【课后检测】 1．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质推出，，，利用外角的性质求出，通过等量代换求出，最后根据三角形的内角和求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ． ， ， ，，， ， ． ， ， ． 2．甲乙两人接到电脑发的指令，同时从基地出发去完成各自的任务，甲沿北偏东方向，乙沿正东方向，二人行驶速度都是公里/时，则分钟后甲在乙的方位是（     ） A．北偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】过点作，根据甲、乙两人运动的速度和时间可知，根据甲、乙两人运动的方向可知，根据等腰三角形的性质可知，即可得到，从而可知分钟后甲在乙的方位是北偏西． 【详解】解：如下图所示，过点作， 由题意可知， ， ，， ， ， ， 分钟后甲在乙的方位是北偏西． 3．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图步骤得出垂直平分，利用线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出和的度数，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，进而得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，求这个等腰三角形的底角． 解法1：如图，∵一腰上的高与另一腰的夹角是． ∴底角的度数为； 解法2：∵等腰三角形顶角为， ∴底角为． 下列说法正确的是（     ） A．解法1还需考虑其他形状的三角形，解法才完整； B．解法1正确； C．解法2是对解法1的补充； D．解法2多举出几个顶角的度数，解法才完整． 【答案】A 【分析】分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解，据此对各选项进行判断． 【详解】解：设等腰中，，为边上的高，，． ①当为锐角三角形时，高在内部，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②当为钝角三角形时，高在外部，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上，底角为或． 在解法1中，还需考虑等腰三角形是锐角三角形，解法才完整．解法2未说明等腰三角形顶角为的理由，解法不完整，故说法正确的是A选项． 6．等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需分类讨论外角对应底角的外角还是顶角的外角，结合三角形内角和定理排除不合理情况，即可得到结果，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个外角为， ∴ 和这个外角相邻的内角为． 分两种情况讨论： ① 若是底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去该情况． ② 若是顶角，则底角为 ． ∴ 该等腰三角形的底角为． 7．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点，因为对称点到对应直线上任意点的距离与原点到该点的距离相等，所以总路程可转化为到草地上的点、再到河流上的点、再到的路径长度，再根据两点之间线段最短，可知最短总路程为线段的长度，再根据三角形三边关系判断其范围即可． 【详解】如图所示，作点关于草地所在直线的对称点、关于河流所在直线的对称点， ∴，， ∴根据三角形三边关系可得， ∴． ∴只有符合题意 8．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 9．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及线段垂直平分线的判定，首先根据等角对等边得出，再利用全等三角形的判定与性质逐一判断各个结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，只有当时，，题目未给出的度数，故不一定是等腰三角形，即错误； ∵，， ∴，即，即正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即正确； ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上，即垂直平分，即正确； 综上所述，正确的结论有，共个． 10．如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个） 【答案】 【分析】取格点，连接，先求出，再证出，进而得出是等腰直角三角形，则，由此即可得． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格可知，，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 11．如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 【答案】6 【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分，，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：由基本作图方法得出：垂直平分，则， ， ， ， ， 的周长为：， 12．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，，再根据三角形内角和定理得出，即可得出答案． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即． 14．如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 【答案】 【分析】先证明，从而得到，再根据垂线段最短得到，点E为中点，求出的长，再根据等边三角形求出的长，从而求得m． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 和为等边三角形，， ， ， ， ， 当时，最短， 此时点E是中点， ， ， ． 15．如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．求证：． 【答案】证明：， ， 又是线段的垂直平分线， ， ， ． 【分析】先根据余角定义可得出，再根据垂直平分线的定义可得出，然后根据等边对等角可求出，最后根据角的和差即可得出答案． 【详解】略 16．如图，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边即可得出． 【详解】略 17．如图，平分．试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由． 【答案】解：图中的等腰三角形是、、，共3个； 理由：在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， 在中： ， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】在中，根据三角形内角和定理得出，则，是等腰三角形；根据平分，得出，在中根据三角形内角和定理得出，则，，即、是等腰三角形． 【详解】略 18．如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 【答案】证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 添加：，可使成为等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质得出，结合已知得出，然后根据等角对等边即可得证；根据等边三角形的判定补充添加即可. 【详解】证明：略； 添加， ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 19．是等边三角形，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，， ． (1)【初步探究】如图1，过点E作交边于点F，求证：； (2)【迁移应用】如图2，若，点D为边中点，连接交边于点G，求的长； (3)【拓展延伸】当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若 ，求 的值(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)1 (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质及旋转的性质证明即可； （2）过点E作交的延长线于点F，先证明，再证明，得是的中点，即可求解； （3）设，则；过点E作交射线于点F，分两种情况：当点F在线段上时；当点F在线段的延长线上时； 先证明，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 过点E作交的延长线于点F，如图， 则， ∴， ∵ 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的中点， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， 过点E作交射线于点F， 当点F在线段上时，如图3； 同理可证明，则，， 同理可证明，则， ∵， ∴，， ∴； 当点F在线段的延长线上时，如图4； 同理得，则， 同理得，则， ∴， ， ∴； 综上，的值为或． 20．在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【答案】(1)①； ②证明：如图1，在上取点，使得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)或． 【分析】（1）①求出，，根据即可求出答案；②在上取点，使得，证明，，即可得到； （2）画出图形，分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵是高， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）如图，当时，过点C作垂足分别为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴, ∴， 综上可知，的值为或． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 74 页 第 1 页 共 74 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题15.3 等腰三角形 （新教材人教版） 知识点一、等腰三角形、等边三角形 2 知识点二、垂直平分线 3 【题型1 等边对等角】 3 【题型2 三线合一】 4 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】 5 【题型4 根据等角对等边证明边相等】 6 【题型5 根据等角对等边证明求边长】 7 【题型6 含30度角的直角三角形】 8 【题型7 格点图中画等腰三角形】 9 【题型8 找出图中的等腰三角形】 11 【题型9 求与图中任意两点构成等腰三角形的点】 11 【题型10 等腰三角形的性质和判定】 12 【题型11 等边三角形的性质】 13 【题型12 等边三角形的判定】 14 【题型13 等边三角形的性质和判定综合】 15 【题型14 大（小）角对大（小）边定理】 16 【题型15 最短路径问题---将军饮马】 17 【探究式学习】 19 【课后检测】 22 【复盘笔记】 28 知识点一、等腰三角形、等边三角形 1．等腰三角形 等腰三角形 解 释 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的边的叫做腰，另外一条边叫做底边． 性质 （1）两腰相等、两底角相等． （2）“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． （3）是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形． （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形． 2．等边三角形和等腰直角三角形 等边三角形 等腰直角三角形 1．定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形． 2．性质：三边都相等，三角都是． 3．判定： （1）三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 1．定义：有两条边相等，并且中间的夹角是的三角形叫做等腰直角三角形． 2．性质：两个底角为． 3．判定：有一个角是的等腰三角形是等腰直角三角形． 知识点二、 垂直平分线 垂直平分线 解释 示例 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称之为中垂线． 如图，若，，则直线DE就是线段AB的垂直平分线． 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，已知直线是线段的垂直平分线，则． 判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 如图，若，则点在线段的垂直平分线上． 【题型1 等边对等角】 【例1】如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【变式1-1】如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点和点，连接，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的大小为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-2】在下图的三角形中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型2 三线合一】 【例2】如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2-1】如图，在中，，点在边上，延长至点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，，在上分别截取，使，再分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-3】如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【题型3 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例3】下列命题的逆命题错误的是（   ） A．直角三角形的两锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．若，则 D．全等三角形的三对对应角相等 【变式3-1】如图，在中，，和的平分线分别交于点F，G，若，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【变式3-2】下列命题的逆命题中，真命题有（    ） 全等三角形的对应角相等； 如果，那么； 两直线平行，同位角相等； 等腰三角形的两个底角相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-3】如图，在中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据等角对等边证明边相等】 【例4】如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（     ） A．10 B．11 C．15 D．16 【变式4-1】如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，已知，，则的周长为（     ） A． B．5 C．10 D．13 【变式4-3】如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A． B． C． D． 【题型5 根据等角对等边证明求边长】 【例5】将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（     ） A．16 B．17 C．18 D．无法确定 【变式5-2】如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在中，E为边上一点，连接，过点C作，垂足为D，且，，若，，则的长为（     ） A．3 B．2 C．1.5 D．1.2 【题型6 含30度角的直角三角形】 【例6】如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，，，交的延长线于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型7 格点图中画等腰三角形】 【例7】如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式7-1】在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，且使为等腰三角形，符合题意的点的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-3】在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图． (1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）． (2)在图2中画出格点，使． 【题型8 找出图中的等腰三角形】 【例8】如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式8-1】如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式8-2】如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-3】如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【题型9 求与图中任意两点构成等腰三角形的点】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【变式9-1】在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【变式9-2】如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有______个． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，3），点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有___________个． 【题型10 等腰三角形的性质和判定】 【例10】下列三个图中，能够用来判断的是（   ）． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式10-1】如图，在中，，平分，垂直平分，垂足为点，连接，，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式10-2】等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-3】如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型11 等边三角形的性质】 【例11】已知等腰三角形的周长为，以一腰为边作等边三角形，其周长为，则等腰三角形的底边长是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【变式11-2】如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．3 C．6 D．12 【变式11-3】如图，现有一张三角形纸片，其中，为上一点，将纸片沿折叠，使点落在点处，且折叠后得到的三角形是等边三角形，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型12 等边三角形的判定】 【例12】下列命题，假命题是（  ） A．有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形 B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形全等 C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等 【变式12-1】下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B．两组边对应相等的两个直角三角形全等 C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【变式12-2】如图，中，，将折叠，使点落在点处，为折痕．下列结论中错误的结论是（   ） A． B．垂直平分 C．是等边三角形 D． 【变式12-3】如图，中，，，垂直平分，点D在边上，连接，，，，若，给出下列四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中一定正确的结论是（    ） A．①④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【题型13 等边三角形的性质和判定综合】 【例13】如图（1）是一把折叠椅实物图，如图（2）是椅子打开时的侧面示意图（忽略材料的厚度），支架与交于点O，．椅面与地面水平线l平行，，，，则支架的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，点在射线上，在射线上截取，分别以、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点．连接，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，在中，，，是的角平分线，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型14 大（小）角对大（小）边定理】 【例14】在中，若，则边与的数量关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式14-1】如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（　　） A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC 【变式14-3】已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【题型15 最短路径问题---将军饮马】 【例15】如图，点在直线同侧，在直线上取一点，使得最小，对点的位置叙述正确的是（     ） A．作线段的垂直平分线与直线的交点，即为点 B．过点作直线的垂线，垂足即为点 C．作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点，即为点 D．连接并延长与直线的交点，即为点 【变式15-1】如图，直线外不重合的两点，，在直线上求一点，使得的长度最短，作法是：①作点关于直线的对称点；②连接交直线于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（     ） A．转化思想 B．三角形两边之和大于第三边 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式15-2】在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图． (1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母） (2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程） 【变式15-3】如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【探究式学习】 1．【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系，已知在中，，，，点从点出发在直线上以速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，，设运动时间为． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：_______________，_______________． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为_______________； (4)【拓展应用】当的值为_______________秒时，的面积为． 2．【课题回顾】 在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题． 【问题探究】 如图，在等边中，点为中点，点，分别为，上的点，，，点是线段上的动点，连接，，求的最小值． （1）小明提出的探究思路如下：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小． ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值． 【类比探究】 （2）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点为轴正半轴上一点，连接，，点为中点，平分交边于点，点为边上的一个动点．若点在线段上，连接，，当的值最小时，请直接写出点的坐标______． 3．综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 【课后检测】 1．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．甲乙两人接到电脑发的指令，同时从基地出发去完成各自的任务，甲沿北偏东方向，乙沿正东方向，二人行驶速度都是公里/时，则分钟后甲在乙的方位是（     ） A．北偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 3．如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，垂直平分，分别交、于点、，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，求这个等腰三角形的底角． 解法1：如图，∵一腰上的高与另一腰的夹角是． ∴底角的度数为； 解法2：∵等腰三角形顶角为， ∴底角为． 下列说法正确的是（     ） A．解法1还需考虑其他形状的三角形，解法才完整； B．解法1正确； C．解法2是对解法1的补充； D．解法2多举出几个顶角的度数，解法才完整． 6．等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，牧马营地在点处，每天牧马人要赶着马群先到草地处吃草，再到河边饮水，最后回到营地，点到a，b的距离分别为，则牧马人所走最短的放牧总路程可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（     ） A．7 B．8 C．10 D．12 9．如图，在中，，平分，于点，于点，则下列结论：是等腰三角形；；平分；垂直平分．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，在的格子图里，在格点上有、、、、五个点，联结，，，，则________（填“”、“”、“”中的一个） 11．如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若，则的周长为_____． 12．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 13．如图，在中，点D是的中点，，则_______． 14．如图，是等边三角形，，点P是上一动点，，，交于点D，连接．过点P作交于E，连接，交于F．当的值最小时，m的值为____． 15．如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．求证：． 16．如图，，．求证：． 17．如图，平分．试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由． 18．如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 19．是等边三角形，点D为射线上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，， ． (1)【初步探究】如图1，过点E作交边于点F，求证：； (2)【迁移应用】如图2，若，点D为边中点，连接交边于点G，求的长； (3)【拓展延伸】当点D在的延长线上时，连接与射线交于点G，若 ，求 的值(用含k的代数式表示)． 20．在中，，是高，E是上一点． (1)如图1，若平分， ①求的度数；（用含的式子表示） ②求证：． (2)如图2，当，时，若点F在射线上，且，求的值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 74 页 第 1 页 共 74 页 学科网（北京）股份有限公司 $