专题16.2 整式的乘法（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦整式的乘法与除法核心知识点，系统梳理单项式乘除、多项式乘除等运算规则，构建从基础运算（如单项式×单项式）到应用（如图形面积计算）再到规律探究（如杨辉三角）的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料通过19类分层题型（含例题与变式）强化运算能力，探究式学习（如“整式的规律密码”项目）培养抽象能力与创新意识，课后检测结合复盘笔记助力查漏补缺，课中提升教学效率，课后强化知识巩固，体现数学思维与应用意识的培养。

简一数理 初中专题讲义 专题16.2 整式的乘法 （新教材人教版） 知识点一、整式的乘法 2 知识点二、整式的除法 2 【题型1 计算单项式乘以单项式】 2 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数的值】 3 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 3 【题型4 单项式乘多项式的应用】 4 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 4 【题型6 计算多项式乘多项式】 5 【题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 5 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 6 【题型9 多项式乘多项式---化简求值】 6 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 7 【题型11 多项式乘多项式的规律问题】 8 【题型12 整式乘法混合运算】 9 【题型13 同底数幂的除法运算】 9 【题型14 同底数幂除法的逆运算】 10 【题型15 零指数幂】 10 【题型16 计算单项式除以单项式】 11 【题型17 用科学记数法表示数的除法】 11 【题型18 多项式除以单项式】 12 【题型19 整式四则混合运算】 12 【探究式学习】 14 【课后检测】 18 【复盘笔记】 21 知识点一、整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 知识点二、整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 多项式÷单项式：除法性质． 多项式÷多项式：大除法． 【题型1 计算单项式乘以单项式】 【例1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数的值】 【例2】计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2-3】若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】已知，则当时，的值为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【变式3-1】下列运算中，错误的是(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【例4】如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【变式4-1】如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（     ） A．长方形与长方形的面积之差 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之和 【变式4-3】已知单项式满足，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【变式5-1】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【变式5-2】若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（    ） A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1 【变式5-3】对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【题型6 计算多项式乘多项式】 【例6】已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 【变式6-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】若，则m与n的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-1】若，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式7-2】使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】若的结果中不含项，则的值为（     ）． A．0 B．2 C． D． 【变式8-2】若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（     ） A．2 B． C．0 D． 【变式8-3】已知的乘积中不含的一次项，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型9 多项式乘多项式---化简求值】 【例9】若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 【变式9-2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【变式9-3】若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，长方形纸板的长为a，宽为b，在它的四角分别剪去一个边长为x的正方形，然后将四周突出部分折叠起来，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列结论错误的是（   ） A．纸盒的体积为 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【题型11 多项式乘多项式的规律问题】 【例11】如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（     ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 【变式11-1】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（     ） A．20 B． C．15 D． 【变式11-2】观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【变式11-3】我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（     ） A． B． C． D． 【题型12 整式乘法混合运算】 【例12】若实数满足，则_______． 【变式12-1】若规定，则当时，的值为__________． 【变式12-2】若，则______． 【变式12-3】已知，，．求的值为__________． 【题型13 同底数幂的除法运算】 【例13】下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型14 同底数幂除法的逆运算】 【例14】已知，则等于（     ） A． B． C． D．3 【变式14-1】若，，则（     ） A．34 B．32 C．18 D．9 【变式14-2】计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型15 零指数幂】 【例15】下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ① ② ③计算的结果是 ④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 【变式15-1】下列说法错误的是（   ） A．任何不等于0的数的0次幂都等于1 B．有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 C．有一条边对应相等的两个等边三角形全等 D．整式乘法与因式分解是方向相反的变形 【变式15-2】下面是一名同学所做4道练习题：①，②，③，④，他对的题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式15-3】下列说法：①倒数等于它本身的数是；②除以一个数等于乘以这个数的倒数；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④零的任何次幂都是零；⑤四舍五入得到的近似数，它的精确度是精确到千分位；⑥单项式的次数是5，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型16 计算单项式除以单项式】 【例16】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式16-1】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式16-3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型17 用科学记数法表示数的除法】 【例17】2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【变式17-1】词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【变式17-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【题型18 多项式除以单项式】 【例18】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式18-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式18-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式18-3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型19 整式四则混合运算】 【例19】计算： (1)； (2)． 【变式19-1】求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式19-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式19-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【探究式学习】 1．项目式学习探究任务：“整式的规律密码”． 在一次数学项目式学习活动中，某探究小组接到任务：“发现并推导()与长多项式相乘的通用规律”．小组决定遵循“从特殊到一般”的探究思路，展开如下研究，请你协助完成． 任务一：特例入手，归纳特征 (1)请计算以下三组特殊式子，观察结果特征，寻找规律： ① ； ② ； ③ ． 任务二：猜想规律，建立模型 (2)结合上述计算结果，大胆猜想： ． 任务三：模型应用，解决实际问题 (3)请利用任务二得出的规律，计算求值：． 2．学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 3．某同学想计算（）的值．遇到这样的问题，该同学从简单的情况入手，具体探究过程如下，请回答下面的问题． 【特殊探究】 ； ； ．… 【一般结论】通过探究可以得到： ．（） 【具体应用】利用上述结论，解决以下问题 （1）计算： （2）若，求a的值． 4．综合与探究 问题情境：已知，，，，…，根据观察到的一列等式，解决下列问题： (1)特例探究：直接写出第5个等式； (2)探究发现：猜想第个等式，并说明你的猜想是正确的； (3)探究拓展：直接写出下列式子的结果： ①______； ②_______； ③________（用含的代数式表示）． 【课后检测】 1．若，则的值为（     ）． A．2 B．4 C． D． 2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 6．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 7．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 8．已知，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．14 9．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为________． 10．若，则____________． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算： (1)； (2)． 13．先化简，再求值：，其中、满足． 14．先化简，再求值：，其中． 15．计算： (1)； (2)． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 52 页 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题16.2 整式的乘法 （新教材人教版） 知识点一、整式的乘法 2 知识点二、整式的除法 2 【题型1 计算单项式乘以单项式】 2 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数的值】 3 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 5 【题型4 单项式乘多项式的应用】 7 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 10 【题型6 计算多项式乘多项式】 12 【题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 14 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 15 【题型9 多项式乘多项式---化简求值】 17 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 19 【题型11 多项式乘多项式的规律问题】 21 【题型12 整式乘法混合运算】 24 【题型13 同底数幂的除法运算】 26 【题型14 同底数幂除法的逆运算】 28 【题型15 零指数幂】 29 【题型16 计算单项式除以单项式】 31 【题型17 用科学记数法表示数的除法】 33 【题型18 多项式除以单项式】 34 【题型19 整式四则混合运算】 35 【探究式学习】 38 【课后检测】 44 【复盘笔记】 52 知识点一、整式的乘法 单项式×单项式：系数相乘，字母相乘． 单项式×多项式：乘法分配律． 多项式×多项式：乘法分配律． 知识点二、整式的除法 单项式÷单项式：系数相除，字母相除． 多项式÷单项式：除法性质． 多项式÷多项式：大除法． 【题型1 计算单项式乘以单项式】 【例1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与不是同类项，无法合并，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 【变式1-1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用积的乘方、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法法则，逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 【变式1-2】下列计算结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，故错误． 选项B：，正确． 选项C：，故错误． 选项D：，故错误． 【变式1-3】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，计算错误，不符合题意； 选项B：与不是同类项，不能合并，，计算错误，不符合题意； 选项C：根据同底数幂除法法则，，计算正确，符合题意； 选项D：根据积的乘方法则，，计算错误，不符合题意． 【题型2 利用单项式乘法求字母或代数的值】 【例2】计算的结果为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，结合题意可得，，然后求出，的值即可． 【详解】解： ， ∵的结果为， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值是． 【变式2-1】已知单项式与的积与是同类项，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，单项式乘单项式，先计算单项式得，再根据同类项的定义求出、的值，再代值计算即可． 【详解】解：， ∵单项式与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， 故选：C． 【变式2-2】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2-3】若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n的值，即可解答． 【详解】[解析]∵，∴， ，∴，，∴， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n的值． 【题型3 计算单项式乘多项式及求值】 【例3】已知，则当时，的值为（     ） A．25 B．20 C．15 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可得，，把代入d中推出，据此可得答案． 【详解】解： ，， ∴， ∴ ． 【变式3-1】下列运算中，错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式运算法则逐一计算各选项，即可找出错误的运算． 【详解】解：选项A： ，与选项A给出的结果不符，故选项A计算错误； 选项B， ，与选项B给出的结果符合，故选项B计算正确； 选项C， ，与选项C给出的结果符合，故选项C计算正确； 选项D， ，与选项D给出的结果符合，故选项D计算正确． 【变式3-2】现规定一种运算：，其中a，b为有理数．求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义的运算得到整式的混合运算，根据单项式乘以多项式，就是用单项式乘以多项式的每一项，再把它们的积相加；然后合并同类项，求解即可． 【详解】解：根据新定义运算可得 ， A选项符合题意． 【变式3-3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由积的乘方、单项式乘多项式、单项式乘单项式及合并同类项相关对应法则逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、与不是同类项，不能合并，选项计算错误． 【题型4 单项式乘多项式的应用】 【例4】如图所示正方形和正方形，点在上，点在上，连结、、，若，则图中阴影部分面积的和为（     ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【分析】设正方形和正方形的边长分别为，，则，再计算图中阴影部分面积的和，代入计算即可． 【详解】解：由题意，设正方形和正方形的边长分别为，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积的和为 ． 【变式4-1】如图，四边形是边长为4的正方形，四边形是长方形，若，，且，都小于4，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，阴影部分面积，利用三角形面积公式分别计算即可求解； 【详解】解：四边形是边长为4的正方形， ， 四边形是长方形，，， ，， 由图可知，阴影部分面积 ． 【变式4-2】如图，长方形，，，交于点P，已知长方形的面积等于长方形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（     ） A．长方形与长方形的面积之差 B．长方形与长方形的面积之差 C．长方形与长方形的面积之和 D．长方形与长方形的面积之和 【答案】B 【分析】设，推出，即可. 【详解】解：由题意，可知，四边形均为长方形， 设， ∴， ∵ ； ∵长方形的面积等于长方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴只要知道长方形与长方形的面积之差，即可求出图中阴影部分的面积. 【变式4-3】已知单项式满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用单项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边同类项对应相等，求出和，最后计算即可解答． 【详解】解：，且， ， ∵是单项式， ∴，，或者，， ∴，，或者，， 当，时， ∴， 当，时， ∴． 综上，． 【题型5 利用单项式乘多项式求字母的值】 【例5】要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 【变式5-1】设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 【变式5-2】若a3(3an-2am+4ak)=3a9-2a6+4a4，则m，n，k的值分别为（    ） A．6，3，1 B．3，6，1 C．2，1，3 D．2，3，1 【答案】B 【分析】先根据单项式与多项式相乘的运算法则进行计算，根据题意列出算式，计算即可． 【详解】a3（3an-2am+4ak）=3a3+n-2am+3+4a3+k， 则3+n=9，3+m=6，3+k=4， 解得，n=6，m=3，k=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【变式5-3】对于实数a，b，c，d，规定一种运算，如．若的取值与无关，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据新运算规则将转化为整式的运算，根据运算结果与的取值无关，得到关于、的关系式，即，再利用新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 的取值与无关， ， ∴． 【题型6 计算多项式乘多项式】 【例6】已知多项式与另一个多项式的乘积为，则的值为（     ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用因式值为零的性质，若是多项式的因式，则时多项式的值为，代入整理即可得到的值。 【详解】∵ ∴ 当时，，因此 将代入多项式得： ， 整理得： 【变式6-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂除法、多项式乘多项式的计算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，因此A错误； B、，因此B错误； C、，因此C错误； D、，故D正确． 【变式6-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，多项式乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的规则，依次判断各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 对选项B，展开多项式乘积得 ∴，B错误； 对选项C，∵积的乘方等于各因式乘方的乘积，幂的乘方底数不变指数相乘， ∴，C正确； 对选项D，∵和不是同类项，不能合并， ∴，D错误． 【变式6-3】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据当时，等式右侧即为，再将代入等式左侧计算即可得到结果，也可展开多项式整理后对比系数求解． 【详解】解：解法一： 对于等式， 当时，等式右侧为， 将代入等式左侧，得， ． 解法二： 对于等式， 等式左侧为， ，，， ． 【题型7 （x+p）（x+q）型多项式乘法】 【例7】若，则m与n的值是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先展开等式左边的多项式乘法，再根据多项式相等对应项系数相等的性质，列方程求解和的值. 【详解】∵ 展开等式左边得：， 又∵ ， ∴， 解得，． 【变式7-1】若，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则展开左边，再根据等式两边对应项系数相等求出和的值，最后计算即可． 【详解】解：首先展开等式左边的多项式：， 等式右边为，等式两边对应项系数相等，可得 ， 解得，， ． 【变式7-2】使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，令含和项的系数等于0，解方程组即可求出p，q的值． 【详解】解：展开并合并同类项得 ∵乘积中不含和项， ∴ 由第一个方程得， 将代入第二个方程得 ． 解得． ∴． 【变式7-3】阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 【题型8 已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【例8】若的展开式中不含的一次项，则k的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含的一次项，可得一次项系数为，解方程即可求出的值． 【详解】解： 展开式中不含的一次项， 一次项系数， 解得． 【变式8-1】若的结果中不含项，则的值为（     ）． A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，利用“结果不含项，即项的系数为”列方程求解即可． 【详解】解：， ∵ 结果中不含项 ， ∴含项的系数为， 即 ， 解得． 【变式8-2】若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（     ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式法则展开合并同类项，再根据不含项即项的系数为0，列方程求解即可． 【详解】解：， ， ∵展开合并后不含项， ∴项的系数为，即， 解得． 【变式8-3】已知的乘积中不含的一次项，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项后，令x的一次项系数为0，即可求解a的值． 【详解】解：展开并整理原式： ∵乘积中不含的一次项， ∴一次项的系数为，即， 解得：． 【题型9 多项式乘多项式---化简求值】 【例9】若，，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开所求代数式，整理后整体代入已知的和的值计算即可，运用整体思想简化计算，不需要单独求解和； 【详解】解： ， ， ， 代入得原式． 【变式9-1】已知，则代数式的值为（   ） A．2020 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】B 【分析】利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 【变式9-2】若规定符号的意义是：，则当时，的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式9-3】若，，则M与N的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了整式运算的应用，通过展开 M 和 N 的表达式，并计算 M 与 N 的差，从而比较大小关系． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即： ∴ ， 故选择： A． 【题型10 多项式乘多项式与图形面积】 【例10】图1是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那么拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为原长方形长为、宽为，沿对称轴剪开后得到的小长方形长为，宽为．因为中间空的部分是边长为的正方形，面积等于边长的平方，即．（方法不唯一） 【详解】解：∵中间空的部分是边长为的正方形， ∴面积为． 【变式10-1】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的式子是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1中，阴影部分的长为，宽为，图2中，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的面积，分别表示出阴影部分的面积，即可得解． 【详解】解：∵图1中，阴影部分的长为，宽为， ∴图1中阴影部分的面积为， ∵图2中，阴影部分的面积为大长方形的面积减去长是a，宽是x的长方形的面积，再减去长是b，宽是x的长方形的面积，再加上边长是x的正方形的 面积， ∴图2中阴影部分的面积为， ∴ ． 【变式10-2】如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由大的长方形的面积减去喷泉广场的面积列式计算即可. 【详解】解：根据题意，绿化带的面积为 . 【变式10-3】如图，长方形纸板的长为a，宽为b，在它的四角分别剪去一个边长为x的正方形，然后将四周突出部分折叠起来，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列结论错误的是（   ） A．纸盒的体积为 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【答案】B 【详解】解：观察图形可知，纸盒的长为，宽为，高为x，所以纸盒的体积为，故选项A正确，不符合题意； 观察图形可知，纸盒的表面积为，故选项B错误，符合题意； 观察图形可知，纸盒的底面的长为，宽为，所以纸盒的底面积为，故选项C正确，不符合题意； 若制成的纸盒是正方体，则，所以，故选项D正确，不符合题意． 【题型11 多项式乘多项式的规律问题】 【例11】如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项和的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（     ） A．2017 B．2016 C．191 D．190 【答案】D 【分析】根据题意，得到当指数是n时，展开式的第三项系数为，代入求解即可； 【详解】解：当指数是2时，展开式的第三项系数为1；当指数是3时，展开式的第三项系数为；当指数是4时，展开式的第三项系数为；由此得到如下规律，当指数是n时，展开式的第三项系数为； 当时，展开式的第三项系数为：； 【变式11-1】我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项和的乘方的展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图）．根据杨辉三角，可得的展开式中从左起第四项的系数是（     ） A．20 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】先根据杨辉三角的规律得出展开式的各项系数，再根据确定各项系数的符号，从而得出答案． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，下一行的系数等于上一行相邻两数之和， ∵的系数为， ∴的系数为， ∵， ∴展开式中各项系数的符号正负相间，即第、、、项系数为正，第、、项系数为负， ∴的展开式中从左起第四项的系数为． 【变式11-2】观察下列算式以及运算结果： ① ② ③ …… 根据发现的规律计算：的值是（     ） A．255 B．256 C．128 D．127 【答案】A 【分析】先观察已知算式总结规律得到，再将所求式子变形，利用总结的规律简便计算． 【详解】解：①， ②， ③， …… ∴； 设所求式子为 ， ∵， ∴． 【变式11-3】我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过归纳已知式子的系数和，得到通用规律，再代入计算即可. 【详解】解：由题意得 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. …… 归纳可得，展开式的系数和为. 当时，系数和为． 【题型12 整式乘法混合运算】 【例12】若实数满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的乘法，由已知等式通过代数变形对降次思想计算． 【详解】解：由， 可得，， 则， 故答案为：． 【变式12-1】若规定，则当时，的值为__________． 【答案】 【分析】先根据新定义将所求式子转化为常规的代数式，再结合已知条件，通过变形或整体代入的方法求出该代数式的值．本题主要考查了新定义运算以及整式的混合运算，同时涉及整体代入的思想，熟练掌握新定义运算规则，以及根据已知条件对代数式进行灵活变形和整体代入是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴， 当时，原式 故答案为：． 【变式12-2】若，则______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 【变式12-3】已知，，．求的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 【题型13 同底数幂的除法运算】 【例13】下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 【变式13-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需要运用合并同类项、单项式乘法、同底数幂除法、积的乘方的法则，逐一判断选项正误 【详解】解：对选项A，合并同类项要求系数相加，字母和指数不变， ， A错误； 对选项B，单项式乘单项式计算规则为系数相乘，同底数幂的指数相加， ， B错误； 对选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，等式成立， C正确； 对选项D，积的乘方需要将每个因式分别乘方， ， D错误 【变式13-2】下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，逐一计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， ， C正确； 选项D：， D错误． 【变式13-3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项合并规则，同底数幂的乘除法则，积的乘方法则逐个判断选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、，B错误； C、，C错误； D、，计算正确，D正确． 【题型14 同底数幂除法的逆运算】 【例14】已知，则等于（     ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂的乘方的逆运算法则求出的值，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式14-1】若，，则（     ） A．34 B．32 C．18 D．9 【答案】C 【分析】先由同底数幂的除法运算的逆运算、幂的乘方运算的逆运算恒等变形，再将已知条件整体代入后计算即可得到答案． 【详解】解：． 【变式14-2】计算结果等于的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同底数幂的除法运算及同底数幂的乘法运算的逆运算计算即可． 【详解】解：． 【变式14-3】已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】利用同底数幂乘法与除法的逆用运算将幂的关系转化为指数的关系，再逐一验证各关系式即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即，，则③正确； ∴，则②正确； ∴， ∴，则④正确； ∵，， ∴，即，则①错误； 综上，正确的关系式是②③④． 【题型15 零指数幂】 【例15】下面是小张同学完成的作业，每道题20分，请计算小张的得分是（     ） ① ② ③计算的结果是 ④ ⑤若，则 A．80分 B．60分 C．40分 D．20分 【答案】C 【分析】根据幂的相关运算性质，依次判断小张每道题的正误，统计做对的题数后计算总得分． 【详解】逐题判断正误： ①∵，，∴，小张计算正确，得20分； ②与不是同类项，不能合并，小张计算错误，不得分； ③∵，小张结果为，计算错误，不得分； ④∵，小张计算正确，得20分； ⑤∵，可得，小张得，计算错误，不得分； 总得分：，因此小张得分为40分． 【变式15-1】下列说法错误的是（   ） A．任何不等于0的数的0次幂都等于1 B．有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 C．有一条边对应相等的两个等边三角形全等 D．整式乘法与因式分解是方向相反的变形 【答案】B 【分析】根据零指数幂的规定可判断A选项；根据等腰三角形的性质、三角形外角的定义和等边三角形的判定可判断B选项；根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理可判断C选项；根据因式分解的定义可判断D选项． 【详解】解：A、任何不等于0的数的0次幂都等于1，说法正确，该选项不符合题意； B、因为等腰三角形的两个底角相等，则这两个底角的外角也相等，因此当两个相等的外角是底角的外角时，该等腰三角形不一定是等边三角形，说法错误，该选项符合题意； C、因为等边三角形所有边相等，一条边相等则可通过“”判定三角形全等，说法正确，该选项不符合题意； D、因为因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，所以整式乘法与因式分解是方向相反的变形，说法正确，该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂的规定，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，全等三角形的判定，因式分解的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式15-2】下面是一名同学所做4道练习题：①，②，③，④，他对的题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据零指数幂、合并同类项、整式除法和积的乘方等基本运算规则．逐项判断即可． 【详解】解：①（任何非零数的零次幂为1），正确； ②，错误； ③，错误； ④，正确． ∴正确的个数是2， 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，零指数幂，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式15-3】下列说法：①倒数等于它本身的数是；②除以一个数等于乘以这个数的倒数；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④零的任何次幂都是零；⑤四舍五入得到的近似数，它的精确度是精确到千分位；⑥单项式的次数是5，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是倒数的性质，绝对值的性质，零次幂，负整数指数幂的含义，近似数，单项式的含义，逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：∵ ①倒数等于它本身的数是，正确； ∵ ② 除以一个数等于乘以它的倒数，是除法性质，正确； ∵ ③ 绝对值相等的数可能相等或互为相反数，如但，错误； ∵ ④ 零的0次幂或负整数次幂无意义，不是任何次幂都为零，错误； ∵ ⑤ 近似数小数点后三位，∴精确到千分位，正确； ∵ ⑥ 单项式中，为常数，字母指数和， ∴次数为5，正确． ∴ 正确说法有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：C 【题型16 计算单项式除以单项式】 【例16】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项法则、单项式除法法则、积的乘方法则、同底数幂乘法法则，分别计算各选项判断正误即可． 【详解】解：对选项A：，故 A计算错误； 对选项B：，故B计算正确； 对选项C：，故C计算错误； 对选项D：，故D计算错误． 【变式16-1】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算法则，运用合并同类项、同底数幂乘法、单项式除法、幂的乘方的规则逐一计算选项，即可判断正误． 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，，C正确． 选项D，，D错误． 【变式16-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据合并同类项、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法的法则，逐一判断选项运算是否正确． 【详解】解：A选项，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； B选项，根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得，∴B错误； C选项，单项式乘单项式，系数相乘作为新系数，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 可得，运算正确，∴C正确； D选项，，∴D错误． 【变式16-3】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】单项式除以单项式法则，同底数幂相除底数不变指数相减． 【详解】解：A、，运算正确； B、，运算错误； C、，运算错误； D、，运算错误． 【题型17 用科学记数法表示数的除法】 【例17】2026年4月，我国自主研发的（级）超高强度碳纤维发布，这是全世界第一款量产的级碳纤维产品．超高强度碳纤维拉伸强度突破兆帕，普通钢材的拉伸强度约为兆帕．数据“”是“”的（     ） A．2倍 B．5倍 C．8倍 D．10倍 【答案】D 【详解】解：由题意得． 【变式17-1】词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．2026年3月，中国日均词元调用量已突破Token.已知每消耗一度电大约可产出Token．由此估计，产出Token所消耗的电量用科学记数法表示为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【详解】解：度． 【变式17-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式17-3】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为____秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【题型18 多项式除以单项式】 【例18】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式性质，将m变形为多项式除以单项式，按照对应运算法则计算即可得到结果． 【详解】由已知等式可得： ， 多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 计算第一项：， 计算第二项：， ． 【变式18-1】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，计算单项式乘单项式，多项式除以单项式，解题关键是掌握上述知识点．根据同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘单项式，多项式除以单项式的法则，分别计算各选项，再判断正误即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 【变式18-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查指数运算、多项式乘法和除法，需运用指数法则和代数运算规则逐一验证选项，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式18-3】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除和加减运算，对每个选项进行计算判断结果的正误． 【详解】解： A选项：∵ ，满足题意要求； B选项：∵ ，不满足题意要求； C选项： ∵ ，不满足题意要求； D选项： ∵ ，不满足题意要求； 故选A． 【题型19 整式四则混合运算】 【例19】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式19-1】求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过整式的乘除运算去掉括号，再合并同类项化简，然后代入计算得出结果； （2）先用整式的乘法去掉小括号，合并同类项后，进行整式的除法运算，再代入的值计算得出结果． 【详解】（1）解： ． 将代入得： 原式． （2） ． 将代入得： 原式． 【变式19-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 【变式19-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． （4）解：原式 【探究式学习】 1．项目式学习探究任务：“整式的规律密码”． 在一次数学项目式学习活动中，某探究小组接到任务：“发现并推导()与长多项式相乘的通用规律”．小组决定遵循“从特殊到一般”的探究思路，展开如下研究，请你协助完成． 任务一：特例入手，归纳特征 (1)请计算以下三组特殊式子，观察结果特征，寻找规律： ① ； ② ； ③ ． 任务二：猜想规律，建立模型 (2)结合上述计算结果，大胆猜想： ． 任务三：模型应用，解决实际问题 (3)请利用任务二得出的规律，计算求值：． 【答案】(1)①，②，③； (2) (3)． 【分析】（1）根据平方差公式以及多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据（1）的结论，猜想结果； （3）设，根据（2）的规律得出，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①， ② ， ③ （2）由（1）可得： （3）解：设， 根据任务二的规律，当时，有， 所以， 所以，即． 2．学习完整式除法运算之后，小明对多项式除以多项式进行了自主探究，他知道：两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法，于是他将多项式除以多项式类比多位数的除法进行了探究，如图1： 小华同学根据小明的探究设计了多项式除以多项式的计算步骤的流程图，如下： 说明：   当时， (1)根据小明的探究过程，小华的计算流程图中①处应填______； (2)多项式除以多项式，所得的商式为______； (3)已知能被整除，则______； (4)如图2，有1张A卡片，9张B卡片，8张C卡片，能否将这18片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当余式的次数低于除式的次数 (2) (3)3 (4)能，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）结合列竖式计算整数的除法即可得到结论； （2）列竖式进行计算即可得到答案； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到18张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：余式的次数满足：当余式的次数低于除式的次数， 故答案为：当余式的次数低于除式的次数； （2）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （4）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，9张卡片，8张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 3．某同学想计算（）的值．遇到这样的问题，该同学从简单的情况入手，具体探究过程如下，请回答下面的问题． 【特殊探究】 ； ； ．… 【一般结论】通过探究可以得到： ．（） 【具体应用】利用上述结论，解决以下问题 （1）计算： （2）若，求a的值． 【答案】特殊探究：；一般结论：；具体应用：（1）（2） 【分析】本题考查多项式乘法中的规律问题，平方差公式，多项式乘多项式，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． 特殊探究：利用平方差公式，多项式乘多项式法则计算即可； 一般结论：根据已知等式总结规律即可； 具体应用：（1）将原式变形后根据规律计算即可； （2）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：特殊探究：， ， ， 故答案为：； 一般结论：由已知等式可得， 故答案为：； 具体应用：（1）原式= ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 检验：当时，， ∴是原方程的增根，舍去； 当时，， ∴． 4．综合与探究 问题情境：已知，，，，…，根据观察到的一列等式，解决下列问题： (1)特例探究：直接写出第5个等式； (2)探究发现：猜想第个等式，并说明你的猜想是正确的； (3)探究拓展：直接写出下列式子的结果： ①______； ②_______； ③________（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)①5616；②2025；③ 【分析】（1）根据题干中的等式找到规律求解即可； （2）根据题干中的等式找到规律求解即可； （3）根据（2）中的规律求解即可； 【详解】（1）∵①， ②， ③， ④， ∴第5个等式为； （2）第个等式是 理由如下： 左边 右边． ∴成立． （3）①； ②； ③． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，整式的混合运算，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【课后检测】 1．若，则的值为（     ）． A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，， ，， ． 2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法的法则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，故A选项错误； 选项B：，故B选项错误； 选项C：，故C选项错误； 选项D： 等式成立，故D选项正确． 3．关于，的方程组的解满足，则的值是（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】先通过方程组变形得到与的关系，代入求出的值，再利用幂的运算性质计算所求代数式的值． 【详解】解：， 得， 整理得，即， ， ， 又， ． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：∵ ∴ ，A错误； 对选项B：∵ ，B错误； 对选项C：∵ 合并同类项时字母和指数不变，仅系数相加， ∴ ，C错误； 对选项D：∵ ，同底数幂相除，底数不变指数相减， ∴ ，D正确． 5．我国南宋数学家杨辉于1261年编撰《详解九章算法》，书中记载了二项式（为非负整数）展开式的各项系数分布规律，如图所示，其中“三乘”对应的展开式为：．若，则的值为（     ） A．10 B．40 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得的展开式，令，则可得到的展开式，结合题意可得答案． 【详解】解：由题意得，， 令， 则 ， 又∵， ∴ 6．观察下列各式：   ；   ；   ； …… 根据上面的规律计算：的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知算式总结多项式乘法的规律，再将所求式子变形，代入规律计算得到结果． 【详解】解：由已知算式可得规律：， 设所求式子为，可变形为， 将代入规律得：， ，两边同除以得：，故选项A符合题意． 7．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算两个多项式的乘积，合并同类项后，由乘积不含项可知项的系数为，据此列方程求解的值 【详解】解： 又∵ 乘积中不含项， ∴ 项的系数为，即 解得 8．已知，则的值为（     ） A．2 B．4 C．8 D．14 【答案】C 【详解】先利用表示出，然后利用同底数幂的除法计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴． 9．观察：下列等式，，，据此规律，当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】先根据已知等式总结规律，将原方程化简得到，然后求解，再代入求值即可． 【详解】解：观察已知等式，可得规律：， 对于， 根据规律得， 即， 解得或， 当时，； 当时，， 因此代数式的值为． 10．若，则____________． 【答案】 【分析】将等式左边展开后，利用多项式相等则同类项系数相等，先求出和的值，再计算． 【详解】解：， ，，， ，， 则． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得的商相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】化简得，值为 【分析】根据得，求出、值，化简代入、值即可． 【详解】解：化简 ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 52 页 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $